Download - REALNA ZAPOREDJA
1
REALNA ZAPOREDJA
Zaporedje je preslikava množice naravnih števil ( N ) v množico realnih števil ( R )
N Rf
ali 1
2
3
n
1
2
3
n a
a
a
a
2
Lahko tudi zapišemo
1 2, ,..., ,...na a aZ
Kadar poznamo predpis f po katerem N preslikavamo v R, zaporedje zapišemo s splošnim členom
( )na f n
Elemente zaporedja imenujemo člene zaporedja
3
Aritmetično zaporedje
a a dn n 1
1 1 .na a n d
1 2 11
... .2
n
n i ni
nS a a a a a a
4
Geometrično zaporedje
1
n
n
aq
a
11.
nna a q
S a a a a aq
qn ii
n n
1 21
1
1 1
1... .
5
Meje zaporedja
1 2, ,..., ,...nZ a a aje navzgor omejeno zaporedje, če lahko najdemo tako realno število G, da velja
na G G zgornja meja zaporedja
Velja :Zaporedje,ki je navzgor omejeno ima poljubno mnogo zgornjih mej !
6
Definicija
Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja ( M )
M = inf(G)
1 2, ,..., ,...nZ a a a
je navzdol omejeno zaporedje,če lahko najdemo tako realno število g, da velja
na g
7
Velja
Zaporedje, ki je navzdol omejeno, ima poljubno mnogo spodnjih mej
Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m).
m = sup (g)
Zaporedje, ki je na obe strani omejeno,pravimo da je omejeno
8
Za poljuno realno število A in 0
števila A imenujemo odprti interval
okolico
,A A
Geometrično je to daljica na realni osi
AA A
Oznaka A ali ,o A
9
Stekališče zaporedja je tako realno število s, da se v vsaki njegovi okolici nahaja neskončno mnogo členov zaporedja
Weirstrass-ov izrek
Vsako neskončno in omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče
Konvergentno zaporedje imenujemo zaporedje, ki ima natanko eno stekališče
10
Zaporedje, ki ni konvergentno je divergentno
Edino stekališče konvergentnega zaporedja imenujemo LIMITA zaporedja
Simbolično zapišemo limito
limn
n Aa
11
Pri konvergentnem zaporedju z limito A,vedno moremo najti dovolj pozen člen ,da za vsak n > k pri poljubnem velja
ka0
na A Posledica
Izven (A limita konvergentnega zaporedja)leži vedno končno mnogo členov zaporedja.
A
12
Dve vprašanji
-kdaj je neko zaporedje konvergentno
-kako konvergentnemu zaporedju izračunati limito
Cauchy-jev izrek
Potreben in zadosten pogoj zato, da je zaporedje konvergentno je,da velja
na
n p na a
0 ; >0 ; p N n k k
13
Monotona zaporedja
monotono naraščajoče zaporedje
1n na a
strogo naraščajoče zaporedje
1n na a monotono padajoče zaporedje
1n na a
strogo padajoče zaporedje
1n na a
14
Izrek
Vsako monotono naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, prvi člen zaporedja je enak natančni spodnji meji
1m a
Izrek
Vsako monotono padajoče zaporedje je navzgor omejeno, prvi člen je enak natančni zgornji meji
1M a
15
Izrek
Monotono naraščajoče in navzgor omejeno zaporedje je konvergentno in velja
limn
n Ma
Izrek
Monotono padajoče in navzdol omejeno zaporedje je konvergentno in velja
limn
n ma
16
LASTNOSTI konvergentnih zaporedij
Izrek
Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo poljubno končno število členov, je zaporedje še vedno konvergentno z isto limito
Dani naj bosta konvergentni zaporedji
21 1, ,..., , ...nZ a a a z limito A in
22 1, ,..., , ...nZ b b b z limito B
17
Vpeljemo zaporedja
Zaporedje vsote 1 1 2 2, ,..., ,...n na b a b a bZ
Zaporedje razlike 1 1 2 2, ,..., ,...n na b a b a bZ
Produktno zaporedje 1 1 2 2. , . ,..., . .,..n nZ a b a b a b
Kvocientno zaporedje 1 2
1 2
, ,..., ,...n
n
aa a
b b bZ
Izrek
Zaporedje vsote dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka vsoti limit
limlim limn
n nn
nn
na b a A Bb
18
Izrek Zaporedje razlike dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka razliki limit
limlim limn
n nn
nn
na b a A Bb
Izrek
Produktno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka produktu limit
( ).( )limlim lim. .n n n
n n n n ABa b a b
19
Izrek
Kvocientno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka kvocientu limit
limlim lim
nn
n n
n
nn
aa
b b
A
B
predpostavljamo 0B
Konstantno zaporedje je zaporedje,ki ima vse člene enake.
20
Izrek
Če vsi členi zaporedja vsebujejo konstantni faktor k, ga lahko izpostavimo in velja
. . .lim limn n
n na Ak ka k
21
VRSTE s konstantnimi členi
Vsoto členov neskončnega zaporedja
1 2, ,... , ., ..na a aZ
imenujemo vrsta
1 2 ... ....nV a a a Definicija
Vrsta je konvergentna,če je njena vsota končno realno število,sicer je vrsta divergentna
22
Vrsti priredimo zaporedje delnih vsot
11
1 2
1 2
2
...
n n
s
s
s
a
a a
a a a
23
Vrsta je konvergentna natanko tedaj, kadar je konvergentno zaporedje delnih vsot vrste
1 2 ... ...nV a a a je konvergentna vrsta tedaj in le tedaj,če k vsakemu lahko 0 najdemo tak ,da je za vsak veljavno
n N p Nn p ns s
ali 1 2 ...n n n pa a a
24
Dani sta vrsti
1 1 2 ... ...nV a a a 2 1 2 ... ...nV b b b
Vrsta je majoranta za vrsto , kadar za vsak velja
2V 1Vn N
nna b
Če je konvergentna majoranta vrste, potem je tudi vrsta konvergentna.
25
Vrsta za
konvergira,če velja :
1 2 ... ...na a a 0na
1 1nn
n
ak
a
in 1lim n
n
k
26
11lim
n
n
ne
1 1 11 .....
1! 2.
! 3!e