Scattering in Meccanica Classica
F. Bianchi 2
Sommario
• Scattering
• Diffusione Thomson e Rayleigh
• Sezione d’urto in meccanica classica
• Attenuazione
• Scattering da una sfera rigida
• Sezione d’urto di Rutherford
F. Bianchi 3
Scattering (1)
• Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici.– Usato ampiamente anche dalla natura.
• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione– Sorgente di luce– Oggetto– Rivelatore di luce
• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).
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Scattering (2)• Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia
corpuscolare sia ondulatorio: Collisione– Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni
• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.
• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.
• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura– Trattazione classica
• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio– Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne)– Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico
F. Bianchi 5
Scattering di Onde Elettromagnetiche
• Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente:– d/l >> 1 ottica geometrica– d/ l ~ 1 ottica fisica
• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente:– d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi)– d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati)– d/l ~ 1 scattering Mie
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Scattering Thomson (1)• Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero
• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.
• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B.– Si puo’ trascurare B se ve << c
• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche
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Scattering Thomson (2)
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Scattering Thomson (3)• Potenza media incidente per unita’ di
superficie:
• Forza agente sull’elettrone:
• Accelerazione media dell’elettrone:
• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:
• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido
2002
1cEI
EeamF
2
20
2
2
222
2m
Ee
m
Eea
23
0
22
sin16 c
ae
d
dP
2
200
2
20
2
sin24
cE
mc
e
d
dP
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Scattering Thomson (4)
• Sezione d’urto (m2/sr)
• Sezione d’urto totale (m2)
• Raggio classico dell’elettrone
• sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente
222
2
20
22
2
20
2
2200
2
20
2
200
cossinsin4
sin4
sin24
21
mc
e
mc
e
cE
mc
e
cEd
dP
Id
d
2
2
20
2222
4
2
20
2
3
8
43
8sincossinsin
4 eT rmc
edd
mc
e
20
2
4 mc
ere
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Scattering Rayleigh (1)
• Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda
• Modello supersemplificato della forza di legame:– Termine elastico + Termine di smorzamento
– Equivale a:
• L’equazione del moto dell’elettrone:
• Con:
• Una possibile soluzione e’:
F. Bianchi 11
Scattering Rayleigh (2)
• Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:
• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:
• Potenza irraggiata dall’elettrone
2
20
2
22220
2
42
2)( m
Eea
2200
2
20
2
22220
2
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sin24)(
cE
mc
e
d
dP
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Scattering Rayleigh (3)
• La sezione d’urto (m2/sr):
Thomson
d
d
mc
e
mc
e
cE
mc
e
cEd
dP
Id
d
22220
2
4
222
2
20
2
22220
2
4
2
2
20
2
22220
2
4
2200
2
20
2
22220
2
4
200
)(
cossinsin4)(
sin4)(
sin24)(
21
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Scattering Rayleigh (4)• L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla
frequenza dell’onda incidente.
• Massimo sezione d’urto:
• Se • Sezione d’urto di Rayleigh
– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.
– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria
Thomson
2222
02
42
22220
2
4
)()(3
8
eT r
Thomson 4
00
T
Thomson 20
0
T
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Scattering Rayleigh (5)
F. Bianchi 15
Scattering in Meccanica Classica
• Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: – Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di
deflessioni ( ,q j) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.
• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione.– Es.: cometa e sole
• Caso microscopico:– Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto
• Fascio di particelle incidenti
– Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto– Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola
collisione non sono in generale noti.• NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in
meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).
– E’ necessario un approccio statistico.
F. Bianchi 16
Sezione d’Urto
• Grandezze misurabili:– F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1
– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido dW , si misura in particelle sr-1 s-1
• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):
• ds/dW e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.
• Sezione d’urto totale:
d
dR
4
dd
d
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Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)
• Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume.– Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un
bersaglio.
• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):
• Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):
• Naturale identificare k con s. Integrando:
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Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)
• Quantita’ spesso usate:
• l-> cammino libero medio• m-> coefficiente di attenuazione lineare
del fascio
• Per un singolo proiettile (F0 =1):
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Ancora sulla Sezione d’Urto (1)
• In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici.
• La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.
• La sezione d’urto differenziale ds/dW e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d .W– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.
• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio.– Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio.– Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).
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Interpretazione Classica della Sezione d’Urto
• Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.
• Particelle deflesse in dW (con angolo polare fra q e q+dq, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df)
d
db
sen
b
d
d
ddsend
dbdbd
bdbdI
ddsend
dR
• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio.• Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione
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Scattering da Sfera Rigida
• Barriera di potenziale infinita per r<a.
• Per il proiettile vale la legge della riflessione.
2
2
42sin2
2cos2
sin2
2cos
2sin2sin
2cos
sin
2sin2
2cos
2sinsin
2
a
aaaaa
d
dbb
d
d
a
d
db
aaab
b y
q
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Sezione d’Urto di Rutherford (1)
• Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo.
• Per ricavare la sezione d’urto:
• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering q
• Prendiamola un po’ alla lontana…
d
db
sen
b
d
d
F. Bianchi 23
La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:
e’:
Introducendo le coordinate:
Si puo’ riscrivere come:
Sezione d’Urto di Rutherford (2)
F. Bianchi 24
Sezione d’Urto di Rutherford (3)
• Introducendo:
• La Lagrangiana diventa:
• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano.– Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di
forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme
• La lagrangiana del moto relativo e’:
F. Bianchi 25
Sezione d’Urto di Rutherford (4)
• In coordinate polari:
• q e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:
• Anche l’energia si conserva:
F. Bianchi 26
Sezione d’Urto di Rutherford (5)
• Da cui:
• Separando le variabili:
• Integrando con la condizione iniziale :
• Sostituendo r(t) con :
F. Bianchi 27
Sezione d’Urto di Rutherford (6)
• A questo punto sono note r(t) e q(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria:
• Integrando:
• Consideriamo ora il caso:
F. Bianchi 28
Sezione d’Urto di Rutherford (7)
• L’equazione della trettoria diventa:
• Questo e’ un integrale del tipo:
• Con:
F. Bianchi 29
Sezione d’Urto di Rutherford (8)
• La soluzione e’:
• Ritornando ad r:
• Infine:
• Definendo:
F. Bianchi 30
Sezione d’Urto di Rutherford (9)
2
222
2
2
2
2
'
21
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21
cos1'1
2
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eZZ
Eb
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1
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/2f
c
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Sezione d’Urto di Rutherford (10)
2sin
1
2
'
4
1
2sin
1
sin2
2
'
2
1
sin
2sin
1
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2
1
22
'
'
2
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21
2
112
2sin
2sin1
2sin
2cos
2
4
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2
22
2
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
E
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ctg
E
eZZ
d
dbb
d
d
E
eZZ
d
dbctg
E
eZZb
eZZ
Ebctg
eZZ
Ebctg
ctg cosec
Sezione d’urto totale e’ divergenteConseguenza del range infinito di V(r)
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Estensione a Processi Qualunque (1)
• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale:
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Estensione a Processi Qualunque (2)