Download - stokastik
![Page 1: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/1.jpg)
PENENTUAN MODEL DAN STATISTIK UJIDISTRIBUSI SEMI PARAMETRIK DENGAN
METODE RASIO LIKELIHOOD SEMI-EMPIRIS (MRLSE)
SKRIPSI
Oleh:
FATIMATUZZAHROHNIM: 03510027
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANGMALANG
2007
1
![Page 2: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/2.jpg)
2
PENENTUAN MODEL DAN STATISTIK UJIDISTRIBUSI SEMI PARAMETRIK DENGAN
METODE RASIO LIKELIHOOD SEMI-EMPIRIS (MRLSE)
SKRIPSI
Diajukan kepada:Universitas Islam Negeri (UIN) Malang
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan DalamMemperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Oleh:
FATIMATUZZAHROHNIM: 03510027
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANGMALANG
2007
![Page 3: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/3.jpg)
3
PENENTUAN MODEL DAN STATISTIK UJIDISTRIBUSI SEMI PARAMETRIK DENGAN
METODE RASIO LIKELIHOOD SEMI-EMPIRIS (MRLSE)
SKRIPSI
Oleh:
FATIMATUZZAHROHNIM: 03510027
Telah disetujui oleh:Dosen Pembimbing
Pembimbing I
Sri Harini, M.SiNIP. 150 318 321
Pembimbing II
Ach. Nashihuddin, M. ANIP. 150 302 531
Tanggal 09 Desember 2007Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.SiNIP. 150 318 321
![Page 4: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/4.jpg)
4
PENENTUAN MODEL DAN STATISTIK UJIDISTRIBUSI SEMI PARAMETRIK DENGAN
METODE RASIO LIKELIHOOD SEMI-EMPIRIS (MRLSE)
SKRIPSI
Oleh:
FATIMATUZZAHROHNIM: 03510027
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi danDinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Tanggal 18 Desember 2007
SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN
1. Penguji Utama : Drs. H. Turmudi, M. Si ( )
2. Ketua Penguji : Abdussakir, M. Pd ( )
3. Sekretaris Penguji : Sri Harini, M.Si ( )
4. Anggota Penguji : Ach. Nashihuddin, M. A ( )
Mengetahui dan Mengesahkana.n. Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.SiNIP. 150 318 321
![Page 5: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/5.jpg)
5
LEMBAR PERSEMBAHAN
Biasakan membuat diri kita tenangjangan terlalu bingung,buanglah semua kebingungan.Allah SWT menyukai orang yangtenang dan memperbanyak senyumkarena dengan menenangkan diridan senyum akan memperpanjang usia kita.
(Kokok Imam Wahyudi W.)
Teruntuk Ibunda dan Bapak TercintaSaudara-saudaraku (Mbak Farida, Mas Imam,
AdekQ Fauzi, Mas Agus, Mbak Eka)Mas Kokok Imam Wahyudi W
SaudaraQ Lilik RahmawatiTeman-temanQ Angkatan 2003Terima kasih untuk Semuanya,
Terima kasih Telah Menjadi InspirasiTerindah Dalam HidupQ.
![Page 6: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/6.jpg)
6
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah-Nya,
penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.
Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan
membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan
ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:
1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN)
Malang.
2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU., D.Sc selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Malang.
3. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Malang.
4. Ibu Sri Harini, M.Si dan Bapak Ach. Nashihuddin, M. A yang telah bersedia
meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selama
penulisan skripsi.
5. Segenap dosen pengajar atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis.
6. Bapak dan Ibu tercinta, Mbak Farida, Mas Agus, Mas Imam, Mbak Eka dan
Adek Fauzi tersayang yang senantiasa memberikan do’a dan dukungan moril
serta materil kepada penulis.
![Page 7: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/7.jpg)
7
7. Mas Kokok Imam Wahyudi W., yang telah sabar menemani, memberikan
dukungan dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini
dengan lancar.
8. Lilik Rohmawati yang telah memberikan semangat dan dorangan kepada
penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
9. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 beserta semua pihak yang
telah membantu penyelesaian skripsi ini.
Dalam penyusunan skripsi ini tentunya masih terdapat banyak kesalahan dan
kekurangan, sehingga penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan
skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Malang, 09 Desember 2007
Penulis
![Page 8: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/8.jpg)
8
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................ i
KATA PENGANTAR.................................................................................... ii
DAFTAR ISI .................................................................................................. iv
DAFTAR LAMBANG ................................................................................... v
ABSTRAK...................................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ............................................................................... 11.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 41.3 Batasan Masalah............................................................................. 41.4 Tujuan Penulisan ............................................................................ 41.5 Manfaat Penulisan .......................................................................... 41.6 Metode Penelitian........................................................................... 51.7 Sistematika Penulisan ..................................................................... 6
BAB II KAJIAN TEORI
2.1 Penelitian Pendahuluan................................................................... 72.2 Distribusi Normal ........................................................................... 72.3 Distribusi Gamma........................................................................... 112.4 Konvergen dan Hukum Bilangan Besar .......................................... 152.5 Sifat-Sifat Penduga (Estimator) Parameter Populasi........................ 292.6 Pendugaan UMVUE....................................................................... 332.7 Fungsi Likelihood Parametrik dan Empiris ..................................... 362.8 Kajian Agama................................................................................. 41
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Penentuan Model Distribusi Semi-Parametrikdengan Menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris(MRLSE)....................................................................................... 46
3.2 Penentuan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrikdengan Menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris(MRLSE)........................................................................................ 50
3.3 Keterkaitan antara Hasil Penelitian dengan Kajian Agama.............. 63
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan .................................................................................... 664.2 Saran .............................................................................................. 68
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 69
![Page 9: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/9.jpg)
9
DAFTAR LAMBANG
Lambang Matematika
Simbol/Singkatan Nama/Keterangan
< Lebih Kecil Daripada
> Lebih Besar Daripada
~ Tersebar
Anggota Dari (termasuk dalam)
Tak Berhingga
Untuk Perkalian
Untuk Penjumlahan
Lebih Kecil atau Sama Dengan
Lebih Besar atau Sama Dengan
Untuk Setiap
Abjad Yunani
Simbol/Singkatan Nama/Keterangan
Mu
* Fungsi Gamma
Theta
Lambda
Penduga dari Parameter
![Page 10: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Xi
Sigma (Simpangan Baku)
2 Sigma Kuadrat (Ragam)
Chi
Distribusi Gamma
G Gamma
Pi
2 Chi Kuadrat
E e Epsilon
N Normal
Z Normal Baku
O Omicron
Psi
Phi
Alpha
Beta
Eta
![Page 11: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Lambang Khusus
Simbol/Singkatan Nama/Keterangan
YX nXX ,,1 Peubah Acak
xf X Fungsi Kepekatan
eE Expectation
N Normal Baku
Z p.a Normal ‘Baku’
xFxF ZX Fungsi Distribusi Normal
A Himpunan A
p.a Peubah Acak
pdf Peubah Distributif
nX xxf ,,1 Fungsi Padat Peluang
fpm = f.p.m fungsi kepadatan Momen
X Mean Sampel
nkk ,,1 Konstanta
AXG ,, Distribusi Gamma
fkp Fungsi Kepadatan Peluang
wF Fungsi Sebaran W
wf Fungsi Kepekatan Acak W
nX Barisan Peubah Acak
Parameter
![Page 12: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/12.jpg)
12
sa. Konvergen Hampir Pasti (Converges almost surely)
r Konvergen ke r-mean
Menuju
qm Konvergen ke Mean Kuadratik (quadratic mean)
p Konvrgen ke Peluang
d Konvergen ke Distribusi
K Bilangan positif
Kn Bilangan positif
jm
in
yyyyy
xxxxx
,,,,
,,,,
321
321
Nilai-Nilai Pengukuran Dari Dua Sampel Randomyang Saling Bebas
nxxxx ,,,, 321 Berdistribusi Identik dari xF yang tidak diketahui(Distribusi Nonparametrik)
myyyy ,,,, 321 Berdistribusi Identik dari yG yang diketahui(Distribusi Parametrik)
Asumsikan jm
jyg
1 pdf (Peubah Distribusi) dari yG
LSEFungsi Likelihood Semi-Empiris
i
n
ipFL
1
Fungsi Likelihood Empiris dari Distribusi
![Page 13: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/13.jpg)
13
ABSTRAK
Fatimatuzzahroh. 2007. Penentuan Model dan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik Dengan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE).Pembimbing: (I) Sri Harini, M.Si; (II) Ach. Nashihuddin, M.A
Kata Kunci: Model Semi-Parametrik, Rasio Likelihood Semi-Parametrik.
Inferensia dalam persoalan model semi-parametrik merupakan salah satubentuk inferensi statistik yang berguna untuk mengatasi beberapa persoalaninferensi yang terkait dengan kombinasi dari beberapa distribusi, dimana bentukdistribusi yang satu merupakan distribusi parametrik, sedang yang lain merupakandistribusi nonparametrik. Untuk melakukan inferensi, misal penentuan model danstatistik uji distribusi semi-parametrik, yang dapat digunakan metode rasiolikelihood semi-empiris (MRLSE), yakni suatu metode yang dibangun atas dasarkombinasi dari fungsi likelihood distribusi parametrik dan fungsi likelihooddistribusi non parametrik. Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan model danstatistik uji dari distribusi semi-parametrik, yakni dengan memaksimumkan fungsirasio likelihood semi-parametrik:
ni
yg
ygpn
R
j
m
j
j
m
j
n
ii
pi
,,2,1,sup,
1ˆ
11
,
Dengan kendala:
0,,,1,011
n
iii
n
iii xppp , dimana 00
,, xGIx xxi i
dan 00 xGxF . Dari penelitian diperoleh bahwa model dan statistik ujidistribusi semi-parametrik dengan metode rasio likelihood semi-empiris(MRLSE) konvergen ke distribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas sama dengansatu.
![Page 14: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/14.jpg)
14
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Allah SWT berfirman dalam QS Al-Mujaadilah, 58:11 yang berbunyi:
Artinya: “. . . Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramudan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat . . .”(QS. Al-Mujaadilah (58):11)
Ilmu merupakan sarana mempertebal keimanan kepada Sang Pencipta
sehingga kita dapat merasakan karunia atau nikmat dalam mempelajarinya.
Karena ilmu disini sebagai sarana, Allah SWT telah menciptakan ilmu dimuka
bumi ini dalam berbagai bentuk, termasuk didalamnya adalah matematika.
Matematika tidak lain adalah ciptaan Allah SWT yang ditemukan oleh
manusia. Tidak ada yang sia-sia (bathil) pada ciptaan Allah SWT, termasuk
matematika. Matematika diciptakan untuk memenuhi kebutuhan manusia dalam
menjalani kehidupan dunia, mengenal kekuatan Allah SWT, dan mencapai ridho
Allah SWT (mardhatillah). Oleh sebab itu, sudah saatnya matematika
dikembalikan kepada fitrah penciptaannya, yaitu mencapai ridha Allah SWT.
(Abdusysyakir, 2007: v-vi)
![Page 15: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Bentuk lain dari matematika adalah statistika, yang merupakan bentuk lain
juga dari ilmu yang diturunkan oleh Allah SWT kepada manusia. Di sinilah
manusia diharapkan mampu menggunakannya dengan baik dan sesuai dengan
kebutuhan, agar dapat menemukan kebesaran Allah SWT di dalamnya.
Dalam kehidupan sehari-hari salah satu persoalan yang sering timbul
adalah membandingkan dua perlakuan yang berbeda, atau satu perlakuan dengan
perlakuan yang lain sebagai kontrol. Jika pengamatan hanya memuat dua kategori
sukses dan gagal, maka persoalan tersebut berkaitan dengan persoalan distribusi
binomial. Dalam beberapa kasus, walaupun salah satu distribusi yang
mendasarinya tidak diketahui, sedang distribusi yang lainnya diketahui, maka
masih dimungkinkan untuk membandingkan dua perlakuan tersebut.
Dalam melakukan inferensi terhadap dua perlakuan tersebut, jika
diasumsikan bahwa distribusi xF tidak diketahui, sedang distribusi yG
diketahui, maka salah satu inferensi yang menarik untuk dikaji adalah uji hipotesis
dua distribusi tersebut, karena kedua distribusi tersebut berlainan, dalam arti yang
satu diketahui dan yang lain tidak diketahui, inferensi tidak mungkin dilakukan
dengan inferensi parametrik maupun nonparametrik, melainkan dengan inferensi
yang lain, yakni inferensi model semi-parametrik. Dalam inferensi statistik dua
persoalan yang penting adalah pendugaan parameter dan uji hipotesis. Kedua
inferensi ini satu terhadap yang lain adalah saling terkait dan merupakan satu
bagian yang tidak dapat dipisahkan. Dalam teori pendugaan, dikatakan bahwa
merupakan pendugaan (estimator) dari . Untuk mendapatkan penduga tersebut
banyak metode yang digunakan, salah satu di antaranya adalah metode maximum
![Page 16: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/16.jpg)
16
likelihood. Metode ini pertama kali dipergunakan untuk persoalan pendugaan
pada distribusi parametrik, dan metode ini merupakan suatu metode yang berguna
untuk mendapatkan penduga Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator
(UMVUE). (Qin, 1997)
Dalam penerapannya, khususnya dalam uji hipotesis berbentuk komposit
metode maximum likelihood atau tepatnya metode uji rasio likelihood (MRL) ini
dapat digunakan untuk mendapatkan suatu kriteria daerah kritis dari suatu uji.
Dalam pengembangan lebih lanjut, metode likelihood ini juga dapat diterapkan
pada persoalan-persoalan nonparametrik, salah satu di antaranya adalah metode
rasio likelihood empiris. Metode ini merupakan metode non parametrik dimana
fungsi distribusinya tergantung pada hasil observasi. Seperti halnya pada
persoalan pengujian hipotesis untuk distribusi parametrik diatas, dalam persoalan
untuk distribusi non parametrik metode MRL ini dapat dipandang sebagai metode
rasio likelihood empiris (MRLE).
Dari uraian mengenai metode MRL dan MRLE di atas, maka metode
tersebut dapat dikembangkan pada persoalan semi-parametrik, yaitu suatu metode
kombinasi dari dua distribusi dimana distribusi yang satu merupakan distribusi
parametrik sedang distribusi yang lain adalah nonparametrik. (Sediono, 2001:5)
Berdasarkan uraian di atas, maka untuk mendapatkan model dan statistik
uji distribusi semi-parametrik adalah dengan menurunkan metode rasio likelihood
semi-empiris (MRLSE).
![Page 17: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/17.jpg)
17
1.2 Rumusan masalah
1. Bagaimanakah cara mendapatkan model distribusi semi-parametrik
dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).
2. Bagaimanakah cara mendapatkan statistik uji distribusi semi-paramerik
dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).
1.3 Batasan Masalah
Perluasan masalah dalam pembahasan ini perlu dihindari dengan
pemberian batasan. Pada pembahasan ini akan dibatasi pada analisis distribusi
parametrik dan distribusi nonparametrik (distribusi semi-parametrik) dengan
mengunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).
1.4 Tujuan Penulisan
1. Menjelaskan cara mendapatkan model distribusi semi-parametrik dengan
menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).
2. Menjelaskan cara mendapatkan statistik uji distribusi semi-paramerik
dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).
1.5 Manfaat Penulisan
Dengan mempelajari distribusi semi-parametrik dengan menggunakan
metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE), kita dapat mengetahui model dan
statistik uji dari distribusi semi-parametrik tersebut.
![Page 18: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/18.jpg)
18
1.6 Metode Penelitian
Pada penelitian ini, pendekatan penelitian yang digunakan adalah
menggunakan penelitian kepustakaan (library research). Studi kepustakaan
merupakan penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil
kajian literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau
topik kajian. Studi kepustakaan berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat
beberapa gagasan dan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data
yang diperoleh dari sumber kepustakaan. Sumber kajian pustaka dapat berupa
jurnal penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, atau diskusi-diskusi
ilmiah. Bahan-bahan pustaka tersebut harus dibahas secara mendalam sehingga
mendukung gagasan dan atau proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan
saran.
Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah data yang bersifat tekstual
meliputi distribusi parametrik, distribusi nonparametrik, dan pembahasan
keduanya dalam Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE). Dalam
memahami data-data yang berupa teks dalam buku-buku literatur diperlukan suatu
analisis. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode
deduksi, yaitu cara berpikir yang berangkat dari hal-hal umum menuju kesimpulan
yang khusus.
![Page 19: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/19.jpg)
19
1.7 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan adalah yang digunakan dalam penulisan skripsi ini
adalah:
BAB I Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pendahululan yang terdiri
dari latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah,
tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika pembahasan.
BAB II Penulis mengkaji tentang teori-teori yang ada kaitannya dengan hal-
hal penulis bahas diantaranya adalah: penelitian pendahuluan,
distribusi normal, distribusi gamma, konvergen dan hukum bilangan
besar, sifat-sifat penduga (estimator) parameter populasi, penentuan
UMVUE, fungsi likelihood parametrik dan empiris, dan kajian
agama.
BAB III Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pembahasan yang terdiri
dari fungsi likelihood semi-parametrik dan penerapan metode
MRLSE.
BAB IV Penulis mengkaji tentang kesimpulan dan saran yang penulis peroleh
dalam melakukan penulisan karya ilmiah.
![Page 20: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/20.jpg)
20
BAB II
KAJIAN TEORI
2.1 Penelitian Pendahuluan
Pada penelitian sebelumnya, metode rasio likelihood semi-empiris
(MRLSE) dinyatakan dengan nama metode Maximum Semi-Empirical Likelihood
Ratio (MSELR) digunakan oleh Sediono, 2001. Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Airlangga. Jurnal tersebut
berjudul: “Konstruksi Statistik Uji Untuk Kesamaan Nilai tengah Dua Sampel
Pada Model Semi Parametrik”. Dimana dalam jurnal tersebut peneliti membentuk
model hipotesis untuk kesamaan nilai tengah dua sampel pada model semi-
parametrik, membentuk fungsi likelihood dari masing-masing sampel,
membentuk fungsi rasio likelihood semi empiris dari model semi-parametrik,
menentukan penduga dari parameter-parameter model semi-parametrik, dan
kemudian mengkonstruksi statistik uji untuk kesamaan nilai tengah dua sampel
semi-parametrik.
2.2 Distribusi Normal
Definisi 2.2.1
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal dengan nilai tengah
dan ragam 022 , jika peubah tersebut mempunyai
fungsi kepekatan
![Page 21: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/21.jpg)
21
xexfx
X ;2
12
2
1
2
Luas daerah di bawah kurva normal, yaitu:
;2
12
2
1
2
x x
X dxexf
Fungsi tersebut disebut fungsi kepekatan normal dengan 71828,2e dan
14159,3 . Jika peubah acak X tersebar secara normal dengan nilai tengah
dan ragam 2 . Maka untuk kepekatan X dinyatakan dengan 2,~ NIDX
atau 2,~ NX . (Yitnosumarto, 1990: 160-161)
Teorema 2.2.1
Jika 2,~ NX , maka 1,0~ NX
. Yakni, bila X suatu p.a. normal
dengan dan 2 , maka dengan menguranginya dengan kemudian
membaginya dengan , kita dapat mentransformasikan peubah acak ini ke p.a.
normal ‘baku’ yang sering dinyatakan dengan Z.
Bukti: Dengan perhitungan langsung,
x x
X
Z
X
dxe
xF
xXP
xXP
xX
PxF
xZPxF
2
2
1
2
1
![Page 22: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Dengan mengganti
x
z , diperoleh
xz
Z dzexF2
2
1
2
1
. Ini
menunjukkan bahwa 1,0~ NZ (Terbukti). (Dudewicz, 1995: 166)
Definisi 2.2.2
Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi identik jika untuk setiap himpunan A,
berlaku AYPAXP .
Dari definisi 2.1.3 diatas dapat dijelaskan bahwa dua peubah acak adalah
berdistribusi identik yang tak perlu sama. (Casella dan Berger, 1990: 33)
Definisi 2.2.3
Misal nXX ,,1 merupakan peubah acak yang berhubungan dengan pdf
nX xxf ,,1 . Misalkan iX xfi
merupakan bagian umum dari pdf dari iX , maka
nXX ,,1 merupakan peubah acak yang saling independen satu sama lainnya jika
untuk setiap nxx ,,1
iX
n
inXXnX xfxfxfxxf
in 111 1
,, .
Jika siX semua satu ukuran, maka nXX ,,1 merupakan peubah acak yang
saling independen satu sama lainnya. (Casella dan Berger, 1990: 174)
![Page 23: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Teorema 2.2.2
Jika 2,~ NX , maka fkp nya adalah
22
2
1exp zzz
Bukti:
dx
zxK
dxxzxx
dxeeeEzx
xzxz
2
222
2
222
2
1
2exp
2
1
2
22exp
2
1
2
12
Dengan
2
222
2exp
z
K
Integral di ruas kiri berharga 1, sebab integralnya merupakan fkp dari peubah
yang berdistribusi 22 , zN . Oleh karena itu
22
2
222
2
1exp
2exp
zt
zt
(Terbukti). (Djauhari, 1998: 201-202)
Teorema 2.2.3
Jika nXXX ,, 21 peubah-peubah acak bebas stokastik dengan
njNX jjj ,,2,1,,~ 2 jika nkkk ,, 21 konstanta-konstanta, maka
![Page 24: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/24.jpg)
24
2
1
,~ NXkYn
jjj
Dengan
n
jjjk
1
dan
n
jjjk
1
222 .
Bukti:
Karena nXXX ,, 21 saling bebas stokastik, maka fpm Y adalah:
22
222
1
1
2
1exp
2
1exp
exp
tt
tktk
xktEeEt
jjjj
n
j
n
jjj
tY
Dengan
n
jjjk
1
dan
n
jjjk
1
222 . Terbukti bahwa 2,~ NY .
Berdasarkan teorema 2.2.3, kita peroleh akibat berikut.
Akibat. Jika nXXX ,, 21 sampel acak dari 2,~ NX maka nilai tengah
sampel
n
NX2
,~
. (Djauhari, 1998: 243)
2.3 Distribusi Gamma
Definisi 2.3.1
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi Gamma yang dinotasikan sebagai
AXG ,, , jika untuk beberapa A,0,1 fungsi kepekatan
probabilitasnya adalah:
![Page 25: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/25.jpg)
25
xAeAXxfAX
X ,1
11
.
(Dudewicz, 1995: 162)
Definisi 2.3.2
Jika suatu peubah acak X mempunyai kepadatan yang diberikan oleh
,,; ,01 xIex
rrxf xr
X
Dimana 0r dan 0 , maka X didefinisikan sebagai distribusi gamma. *
adalah fungsi gamma.
Jika dalam persamaan diatas diambil 1r , maka akan diperoleh substitusi
eksponensial. (Mood, 1974: 112)
Definisi 2.3.3 (Model Distribusi Eksponensial)
Jika
1
,1~ GX maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter
1
. Dalam hal ini, fkp X adalah
0;0
0;
x
xexf
x
(Djauhari, 1998: 194-195)
![Page 26: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Teorema 2.3.1
Jika X suatu distribusi gamma dengan parameter r dan , maka
r
X , 2
varr
X dan r
x ttm
untuk t
Bukti:
1
1
0
1
0
'
rrX
rxtr
rr
xrxtr
XtX
trtm
tdxex
r
t
t
dxexer
etm
Dan
21'' rrX trrtm
Karena
r
mX 0'
Dan
2
2
2
2
22
1
0''
var
r
rrr
rm
XXX
X
(Mood, 1974: 112-113)
![Page 27: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Teorema 2.3.2 (Distribusi Chi-Kuadrat)
Misalkan r suatu bilangan asli. Jika
2,
2~
rGX maka X dikatakan berdistribusi
Chi-Kuadrat dengan derajat bebas r. Disingkat rX 2~ . Jelas fkp X adalah
0;0
0;
22
12
11
2
2
x
xexrxf
xr
r
X
Sedangkan fpm nya,
2
1;21 2 ttt
r
Jadi, nilai tengah dan ragamnya,
rdanr 22
(Djauhari, 1998: 195)
Teorema 2.3.3
Suatu peubah acak yang menyebar secara Chi-kuadrat dapat diturunkan dari suatu
peubah acak yang menyebar secara normal baku atau normal sebagai berikut:
Apabila X menyebar secara normal dengan nilai tengah dan ragam 2 , maka
2
22
X
Z menyebar secara Chi-Kuadrat dengan derajat bebas 1v .
Untuk membuktikan dalil ini misalkan, bahwa W = Z2 maka fungsi sebaran W
ialah:
,2 dzzfwZwPwZPwFw
w
![Page 28: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/28.jpg)
28
0,0
0,2
12 2
0
2
w
wdzewF
zw
Jika diadakan tranformasi peubah yz sehinggay
dydz
2 maka:
0,0
0,2
1 2
0
w
wdyeywF
yw
Oleh karena itu, fungsi kepekatan peubah acak W ialah:
wwwFwfw
0,2
1 21
2
1'
Dimana fungsi kepekatan probabilitas ini merupakan fungsi kepekatan probalilitas
dari fungsi 21 (Terbukti). (Nasution dan Rambe, 1984:154-155)
2.4 Konvergen dan Hukum Bilangan Besar
Misal ,2,,1, nX n mempunyai barisan peubah acak dan X merupakan
peubah acak yang terdefinisi pada ruang parameter yang sama . Selanjutnya
akan diberikan beberapa konsep yang berkait dengan konvergensi suatu peubah
acak nX sebagai berikut:
Definisi 2.4.1
Barisan nX dinamakan konvergen hampir pasti ke X yang dinyatakan sebagai
XX asn jika untuk setiap
1lim,0
XXP nn
.
![Page 29: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Konvergensi hampir pasti dalam definisi 2.4.1 di atas kadang-kadang dinamakan
sebagai konvergen kuat atau konvergen dengan probabilitas satu. (Ferguson,
1996: 4)
Definisi 2.4.2
Barisan nX dikatakan konvergen ke X ke r – nilai tengah, r > 0 yang
dinyatakan sebagai XX rn jika 0 r
n XXE untuk n
Konvegensi dalam r – nilai tengah untuk r = 2 sering dinamakan konvergen
dalam nilai tengah kuadratik dan dinyatakan sebagai XX qmn . (Ferguson,
1996: 4)
Definisi 2.4.3
Barisan nX konvergen ke X ke peluang XX Pn jika untuk setiap 0 .
0lim
XXP nn
Konvergensi dalam probabilitas ini sering dinamakan konvergen stokastik atau
konvergen lemah. (Dudewics, 1988: 354)
Definisi 2.4.4
Barisan nX dinamakan konvergen ke distribusi ke X yang dinyatakan sebagai
XX dn . Jika xFxF X
dX n
untuk n untuk semua x yang mana
xFX kontinu.
![Page 30: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Konvergensi dalam distribusi ini kadang-kadang sering dinamakan konvergen
lengkap. (Ferguson, 1966: 1)
Dari definisi konvergensi diatas dapat dikemukakan bahwa hubungan
konvergensi satu terhadap yang lain (Fergusan, 1966: 4), adalah sebagai berikut:
a) Jika suatu barisan konvergen hampir pasti, maka barisan tersebut juga
konvergen dalam probabilitas ( XXXX Pn
san . ).
b) Jika suatu barisan dalam r – nilai tengah untuk r > 0 maka barisan tersebut
juga akan konvergen dalam probabilitas ( XX rn untuk
0r XX Pn ).
c) Jika suatu barisan konvergen dalam probabilitas maka barisan tersebut juga
akan konvergen dalam distribusi ( XXXX dn
Pn )
Definisi 2.4.5
Barisan na dan nb dikatakan nn bOa jika terdapat suatu bilangan positif K
dan bilangan positif n(K) sehingga
KnnKb
a
n
n ,
Dalam hal khusus 1Oan berarti bahwa Kan dan untuk cukup besar
na adalah terbatas. (Sen dan Singer, 1993: 36)
![Page 31: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Definisi 2.4.6
Barisan na dan nb dikatakan nn boa jika untuk setiap 0 dan bilangan
bulat positif n sehingga
nnb
a
n
n ,
Dalam hal khusus 1oan berarti bahwa 0na untuk n . (Sen dan
Singer, 1993: 36)
Definisi 2.4.7
Jika untuk setiap 0 dari peubah acak nX terdapat suatu konstanta positif
K dan a bilangan bulat positif n sehingga
nnKXP n ,1
Maka dikatakan bahwa npn XdanOX 1 dinamakan terbatas dalam
probabilitas. (Sen dan Singer, 1993: 36)
Definisi 2.4.8
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX dan barisan nb (mungkin
peubah acak) terdapat suatu bilangan bulat positif ,n sehingga
nnKb
XP
n
n
,1
Maka dikatakan bahwa npn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 36)
![Page 32: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Definisi 2.4.9
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX terdapat suatu bilangan
bulat positif ,n sehingga
,, nnXp n
Maka dikatakan bahwa 1pn oX . (Sen dan Singer, 1993: 37)
Definisi 2.4.10
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX dan barisan nb (mungkin
peubah acak) terdapat suatu bilangan bulat positif ,n sehingga
,, nnb
XP
n
n
Maka dikatakan bahwa npn boX dan npnnpn coXcOb . (Sen dan
Singer, 1993: 37)
Definisi 2.4.11
Jika untuk setiap 0 dari peubah acak nX terdapat suatu konstanta positif
K dan a bilangan bulat positif n sehingga
nnKXP n ,1
Dari bentuk diatas diperoleh
nnnNbeberapauntukKXP N ,
akan dikatakan bahwa 1OX n . (Sen dan Singer, 1993: 37)
![Page 33: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Definisi 2.4.12
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX terdapat suatu bilangan
bulat positif ,n sehingga
nnKb
aP
n
n
,1
Dari bentuk diatas diperoleh
nnnNbeberapauntukKb
XP
N
N
,
maka dikatakan bahwa nn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 37)
Definisi 2.4.13
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX terdapat suatu bilangan
bulat positif ,n sehingga
,, nnXp n
Dari bentuk diatas diperoleh
,, nnnNbeberapauntukXP N
maka dikatakan bahwa 1OX n . (Sen dan Singer, 1993: 38)
Definisi 2.4.14
Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX terdapat suatu bilangan
bulat positif ,n sehingga
![Page 34: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/34.jpg)
34
,, nnb
XP
N
N
Dari bentuk diatas diperoleh
,, nnnNbeberapauntukb
XP
N
N
maka dikatakan bahwa nn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 38)
Teorema 2.4.1
Misalkan nXX ,,1 p.a. yang berdistribusi identik dan bebas dan misalkan
nn XaXaY 11 . Maka f.p.m. dari Y adalah
n
iiXnXX
tXatXatXatXa
tXatXaXaXattYY
tatata
eEeEeeE
eEeEeEt
n
nnnn
nnnn
11 .
11
1111
1111
Bila juga berlaku naa 1 , maka
.11
nXY tat
(Dudewicz, 1988: 313)
Definisi 2.4.15
Fungsi pembangkit-momen dari suatu p.a. X didefenisikan untuk setiap bilangan
real t sebagai iXX Eet .
[Jadi, f.p.m. ialah suatu fungsi dari suatu peubah real t. Tentunya fungsi itu hanya
didefenisikan untuk nilai t sehingga tXEe ada. Ingat bahwa sebelumnya kita telah
![Page 35: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/35.jpg)
35
bicarakan mengenai nilai harapan dari fungsi peubah acak, XEg . Disini
tXeXg ]. (Dudewicz, 1988: 300)
Teorema 2.4.2
Bila f.p.m. tX dari p.a. X ada untuk Tt (untuk suatu T > 0), maka nEX ada
(untuk ,3,2,1n ) dan tX dapat diuraikan dalam lingkungan 0t sebagai
berikut
kkk
X totk
EXt
EXt
EXt
!!2!11 2
2
,
dengan
0lim
0
k
k
t t
to
(Dudewicz, 1988: 309)
Akibat 2.4.1
Suatu p.a. cX pn (suatu tetapan) jika f.d. dari FFX nn , dengan
0xF untuk cx dan 1xF untuk cx ; ini terjadi jika ctX et
untuk semua t. (Dudewicz, 1988: 366)
Teorema 2.4.3 (Teorema Khinchin)
Jika ...,, 21 XX p.a bebas yang berdistribusi identik dan 1EX ada ( 1EX = a,
misalnya), maka an
XX pn 1
![Page 36: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Bukti:
ttn
X
n
X
n
XX nn
11
n
n
X t
1 , menurut Teorema 2.4.1
n
X n
t
1 , menurut Definisi 2.4.15
n
n
to
n
tEX
!11 1 , menurut Teorema 2.4.2
n
n
n
tnoat
2
1
tae , jika n
Buktinya selesai berdasarkan Akibat 2.4.1. Perhatikan bahwa kita tidak
menggunakan hasil yang terkenal
an
ne
n
a
1lim ,
tetapi malahan rapatannya yang sedikit
nn
an
n
ne
n
a
lim1lim .
(Dudewicz, 1988: 367)
![Page 37: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Teorema 2.4.4 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan ...,, 21 XX p.a bebas yang berdistribusi identik dengan 1EX dan
021 XVar (keduanya berhingga). Maka (untuk semua zz, )
jika n ,
z yn dyez
n
XXP
2
2
11
2
1
.
Bukti:
Menggunakan Teorema Khinchin, diperoleh:
ttn
X
n
X
n
XX nn
11
n
n
X t
1
, menurut Teorema 2.4.1
n
Xn
t
1
, menurut Definisi 2.4.15
n
n
to
n
tXE
n
tXE
2
2
2
211
!2!11
, menurut Teorema 2.4.2
n
n
to
n
t
2
22
2
11
n
n
n
tnot
2
22
2
1
1
2
2
1t
e , jika n
![Page 38: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Teorema Limit Pusat (TLP) juga disebut sebagai Teorema Lindberg-Levy.
Teorema ini dapat pula diungkapkan sebagai
1,0NXn d
(Dudewicz, 1988: 374-375)
Konsepsi konvergen diatas, jika dikaitkan dengan hukum bilangan besar,
maka akan diperoleh konsep lain yang sangat berguna dalam penurunan statistik
uji untuk distribusi asimtotis. Hukum bilangan besar merupakan suatu notasi yang
menyatakan bahwa nilai tengah sampel dari suatu distribusi konvergen ke suatu
nilai tengah dari suatu distribusi populasi. Apabila konvergensinya adalah
konvergen dalam probabilitas, maka hal ini dikenal sebagai hukum lemah dari
bilangan besar (Weak laws of large numbers) dan disingkat dengan WWLN.
Sedangkan bilangan konvergensinya adalah konvergen hampir pasti maka hal ini
dikenal sebagai hukum kuat dari bilangan besar (Strong Laws Of Large Numbers)
dan disingkat SLLN. (Rao, 1973: 112)
Teorema 2.4.5 Hukum Bilangan Besar
1. Hukum Lemah dari Bilangan Besar
Misal X1,...,Xn peubah acak bebas dan identik sehingga
n
iinii X
nXdanXdanXE
1
2 1var
![Page 39: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Maka,
1lim,0
nn
XP
Yakni
PnX .
Bukti:
Dalam pembuktiannya bisa menggunakan Pertidaksamaan Chebychev.
2
2
22
2
22lim,0
n
XVarXEXPXP n
nnn
Karena,
njikan
XPXP nnn
,11
1lim2
2
(Terbukti)
(Casella dan Berger, 1990: 214)
2. Hukum Lemah dari Bilangan Besar
Misal X1,...,Xn peubah acak sehingga
n
iinii X
nXdanXdanXE
1
2 1var
Maka, 1lim,0
XXP nn
yakni .asnX . (Casella dan Berger, 1990: 216)
![Page 40: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Dengan memperhatikan konsep hukum bilangan besar, untuk
menunjukkan adanya limit distribusi dari suatu variabel random X, terdapat
konsep lain yang juga penting yakni konsep hukum iterasi logaritma. Jika
X1,...,Xn suatu variabel random bebas dan identik sedemikian hingga 1XE
dan 21var x berhingga, nnnh loglog2 2 maka 1suplim
nh
Sn
atau dapat dinyatakan dalam bentuk lain yakni bahwa untuk setiap
11,0 nhSP n , dengan nS menyatakan junlahan parsial dari X1,...,Xn
(Rao, 1973: 129-130).
Lemma 2.4.1
1. (Teorema Kolmogorov) Jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik
sedemikian hingga 22nnXE dan nb ,
12
2
n
n
b
, maka
0.. sa
n
n
b
S
Sebagai contoh, jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik sedemikian
hingga 211 ,0 XVXE , maka 0
log.. san
nn
S. (Rao, 1973:
129)
![Page 41: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/41.jpg)
41
2. (Hukum Iterasi Logaritma) Jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik
sedemikian hingga 01 XE dan 21 XV selanjutnya misal,
21
loglog2 nnnh maka
..1suplim sanh
Sn
..1inflim sanh
Sn
atau dapat dinyatakan dalam bentuk lain yakni bahwa untuk setiap ,0
,11 terbatastidakseringkalinhSP n
,01 terbatastidakseringkalinhSP n
Dari hukum iterasi logaritma untuk setiap k, maka ditulis
1 terbatastidakseringkalinkSP n
Sehingga, nknh 1 untuk cukup besar n. Dengan nS menyatakan
jumlahan parsial dari X1,...,Xn. (Rao, 1973: 129-130)
3. Jika X1,...,Xn peubah acak bebas dan identik sehingga
.0 2 ii XVdanXE
Lebih lanjut, misalkan 221
2nnS , jika 2
nS ,
n
n
n
n
S
So
S
X
loglog
2
dan 21
2loglog2 nn St .
![Page 42: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Maka
..1suplim sast
S
nn
n
..1inflim sast
S
nn
n
(Rao, 1973: 130)
Bukti:
Misal nn
n
ijjn S
nDmakaX
nD
11
berdasarkan hukum iterasi logaritma
maka untuk setiap
2,1111,0
KKt
SpataunhSp
n
nn
dan menurut definisi 2.3.12 Sn dapat dinyatakan sebagai
nuntuk (Terbukti).
2.5 Sifat-sifat Penduga (Estimator) Parameter Populasi
Untuk mendapatkan statistik uji dalam inferensi tentunya tidak terlepasnya
adanya sifat-sifat penduga terhadap parameter dari suatu populasi. Adapun sifat-
sifat penduga terhadap suatu parameter dari suatu populasi. Adapun sifat-sifat
penduga dalam inferensi tersebut (Nasution dan Rambe, 1984: 203-205), antara
lain:
,loglogloglog11 2
1
nnO
nODatautO
nDsehinggatOS n
nnnnn
![Page 43: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/43.jpg)
43
2.5.1 Tak Bias (Unbiased)
Setiap fungsi peubah acak yang diamati merupakan penduga tanpa bias
dari parameter , kalau nilai harapannya sama dengan parameter tersebut. Jadi,
apabila nXXt ,,1 atau dengan catatan vektor, 'Xt , merupakan fungsi atau
statistik yang menjadi penduga tak bias dari , haruslah
'xtE
Jika 'xtE tidak terpenuhi, maka 'Xt dikatakan sebagai penduga yang
terbias dari , dan besarnya bias ini, ,tB , sama dengan 'xtE . Jika
'Xt pendugan tak bias dari , maka 2' xtE sama dengan ragam 'Xt .
Tetapi jika 'Xt penduga berbias, maka nilai harapan ini disebut kuadrat-tengah
galat dari penduga 'xt disebut juga sebagai galat pendugaan.
2.5.2 Konsisten
Apabila n
merupakan penduga dari parameter yang ditentukan
berdasarkan sampel berukuran n, maka n
disebut penduga yang konsisten,
apabila n
konvergen dalam peluang ke untuk atau
0lim0
n
nP
Dari persamaan tersebut secara umum
n suatu barisan penduga adalah
konsisten:
![Page 44: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/44.jpg)
44
a. Lemah, jika 0
pn dan dinyatakan dengan Op (1) untuk n .
b. Kuat, jika 0.
san dan dinyatakan dengan dengan O(1) untuk
n .
Kekonsistenan ini pada dasarnya adalah sifat sampel berukuran besar dan
berlaku untuk suatu sekuens penduga. Kekonvergenan dalam peluang dan kaidah
bilangan besar yang telah dikemukakan diatas berguna untuk menilai sifat-sifat
kekonsistenan suatu penduga tersebut.
2.5.3 Efisien
Suatu penduga n
dari yang ditentukan berdasarkan sampel acak berukuran
n dikatakan efisien, jika dua buah syarat berikut dipenuhi:
a. Untuk n nilai 20 ,0~ Nn n
b. Ragam 2 ini lebih kecil dari ragam setiap penduga lainnya.
Akibat syarat pertama mengenai 00
nnE , haruslah juga n
merupakan penduga tak bias. Syarat pertama ini berhubungan dengan limit pusat.
2.5.4 Ragam Minimum
Apabila untuk suatu parameter terdapat lebih dari satu macam penduga tak
bias, maka penduga yang dipilih sebagai penduga yang lebih baik atau yang
terbaik ialah yang memiliki ragam sekecil-kecilnya. Hal ini disebabkan karena
ragam penduga tersebut adalah ukuran penyebaran penduga di sekitar nilai tengah
![Page 45: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/45.jpg)
45
populasi. Jika misalnya n
merupakan penduga tak bias dari maka sesuai
dengan ketidaksamaan Chebyshev
0,12
2
P
Dengan demikian, bertambah kecil 2 akan bertambah besar pula batas bawah
peluang memperoleh di dalam selang , .
Suatu penduga tak bias yang memiliki ragam terkecil diantara semua
penduga tanpa bias lainnya, dan sifat-sifat ragam terkecil ini berlaku untuk semua
kemungkinan nilai-nilai parameter dinamakan Penduga Tak Bias dengan Ragam
Terkecil Seragam (Uniformaly Minimum Ragamce Unbiased Estimator) yang
selanjutnya disingkat sebagai UMVUE.
Dari sifat-sifat diatas, khususnya persoalan penentuan nilai UMVUE
adalah suatu hal yang sangat penting dalam inferensi. Terdapat dua cara dalam
menentukan UMVUE. Cara pertama adalah dengan menggunakan pengertian
statistik cukup lengkap yang diperkenalkan oleh R. A. Fisher, dan cara kedua
dengan mengunakan ketidaksamaan Cramer-Rao. Cara kedua ini baru diterapkan
apabila dengan cara yang pertama, yakni dengan konsep statistik cukup lengkap
UMVUE tidak ada atau tidak mudah didapatkan.
![Page 46: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/46.jpg)
46
2.6 Penentuan UMVUE.
2.6.1 Statistik Cukup Lengkap
Definisi 2.6.1
Misalkan X1,...,Xn peubah acak dari suatu populasi dengan parameter , maka
suatu fungsi 'xt adalah statistik cukup untuk parameter , jika fungsi peluang
(kepekatan) bersyarat ',,1 xtXX n tidak bergantung kepada (bebas dari)
parameter .
Dari definisi 2.6.1 diatas dapat dilihat bahwa sampel acak nXX ,,1 itu sendiri
merupakan statistik cukup. Akan tetapi, dimensi sampel acak ini adalah n lebih
besar dari pada dimensi rata-rata sampel yang berupa skalar. Pengurangan dimensi
statistik cukup menjadi sekecil-kecilnya tanpa kehilangan informasi yang
diperoleh untuk penduga parameter sebaran adalah suatu hal yang sangat penting
didalam inferensi statistik. Statistik cukup yang mempunyai dimensi terkecil ini
disebut statistik cukup minimum. (Nasution dan Rambe, 1984: 205-207)
Definisi 2.6.2
Misal X peubah acak dengan fungsi kepekatan probabilitas ,;xf ,
sedangkan adalah ruang parameter, yakni gugus semua nilai yang mungkin
diambil oleh . Sebaran peubah acak X disebut sebaran lengkap jika untuk suatu
fungsi Xs dan untuk setiap nilai dan X,
0XsE
mengakibatkan 0Xs . (Nasution dan Rambe, 1984: 211)
![Page 47: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/47.jpg)
47
2.6.2 Batas Bawah Cramer-Rao
Jika statistik cukup lengkap suatu distribusi tak ada atau sulit ditentukan
maka UMVUE dapat ditentukan dengan konsep pertidaksamaan Cramer-Rao.
Misal kita ingin menetukan UMVUE dari g . Dengan menggunakan konsep
pertidaksamaan Cramer-Rao akan berlaku, apabila dalam penentuannya berdasar
pada asumsi bahwa fungsi distribusi yang jadi perhatian kita adalah memenuhi
beberapa syarat ketentuan. Adapun syarat-syarat tersebut Lehman (1983: 406)
antara lain sebagai berikut:
Misalkan nXXX ,, 21 merupakan peubah acak bebas dan identik masing-
masing dengan identitas ,xf , maka:
1) dan, merupakan suatu interval terbuka
2) Distribusi jydariyG mempunyai support bersama sehingga
himpunan dari 0 jygyA bebas dari .
3) Ay densitas yg dapat didefensialkan tiga kali terhadap dan
turunan ketiga kontinu dalam .
4)
,,,0,,,0ln
xxEygE F kontinu dalam kitaran
0 ,
,,
x dan ,,3 x terbatas pada fungsi terintegral xG
dalam kitaran ini, serta
,,
xEF tidak bernilai nol dan integral
dyyg dapat dideferensialkan dua kali terhadap tanda integral.
![Page 48: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/48.jpg)
48
5) IygEygE
lnln
6) Informasi Fisher I dalam asumsi (5) diatas memenuhi ketentuan
I0
7) yMyg
ln untuk semua A, yMEdenganc
00
8) 01ˆ
1ˆ0
n
jjp ygIn
ndanOn
Lemma 2.6.1
Jika asumsi (1) sampai dengan (8) dipenuhi maka 1ˆ0 pOn
Bukti:
Jika 01
1ˆ
n
jjygIn
n kita ekspensikan menurut deret Taylor disekitar
0ˆ maka diperoleh
nO
B
Aatau
nOBA
nOyg
nygIn
n
pn
npnn
p
n
jj
n
jj
1ˆ1ˆ
1ˆ110
00
01
2
2
100
berdasarkan asumsi (4) dan (5) diatas, maka
1ˆ1ˆ00 Pp Onsehingga
nO
(Terbukti).
![Page 49: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/49.jpg)
49
2.7 Fungsi Likelihood Parametrik dan Empiris
Dalam inferensi statistik terdapat dua persoalan penting yakni pendugaan
dan uji hipotesis, kedua inferensi tersebut masing-masing bertujuan untuk
membuat pendugaan dan pengujian suatu parameter populasi dan informasi
sampel yang diambil dari populasi tersebut. Dalam pendugaan parametrik,
penentuan penduga parameter dapat dilakukan dengan banyak metode, salah satu
diantaranya adalah metode maximum likelihood. Metode ini merupakan metode
yang sangat berguna untuk mendapatkan penduga UMVUE.
Dalam uji hipotesis, untuk mendapatkan statistik uji yang merupakan
fungsi dari sampel, dapat dilakukan dengan banyak metode. Salah satu
diantaranya adalah metode uji ratio likelihood. Metode ini sangat kaitannya
dengan fungsi likelihood maupun maximum likelihood estimator (MLE).
Selanjutnya jika nXXX ,, 21 berdistribusi bebas dan identik dari suatu populasi
dengan fungsi kepadatan probabilitas kxf ,,, 21 maka fungsi likelihood
dapat disyaratkan sebagai:
n
ikink xfxxxLxL
121211 ,,,,,,,
(Casella dan Berger, 1990: 289)
Definisi 2.7.1 (Maximum Likelihood Estimator)
Misal xL fungsi likelihood untuk peubah acak nXXX ,, 21 . Jika x suatu
nilai parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood xL , maka x
![Page 50: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/50.jpg)
50
merupakan maximum likelihood estimator (MLE) dari . (Casella dan Berger,
1990: 289)
Definisi 2.7.2 (Uji Ratio Likelihood Parameter)
Statistik uji ratio likelihood untuk pengujian hipotesis 00 : H versus
CH 01 : adalah:
xL
xLx
sup
sup0
Dari definisi (2.7.2) diatas, n merupakan MLE dari dan statistik uji rasio
likelihood atau Likelihood ratio test (LRT) tersebut merupakan statistik uji yang
mempunyai daerah penolakan berbentuk 10, ccxx .
Misalkan merupakan maximum likelihood estimator (MLE) dari ,
diperoleh dengan memaksimalkan secara tak terbatas (restricted maximization)
dari xL . Maximum likelihood estimator (MLE) dari , disebut juga 0 .
Asumsikan 0 adalah ruang parameter. Maka x00ˆˆ dimana 0 yang
dimaksimumkan oleh xL . Maka, Likelihood ratio test (LRT) adalah
xL
xLx
0
(Casella dan Berger, 1990: 347)
![Page 51: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Pada umumnya dalam praktek masih sering terdapat dua kesulitan yang
dihadapi sehubungan dengan uji rasio likelihood di atas. Pertama adalah
penentuan nilai kritis c, jika distribusi dari x tidak dapat atau sukar ditentukan.
Namun demikian kesukaran ini diatasi yakni dengan cara mengambil jumlah
sampel yang berukuran besar, sehingga distribusi dari xlog2 akan
mendekati distribusi Chi-kuadrat. Kedua, adalah penentuan 0
nL dan nL .
nL tercapai jika disubtitusikan dengan penduga kemungkinan
maksimumnya. Tetapi penentuan sedang 0
nL dalam beberapa hal masih tetap
menjadi masalah kecuali jika 0 hanya terdiri atas satu titik saja (hipotesis
sederhana). Perlu pula diperhatikan bahwa parameter adakalanya berbentuk
vektor. (Nasution dan Rambe, 1984: 312)
Pada umumnya pada persoalan inferensi yang selama ini kita kenal adalah
inferensi suatu parameter populasi dengan asumsi bahwa bentuk distribusinya
diketahui misalnya normal, sehingga mudah bagi kita dalam melakukan
inferensinya, yakni dengan inferensi parametrik. Namun demikian jika bentuk
distribusi dari populasinya sulit diketahui atau bahkan tidak diketahui sama sekali,
maka kita tidak dapat melakukan inferensi dengan cara parametrik melainkan
dengan inferensi dengan yang lain yakni nonparametrik. Salah satu metode untuk
mengatasi persoalan ini antara lain dapat digunakan metode likelihood empiris.
(Owen, 1991: 1725)
![Page 52: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Definisi 2.7.3 (Fungsi likelihood empiris)
Misal nXXX ,, 21 suatu sampel yang berdistribusi bebas dan identik dari
distribusi F yang tidak diketahui dan mempunyai nilai tengah , fungsi likelihood
empiris didefinisikan sebagai
n
i
piFL1
dengan ixXpi Pr
(Owen, 1991: 1726)
Definisi 2.7.4 (Ratio likelihood empiris)
Jika FL suatu fungsi likelihood empiris dan xFn suatu fungsi distribusi
empiris maka ratio likelihood empiris didefinisikan sebagai:
n
i
piFnL
FLFR
1
dengan
n
iXn in
xF1
1 , dalam hal ini xXX ii
I .
Selanjutnya misalkan diasumsikan bahwa informasi parameter , dan
fungsi distribusi F tersedia dalam bentuk fungsi pendugaan yang bersifat tak bias
diketahui, yakni 0,, xEF , dengan menyatakan perbedaan dua distribusi
populasi atau
0,,00 xxx GIxdanxGxF
i
Maka profil fungsi rasio likelihood empiris didefinisikan sebagai berikut (Owen,
1991: 1726-1728 & Namba), yaitu:
![Page 53: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Definisi 2.7.5 (Fungsi Rasio likelihood empiris)
Jika FR suatu rasio likelihood empiris 0, xEF merupakan fungsi
pendugaan tak bias maka fungsi rasio likelihood empiris dapat didefinisikan
sebagai:
n
ii
n
i
n
iE xpipipipinSupR
111
0,,1,0
Berdasarkan uraian tersebut diatas, dan mengkombinasikan fungsi-fungsi
likelihood antara model parametrik dengan model nonparametrik, akan didapatkan
model semi-parametrik dapat didefinisikan sebagai berikut:
Misal nn yyyxxx ...,,,;...,,, 2121 sampel-sampel random yang saling bebas
dan nxxx ...,,, 21 berdistribusi identik dari xF yang tidak diketahui dan
nyyy ...,,, 21 berdistribusi identik dari yG yang diketahui, maka secara umum
fungsi likelihood semi-parametrik dapat didefinisikan sebagai berikut:
m
jj
n
iSE ygpiFL
11
,
Dengan pi dalam persamaan memenuhi kendala sebagai berikut:
n
i
pipi1
1,0
Rasio likelihood semi-parametrik dapat dinyatakan sebagai:
m
jj
m
jj
n
i
Piyg
ygpi
SupR
1
11
,,
Dengan pi memenuhi kendala: 0,,1,011
i
n
i
n
i
xpipipi .
![Page 54: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Bentuk rasio ,R dalam persamaan diatas digunakan untuk mengkaji
hipotesis kesamaan dua distribusi dalam model semiparametrik yakni
000 : GFH Versus 000 : GFH
atau 0:0 H versus 0:0 H . Dalam uji tersebut parameter dan 0x dari
distribusi 00 xG diketahui. Seperti pada pembahasan sebelumnya, jika bentuk
distribusi dan rasio likelihood semi-parametrik diatas sukar atau tidak mudah
untuk didapatkan, maka dengan menggunakan pendekatan teorema-teorema pada
sampel besar, secara asymtotis bentuk distribusi dari persamaan diatas dapat
ditentukan.
Untuk mendapatkan bentuk distribusi tersebut, perlu ditentukan terlebih
dahulu persamaan fungsi likelihood semi-parametrik yang memenuhi syarat-syarat
regularitas. Persamaan fungsi likelihood semi-parametrik ini merupakan
persamaan utama yang berperan didalam penurunan statistik uji dengan bentuk
pengujian semi-parametrik.
2.8 Kajian Agama
Allah SWT berfirman dalam QS Fathir, 35: 28 yang berbunyi:
Artinya: “. . .Sesungguhnya yang takut kepada Allah di antara hamba-hamba-Nya, hanyalah ulama . . .” (QS Fathir (35): 28)
![Page 55: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Dalam ayat diatas dikatakan bahwa ‘alim (orang-orang yang berilmu)
adalah orang-orang yang mempunyai akal sehat dan hati yang terhubung dengan
Allah SWT, dimana bahasa keimanan mereka akan sesuai dengan ucapan-ucapan
ilmiahnya sehingga bahasa dan tanda-tanda yang ada dimuka bumi ini dianggap
sebagai buku pengetahuan atau ilmu bagi mereka. (Pasya, 2004: 2)
‘Alim (orang-orang yang berilmu) disini tidak hanya orang-orang yang
mempelajari ilmu agama, tetapi mereka juga mempelajari ilmu-ilmu lainnya.
Telah dijelaskan di depan bahwa ilmu disini hanya sebagai sarana dan Allah SWT
telah menciptakan ilmu dimuka bumi ini dalam berbagai bentuk, termasuk
didalamnya adalah matematika.
Jika umat Islam mau melihat ke belakang, melihat kembali masa-masa
kejayaan Islam dalam pengembangan ilmu pengetahuan, maka akan ditemui
banyak tokoh-tokoh dari umat Islam yang telah begitu berjasa bagi dunia modern
sekarang. Banyak tokoh dari kalangan Islam yang telah memberikan sumbangan
besar dalam pengembangan ilmu pengetahuan, termasuk matematika. Salah satu
tokoh Islam yang terkenal sebagai matematikawan yaitu, Al-Khwarizmi yang
telah memberikan sumbangan yang gemilang dalam perkembangan matematika
selanjutnya. Bukankah sistem bilangan nol adalah sumbangan beliau. Kata “zero”
untuk mengatakan nol tidak lain berasal dari bahasa Arab, “sifr” kata “sifr”
mengalami perubahan terus menerus, yaitu cipher, zipher, zephirum, zenero,
cinero, dan banyak lagi lainnya sampai menjadi zero. Kata “aljabar” tidak lain
diambil dari kitab matematika “Al-kitab al-mukhtashar fi hisab al-jabr wa al-
muqabalah” karya Al-Khwarizmi. Kata “Al-Khwarizmi” mengalami perubahan
![Page 56: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/56.jpg)
56
ke versi latin menjadi “algorismi”, “algorism” , dan akhirnya menjadi
“algorithm”. (Mohamed, 2001 dalam Abdusysyakir, 2007: 97, 99)
Para ilmuwan dalam Islam mengharapkan kita dalam belajar terutama
belajar matematika. Hendaknya tidak hanya memiliki kemampuan intelektual
saja, tetapi perlu didukung secara bersamaan dengan kemampuan emosional dan
spiritual.
Kemampuan berfikir jernih (intelektual) atau kemampuan berkosentrasi
sangat dipengaruhi oleh perasaan (emosional), dan emosional sangat dipengaruhi
oleh pemahaman keagamaan (spiritual). Kalau hati tenang, lapang, selapang
lautan luas, maka pikiran akan mampu bekerja maksimal. Tenagnya hati, sesuai
tuntutan Al-Qur’an, akan tercapai melalui aktifitas berdzikir. Dzikir dalam arti
yang sangat luas. Sebagaiman firman dalam Al-Qur’an surat Ar-Ra’d ayat 28.
Artinya: “(yaitu) orang-orang yang beriman dan hati mereka manjadi tenteramdengan mengingat Allah. Ingatlah, hanya dengan mengingati Allah-lah(dzikrullah) hati menjadi tenteram” (Ar-Ra’d (13): 28)
Sesuai ayat tersebut, jelas hanya dzikirlah (spiritual) yang dapat
menenangkan perasaan (emosional). Inilah yang dapat dilakukan oleh seorang
ilmuwan muslim.
![Page 57: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Dalam tulisan ini, peneliti mengharapkan kita mampu mempelajari ilmu
yang telah diciptakan Allah SWT dengan baik, terutama ilmu matematika. Karena
di dunia modern ini, ternyata masih ada umat Islam yang membenci matematika
dan menyatakannya sebagai ilmu kafir. Abdusysyakir, 2007: 98-100 memuat hal
tersebut dikarenakan yaitu:
Pertama, Karena matematika dianggap sebagai ilmu pasti. Kepastian
dalam matematika memang dapat menjebak pola pikir manusia. Pola berpikir
logis dengan instrumen jika-maka kadang dapat membawa manusia pada pola
pikir yang salah dan kadang mengesampingkan keberadaan Tuhannya. Orang
yang berpikir bahwa 1 ditambah 1 hasilnya pasti 2 sebenarnya sudah terjebak
pada pola pikir yang keliru. Padahal 1 ditambah 1 tidak mesti hasilnya 2. Bisa
diperoleh banyak jawaban dari persoalan 1 ditambah 1 hasilnya berapa. Orang
yang berpikir bahwa “Jika giat bekerja, maka pasti kaya” sudah terjebak pada
logika yang salah. Tidak selamanya orang yang giat bekerja maka akan kaya raya.
Justru ada yang tidak giat bekerja, tetapi menjadi jutawan. Jika manusia giat
bekerja dan kemudian menjadi kaya, maka ia dapat mengatakan bahwa kayanya
karena jerih payahnya. Ia mulai tidak mengakui bahwa kayanya tidak lain karena
kehendak Tuhannya. Inilah kekafiran itu. Inilah pola berfikir yang kadang
merupakan imbas dari logika dalam matematika. Inilah pola pikir yang
mengagungkan kepastian yang dapat membawa kepada kekafiran. Perlu diingat,
bahwa di atas logika matematika yang merupakan logika insaniyah masih terdapat
logika ilahiyah.
![Page 58: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Kedua, karena matematika dalam sejarahnya dikembangkan orang-orang
nonmuslim. Gaung perkembangan matematika memang lebih keras terdengar dari
dunia Barat yang mayoritas nonmuslim. Banyak umat Islam yang tidak
mengetahui bahwa Islam pernah berjaya dengan pengembangan matematika.
Ketiga, karena sebagian umat Islam tidak mengetahui bahwa Al-Qur’an
yang merupakan kalam Allah juga berbicara matematika. Al-Qur’an sebenarnya
berbicara tentang bilangan, aljabar, geometri, dan pengukuran, serta statistik.
Keempat, karena umat Islam terpengaruh oleh atau salah memahami
pendapat Imam Al-Ghazali, Imam Al-Ghazali membagi ilmu menjadi dua, yaitu
ilmu yang fardhu kifayah. Artinya, jika 1 orang saja dari umat Islam telah belajar
matematika, maka kewajiban belajar matematika menjadi gugur bagi umat Islam
lainnya. Jika kemudian semua umat Islam merasa bahwa sudah ada seorang
muslim yang mempelajari matematika, padahal sebenarnya tidak ada, lalu
siapakah yang menaggung dosanya? Apakah tidak sebaiknya mereka mempelajari
matematika meskipun fardhu kifayah? Bukankah mendapat pahala lebih baik
daripada menaggung dosa?
Dari sinilah peneliti mempunyai harapan yang besar, alangkah indahnya
jika pada saat-saat mendatang banyak ulama’ terutama umat Islam yang dengan
ilmu keagamaannya sudi belajar dan mengajarkan matematika dikehidupan
sehari-hari, baik kehidupan agama maupun kehidupan umum. Semua itu
dimaksudkan dengan tujuan mencapai kehidupan beragama yang di ridhoi oleh
Allah SWT. Amin.
![Page 59: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/59.jpg)
59
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Penentuan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan
Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)
Model dari distribusi semi-parametrik diasumsikan sebagai model yang
ditentukan melalui bentuk semi-parametrik, artinya suatu model yang didasarkan
pada bentuk dua sampel random yang saling bebas, dimana yang satu berdistribusi
parametrik dan yang kedua berdistribusi nonparametrik. Untuk menentukan model
distribusi semi-parametrik tersebut, menggunakan langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Menentukan Nilai Maksimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris
Misal mn yyyyxxxx ,,,,;,,,, 321321 merupakan nilai-nilai pengukuran
dari dua sampel random ix dan jy yang saling bebas dan nxxxx ,,,, 321
berdistribusi identik dari xF yang tidak diketahui dan myyyy ,,,, 321 juga
berdistribusi identik dari yG yang diketahui. Dari kondisi tersebut, secara
umum dapat dibentuk fungsi likelihood masing-masing sebagai berikut i
n
ip
1 dan
jm
jyg
1 , karena diasumsikan bahwa kedua sampel tersebut saling bebas satu
terhadap yang lain, maka fungsi likelihood dari kedua distribusi tersebut dapat
dinyatakan sebagai berikut:
jm
j
n
iSE ygPiFL
11,
. . .(1)
![Page 60: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Di dalam persamaan (1) memenuhi kendala:
n
iii pp
1
1,0 . . .(2)
Nilai maksimum (1) diperoleh dengan pengali Lagrange terhadap kendala (2),
yakni sebagai berikut:
n
ii
n
jj
n
iiSE pygInpInH
111
1 . . . (3)
Jika persamaan (3) didefensialkan terhadap ip diperoleh:
01
ii
SE
pp
H memberikan
ip
1 . . . (4)
Atau
011
n
ii
i
SEn
ii pn
p
Hp memberikan n . . . (5)
Dari persamaan (4) dan (5), diperoleh bahwan
pi
1 . . . (6)
Persamaan (6) tersebut adalah nilai maksimum untuk ip sebab:
01
2
2
ii
SE
pp
H untuk setiap 0ip sehingga n
i
n
inp
1 . . . (7)
Demikian juga jika persamaan (3) dideferensialkan terhadap maka diperoleh:
0
11
m
j j
jj
m
ji
SE
yg
ygygIn
p
H
. . . (8)
Karena jyg memenuhi asumsi kondisi regularitas, maka MLE-nya merupakan
penyelesaian dari (8). Misal
merupakan MLE sampel kedua yang mempunyai
fungsi kepekatan probabilitas jyg , maka maksimum dari jm
jyg
1 adalah
![Page 61: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/61.jpg)
61
jm
jyg
1 . Dari uraian tersebut secara umum persamaan (1) diatas mempunyai
nilai maksimum jm
j
n ygn
1
.
2. Menentukan Nilai Maksimum dari Ratio Likelihood Semi-Parametrik
Selanjutnya berdasarkan nilai maksimum di atas dan rumusan hipotesis
000 : xGxFH versus 001 : xGxFH atau 0:0 H versus
0:0 H , dengan 00 xGxF , maka akan terbentuk rasio likelihood
model semi-parametrik sebagimana pada persamaan (1) di atas, dan bentuk ratio
likelihood semi-parametrik dapat dinyatakan sebagai:
m
jj
m
jj
n
ii
pyg
ygnp
SupRi
1ˆ
11
,,
. . . (9)
Dengan ip memenuhi kendala 0,,1,011
n
iii
n
iii xppp . . . (10)
dengan 00,, xGIx xxi i . . . (11)
Seperti pada pembahasan sebelumnya, jika pembilang pada persamaan (9) yakni
m
jj
n
ii
pygnpSup
i 11,
dinyatakan sebagai:
m
ij
n
ii
pSE ygInpInSupH
i 11
, . . . (12)
maka, nilai maksimum (9) diperoleh dengan pengali Langrange terhadap
kendala (10) maka diperoleh:
![Page 62: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/62.jpg)
62
n
iii
m
j
n
iij
n
ii xpnpygInpInH
11 11
,,1)(, (13)
3. Menentukan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan
Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)
Apabila persamaan (13) tersebut terdeferensialkan terhadap ip , maka
diperoleh:
n
iii
m
j
n
iij
n
ii xpnpygInpInH
11 11
,,1)(, (13)
0,,1
iii
xnpp
H . . . (14)
atau
n
i ii n
p
Hp
1
0 . . . (15)
Dari persamaan (14) dan (15), diperoleh
,,
1
ii xn
p . . . (16)
Dan nilai dari persamaan (16) didapatkan dengan cara mensubstitusikan
persamaan (16) kedalam persamaan (10), sehingga diperoleh:
0,,1
n
iii xp atau
0
,,1
,,1
1
n
i i
i
x
x
n
. . . (17)
selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (17) kedalam persamaan (12)
akan diperoleh:
m
jj
n
iiSE nInnygInxInH
11
,,1, . . . (18)
Jika persamaan (18) dideferensialkan terhadap , maka akan diperoleh model
distribusi semi-parametrik yang akan menjadi dasar untuk penurunan statistik uji,
![Page 63: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/63.jpg)
63
berkaitan dengan rumusan hipotesis di atas, yakni sebagai berikut:
0
SEH
memberikan bentuk modelnya, yaitu:
m
j
jn
i i
iygIn
nx
x
n 11
1
,,1
,,0
1
. . . (19a)
3.2 Penentuan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan
Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)
Statistik uji dari distribusi semi-parametrik diasumsikan sebagai statistik
uji yang ditentukan melalui bentuk semi-parametrik, artinya suatu statistik uji
yang didasarkan pada bentuk dua sampel random yang saling bebas, dimana yang
satu berdistribusi parametrik dan yang kedua berdistribusi nonparametrik sesuai
dengan langkah-langkah yang terdapat pada penentuan model distribusi semi-
parametrik dengan menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris
(MRLSE).
Setelah diperolah model distribusi semi-parametrik yang akan menjadi
dasar untuk penurunan statistik uji, yaitu
m
j
jn
i i
iygIn
nx
x
n 11
1
,,1
,,0
1
. . . (19a)
Dengan
,,
,, ii
xx
![Page 64: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Maka dibuat beberapa asumsi sebagaimana dalam Qin (1997) yakni bahwa
terhadap kondisi Regularitas
memenuhi
0
LIn
, dan untuk
1ˆ0 pn serta 0
'0 ,0 Nn d
. . . (19b)
Untuk menurunkan statistik uji dua distribusi dalam model semi-
parametrik menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan Kondisi Regularitas dengan Probabilitas Sama dengan
Satu
Dengan menggunakan asumsi diatas sebagai asumsi (1), diperoleh hasil
sebagaimana dinyatakan pada lemma berikut:
Lemma 3.2.1
Misal memenuhi asumsi bahwa dalam (19b) di atas maka dengan
probabilitas sama dengan satu
a)
n
nO
loglogˆ0
b)
,
,1
S
seragam pada
30
1ˆ:n
untuk n dengan
n
ii
n
ii
xn
S
xn
1
2
11
,,1
,
,,1
,
. . . (20)
![Page 65: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Bukti:
a). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor tentang 0 , kita peroleh
200
1
ˆ2
1ˆ
ˆˆlog1
0
nnn
n
ii
C
CBA
lL
n
Dimana
n
iin l
nA
10
1
n
iin l
nB
10
1
n
iiin YXH
nC
1
,1
Dan
1
Maka
n
nn
B
CA 0
0
![Page 66: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Terlihat bahwa
0
,1,
,,
,,
,,
,,
,
,
,
,log
0
0
1
0
0
0
0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
xdFxGxtdFtG
xdFxGxdyxG
ygtdFtG
xdFxGxdyxG
ygtdFtG
tdFtG
xdFdyygyxI
xG
yg
lE
x
x
i
Karena nA adalah nilai tengah dari peubah acak yang identik dengan nilai tengah
0 dan matrik kovarian 0I . Karena hukum iterasi logaritma,
n
nOAn
loglog
Maka, nB adalah nilai tengah dari peubah acak yang identik dengan nilai tengah
01 . Karena dalam hukum bilangan besar, 11 0 oBn konvergen
hampir pasti. Demikian juga, 1OCn yang konvergen hampir pasti pula. Dalam
kenyataannya,n
nn
B
CA 0
0
dan kekonsistenan yang kuat dari ,
mengakibatkan
n
nO
loglogˆ0
b). Untuk pembuktian bagian ini bisa diabaikan.
![Page 67: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/67.jpg)
67
2. Menentukan Nilai Minimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris
Dengan asumsi (2) yang serupa dengan asumsi (1), diperoleh hasil
sebagaimana dinyatakan pada lemma berikut:
Lemma 3.2.2
Jika diasumsikan bahwa kondisi pada lemma 3.2.1 berlaku, maka n
dengan probabilitas sama dengan satu ,SEH mencapai nilai maksimum pada
~
, dalam bola ~~~
,1
30 dann
memenuhi persamaan:
0~
,~
1 n
dan
0~
,~
2 n
dengan
n
i i
in x
x
n 11 ,,1
,,1~,
~
. . . (21a)
dan
n
i i
im
j
jn x
x
n
ygIn
n 112 ,,1
,,11~,
~
. . . (21b)
Bukti:
Misal
30
1
n
dengan menggunakan lemma 3.2.1 (b) dan ekspansi
n
iixIn
1
,,1 menurut deret Taylor, maka dengan probabilitas sama
dengan satu untuk n diperoleh:
![Page 68: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/68.jpg)
68
3
121
3
1
1
1
3
1
1 1
1
3
1
1 1
2
3
12
1 11
,
,
2
,,,
,
2
1
,,,,2,
,
2
1
,,,,22
1
,,2
1,,,,1
noS
n
noxS
noxxS
noxx
noxxxIn
n
ii
n
i
n
iii
n
i
n
iii
n
i
n
iii
n
ii
Selanjutnya dengan ekspansi
,
,2
S menurut deret Taylor di sekitar 0
diperoleh:
3
1
2
02
12
1
,
,,
2nO
S
n
Dengan menggunakan hukum iterasi logaritma lemma (2.4.1) dan hukum bilangan
besar diperoleh
3
1
2
21
01
,
,loglog
0
2nO
E
En
n
n
![Page 69: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Dengan demikian untuk n cukup besar diperoleh
3
1
2
21
01
1 ,
,loglog
0
2,,1 nO
E
En
n
nxIn
n
ii
karena seragam pada
3
1
0: n maka diperoleh:
3
1
21
2
01
1 ,
,
2
1,,1 n
E
E
xInn
ii
Selanjutnya dengan menggunakan lemma 3.2.1 (a),30
1ˆn
dan untuk n
cukup besar, maka dengan probabilitas sama dengan satu diperoleh:
3
1
3
1
2
21
3
1
2
21
001
1
,
loglogloglog
2
,
,loglog
0
2,,1
nO
nOE
n
no
n
no
n
nOE
En
n
nxIn
n
ii
![Page 70: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Oleh karena itu dengan probabilitas sama dengan satu, untuk n cukup
besar berarti bahwa:
n
ii
n
ii xInxIn
21
,,1,ˆ,ˆ1 untuk semua30
1
n
atau dapat dikatakan bahwa ,, SESE HH
. Karena
didalam bola
30
1:
n dan ,SEH fungsi kontinu pada , maka ,SEH
mempunyai minimum pada
30
1:
n . (Terbukti)
3. Menentukan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan
Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)
Dengan asumsi (3) yang serupa dengan asumsi (1), diperoleh hasil
sebagaimana dinyatakan pada teorema berikut:
Teorema 3.2.1
Jika kondisi pada lemma 3.2.1 berlaku, maka terhadap hipotesis
000 : xGxFH untuk n ratio likelihood semi-parametrik ,~
2 RIn
berdistribusi 21X dengan
m
jjj
m
ii ygInygInxInRInSERIn
1ˆ~
1
2,~
,~
12,~
22
![Page 71: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Bukti:
Misal ~~
dan ~
merupakan penyelesaian dari persamaan (21a) dan (21b),
dan 0~
0 n , dengan mengekspansikan persamaan (21a) dan (21b)
dengan mengunakan deret Taylor di sekitar 0~ dan 0
~ diperoleh:
00~,0~,0
,0~
,~
00~,0~,0
,0~
,~
020
02022
010
01011
nnn
nn
nnn
n
pO
po
. . . (22a)
Selanjutnya misal diketahui bahwa 0~ dan 0
~ berlaku
n
ii
n
iin n
xn 1
01
01 ,1
,,1~
,~
n
ii
m
jn n
ygInn 1
01
2
2
2 ,11~
,~
0
n
ii
n
iin n
xn 1
02
10
21 ,
1,,
1~,
~
,1
,,1~
,~
01
02
i
n
iin n
xn
. . . (22b)
Maka jika persamaan (22b) disubstitusikan pada persamaan (22a) maka
diperoleh:
n
m
jj
n
n
ii
n
ii
m
jj
n
ii
n
ii
Opn
Opn
nn
nn
1
10
0
10
10
10
2
10
,1
,1
0~
~
,1
,1
,1
,1
. . (23)
![Page 72: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Jika persamaan (23) disederhanakan diperoleh
1
0~
~10 OpA
n
nn
. . . (24)
dengan
n
ij
n
ii
n
nn
n
n
10
2
1
10
2
1
2
1
,
,
dan
n
ii
n
ij
n
ii
n
ii
nn
nn
ac
baA
10
10
2
1
10
2
10
,1
,
,1
,1
Dengan menggunakan hukum bilangan besar, matrik A dapat dinyatakan sebagai:
,
,,
00
02
101
iEI
EE
ac
baA
. . . (25)
Dan
ygInEIm
j
1
2
2
0 ( 0I dinamakan informasi fisher)
Dengan cara yang sama jika persamaan (24) disederhanakan, maka akan
diperoleh:
11
0~
~
21
21
2
0 Opac
ba
cban
n
nn
nn
. . . (26)
Demikian juga berdasarkan lemma 2.6.1 diperoleh:
10 Opn . . . (27)
![Page 73: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (26) dan (27), limit distribusi dari
rasio likelihood semi-parametrik dapat ditentukan, yakni dengan ekspansi deret
Taylor sampai orde kedua terhadap ˆ,~
,~
disekitar 00 ,,0 sebagai berikut:
1~,
~,
~0
~,2
0~
,ˆ,2
~,20
~,2
2,~
,~
12,~
2
2
01
0
2
01
001
0
2
10
20
10
01
01
0
1ˆ~
1
Op
ygInygInxInRIn
m
jj
m
jj
m
ii
m
ii
m
jj
m
jj
m
ii
m
jjj
m
ii
(28)
Dengan mengganti 0~
,ˆ0 dan 0
~ dalam persamaan (28) seperti pada
persamaan (26) dan (27) serta menotasikan bcaKHG nn 221 ,, serta
cbaL
2
1, a diperoleh:
Lc
aHcG
obcac
acRIn p
nn
1
1,~
2
2
2
221
![Page 74: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/74.jpg)
74
1
12
2
122
22
1
22
)(2
1)(2
)(222,~
2
21
2222224
2222221
222223
2222222221
222
2222222
222
222221
21222
2221
OpaHcGLc
OpHbcbcHaHa
aHcGaHKaHcGbcKLc
OpHbcbcHacGHa
GcaHKHKaHcGbcKLc
Op
Hbc
GHabcGcaabHGHabcGHacGac
Hbca
aHcGbcbcHacGHacGHGcKLc
OpHcbHaGcLbHaGaHcGaL
aHcGbLHcbHaGHLaHcGGLRIn
Jadi dari uraian tersebut dapat dinyatakan bahwa
1,~
2 21 OpaHcGLcRIn
atau
11,
~2 2
2121 Opac
bcacRIn nn
. Selanjutnya akan diselidiki
distribusi dari nn acZ 21 . Dengan menggunakan ekspektasi, diperoleh:
nnnn aEcEacEZE 2121 . . . (28)
n
iin xncEcE
10
2
1
1 ,,
karena ix bersifat identik maka
n
iin xEcEncE
10
2
1
1 ,, , karena
berlakunya sifat ketakbiasan maka 01 nE .
![Page 75: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Dengan cara yang sama
0
1
2
1
1
2
1
22
jj
jjj
j
n
jj
nn
dyyg
dyygyg
ygan
ygInnaE
aEaE
Karena 01 nE dan 02 nE maka 021 nnE . Selanjutnya
dengan cara yang sama nilai variasi dari Z juga ditentukan yakni sebagai berikut
,2ZEZEZVar karena 0ZE ,
maka
nnnnnn EaaEcacEZEZVar 212
222
122
212 2 ,
Karena n1 dan n2 saling bebas, maka 021 nnE sehingga berdasarkan
persamaan (25) 2222
122
21 nnnn aEcacEZVar
atau
cabcZVar 22 . Dengan demikian berdasarkan teorema 2.4.1 (Teorema
Limit Pusat) distribusi Z dengan 0ZE dan cabcZVar 22 adalah
cabcN 22,0 . Selanjutnya berdasarkan teorema 2.3.3 maka distribusi dari
![Page 76: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/76.jpg)
76
bcac
Z
2
2
adalah 21 . Sehingga dengan demikian distribusi rasio likelihood semi-
parametrik 21~,
~2 RIn (Terbukti).
3.3 Keterkaitan antara Hasil Penelitian dengan Kajian Agama
Dalam penelitian kali ini, penulis menggunakan metode rasio likelihood
semi-empiris (MLRE). Dengan metode tersebut penulis menentukan model dan
statistik uji dua distribusi dalam persamaan likelihood semi-parametrik. Dari
sinilah mengetahui bahwa statistika adalah cabang dari ilmu matematika dan ilmu
matematika sendiri merupakan suatu bentuk ilmu yang diturunkan oleh Allah
SWT.
Dengan statistika, penulis menjadikannya sebagai alat untuk menghasilkan
suatu metode yang baru untuk dikaji dalam penelitian ini. Setelah terdapat
beberapa peneliti sebelumnya, dimana mereka telah menghasilkan beberapa
metode. Tidak ada salahnya jika tetap berusaha untuk menghasilkan metode baru
agar kita dapat mengembangkan ilmu pengetahuan yang ada. Maka, penulis
mengharapkan kita untuk bersikap pantang menyerah dan percaya diri saat
mengerjakan atau menyelesaikan suatu metode. Saat gagal atau tidak bisa
menyelesaikan, kita dituntut untuk mencari cara lain untuk menyelesaikaannya.
Harus percaya diri bahwa bisa. Coba terus, sampai pada akhirnya kita dapat
menyelesaikannya. Kegagalan dengan satu metode tidak boleh mengurangi
semangat untuk mencari metode yang lain. Saat keberhasilan tercapai maka rasa
puas dan bangga akan tumbuh. Sungguh dalam menghasilkan suatu metode yang
![Page 77: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/77.jpg)
77
baru mengajarkan pentingnya sikap pantang menyerah dan percaya diri. Inilah
sikap mutiara yang sangat berguna dalam kehidupan.
Sikap pantang menyerah, pantang berputus asa dan percaya diri sangat
dianjurkan dan merupakan perintah dalam Al-Qur’an. Dalam hidup, jangan suka
berputus asa. Jangan apatis, tapi hiduplah dengan optimis. Putus asa itu adalah
sikap hidup orang kafir dan harus dihindari. Kita harus percaya diri dan yakin
bahwa Allah akan selalu menyertai. Sikap optimis bahwa rahmat Allah akan
selalu menyertai akan menghasilkan sikap sadar dan tawakkal. Kita perlu
merenungkan firman Allah dalam QS Al-Ankabut ayat 23
Artinya: “Dan orang-orang yang kafir terhadap ayat-ayat Allah dan pertemuandengan Dia, mereka putus asa dari rahmat-Ku, dan mereka itumendapat azab yang pedih” (QS Al-Ankabut (29): 23)
Dalam QS Yusuf ayat 87
Artinya: “Hai anak-anakku, pergilah kamu, maka carilah berita tentang Yusufdan saudaranya dan jangan kamu berputus asa dari rahmat Allah.Sesungguhnya tiada berputus asa dari rahmat Allah, melainkan kaumyang kafir" (QS Yusuf (12): 87)
![Page 78: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Dalam QS Al-Hijr ayat 56
Artinya: Ibrahim berkata: "Tidak ada orang yang berputus asa dari rahmatTuhan-nya, kecuali orang-orang yang sesat" (QS Al-Hijr (15): 56)
Sehingga dalam menghasilkan suatu metode yang baru akan terbentuk
pribadi yang berkualitas dan mengasah kemampuan berfikir untuk pantang
menyerah. Sikap tersebut diharapkan bisa membawa kita semua kepada fitrah
penciptaannya, yaitu mencapai ridho Allah SWT. Dalam penelitiannya penulis
berusaha untuk memenuhi tujuan tersebut, meskipun masih sangat sederhana.
![Page 79: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/79.jpg)
79
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari uraian dan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa
1. Dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE), bentuk
model persamaan semi-parametrik diperoleh dengan menggunakan langkah-
langkah sebagai berikut:
a). Menentukan Nilai Maksimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris, yaitu
diperoleh nilai jm
j
nSE ygnH
1
.
b). Menentukan Nilai Maksimum dari Ratio Likelihood Semi-Parametrik,
yaitu diperoleh nilai
n
iii
m
j
n
iij
n
ii xpnpygInpInH
11 11
,,1)(,
c). Menentukan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan
Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE), yaitu diperoleh nilai
m
j
jn
i i
iygIn
nx
x
n 11
1
,,1
,,0
1
.
2. Statistik uji distribusi semi-paramerik dengan menggunakan metode rasio
likelihood semi-empiris (MRLSE), diperoleh dengan menggunakan langkah-
langkah sebagai berikut:
![Page 80: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/80.jpg)
80
a). Menentukan Kondisi Regularitas dengan Probabilitas Sama dengan
Satu, yaitu diperoleh nilai
1)
n
nO
loglogˆ0 .
2)
,
,1
S
seragam pada
30
1ˆ:n
untuk n
dengan
n
ii
n
ii
xn
S
xn
1
2
11
,,1
,
,,1
,
.
b). Menentukan Nilai Minimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris ,
yaitu diperoleh nilai ,SEH minimum pada
30
1:
n .
c). Menentukan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan
Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE), yaitu
diperoleh nilai 11,
~2 2
2121 Opac
bcacRIn nn
. Yang
dapat diturunkan dari persamaan fungsi likelihood semi-parametrik dengan
menggunakan asumsi bahwa
,,
,, ii
xx .
![Page 81: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/81.jpg)
81
4.2 Saran
Memperhatikan hasil pembahasan, nampaknya model inferensi semi-
parametrik ini dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif inferensi dalam
statistik baik untuk penentuan selang kepercayaan selisih dua perameter populasi
(mean) dari masing-masing distribusi pembentuk model semi-parametrik, maupun
untuk bermacam-macam pengujian hipotesis yang lain, misal pengujian kesamaan
sebanyak k distribusi dari model semi-parametrik.
![Page 82: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/82.jpg)
82
DAFTAR PUSTAKA
Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika.Malang: UIN-MalangPress.
Casella G & Berger, L. R. 1990. Statistical inference. California: Duxbury press.AIWPC.
Departemen Agama Republik Indonesia. 1992. Al-Qur’an dan Terjemahannya(Juz 1 – Juz 30) Kitab Suci Al-Qur’an. Jakarta: Gema Risalah PressBandung.
Djauhari, M. A. 1998. DIKTAT MA 391 (TEORI PELUANG). Bandung: ITB.
Dudewics, E. D. & Mishara, S. N. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung:ITB.
Ferguson, T. S. 1996. Cource in Large Sample Theory. Madras: Chapman & Hall,Inc.
Lehmann, E. L. 1983. Theory of Point Estimation. Singapore: John Wiley & Sons,Inc.
Mood, A.M. 1974. Introduction to Theory of Statistics. Tokyo: McGraw-Hill, Ltd.
Namba, Akio. Simulation Studies on Bootstrap Empirical Likelihood Test. Japan:Kobe University. Hal: 1-7
Nasution, A. H & Rambe, A. 1984. Teori Statistika. Jakarta: Bhratara KaryaAksara.
Owen, A. B. 1991. Empirical Likelihood for Linier Models. Ann Stat. Vol. 19 No.4, 1725-1747
Owen, A. B. Statistics (Monograhs on Statistics and Applied Probability 92)Empirical Likelihood. CHAPMAN & HALL/CRC.
Pasya, A. F. 2004. Dimensi Sains Al-Qur’an (Menggali Kandungan IlmuPengetahuan dari Al-Qur’an). Solo: Tiga Serangkai.
![Page 83: stokastik](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/55cf9afd550346d033a44f8c/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Qin, J. March 1997. Semiparametric Likelihood Ratio-Based Inferences forTruncated Data.. American Statistical Associtio,Vol.92, No. 437, 236-245
Rao, C. R. 1973. Linear Statistical Inference and Its Applications. Singapore:John Wiley & Sons, Inc.
Sediono. 2001. Konstruksi Statistik Uji Untuk Kesamaan Nilai Tengah DuaSampel pada Model Semi Parametrik. Jurusan Matematika FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Airlangga. Hal: 5-9
Sen, P. K. & Singer, J. M. 1996. Large Sample Methods in Statistics anIntroductions with Application. Madras: Chapman & Hall, Inc.
Yitnosumarto, S. 1990. DASAR-DASAR STATISTIKA: Dengan PenekananTerapan dalam Bidang Agrokompleks, Teknologi dan Sosial. Jakarta:Rajawali.