1

REALNA ZAPOREDJA

Zaporedje je preslikava množice naravnih števil ( N ) v množico realnih števil ( R )

N Rf

ali 1

2

3

n

1

2

3

n a

a

a

a

2

Lahko tudi zapišemo

1 2, ,..., ,...na a aZ

Kadar poznamo predpis f po katerem N preslikavamo v R, zaporedje zapišemo s splošnim členom

( )na f n

Elemente zaporedja imenujemo člene zaporedja

3

Aritmetično zaporedje

a a dn n 1

1 1 .na a n d

1 2 11

... .2

n

n i ni

nS a a a a a a

4

Geometrično zaporedje

1

n

n

aq

a

11.

nna a q

S a a a a aq

qn ii

n n

1 21

1

1 1

1... .

5

Meje zaporedja

1 2, ,..., ,...nZ a a aje navzgor omejeno zaporedje, če lahko najdemo tako realno število G, da velja

na G G zgornja meja zaporedja

Velja :Zaporedje,ki je navzgor omejeno ima poljubno mnogo zgornjih mej !

6

Definicija

Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja ( M )

M = inf(G)

1 2, ,..., ,...nZ a a a

je navzdol omejeno zaporedje,če lahko najdemo tako realno število g, da velja

na g

7

Velja

Zaporedje, ki je navzdol omejeno, ima poljubno mnogo spodnjih mej

Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m).

m = sup (g)

Zaporedje, ki je na obe strani omejeno,pravimo da je omejeno

8

Za poljuno realno število A in 0

števila A imenujemo odprti interval

okolico

,A A

Geometrično je to daljica na realni osi

AA A

Oznaka A ali ,o A

9

Stekališče zaporedja je tako realno število s, da se v vsaki njegovi okolici nahaja neskončno mnogo členov zaporedja

Weirstrass-ov izrek

Vsako neskončno in omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče

Konvergentno zaporedje imenujemo zaporedje, ki ima natanko eno stekališče

10

Zaporedje, ki ni konvergentno je divergentno

Edino stekališče konvergentnega zaporedja imenujemo LIMITA zaporedja

Simbolično zapišemo limito

limn

n Aa

11

Pri konvergentnem zaporedju z limito A,vedno moremo najti dovolj pozen člen ,da za vsak n > k pri poljubnem velja

ka0

na A Posledica

Izven (A limita konvergentnega zaporedja)leži vedno končno mnogo členov zaporedja.

A

12

Dve vprašanji

-kdaj je neko zaporedje konvergentno

-kako konvergentnemu zaporedju izračunati limito

Cauchy-jev izrek

Potreben in zadosten pogoj zato, da je zaporedje konvergentno je,da velja

na

n p na a

0 ; >0 ; p N n k k

13

Monotona zaporedja

monotono naraščajoče zaporedje

1n na a

strogo naraščajoče zaporedje

1n na a monotono padajoče zaporedje

1n na a

strogo padajoče zaporedje

1n na a

14

Izrek

Vsako monotono naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, prvi člen zaporedja je enak natančni spodnji meji

1m a

Izrek

Vsako monotono padajoče zaporedje je navzgor omejeno, prvi člen je enak natančni zgornji meji

1M a

15

Izrek

Monotono naraščajoče in navzgor omejeno zaporedje je konvergentno in velja

limn

n Ma

Izrek

Monotono padajoče in navzdol omejeno zaporedje je konvergentno in velja

limn

n ma

16

LASTNOSTI konvergentnih zaporedij

Izrek

Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo poljubno končno število členov, je zaporedje še vedno konvergentno z isto limito

Dani naj bosta konvergentni zaporedji

21 1, ,..., , ...nZ a a a z limito A in

22 1, ,..., , ...nZ b b b z limito B

17

Vpeljemo zaporedja

Zaporedje vsote 1 1 2 2, ,..., ,...n na b a b a bZ

Zaporedje razlike 1 1 2 2, ,..., ,...n na b a b a bZ

Produktno zaporedje 1 1 2 2. , . ,..., . .,..n nZ a b a b a b

Kvocientno zaporedje 1 2

1 2

, ,..., ,...n

n

aa a

b b bZ

Izrek

Zaporedje vsote dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka vsoti limit

limlim limn

n nn

nn

na b a A Bb

18

Izrek Zaporedje razlike dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka razliki limit

limlim limn

n nn

nn

na b a A Bb

Izrek

Produktno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka produktu limit

( ).( )limlim lim. .n n n

n n n n ABa b a b

19

Izrek

Kvocientno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka kvocientu limit

limlim lim

nn

n n

n

nn

aa

b b

A

B

predpostavljamo 0B

Konstantno zaporedje je zaporedje,ki ima vse člene enake.

20

Izrek

Če vsi členi zaporedja vsebujejo konstantni faktor k, ga lahko izpostavimo in velja

. . .lim limn n

n na Ak ka k

21

VRSTE s konstantnimi členi

Vsoto členov neskončnega zaporedja

1 2, ,... , ., ..na a aZ

imenujemo vrsta

1 2 ... ....nV a a a Definicija

Vrsta je konvergentna,če je njena vsota končno realno število,sicer je vrsta divergentna

22

Vrsti priredimo zaporedje delnih vsot

11

1 2

1 2

2

...

n n

s

s

s

a

a a

a a a

23

Vrsta je konvergentna natanko tedaj, kadar je konvergentno zaporedje delnih vsot vrste

1 2 ... ...nV a a a je konvergentna vrsta tedaj in le tedaj,če k vsakemu lahko 0 najdemo tak ,da je za vsak veljavno

n N p Nn p ns s

ali 1 2 ...n n n pa a a

24

Dani sta vrsti

1 1 2 ... ...nV a a a 2 1 2 ... ...nV b b b

Vrsta je majoranta za vrsto , kadar za vsak velja

2V 1Vn N

nna b

Če je konvergentna majoranta vrste, potem je tudi vrsta konvergentna.

25

Vrsta za

konvergira,če velja :

1 2 ... ...na a a 0na

1 1nn

n

ak

a

in 1lim n

n

k

26

11lim

n

n

ne

1 1 11 .....

1! 2.

! 3!e