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Scattering in Meccanica Classica

F. Bianchi 2

Sommario

• Scattering

• Diffusione Thomson e Rayleigh

• Sezione d’urto in meccanica classica

• Attenuazione

• Scattering da una sfera rigida

• Sezione d’urto di Rutherford

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Scattering (1)

• Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici.– Usato ampiamente anche dalla natura.

• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione– Sorgente di luce– Oggetto– Rivelatore di luce

• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).

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Scattering (2)• Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia

corpuscolare sia ondulatorio: Collisione– Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni

• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.

• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.

• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura– Trattazione classica

• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio– Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne)– Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico

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Scattering di Onde Elettromagnetiche

• Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente:– d/l >> 1 ottica geometrica– d/ l ~ 1 ottica fisica

• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente:– d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi)– d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati)– d/l ~ 1 scattering Mie

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Scattering Thomson (1)• Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero

• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.

• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B.– Si puo’ trascurare B se ve << c

• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche

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Scattering Thomson (2)

F. Bianchi 8

Scattering Thomson (3)• Potenza media incidente per unita’ di

superficie:

• Forza agente sull’elettrone:

• Accelerazione media dell’elettrone:

• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:

• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido

2002

1cEI

EeamF

2

20

2

2

222

2m

Ee

m

Eea

23

0

22

sin16 c

ae

d

dP

2

200

2

20

2

sin24

cE

mc

e

d

dP

F. Bianchi 9

Scattering Thomson (4)

• Sezione d’urto (m2/sr)

• Sezione d’urto totale (m2)

• Raggio classico dell’elettrone

• sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente

222

2

20

22

2

20

2

2200

2

20

2

200

cossinsin4

sin4

sin24

21

mc

e

mc

e

cE

mc

e

cEd

dP

Id

d

2

2

20

2222

4

2

20

2

3

8

43

8sincossinsin

4 eT rmc

edd

mc

e

20

2

4 mc

ere

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Scattering Rayleigh (1)

• Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda

• Modello supersemplificato della forza di legame:– Termine elastico + Termine di smorzamento

– Equivale a:

• L’equazione del moto dell’elettrone:

• Con:

• Una possibile soluzione e’:

F. Bianchi 11


• Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:

• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:

• Potenza irraggiata dall’elettrone

2

20

2

22220

2

42

2)( m

Eea

2200

2

20

2

22220

2

4

sin24)(

cE

mc

e

d

dP

F. Bianchi 12


• La sezione d’urto (m2/sr):

Thomson

d

d

mc

e

mc

e

cE

mc

e

cEd

dP

Id

d

22220

2

4

222

2

20

2

22220

2

4

2

2

20

2

22220

2

4

2200

2

20

2

22220

2

4

200

)(

cossinsin4)(

sin4)(

sin24)(

21

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Scattering Rayleigh (4)• L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla

frequenza dell’onda incidente.

• Massimo sezione d’urto:

• Se • Sezione d’urto di Rayleigh

– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.

– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria

Thomson

2222

02

42

22220

2

4

)()(3

8

eT r

Thomson 4

00

T

Thomson 20

0

T

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F. Bianchi 15

Scattering in Meccanica Classica

• Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: – Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di

deflessioni ( ,q j) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.

• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione.– Es.: cometa e sole

• Caso microscopico:– Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto

• Fascio di particelle incidenti

– Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto– Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola

collisione non sono in generale noti.• NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in

meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).

– E’ necessario un approccio statistico.

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Sezione d’Urto

• Grandezze misurabili:– F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1

– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido dW , si misura in particelle sr-1 s-1

• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):

• ds/dW e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.

• Sezione d’urto totale:

d

dR

4

dd

d

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Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)

• Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume.– Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un

bersaglio.

• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):

• Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):

• Naturale identificare k con s. Integrando:

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Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)

• Quantita’ spesso usate:

• l-> cammino libero medio• m-> coefficiente di attenuazione lineare

del fascio

• Per un singolo proiettile (F0 =1):

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Ancora sulla Sezione d’Urto (1)

• In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici.

• La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.

• La sezione d’urto differenziale ds/dW e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d .W– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.

• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio.– Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio.– Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).

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Interpretazione Classica della Sezione d’Urto

• Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.

• Particelle deflesse in dW (con angolo polare fra q e q+dq, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df)

d

db

sen

b

d

d

ddsend

dbdbd

bdbdI

ddsend

dR

• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio.• Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione

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Scattering da Sfera Rigida

• Barriera di potenziale infinita per r<a.

• Per il proiettile vale la legge della riflessione.

2

2

42sin2

2cos2

sin2

2cos

2sin2sin

2cos

sin

2sin2

2cos

2sinsin

2

a

aaaaa

d

dbb

d

d

a

d

db

aaab

b y

q

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Sezione d’Urto di Rutherford (1)

• Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo.

• Per ricavare la sezione d’urto:

• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering q

• Prendiamola un po’ alla lontana…

d

db

sen

b

d

d

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La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:

e’:

Introducendo le coordinate:

Si puo’ riscrivere come:


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• Introducendo:

• La Lagrangiana diventa:

• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano.– Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di

forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme

• La lagrangiana del moto relativo e’:

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• In coordinate polari:

• q e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:

• Anche l’energia si conserva:

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• Da cui:

• Separando le variabili:

• Integrando con la condizione iniziale :

• Sostituendo r(t) con :

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• A questo punto sono note r(t) e q(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria:

• Integrando:

• Consideriamo ora il caso:

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• L’equazione della trettoria diventa:

• Questo e’ un integrale del tipo:

• Con:

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• La soluzione e’:

• Ritornando ad r:

• Infine:

• Definendo:

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2

222

2

2

2

2

'

21

)'(

21

cos1'1

2

')(

eZZ

Eb

eZZm

El

l

emZZ

r

mEbbmvl

r

eZZ

rrV

inc

m

00

22sin

2cos

1

cosec

/2f

c

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2sin

1

2

'

4

1

2sin

1

sin2

2

'

2

1

sin

2sin

1

2

'

2

1

22

'

'

2

21

'

21

2

112

2sin

2sin1

2sin

2cos

2

4

22

2

22

2

22

2

2

22

22

2

2

2

2

2

E

eZZ

ctg

E

eZZ

d

dbb

d

d

E

eZZ

d

dbctg

E

eZZb

eZZ

Ebctg

eZZ

Ebctg

ctg cosec

Sezione d’urto totale e’ divergenteConseguenza del range infinito di V(r)

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Estensione a Processi Qualunque (1)

• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale:

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Estensione a Processi Qualunque (2)

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