stokastik

PENENTUAN MODEL DAN STATISTIK UJIDISTRIBUSI SEMI PARAMETRIK DENGAN

METODE RASIO LIKELIHOOD SEMI-EMPIRIS (MRLSE)

SKRIPSI

Oleh:

FATIMATUZZAHROHNIM: 03510027

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANGMALANG

2007

1

2



SKRIPSI

Diajukan kepada:Universitas Islam Negeri (UIN) Malang

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan DalamMemperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

Oleh:


JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANGMALANG

2007

3



SKRIPSI

Oleh:


Telah disetujui oleh:Dosen Pembimbing

Pembimbing I

Sri Harini, M.SiNIP. 150 318 321

Pembimbing II

Ach. Nashihuddin, M. ANIP. 150 302 531

Tanggal 09 Desember 2007Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika


4



SKRIPSI

Oleh:


Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi danDinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

Tanggal 18 Desember 2007

SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN

1. Penguji Utama : Drs. H. Turmudi, M. Si ( )

2. Ketua Penguji : Abdussakir, M. Pd ( )

3. Sekretaris Penguji : Sri Harini, M.Si ( )

4. Anggota Penguji : Ach. Nashihuddin, M. A ( )

Mengetahui dan Mengesahkana.n. Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi

Ketua Jurusan Matematika


5

LEMBAR PERSEMBAHAN

Biasakan membuat diri kita tenangjangan terlalu bingung,buanglah semua kebingungan.Allah SWT menyukai orang yangtenang dan memperbanyak senyumkarena dengan menenangkan diridan senyum akan memperpanjang usia kita.

(Kokok Imam Wahyudi W.)

Teruntuk Ibunda dan Bapak TercintaSaudara-saudaraku (Mbak Farida, Mas Imam,

AdekQ Fauzi, Mas Agus, Mbak Eka)Mas Kokok Imam Wahyudi W

SaudaraQ Lilik RahmawatiTeman-temanQ Angkatan 2003Terima kasih untuk Semuanya,

Terima kasih Telah Menjadi InspirasiTerindah Dalam HidupQ.

6

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah-Nya,

penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.

Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan

membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan

ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:

1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN)

Malang.

2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU., D.Sc selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi UIN Malang.

3. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Malang.

4. Ibu Sri Harini, M.Si dan Bapak Ach. Nashihuddin, M. A yang telah bersedia

meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selama

penulisan skripsi.

5. Segenap dosen pengajar atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis.

6. Bapak dan Ibu tercinta, Mbak Farida, Mas Agus, Mas Imam, Mbak Eka dan

Adek Fauzi tersayang yang senantiasa memberikan do’a dan dukungan moril

serta materil kepada penulis.

7

7. Mas Kokok Imam Wahyudi W., yang telah sabar menemani, memberikan

dukungan dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini

dengan lancar.

8. Lilik Rohmawati yang telah memberikan semangat dan dorangan kepada

penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

9. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 beserta semua pihak yang

telah membantu penyelesaian skripsi ini.

Dalam penyusunan skripsi ini tentunya masih terdapat banyak kesalahan dan

kekurangan, sehingga penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan

skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Malang, 09 Desember 2007

Penulis

8

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................ i

KATA PENGANTAR.................................................................................... ii

DAFTAR ISI .................................................................................................. iv

DAFTAR LAMBANG ................................................................................... v

ABSTRAK...................................................................................................... ix

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ............................................................................... 11.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 41.3 Batasan Masalah............................................................................. 41.4 Tujuan Penulisan ............................................................................ 41.5 Manfaat Penulisan .......................................................................... 41.6 Metode Penelitian........................................................................... 51.7 Sistematika Penulisan ..................................................................... 6

BAB II KAJIAN TEORI

2.1 Penelitian Pendahuluan................................................................... 72.2 Distribusi Normal ........................................................................... 72.3 Distribusi Gamma........................................................................... 112.4 Konvergen dan Hukum Bilangan Besar .......................................... 152.5 Sifat-Sifat Penduga (Estimator) Parameter Populasi........................ 292.6 Pendugaan UMVUE....................................................................... 332.7 Fungsi Likelihood Parametrik dan Empiris ..................................... 362.8 Kajian Agama................................................................................. 41

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Penentuan Model Distribusi Semi-Parametrikdengan Menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris(MRLSE)....................................................................................... 46

3.2 Penentuan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrikdengan Menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris(MRLSE)........................................................................................ 50

3.3 Keterkaitan antara Hasil Penelitian dengan Kajian Agama.............. 63

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .................................................................................... 664.2 Saran .............................................................................................. 68

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 69

9

DAFTAR LAMBANG

Lambang Matematika

Simbol/Singkatan Nama/Keterangan

< Lebih Kecil Daripada

> Lebih Besar Daripada

~ Tersebar

Anggota Dari (termasuk dalam)

Tak Berhingga

Untuk Perkalian

Untuk Penjumlahan

Lebih Kecil atau Sama Dengan

Lebih Besar atau Sama Dengan

Untuk Setiap

Abjad Yunani


Mu

* Fungsi Gamma

Theta

Lambda

Penduga dari Parameter

10

Xi

Sigma (Simpangan Baku)

2 Sigma Kuadrat (Ragam)

Chi

Distribusi Gamma

G Gamma

Pi

2 Chi Kuadrat

E e Epsilon

N Normal

Z Normal Baku

O Omicron

Psi

Phi

Alpha

Beta

Eta

11

Lambang Khusus


YX nXX ,,1 Peubah Acak

xf X Fungsi Kepekatan

eE Expectation

N Normal Baku

Z p.a Normal ‘Baku’

xFxF ZX Fungsi Distribusi Normal

A Himpunan A

p.a Peubah Acak

pdf Peubah Distributif

nX xxf ,,1 Fungsi Padat Peluang

fpm = f.p.m fungsi kepadatan Momen

X Mean Sampel

nkk ,,1 Konstanta

AXG ,, Distribusi Gamma

fkp Fungsi Kepadatan Peluang

wF Fungsi Sebaran W

wf Fungsi Kepekatan Acak W

nX Barisan Peubah Acak

Parameter

12

sa. Konvergen Hampir Pasti (Converges almost surely)

r Konvergen ke r-mean

Menuju

qm Konvergen ke Mean Kuadratik (quadratic mean)

p Konvrgen ke Peluang

d Konvergen ke Distribusi

K Bilangan positif

Kn Bilangan positif

jm

in

yyyyy

xxxxx

,,,,

,,,,

321

321

Nilai-Nilai Pengukuran Dari Dua Sampel Randomyang Saling Bebas

nxxxx ,,,, 321 Berdistribusi Identik dari xF yang tidak diketahui(Distribusi Nonparametrik)

myyyy ,,,, 321 Berdistribusi Identik dari yG yang diketahui(Distribusi Parametrik)

Asumsikan jm

jyg

1 pdf (Peubah Distribusi) dari yG

LSEFungsi Likelihood Semi-Empiris

i

n

ipFL

1

Fungsi Likelihood Empiris dari Distribusi

13

ABSTRAK

Fatimatuzzahroh. 2007. Penentuan Model dan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik Dengan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE).Pembimbing: (I) Sri Harini, M.Si; (II) Ach. Nashihuddin, M.A

Kata Kunci: Model Semi-Parametrik, Rasio Likelihood Semi-Parametrik.

Inferensia dalam persoalan model semi-parametrik merupakan salah satubentuk inferensi statistik yang berguna untuk mengatasi beberapa persoalaninferensi yang terkait dengan kombinasi dari beberapa distribusi, dimana bentukdistribusi yang satu merupakan distribusi parametrik, sedang yang lain merupakandistribusi nonparametrik. Untuk melakukan inferensi, misal penentuan model danstatistik uji distribusi semi-parametrik, yang dapat digunakan metode rasiolikelihood semi-empiris (MRLSE), yakni suatu metode yang dibangun atas dasarkombinasi dari fungsi likelihood distribusi parametrik dan fungsi likelihooddistribusi non parametrik. Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan model danstatistik uji dari distribusi semi-parametrik, yakni dengan memaksimumkan fungsirasio likelihood semi-parametrik:

ni

yg

ygpn

R

j

m

j

j

m

j

n

ii

pi

,,2,1,sup,

1ˆ

11

,

Dengan kendala:

0,,,1,011

n

iii

n

iii xppp , dimana 00

,, xGIx xxi i

dan 00 xGxF . Dari penelitian diperoleh bahwa model dan statistik ujidistribusi semi-parametrik dengan metode rasio likelihood semi-empiris(MRLSE) konvergen ke distribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas sama dengansatu.

14

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Allah SWT berfirman dalam QS Al-Mujaadilah, 58:11 yang berbunyi:

Artinya: “. . . Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramudan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat . . .”(QS. Al-Mujaadilah (58):11)

Ilmu merupakan sarana mempertebal keimanan kepada Sang Pencipta

sehingga kita dapat merasakan karunia atau nikmat dalam mempelajarinya.

Karena ilmu disini sebagai sarana, Allah SWT telah menciptakan ilmu dimuka

bumi ini dalam berbagai bentuk, termasuk didalamnya adalah matematika.

Matematika tidak lain adalah ciptaan Allah SWT yang ditemukan oleh

manusia. Tidak ada yang sia-sia (bathil) pada ciptaan Allah SWT, termasuk

matematika. Matematika diciptakan untuk memenuhi kebutuhan manusia dalam

menjalani kehidupan dunia, mengenal kekuatan Allah SWT, dan mencapai ridho

Allah SWT (mardhatillah). Oleh sebab itu, sudah saatnya matematika

dikembalikan kepada fitrah penciptaannya, yaitu mencapai ridha Allah SWT.

(Abdusysyakir, 2007: v-vi)

15

Bentuk lain dari matematika adalah statistika, yang merupakan bentuk lain

juga dari ilmu yang diturunkan oleh Allah SWT kepada manusia. Di sinilah

manusia diharapkan mampu menggunakannya dengan baik dan sesuai dengan

kebutuhan, agar dapat menemukan kebesaran Allah SWT di dalamnya.

Dalam kehidupan sehari-hari salah satu persoalan yang sering timbul

adalah membandingkan dua perlakuan yang berbeda, atau satu perlakuan dengan

perlakuan yang lain sebagai kontrol. Jika pengamatan hanya memuat dua kategori

sukses dan gagal, maka persoalan tersebut berkaitan dengan persoalan distribusi

binomial. Dalam beberapa kasus, walaupun salah satu distribusi yang

mendasarinya tidak diketahui, sedang distribusi yang lainnya diketahui, maka

masih dimungkinkan untuk membandingkan dua perlakuan tersebut.

Dalam melakukan inferensi terhadap dua perlakuan tersebut, jika

diasumsikan bahwa distribusi xF tidak diketahui, sedang distribusi yG

diketahui, maka salah satu inferensi yang menarik untuk dikaji adalah uji hipotesis

dua distribusi tersebut, karena kedua distribusi tersebut berlainan, dalam arti yang

satu diketahui dan yang lain tidak diketahui, inferensi tidak mungkin dilakukan

dengan inferensi parametrik maupun nonparametrik, melainkan dengan inferensi

yang lain, yakni inferensi model semi-parametrik. Dalam inferensi statistik dua

persoalan yang penting adalah pendugaan parameter dan uji hipotesis. Kedua

inferensi ini satu terhadap yang lain adalah saling terkait dan merupakan satu

bagian yang tidak dapat dipisahkan. Dalam teori pendugaan, dikatakan bahwa

merupakan pendugaan (estimator) dari . Untuk mendapatkan penduga tersebut

banyak metode yang digunakan, salah satu di antaranya adalah metode maximum

16

likelihood. Metode ini pertama kali dipergunakan untuk persoalan pendugaan

pada distribusi parametrik, dan metode ini merupakan suatu metode yang berguna

untuk mendapatkan penduga Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator

(UMVUE). (Qin, 1997)

Dalam penerapannya, khususnya dalam uji hipotesis berbentuk komposit

metode maximum likelihood atau tepatnya metode uji rasio likelihood (MRL) ini

dapat digunakan untuk mendapatkan suatu kriteria daerah kritis dari suatu uji.

Dalam pengembangan lebih lanjut, metode likelihood ini juga dapat diterapkan

pada persoalan-persoalan nonparametrik, salah satu di antaranya adalah metode

rasio likelihood empiris. Metode ini merupakan metode non parametrik dimana

fungsi distribusinya tergantung pada hasil observasi. Seperti halnya pada

persoalan pengujian hipotesis untuk distribusi parametrik diatas, dalam persoalan

untuk distribusi non parametrik metode MRL ini dapat dipandang sebagai metode

rasio likelihood empiris (MRLE).

Dari uraian mengenai metode MRL dan MRLE di atas, maka metode

tersebut dapat dikembangkan pada persoalan semi-parametrik, yaitu suatu metode

kombinasi dari dua distribusi dimana distribusi yang satu merupakan distribusi

parametrik sedang distribusi yang lain adalah nonparametrik. (Sediono, 2001:5)

Berdasarkan uraian di atas, maka untuk mendapatkan model dan statistik

uji distribusi semi-parametrik adalah dengan menurunkan metode rasio likelihood

semi-empiris (MRLSE).

17

1.2 Rumusan masalah

1. Bagaimanakah cara mendapatkan model distribusi semi-parametrik

dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).

2. Bagaimanakah cara mendapatkan statistik uji distribusi semi-paramerik


1.3 Batasan Masalah

Perluasan masalah dalam pembahasan ini perlu dihindari dengan

pemberian batasan. Pada pembahasan ini akan dibatasi pada analisis distribusi

parametrik dan distribusi nonparametrik (distribusi semi-parametrik) dengan

mengunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).

1.4 Tujuan Penulisan

1. Menjelaskan cara mendapatkan model distribusi semi-parametrik dengan

menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE).

2. Menjelaskan cara mendapatkan statistik uji distribusi semi-paramerik


1.5 Manfaat Penulisan

Dengan mempelajari distribusi semi-parametrik dengan menggunakan

metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE), kita dapat mengetahui model dan

statistik uji dari distribusi semi-parametrik tersebut.

18

1.6 Metode Penelitian

Pada penelitian ini, pendekatan penelitian yang digunakan adalah

menggunakan penelitian kepustakaan (library research). Studi kepustakaan

merupakan penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil

kajian literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau

topik kajian. Studi kepustakaan berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat

beberapa gagasan dan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data

yang diperoleh dari sumber kepustakaan. Sumber kajian pustaka dapat berupa

jurnal penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, atau diskusi-diskusi

ilmiah. Bahan-bahan pustaka tersebut harus dibahas secara mendalam sehingga

mendukung gagasan dan atau proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan

saran.

Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah data yang bersifat tekstual

meliputi distribusi parametrik, distribusi nonparametrik, dan pembahasan

keduanya dalam Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE). Dalam

memahami data-data yang berupa teks dalam buku-buku literatur diperlukan suatu

analisis. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode

deduksi, yaitu cara berpikir yang berangkat dari hal-hal umum menuju kesimpulan

yang khusus.

19

1.7 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan adalah yang digunakan dalam penulisan skripsi ini

adalah:

BAB I Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pendahululan yang terdiri

dari latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah,

tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika pembahasan.

BAB II Penulis mengkaji tentang teori-teori yang ada kaitannya dengan hal-

hal penulis bahas diantaranya adalah: penelitian pendahuluan,

distribusi normal, distribusi gamma, konvergen dan hukum bilangan

besar, sifat-sifat penduga (estimator) parameter populasi, penentuan

UMVUE, fungsi likelihood parametrik dan empiris, dan kajian

agama.

BAB III Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pembahasan yang terdiri

dari fungsi likelihood semi-parametrik dan penerapan metode

MRLSE.

BAB IV Penulis mengkaji tentang kesimpulan dan saran yang penulis peroleh

dalam melakukan penulisan karya ilmiah.

20

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1 Penelitian Pendahuluan

Pada penelitian sebelumnya, metode rasio likelihood semi-empiris

(MRLSE) dinyatakan dengan nama metode Maximum Semi-Empirical Likelihood

Ratio (MSELR) digunakan oleh Sediono, 2001. Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Airlangga. Jurnal tersebut

berjudul: “Konstruksi Statistik Uji Untuk Kesamaan Nilai tengah Dua Sampel

Pada Model Semi Parametrik”. Dimana dalam jurnal tersebut peneliti membentuk

model hipotesis untuk kesamaan nilai tengah dua sampel pada model semi-

parametrik, membentuk fungsi likelihood dari masing-masing sampel,

membentuk fungsi rasio likelihood semi empiris dari model semi-parametrik,

menentukan penduga dari parameter-parameter model semi-parametrik, dan

kemudian mengkonstruksi statistik uji untuk kesamaan nilai tengah dua sampel

semi-parametrik.

2.2 Distribusi Normal

Definisi 2.2.1

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal dengan nilai tengah

dan ragam 022 , jika peubah tersebut mempunyai

fungsi kepekatan

21

xexfx

X ;2

12

2

1

2

Luas daerah di bawah kurva normal, yaitu:

;2

12

2

1

2

x x

X dxexf

Fungsi tersebut disebut fungsi kepekatan normal dengan 71828,2e dan

14159,3 . Jika peubah acak X tersebar secara normal dengan nilai tengah

dan ragam 2 . Maka untuk kepekatan X dinyatakan dengan 2,~ NIDX

atau 2,~ NX . (Yitnosumarto, 1990: 160-161)

Teorema 2.2.1

Jika 2,~ NX , maka 1,0~ NX

. Yakni, bila X suatu p.a. normal

dengan dan 2 , maka dengan menguranginya dengan kemudian

membaginya dengan , kita dapat mentransformasikan peubah acak ini ke p.a.

normal ‘baku’ yang sering dinyatakan dengan Z.

Bukti: Dengan perhitungan langsung,

x x

X

Z

X

dxe

xF

xXP

xXP

xX

PxF

xZPxF

2

2

1

2

1

22

Dengan mengganti

x

z , diperoleh

xz

Z dzexF2

2

1

2

1

. Ini

menunjukkan bahwa 1,0~ NZ (Terbukti). (Dudewicz, 1995: 166)

Definisi 2.2.2

Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi identik jika untuk setiap himpunan A,

berlaku AYPAXP .

Dari definisi 2.1.3 diatas dapat dijelaskan bahwa dua peubah acak adalah

berdistribusi identik yang tak perlu sama. (Casella dan Berger, 1990: 33)

Definisi 2.2.3

Misal nXX ,,1 merupakan peubah acak yang berhubungan dengan pdf

nX xxf ,,1 . Misalkan iX xfi

merupakan bagian umum dari pdf dari iX , maka

nXX ,,1 merupakan peubah acak yang saling independen satu sama lainnya jika

untuk setiap nxx ,,1

iX

n

inXXnX xfxfxfxxf

in 111 1

,, .

Jika siX semua satu ukuran, maka nXX ,,1 merupakan peubah acak yang

saling independen satu sama lainnya. (Casella dan Berger, 1990: 174)

23

Teorema 2.2.2

Jika 2,~ NX , maka fkp nya adalah

22

2

1exp zzz

Bukti:

dx

zxK

dxxzxx

dxeeeEzx

xzxz

2

222

2

222

2

1

2exp

2

1

2

22exp

2

1

2

12

Dengan

2

222

2exp

z

K

Integral di ruas kiri berharga 1, sebab integralnya merupakan fkp dari peubah

yang berdistribusi 22 , zN . Oleh karena itu

22

2

222

2

1exp

2exp

zt

zt

(Terbukti). (Djauhari, 1998: 201-202)

Teorema 2.2.3

Jika nXXX ,, 21 peubah-peubah acak bebas stokastik dengan

njNX jjj ,,2,1,,~ 2 jika nkkk ,, 21 konstanta-konstanta, maka

24

2

1

,~ NXkYn

jjj

Dengan

n

jjjk

1

dan

n

jjjk

1

222 .

Bukti:

Karena nXXX ,, 21 saling bebas stokastik, maka fpm Y adalah:

22

222

1

1

2

1exp

2

1exp

exp

tt

tktk

xktEeEt

jjjj

n

j

n

jjj

tY

Dengan

n

jjjk

1

dan

n

jjjk

1

222 . Terbukti bahwa 2,~ NY .

Berdasarkan teorema 2.2.3, kita peroleh akibat berikut.

Akibat. Jika nXXX ,, 21 sampel acak dari 2,~ NX maka nilai tengah

sampel

n

NX2

,~

. (Djauhari, 1998: 243)

2.3 Distribusi Gamma

Definisi 2.3.1

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi Gamma yang dinotasikan sebagai

AXG ,, , jika untuk beberapa A,0,1 fungsi kepekatan

probabilitasnya adalah:

25

xAeAXxfAX

X ,1

11

.

(Dudewicz, 1995: 162)

Definisi 2.3.2

Jika suatu peubah acak X mempunyai kepadatan yang diberikan oleh

,,; ,01 xIex

rrxf xr

X

Dimana 0r dan 0 , maka X didefinisikan sebagai distribusi gamma. *

adalah fungsi gamma.

Jika dalam persamaan diatas diambil 1r , maka akan diperoleh substitusi

eksponensial. (Mood, 1974: 112)

Definisi 2.3.3 (Model Distribusi Eksponensial)

Jika

1

,1~ GX maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter

1

. Dalam hal ini, fkp X adalah

0;0

0;

x

xexf

x

(Djauhari, 1998: 194-195)

26

Teorema 2.3.1

Jika X suatu distribusi gamma dengan parameter r dan , maka

r

X , 2

varr

X dan r

x ttm

untuk t

Bukti:

1

1

0

1

0

'

rrX

rxtr

rr

xrxtr

XtX

trtm

tdxex

r

t

t

dxexer

etm

Dan

21'' rrX trrtm

Karena

r

mX 0'

Dan

2

2

2

2

22

1

0''

var

r

rrr

rm

XXX

X

(Mood, 1974: 112-113)

27

Teorema 2.3.2 (Distribusi Chi-Kuadrat)

Misalkan r suatu bilangan asli. Jika

2,

2~

rGX maka X dikatakan berdistribusi

Chi-Kuadrat dengan derajat bebas r. Disingkat rX 2~ . Jelas fkp X adalah

0;0

0;

22

12

11

2

2

x

xexrxf

xr

r

X

Sedangkan fpm nya,

2

1;21 2 ttt

r

Jadi, nilai tengah dan ragamnya,

rdanr 22

(Djauhari, 1998: 195)

Teorema 2.3.3

Suatu peubah acak yang menyebar secara Chi-kuadrat dapat diturunkan dari suatu

peubah acak yang menyebar secara normal baku atau normal sebagai berikut:

Apabila X menyebar secara normal dengan nilai tengah dan ragam 2 , maka

2

22

X

Z menyebar secara Chi-Kuadrat dengan derajat bebas 1v .

Untuk membuktikan dalil ini misalkan, bahwa W = Z2 maka fungsi sebaran W

ialah:

,2 dzzfwZwPwZPwFw

w

28

0,0

0,2

12 2

0

2

w

wdzewF

zw

Jika diadakan tranformasi peubah yz sehinggay

dydz

2 maka:

0,0

0,2

1 2

0

w

wdyeywF

yw

Oleh karena itu, fungsi kepekatan peubah acak W ialah:

wwwFwfw

0,2

1 21

2

1'

Dimana fungsi kepekatan probabilitas ini merupakan fungsi kepekatan probalilitas

dari fungsi 21 (Terbukti). (Nasution dan Rambe, 1984:154-155)

2.4 Konvergen dan Hukum Bilangan Besar

Misal ,2,,1, nX n mempunyai barisan peubah acak dan X merupakan

peubah acak yang terdefinisi pada ruang parameter yang sama . Selanjutnya

akan diberikan beberapa konsep yang berkait dengan konvergensi suatu peubah

acak nX sebagai berikut:

Definisi 2.4.1

Barisan nX dinamakan konvergen hampir pasti ke X yang dinyatakan sebagai

XX asn jika untuk setiap

1lim,0

XXP nn

.

29

Konvergensi hampir pasti dalam definisi 2.4.1 di atas kadang-kadang dinamakan

sebagai konvergen kuat atau konvergen dengan probabilitas satu. (Ferguson,

1996: 4)

Definisi 2.4.2

Barisan nX dikatakan konvergen ke X ke r – nilai tengah, r > 0 yang

dinyatakan sebagai XX rn jika 0 r

n XXE untuk n

Konvegensi dalam r – nilai tengah untuk r = 2 sering dinamakan konvergen

dalam nilai tengah kuadratik dan dinyatakan sebagai XX qmn . (Ferguson,

1996: 4)

Definisi 2.4.3

Barisan nX konvergen ke X ke peluang XX Pn jika untuk setiap 0 .

0lim

XXP nn

Konvergensi dalam probabilitas ini sering dinamakan konvergen stokastik atau

konvergen lemah. (Dudewics, 1988: 354)

Definisi 2.4.4

Barisan nX dinamakan konvergen ke distribusi ke X yang dinyatakan sebagai

XX dn . Jika xFxF X

dX n

untuk n untuk semua x yang mana

xFX kontinu.

30

Konvergensi dalam distribusi ini kadang-kadang sering dinamakan konvergen

lengkap. (Ferguson, 1966: 1)

Dari definisi konvergensi diatas dapat dikemukakan bahwa hubungan

konvergensi satu terhadap yang lain (Fergusan, 1966: 4), adalah sebagai berikut:

a) Jika suatu barisan konvergen hampir pasti, maka barisan tersebut juga

konvergen dalam probabilitas ( XXXX Pn

san . ).

b) Jika suatu barisan dalam r – nilai tengah untuk r > 0 maka barisan tersebut

juga akan konvergen dalam probabilitas ( XX rn untuk

0r XX Pn ).

c) Jika suatu barisan konvergen dalam probabilitas maka barisan tersebut juga

akan konvergen dalam distribusi ( XXXX dn

Pn )

Definisi 2.4.5

Barisan na dan nb dikatakan nn bOa jika terdapat suatu bilangan positif K

dan bilangan positif n(K) sehingga

KnnKb

a

n

n ,

Dalam hal khusus 1Oan berarti bahwa Kan dan untuk cukup besar

na adalah terbatas. (Sen dan Singer, 1993: 36)

31

Definisi 2.4.6

Barisan na dan nb dikatakan nn boa jika untuk setiap 0 dan bilangan

bulat positif n sehingga

nnb

a

n

n ,

Dalam hal khusus 1oan berarti bahwa 0na untuk n . (Sen dan

Singer, 1993: 36)

Definisi 2.4.7

Jika untuk setiap 0 dari peubah acak nX terdapat suatu konstanta positif

K dan a bilangan bulat positif n sehingga

nnKXP n ,1

Maka dikatakan bahwa npn XdanOX 1 dinamakan terbatas dalam

probabilitas. (Sen dan Singer, 1993: 36)

Definisi 2.4.8

Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX dan barisan nb (mungkin

peubah acak) terdapat suatu bilangan bulat positif ,n sehingga

nnKb

XP

n

n

,1

Maka dikatakan bahwa npn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 36)

32

Definisi 2.4.9

Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX terdapat suatu bilangan

bulat positif ,n sehingga

,, nnXp n

Maka dikatakan bahwa 1pn oX . (Sen dan Singer, 1993: 37)

Definisi 2.4.10

Jika untuk setiap 0 , 0 dari peubah acak nX dan barisan nb (mungkin

peubah acak) terdapat suatu bilangan bulat positif ,n sehingga

,, nnb

XP

n

n

Maka dikatakan bahwa npn boX dan npnnpn coXcOb . (Sen dan

Singer, 1993: 37)

Definisi 2.4.11

Jika untuk setiap 0 dari peubah acak nX terdapat suatu konstanta positif

K dan a bilangan bulat positif n sehingga

nnKXP n ,1

Dari bentuk diatas diperoleh

nnnNbeberapauntukKXP N ,

akan dikatakan bahwa 1OX n . (Sen dan Singer, 1993: 37)

33

Definisi 2.4.12



nnKb

aP

n

n

,1


nnnNbeberapauntukKb

XP

N

N

,

maka dikatakan bahwa nn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 37)

Definisi 2.4.13



,, nnXp n


,, nnnNbeberapauntukXP N

maka dikatakan bahwa 1OX n . (Sen dan Singer, 1993: 38)

Definisi 2.4.14



34

,, nnb

XP

N

N


,, nnnNbeberapauntukb

XP

N

N

maka dikatakan bahwa nn bOX . (Sen dan Singer, 1993: 38)

Teorema 2.4.1

Misalkan nXX ,,1 p.a. yang berdistribusi identik dan bebas dan misalkan

nn XaXaY 11 . Maka f.p.m. dari Y adalah

n

iiXnXX

tXatXatXatXa

tXatXaXaXattYY

tatata

eEeEeeE

eEeEeEt

n

nnnn

nnnn

11 .

11

1111

1111

Bila juga berlaku naa 1 , maka

.11

nXY tat

(Dudewicz, 1988: 313)

Definisi 2.4.15

Fungsi pembangkit-momen dari suatu p.a. X didefenisikan untuk setiap bilangan

real t sebagai iXX Eet .

[Jadi, f.p.m. ialah suatu fungsi dari suatu peubah real t. Tentunya fungsi itu hanya

didefenisikan untuk nilai t sehingga tXEe ada. Ingat bahwa sebelumnya kita telah

35

bicarakan mengenai nilai harapan dari fungsi peubah acak, XEg . Disini

tXeXg ]. (Dudewicz, 1988: 300)

Teorema 2.4.2

Bila f.p.m. tX dari p.a. X ada untuk Tt (untuk suatu T > 0), maka nEX ada

(untuk ,3,2,1n ) dan tX dapat diuraikan dalam lingkungan 0t sebagai

berikut

kkk

X totk

EXt

EXt

EXt

!!2!11 2

2

,

dengan

0lim

0

k

k

t t

to

(Dudewicz, 1988: 309)

Akibat 2.4.1

Suatu p.a. cX pn (suatu tetapan) jika f.d. dari FFX nn , dengan

0xF untuk cx dan 1xF untuk cx ; ini terjadi jika ctX et

untuk semua t. (Dudewicz, 1988: 366)

Teorema 2.4.3 (Teorema Khinchin)

Jika ...,, 21 XX p.a bebas yang berdistribusi identik dan 1EX ada ( 1EX = a,

misalnya), maka an

XX pn 1

36

Bukti:

ttn

X

n

X

n

XX nn

11

n

n

X t

1 , menurut Teorema 2.4.1

n

X n

t

1 , menurut Definisi 2.4.15

n

n

to

n

tEX

!11 1 , menurut Teorema 2.4.2

n

n

n

tnoat

2

1

tae , jika n

Buktinya selesai berdasarkan Akibat 2.4.1. Perhatikan bahwa kita tidak

menggunakan hasil yang terkenal

an

ne

n

a

1lim ,

tetapi malahan rapatannya yang sedikit

nn

an

n

ne

n

a

lim1lim .

(Dudewicz, 1988: 367)

37

Teorema 2.4.4 (Teorema Limit Pusat)

Misalkan ...,, 21 XX p.a bebas yang berdistribusi identik dengan 1EX dan

021 XVar (keduanya berhingga). Maka (untuk semua zz, )

jika n ,

z yn dyez

n

XXP

2

2

11

2

1

.

Bukti:

Menggunakan Teorema Khinchin, diperoleh:

ttn

X

n

X

n

XX nn

11

n

n

X t

1

, menurut Teorema 2.4.1

n

Xn

t

1

, menurut Definisi 2.4.15

n

n

to

n

tXE

n

tXE

2

2

2

211

!2!11

, menurut Teorema 2.4.2

n

n

to

n

t

2

22

2

11

n

n

n

tnot

2

22

2

1

1

2

2

1t

e , jika n

38

Teorema Limit Pusat (TLP) juga disebut sebagai Teorema Lindberg-Levy.

Teorema ini dapat pula diungkapkan sebagai

1,0NXn d

(Dudewicz, 1988: 374-375)

Konsepsi konvergen diatas, jika dikaitkan dengan hukum bilangan besar,

maka akan diperoleh konsep lain yang sangat berguna dalam penurunan statistik

uji untuk distribusi asimtotis. Hukum bilangan besar merupakan suatu notasi yang

menyatakan bahwa nilai tengah sampel dari suatu distribusi konvergen ke suatu

nilai tengah dari suatu distribusi populasi. Apabila konvergensinya adalah

konvergen dalam probabilitas, maka hal ini dikenal sebagai hukum lemah dari

bilangan besar (Weak laws of large numbers) dan disingkat dengan WWLN.

Sedangkan bilangan konvergensinya adalah konvergen hampir pasti maka hal ini

dikenal sebagai hukum kuat dari bilangan besar (Strong Laws Of Large Numbers)

dan disingkat SLLN. (Rao, 1973: 112)

Teorema 2.4.5 Hukum Bilangan Besar

1. Hukum Lemah dari Bilangan Besar

Misal X1,...,Xn peubah acak bebas dan identik sehingga

n

iinii X

nXdanXdanXE

1

2 1var

39

Maka,

1lim,0

nn

XP

Yakni

PnX .

Bukti:

Dalam pembuktiannya bisa menggunakan Pertidaksamaan Chebychev.

2

2

22

2

22lim,0

n

XVarXEXPXP n

nnn

Karena,

njikan

XPXP nnn

,11

1lim2

2

(Terbukti)

(Casella dan Berger, 1990: 214)

2. Hukum Lemah dari Bilangan Besar

Misal X1,...,Xn peubah acak sehingga

n

iinii X

nXdanXdanXE

1

2 1var

Maka, 1lim,0

XXP nn

yakni .asnX . (Casella dan Berger, 1990: 216)

40

Dengan memperhatikan konsep hukum bilangan besar, untuk

menunjukkan adanya limit distribusi dari suatu variabel random X, terdapat

konsep lain yang juga penting yakni konsep hukum iterasi logaritma. Jika

X1,...,Xn suatu variabel random bebas dan identik sedemikian hingga 1XE

dan 21var x berhingga, nnnh loglog2 2 maka 1suplim

nh

Sn

atau dapat dinyatakan dalam bentuk lain yakni bahwa untuk setiap

11,0 nhSP n , dengan nS menyatakan junlahan parsial dari X1,...,Xn

(Rao, 1973: 129-130).

Lemma 2.4.1

1. (Teorema Kolmogorov) Jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik

sedemikian hingga 22nnXE dan nb ,

12

2

n

n

b

, maka

0.. sa

n

n

b

S

Sebagai contoh, jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik sedemikian

hingga 211 ,0 XVXE , maka 0

log.. san

nn

S. (Rao, 1973:

129)

41

2. (Hukum Iterasi Logaritma) Jika X1,...,Xn suatu peubah acak bebas dan identik

sedemikian hingga 01 XE dan 21 XV selanjutnya misal,

21

loglog2 nnnh maka

..1suplim sanh

Sn

..1inflim sanh

Sn

atau dapat dinyatakan dalam bentuk lain yakni bahwa untuk setiap ,0

,11 terbatastidakseringkalinhSP n

,01 terbatastidakseringkalinhSP n

Dari hukum iterasi logaritma untuk setiap k, maka ditulis

1 terbatastidakseringkalinkSP n

Sehingga, nknh 1 untuk cukup besar n. Dengan nS menyatakan

jumlahan parsial dari X1,...,Xn. (Rao, 1973: 129-130)

3. Jika X1,...,Xn peubah acak bebas dan identik sehingga

.0 2 ii XVdanXE

Lebih lanjut, misalkan 221

2nnS , jika 2

nS ,

n

n

n

n

S

So

S

X

loglog

2

dan 21

2loglog2 nn St .

42

Maka

..1suplim sast

S

nn

n

..1inflim sast

S

nn

n

(Rao, 1973: 130)

Bukti:

Misal nn

n

ijjn S

nDmakaX

nD

11

berdasarkan hukum iterasi logaritma

maka untuk setiap

2,1111,0

KKt

SpataunhSp

n

nn

dan menurut definisi 2.3.12 Sn dapat dinyatakan sebagai

nuntuk (Terbukti).

2.5 Sifat-sifat Penduga (Estimator) Parameter Populasi

Untuk mendapatkan statistik uji dalam inferensi tentunya tidak terlepasnya

adanya sifat-sifat penduga terhadap parameter dari suatu populasi. Adapun sifat-

sifat penduga terhadap suatu parameter dari suatu populasi. Adapun sifat-sifat

penduga dalam inferensi tersebut (Nasution dan Rambe, 1984: 203-205), antara

lain:

,loglogloglog11 2

1

nnO

nODatautO

nDsehinggatOS n

nnnnn

43

2.5.1 Tak Bias (Unbiased)

Setiap fungsi peubah acak yang diamati merupakan penduga tanpa bias

dari parameter , kalau nilai harapannya sama dengan parameter tersebut. Jadi,

apabila nXXt ,,1 atau dengan catatan vektor, 'Xt , merupakan fungsi atau

statistik yang menjadi penduga tak bias dari , haruslah

'xtE

Jika 'xtE tidak terpenuhi, maka 'Xt dikatakan sebagai penduga yang

terbias dari , dan besarnya bias ini, ,tB , sama dengan 'xtE . Jika

'Xt pendugan tak bias dari , maka 2' xtE sama dengan ragam 'Xt .

Tetapi jika 'Xt penduga berbias, maka nilai harapan ini disebut kuadrat-tengah

galat dari penduga 'xt disebut juga sebagai galat pendugaan.

2.5.2 Konsisten

Apabila n

merupakan penduga dari parameter yang ditentukan

berdasarkan sampel berukuran n, maka n

disebut penduga yang konsisten,

apabila n

konvergen dalam peluang ke untuk atau

0lim0

n

nP

Dari persamaan tersebut secara umum

n suatu barisan penduga adalah

konsisten:

44

a. Lemah, jika 0

pn dan dinyatakan dengan Op (1) untuk n .

b. Kuat, jika 0.

san dan dinyatakan dengan dengan O(1) untuk

n .

Kekonsistenan ini pada dasarnya adalah sifat sampel berukuran besar dan

berlaku untuk suatu sekuens penduga. Kekonvergenan dalam peluang dan kaidah

bilangan besar yang telah dikemukakan diatas berguna untuk menilai sifat-sifat

kekonsistenan suatu penduga tersebut.

2.5.3 Efisien

Suatu penduga n

dari yang ditentukan berdasarkan sampel acak berukuran

n dikatakan efisien, jika dua buah syarat berikut dipenuhi:

a. Untuk n nilai 20 ,0~ Nn n

b. Ragam 2 ini lebih kecil dari ragam setiap penduga lainnya.

Akibat syarat pertama mengenai 00

nnE , haruslah juga n

merupakan penduga tak bias. Syarat pertama ini berhubungan dengan limit pusat.

2.5.4 Ragam Minimum

Apabila untuk suatu parameter terdapat lebih dari satu macam penduga tak

bias, maka penduga yang dipilih sebagai penduga yang lebih baik atau yang

terbaik ialah yang memiliki ragam sekecil-kecilnya. Hal ini disebabkan karena

ragam penduga tersebut adalah ukuran penyebaran penduga di sekitar nilai tengah

45

populasi. Jika misalnya n

merupakan penduga tak bias dari maka sesuai

dengan ketidaksamaan Chebyshev

0,12

2

P

Dengan demikian, bertambah kecil 2 akan bertambah besar pula batas bawah

peluang memperoleh di dalam selang , .

Suatu penduga tak bias yang memiliki ragam terkecil diantara semua

penduga tanpa bias lainnya, dan sifat-sifat ragam terkecil ini berlaku untuk semua

kemungkinan nilai-nilai parameter dinamakan Penduga Tak Bias dengan Ragam

Terkecil Seragam (Uniformaly Minimum Ragamce Unbiased Estimator) yang

selanjutnya disingkat sebagai UMVUE.

Dari sifat-sifat diatas, khususnya persoalan penentuan nilai UMVUE

adalah suatu hal yang sangat penting dalam inferensi. Terdapat dua cara dalam

menentukan UMVUE. Cara pertama adalah dengan menggunakan pengertian

statistik cukup lengkap yang diperkenalkan oleh R. A. Fisher, dan cara kedua

dengan mengunakan ketidaksamaan Cramer-Rao. Cara kedua ini baru diterapkan

apabila dengan cara yang pertama, yakni dengan konsep statistik cukup lengkap

UMVUE tidak ada atau tidak mudah didapatkan.

46

2.6 Penentuan UMVUE.

2.6.1 Statistik Cukup Lengkap

Definisi 2.6.1

Misalkan X1,...,Xn peubah acak dari suatu populasi dengan parameter , maka

suatu fungsi 'xt adalah statistik cukup untuk parameter , jika fungsi peluang

(kepekatan) bersyarat ',,1 xtXX n tidak bergantung kepada (bebas dari)

parameter .

Dari definisi 2.6.1 diatas dapat dilihat bahwa sampel acak nXX ,,1 itu sendiri

merupakan statistik cukup. Akan tetapi, dimensi sampel acak ini adalah n lebih

besar dari pada dimensi rata-rata sampel yang berupa skalar. Pengurangan dimensi

statistik cukup menjadi sekecil-kecilnya tanpa kehilangan informasi yang

diperoleh untuk penduga parameter sebaran adalah suatu hal yang sangat penting

didalam inferensi statistik. Statistik cukup yang mempunyai dimensi terkecil ini

disebut statistik cukup minimum. (Nasution dan Rambe, 1984: 205-207)

Definisi 2.6.2

Misal X peubah acak dengan fungsi kepekatan probabilitas ,;xf ,

sedangkan adalah ruang parameter, yakni gugus semua nilai yang mungkin

diambil oleh . Sebaran peubah acak X disebut sebaran lengkap jika untuk suatu

fungsi Xs dan untuk setiap nilai dan X,

0XsE

mengakibatkan 0Xs . (Nasution dan Rambe, 1984: 211)

47

2.6.2 Batas Bawah Cramer-Rao

Jika statistik cukup lengkap suatu distribusi tak ada atau sulit ditentukan

maka UMVUE dapat ditentukan dengan konsep pertidaksamaan Cramer-Rao.

Misal kita ingin menetukan UMVUE dari g . Dengan menggunakan konsep

pertidaksamaan Cramer-Rao akan berlaku, apabila dalam penentuannya berdasar

pada asumsi bahwa fungsi distribusi yang jadi perhatian kita adalah memenuhi

beberapa syarat ketentuan. Adapun syarat-syarat tersebut Lehman (1983: 406)

antara lain sebagai berikut:

Misalkan nXXX ,, 21 merupakan peubah acak bebas dan identik masing-

masing dengan identitas ,xf , maka:

1) dan, merupakan suatu interval terbuka

2) Distribusi jydariyG mempunyai support bersama sehingga

himpunan dari 0 jygyA bebas dari .

3) Ay densitas yg dapat didefensialkan tiga kali terhadap dan

turunan ketiga kontinu dalam .

4)

,,,0,,,0ln

xxEygE F kontinu dalam kitaran

0 ,

,,

x dan ,,3 x terbatas pada fungsi terintegral xG

dalam kitaran ini, serta

,,

xEF tidak bernilai nol dan integral

dyyg dapat dideferensialkan dua kali terhadap tanda integral.

48

5) IygEygE

lnln

6) Informasi Fisher I dalam asumsi (5) diatas memenuhi ketentuan

I0

7) yMyg

ln untuk semua A, yMEdenganc

00

8) 01ˆ

1ˆ0

n

jjp ygIn

ndanOn

Lemma 2.6.1

Jika asumsi (1) sampai dengan (8) dipenuhi maka 1ˆ0 pOn

Bukti:

Jika 01

1ˆ

n

jjygIn

n kita ekspensikan menurut deret Taylor disekitar

0ˆ maka diperoleh

nO

B

Aatau

nOBA

nOyg

nygIn

n

pn

npnn

p

n

jj

n

jj

1ˆ1ˆ

1ˆ110

00

01

2

2

100

berdasarkan asumsi (4) dan (5) diatas, maka

1ˆ1ˆ00 Pp Onsehingga

nO

(Terbukti).

49

2.7 Fungsi Likelihood Parametrik dan Empiris

Dalam inferensi statistik terdapat dua persoalan penting yakni pendugaan

dan uji hipotesis, kedua inferensi tersebut masing-masing bertujuan untuk

membuat pendugaan dan pengujian suatu parameter populasi dan informasi

sampel yang diambil dari populasi tersebut. Dalam pendugaan parametrik,

penentuan penduga parameter dapat dilakukan dengan banyak metode, salah satu

diantaranya adalah metode maximum likelihood. Metode ini merupakan metode

yang sangat berguna untuk mendapatkan penduga UMVUE.

Dalam uji hipotesis, untuk mendapatkan statistik uji yang merupakan

fungsi dari sampel, dapat dilakukan dengan banyak metode. Salah satu

diantaranya adalah metode uji ratio likelihood. Metode ini sangat kaitannya

dengan fungsi likelihood maupun maximum likelihood estimator (MLE).

Selanjutnya jika nXXX ,, 21 berdistribusi bebas dan identik dari suatu populasi

dengan fungsi kepadatan probabilitas kxf ,,, 21 maka fungsi likelihood

dapat disyaratkan sebagai:

n

ikink xfxxxLxL

121211 ,,,,,,,


Definisi 2.7.1 (Maximum Likelihood Estimator)

Misal xL fungsi likelihood untuk peubah acak nXXX ,, 21 . Jika x suatu

nilai parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood xL , maka x

50

merupakan maximum likelihood estimator (MLE) dari . (Casella dan Berger,

1990: 289)

Definisi 2.7.2 (Uji Ratio Likelihood Parameter)

Statistik uji ratio likelihood untuk pengujian hipotesis 00 : H versus

CH 01 : adalah:

xL

xLx

sup

sup0

Dari definisi (2.7.2) diatas, n merupakan MLE dari dan statistik uji rasio

likelihood atau Likelihood ratio test (LRT) tersebut merupakan statistik uji yang

mempunyai daerah penolakan berbentuk 10, ccxx .

Misalkan merupakan maximum likelihood estimator (MLE) dari ,

diperoleh dengan memaksimalkan secara tak terbatas (restricted maximization)

dari xL . Maximum likelihood estimator (MLE) dari , disebut juga 0 .

Asumsikan 0 adalah ruang parameter. Maka x00ˆˆ dimana 0 yang

dimaksimumkan oleh xL . Maka, Likelihood ratio test (LRT) adalah

xL

xLx

0


51

Pada umumnya dalam praktek masih sering terdapat dua kesulitan yang

dihadapi sehubungan dengan uji rasio likelihood di atas. Pertama adalah

penentuan nilai kritis c, jika distribusi dari x tidak dapat atau sukar ditentukan.

Namun demikian kesukaran ini diatasi yakni dengan cara mengambil jumlah

sampel yang berukuran besar, sehingga distribusi dari xlog2 akan

mendekati distribusi Chi-kuadrat. Kedua, adalah penentuan 0

nL dan nL .

nL tercapai jika disubtitusikan dengan penduga kemungkinan

maksimumnya. Tetapi penentuan sedang 0

nL dalam beberapa hal masih tetap

menjadi masalah kecuali jika 0 hanya terdiri atas satu titik saja (hipotesis

sederhana). Perlu pula diperhatikan bahwa parameter adakalanya berbentuk

vektor. (Nasution dan Rambe, 1984: 312)

Pada umumnya pada persoalan inferensi yang selama ini kita kenal adalah

inferensi suatu parameter populasi dengan asumsi bahwa bentuk distribusinya

diketahui misalnya normal, sehingga mudah bagi kita dalam melakukan

inferensinya, yakni dengan inferensi parametrik. Namun demikian jika bentuk

distribusi dari populasinya sulit diketahui atau bahkan tidak diketahui sama sekali,

maka kita tidak dapat melakukan inferensi dengan cara parametrik melainkan

dengan inferensi dengan yang lain yakni nonparametrik. Salah satu metode untuk

mengatasi persoalan ini antara lain dapat digunakan metode likelihood empiris.

(Owen, 1991: 1725)

52

Definisi 2.7.3 (Fungsi likelihood empiris)

Misal nXXX ,, 21 suatu sampel yang berdistribusi bebas dan identik dari

distribusi F yang tidak diketahui dan mempunyai nilai tengah , fungsi likelihood

empiris didefinisikan sebagai

n

i

piFL1

dengan ixXpi Pr

(Owen, 1991: 1726)

Definisi 2.7.4 (Ratio likelihood empiris)

Jika FL suatu fungsi likelihood empiris dan xFn suatu fungsi distribusi

empiris maka ratio likelihood empiris didefinisikan sebagai:

n

i

piFnL

FLFR

1

dengan

n

iXn in

xF1

1 , dalam hal ini xXX ii

I .

Selanjutnya misalkan diasumsikan bahwa informasi parameter , dan

fungsi distribusi F tersedia dalam bentuk fungsi pendugaan yang bersifat tak bias

diketahui, yakni 0,, xEF , dengan menyatakan perbedaan dua distribusi

populasi atau

0,,00 xxx GIxdanxGxF

i

Maka profil fungsi rasio likelihood empiris didefinisikan sebagai berikut (Owen,

1991: 1726-1728 & Namba), yaitu:

53

Definisi 2.7.5 (Fungsi Rasio likelihood empiris)

Jika FR suatu rasio likelihood empiris 0, xEF merupakan fungsi

pendugaan tak bias maka fungsi rasio likelihood empiris dapat didefinisikan

sebagai:

n

ii

n

i

n

iE xpipipipinSupR

111

0,,1,0

Berdasarkan uraian tersebut diatas, dan mengkombinasikan fungsi-fungsi

likelihood antara model parametrik dengan model nonparametrik, akan didapatkan

model semi-parametrik dapat didefinisikan sebagai berikut:

Misal nn yyyxxx ...,,,;...,,, 2121 sampel-sampel random yang saling bebas

dan nxxx ...,,, 21 berdistribusi identik dari xF yang tidak diketahui dan

nyyy ...,,, 21 berdistribusi identik dari yG yang diketahui, maka secara umum

fungsi likelihood semi-parametrik dapat didefinisikan sebagai berikut:

m

jj

n

iSE ygpiFL

11

,

Dengan pi dalam persamaan memenuhi kendala sebagai berikut:

n

i

pipi1

1,0

Rasio likelihood semi-parametrik dapat dinyatakan sebagai:

m

jj

m

jj

n

i

Piyg

ygpi

SupR

1

11

,,

Dengan pi memenuhi kendala: 0,,1,011

i

n

i

n

i

xpipipi .

54

Bentuk rasio ,R dalam persamaan diatas digunakan untuk mengkaji

hipotesis kesamaan dua distribusi dalam model semiparametrik yakni

000 : GFH Versus 000 : GFH

atau 0:0 H versus 0:0 H . Dalam uji tersebut parameter dan 0x dari

distribusi 00 xG diketahui. Seperti pada pembahasan sebelumnya, jika bentuk

distribusi dan rasio likelihood semi-parametrik diatas sukar atau tidak mudah

untuk didapatkan, maka dengan menggunakan pendekatan teorema-teorema pada

sampel besar, secara asymtotis bentuk distribusi dari persamaan diatas dapat

ditentukan.

Untuk mendapatkan bentuk distribusi tersebut, perlu ditentukan terlebih

dahulu persamaan fungsi likelihood semi-parametrik yang memenuhi syarat-syarat

regularitas. Persamaan fungsi likelihood semi-parametrik ini merupakan

persamaan utama yang berperan didalam penurunan statistik uji dengan bentuk

pengujian semi-parametrik.

2.8 Kajian Agama

Allah SWT berfirman dalam QS Fathir, 35: 28 yang berbunyi:

Artinya: “. . .Sesungguhnya yang takut kepada Allah di antara hamba-hamba-Nya, hanyalah ulama . . .” (QS Fathir (35): 28)

55

Dalam ayat diatas dikatakan bahwa ‘alim (orang-orang yang berilmu)

adalah orang-orang yang mempunyai akal sehat dan hati yang terhubung dengan

Allah SWT, dimana bahasa keimanan mereka akan sesuai dengan ucapan-ucapan

ilmiahnya sehingga bahasa dan tanda-tanda yang ada dimuka bumi ini dianggap

sebagai buku pengetahuan atau ilmu bagi mereka. (Pasya, 2004: 2)

‘Alim (orang-orang yang berilmu) disini tidak hanya orang-orang yang

mempelajari ilmu agama, tetapi mereka juga mempelajari ilmu-ilmu lainnya.

Telah dijelaskan di depan bahwa ilmu disini hanya sebagai sarana dan Allah SWT

telah menciptakan ilmu dimuka bumi ini dalam berbagai bentuk, termasuk

didalamnya adalah matematika.

Jika umat Islam mau melihat ke belakang, melihat kembali masa-masa

kejayaan Islam dalam pengembangan ilmu pengetahuan, maka akan ditemui

banyak tokoh-tokoh dari umat Islam yang telah begitu berjasa bagi dunia modern

sekarang. Banyak tokoh dari kalangan Islam yang telah memberikan sumbangan

besar dalam pengembangan ilmu pengetahuan, termasuk matematika. Salah satu

tokoh Islam yang terkenal sebagai matematikawan yaitu, Al-Khwarizmi yang

telah memberikan sumbangan yang gemilang dalam perkembangan matematika

selanjutnya. Bukankah sistem bilangan nol adalah sumbangan beliau. Kata “zero”

untuk mengatakan nol tidak lain berasal dari bahasa Arab, “sifr” kata “sifr”

mengalami perubahan terus menerus, yaitu cipher, zipher, zephirum, zenero,

cinero, dan banyak lagi lainnya sampai menjadi zero. Kata “aljabar” tidak lain

diambil dari kitab matematika “Al-kitab al-mukhtashar fi hisab al-jabr wa al-

muqabalah” karya Al-Khwarizmi. Kata “Al-Khwarizmi” mengalami perubahan

56

ke versi latin menjadi “algorismi”, “algorism” , dan akhirnya menjadi

“algorithm”. (Mohamed, 2001 dalam Abdusysyakir, 2007: 97, 99)

Para ilmuwan dalam Islam mengharapkan kita dalam belajar terutama

belajar matematika. Hendaknya tidak hanya memiliki kemampuan intelektual

saja, tetapi perlu didukung secara bersamaan dengan kemampuan emosional dan

spiritual.

Kemampuan berfikir jernih (intelektual) atau kemampuan berkosentrasi

sangat dipengaruhi oleh perasaan (emosional), dan emosional sangat dipengaruhi

oleh pemahaman keagamaan (spiritual). Kalau hati tenang, lapang, selapang

lautan luas, maka pikiran akan mampu bekerja maksimal. Tenagnya hati, sesuai

tuntutan Al-Qur’an, akan tercapai melalui aktifitas berdzikir. Dzikir dalam arti

yang sangat luas. Sebagaiman firman dalam Al-Qur’an surat Ar-Ra’d ayat 28.

Artinya: “(yaitu) orang-orang yang beriman dan hati mereka manjadi tenteramdengan mengingat Allah. Ingatlah, hanya dengan mengingati Allah-lah(dzikrullah) hati menjadi tenteram” (Ar-Ra’d (13): 28)

Sesuai ayat tersebut, jelas hanya dzikirlah (spiritual) yang dapat

menenangkan perasaan (emosional). Inilah yang dapat dilakukan oleh seorang

ilmuwan muslim.

57

Dalam tulisan ini, peneliti mengharapkan kita mampu mempelajari ilmu

yang telah diciptakan Allah SWT dengan baik, terutama ilmu matematika. Karena

di dunia modern ini, ternyata masih ada umat Islam yang membenci matematika

dan menyatakannya sebagai ilmu kafir. Abdusysyakir, 2007: 98-100 memuat hal

tersebut dikarenakan yaitu:

Pertama, Karena matematika dianggap sebagai ilmu pasti. Kepastian

dalam matematika memang dapat menjebak pola pikir manusia. Pola berpikir

logis dengan instrumen jika-maka kadang dapat membawa manusia pada pola

pikir yang salah dan kadang mengesampingkan keberadaan Tuhannya. Orang

yang berpikir bahwa 1 ditambah 1 hasilnya pasti 2 sebenarnya sudah terjebak

pada pola pikir yang keliru. Padahal 1 ditambah 1 tidak mesti hasilnya 2. Bisa

diperoleh banyak jawaban dari persoalan 1 ditambah 1 hasilnya berapa. Orang

yang berpikir bahwa “Jika giat bekerja, maka pasti kaya” sudah terjebak pada

logika yang salah. Tidak selamanya orang yang giat bekerja maka akan kaya raya.

Justru ada yang tidak giat bekerja, tetapi menjadi jutawan. Jika manusia giat

bekerja dan kemudian menjadi kaya, maka ia dapat mengatakan bahwa kayanya

karena jerih payahnya. Ia mulai tidak mengakui bahwa kayanya tidak lain karena

kehendak Tuhannya. Inilah kekafiran itu. Inilah pola berfikir yang kadang

merupakan imbas dari logika dalam matematika. Inilah pola pikir yang

mengagungkan kepastian yang dapat membawa kepada kekafiran. Perlu diingat,

bahwa di atas logika matematika yang merupakan logika insaniyah masih terdapat

logika ilahiyah.

58

Kedua, karena matematika dalam sejarahnya dikembangkan orang-orang

nonmuslim. Gaung perkembangan matematika memang lebih keras terdengar dari

dunia Barat yang mayoritas nonmuslim. Banyak umat Islam yang tidak

mengetahui bahwa Islam pernah berjaya dengan pengembangan matematika.

Ketiga, karena sebagian umat Islam tidak mengetahui bahwa Al-Qur’an

yang merupakan kalam Allah juga berbicara matematika. Al-Qur’an sebenarnya

berbicara tentang bilangan, aljabar, geometri, dan pengukuran, serta statistik.

Keempat, karena umat Islam terpengaruh oleh atau salah memahami

pendapat Imam Al-Ghazali, Imam Al-Ghazali membagi ilmu menjadi dua, yaitu

ilmu yang fardhu kifayah. Artinya, jika 1 orang saja dari umat Islam telah belajar

matematika, maka kewajiban belajar matematika menjadi gugur bagi umat Islam

lainnya. Jika kemudian semua umat Islam merasa bahwa sudah ada seorang

muslim yang mempelajari matematika, padahal sebenarnya tidak ada, lalu

siapakah yang menaggung dosanya? Apakah tidak sebaiknya mereka mempelajari

matematika meskipun fardhu kifayah? Bukankah mendapat pahala lebih baik

daripada menaggung dosa?

Dari sinilah peneliti mempunyai harapan yang besar, alangkah indahnya

jika pada saat-saat mendatang banyak ulama’ terutama umat Islam yang dengan

ilmu keagamaannya sudi belajar dan mengajarkan matematika dikehidupan

sehari-hari, baik kehidupan agama maupun kehidupan umum. Semua itu

dimaksudkan dengan tujuan mencapai kehidupan beragama yang di ridhoi oleh

Allah SWT. Amin.

59

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Penentuan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan

Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)

Model dari distribusi semi-parametrik diasumsikan sebagai model yang

ditentukan melalui bentuk semi-parametrik, artinya suatu model yang didasarkan

pada bentuk dua sampel random yang saling bebas, dimana yang satu berdistribusi

parametrik dan yang kedua berdistribusi nonparametrik. Untuk menentukan model

distribusi semi-parametrik tersebut, menggunakan langkah-langkah sebagai

berikut:

1. Menentukan Nilai Maksimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris

Misal mn yyyyxxxx ,,,,;,,,, 321321 merupakan nilai-nilai pengukuran

dari dua sampel random ix dan jy yang saling bebas dan nxxxx ,,,, 321

berdistribusi identik dari xF yang tidak diketahui dan myyyy ,,,, 321 juga

berdistribusi identik dari yG yang diketahui. Dari kondisi tersebut, secara

umum dapat dibentuk fungsi likelihood masing-masing sebagai berikut i

n

ip

1 dan

jm

jyg

1 , karena diasumsikan bahwa kedua sampel tersebut saling bebas satu

terhadap yang lain, maka fungsi likelihood dari kedua distribusi tersebut dapat

dinyatakan sebagai berikut:

jm

j

n

iSE ygPiFL

11,

. . .(1)

60

Di dalam persamaan (1) memenuhi kendala:

n

iii pp

1

1,0 . . .(2)

Nilai maksimum (1) diperoleh dengan pengali Lagrange terhadap kendala (2),

yakni sebagai berikut:

n

ii

n

jj

n

iiSE pygInpInH

111

1 . . . (3)

Jika persamaan (3) didefensialkan terhadap ip diperoleh:

01

ii

SE

pp

H memberikan

ip

1 . . . (4)

Atau

011

n

ii

i

SEn

ii pn

p

Hp memberikan n . . . (5)

Dari persamaan (4) dan (5), diperoleh bahwan

pi

1 . . . (6)

Persamaan (6) tersebut adalah nilai maksimum untuk ip sebab:

01

2

2

ii

SE

pp

H untuk setiap 0ip sehingga n

i

n

inp

1 . . . (7)

Demikian juga jika persamaan (3) dideferensialkan terhadap maka diperoleh:

0

11

m

j j

jj

m

ji

SE

yg

ygygIn

p

H

. . . (8)

Karena jyg memenuhi asumsi kondisi regularitas, maka MLE-nya merupakan

penyelesaian dari (8). Misal

merupakan MLE sampel kedua yang mempunyai

fungsi kepekatan probabilitas jyg , maka maksimum dari jm

jyg

1 adalah

61

jm

jyg

1 . Dari uraian tersebut secara umum persamaan (1) diatas mempunyai

nilai maksimum jm

j

n ygn

1

.

2. Menentukan Nilai Maksimum dari Ratio Likelihood Semi-Parametrik

Selanjutnya berdasarkan nilai maksimum di atas dan rumusan hipotesis

000 : xGxFH versus 001 : xGxFH atau 0:0 H versus

0:0 H , dengan 00 xGxF , maka akan terbentuk rasio likelihood

model semi-parametrik sebagimana pada persamaan (1) di atas, dan bentuk ratio

likelihood semi-parametrik dapat dinyatakan sebagai:

m

jj

m

jj

n

ii

pyg

ygnp

SupRi

1ˆ

11

,,

. . . (9)

Dengan ip memenuhi kendala 0,,1,011

n

iii

n

iii xppp . . . (10)

dengan 00,, xGIx xxi i . . . (11)

Seperti pada pembahasan sebelumnya, jika pembilang pada persamaan (9) yakni

m

jj

n

ii

pygnpSup

i 11,

dinyatakan sebagai:

m

ij

n

ii

pSE ygInpInSupH

i 11

, . . . (12)

maka, nilai maksimum (9) diperoleh dengan pengali Langrange terhadap

kendala (10) maka diperoleh:

62

n

iii

m

j

n

iij

n

ii xpnpygInpInH

11 11

,,1)(, (13)

3. Menentukan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan

Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)

Apabila persamaan (13) tersebut terdeferensialkan terhadap ip , maka

diperoleh:

n

iii

m

j

n

iij

n

ii xpnpygInpInH

11 11

,,1)(, (13)

0,,1

iii

xnpp

H . . . (14)

atau

n

i ii n

p

Hp

1

0 . . . (15)

Dari persamaan (14) dan (15), diperoleh

,,

1

ii xn

p . . . (16)

Dan nilai dari persamaan (16) didapatkan dengan cara mensubstitusikan

persamaan (16) kedalam persamaan (10), sehingga diperoleh:

0,,1

n

iii xp atau

0

,,1

,,1

1

n

i i

i

x

x

n

. . . (17)

selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (17) kedalam persamaan (12)

akan diperoleh:

m

jj

n

iiSE nInnygInxInH

11

,,1, . . . (18)

Jika persamaan (18) dideferensialkan terhadap , maka akan diperoleh model

distribusi semi-parametrik yang akan menjadi dasar untuk penurunan statistik uji,

63

berkaitan dengan rumusan hipotesis di atas, yakni sebagai berikut:

0

SEH

memberikan bentuk modelnya, yaitu:

m

j

jn

i i

iygIn

nx

x

n 11

1

,,1

,,0

1

. . . (19a)

3.2 Penentuan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan

Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)

Statistik uji dari distribusi semi-parametrik diasumsikan sebagai statistik

uji yang ditentukan melalui bentuk semi-parametrik, artinya suatu statistik uji

yang didasarkan pada bentuk dua sampel random yang saling bebas, dimana yang

satu berdistribusi parametrik dan yang kedua berdistribusi nonparametrik sesuai

dengan langkah-langkah yang terdapat pada penentuan model distribusi semi-

parametrik dengan menggunakan Metode Ratio Likelihood Semi-Empiris

(MRLSE).

Setelah diperolah model distribusi semi-parametrik yang akan menjadi

dasar untuk penurunan statistik uji, yaitu

m

j

jn

i i

iygIn

nx

x

n 11

1

,,1

,,0

1

. . . (19a)

Dengan

,,

,, ii

xx

64

Maka dibuat beberapa asumsi sebagaimana dalam Qin (1997) yakni bahwa

terhadap kondisi Regularitas

memenuhi

0

LIn

, dan untuk

1ˆ0 pn serta 0

'0 ,0 Nn d

. . . (19b)

Untuk menurunkan statistik uji dua distribusi dalam model semi-

parametrik menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menentukan Kondisi Regularitas dengan Probabilitas Sama dengan

Satu

Dengan menggunakan asumsi diatas sebagai asumsi (1), diperoleh hasil

sebagaimana dinyatakan pada lemma berikut:

Lemma 3.2.1

Misal memenuhi asumsi bahwa dalam (19b) di atas maka dengan

probabilitas sama dengan satu

a)

n

nO

loglogˆ0

b)

,

,1

S

seragam pada

30

1ˆ:n

untuk n dengan

n

ii

n

ii

xn

S

xn

1

2

11

,,1

,

,,1

,

. . . (20)

65

Bukti:

a). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor tentang 0 , kita peroleh

200

1

ˆ2

1ˆ

ˆˆlog1

0

nnn

n

ii

C

CBA

lL

n

Dimana

n

iin l

nA

10

1

n

iin l

nB

10

1

n

iiin YXH

nC

1

,1

Dan

1

Maka

n

nn

B

CA 0

0

66

Terlihat bahwa

0

,1,

,,

,,

,,

,,

,

,

,

,log

0

0

1

0

0

0

0 0 0

0

1

0

0

0

0 0 0

0

1

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

xdFxGxtdFtG

xdFxGxdyxG

ygtdFtG

xdFxGxdyxG

ygtdFtG

tdFtG

xdFdyygyxI

xG

yg

lE

x

x

i

Karena nA adalah nilai tengah dari peubah acak yang identik dengan nilai tengah

0 dan matrik kovarian 0I . Karena hukum iterasi logaritma,

n

nOAn

loglog

Maka, nB adalah nilai tengah dari peubah acak yang identik dengan nilai tengah

01 . Karena dalam hukum bilangan besar, 11 0 oBn konvergen

hampir pasti. Demikian juga, 1OCn yang konvergen hampir pasti pula. Dalam

kenyataannya,n

nn

B

CA 0

0

dan kekonsistenan yang kuat dari ,

mengakibatkan

n

nO

loglogˆ0

b). Untuk pembuktian bagian ini bisa diabaikan.

67

2. Menentukan Nilai Minimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris

Dengan asumsi (2) yang serupa dengan asumsi (1), diperoleh hasil

sebagaimana dinyatakan pada lemma berikut:

Lemma 3.2.2

Jika diasumsikan bahwa kondisi pada lemma 3.2.1 berlaku, maka n

dengan probabilitas sama dengan satu ,SEH mencapai nilai maksimum pada

~

, dalam bola ~~~

,1

30 dann

memenuhi persamaan:

0~

,~

1 n

dan

0~

,~

2 n

dengan

n

i i

in x

x

n 11 ,,1

,,1~,

~

. . . (21a)

dan

n

i i

im

j

jn x

x

n

ygIn

n 112 ,,1

,,11~,

~

. . . (21b)

Bukti:

Misal

30

1

n

dengan menggunakan lemma 3.2.1 (b) dan ekspansi

n

iixIn

1

,,1 menurut deret Taylor, maka dengan probabilitas sama

dengan satu untuk n diperoleh:

68

3

121

3

1

1

1

3

1

1 1

1

3

1

1 1

2

3

12

1 11

,

,

2

,,,

,

2

1

,,,,2,

,

2

1

,,,,22

1

,,2

1,,,,1

noS

n

noxS

noxxS

noxx

noxxxIn

n

ii

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

ii

Selanjutnya dengan ekspansi

,

,2

S menurut deret Taylor di sekitar 0

diperoleh:

3

1

2

02

12

1

,

,,

2nO

S

n

Dengan menggunakan hukum iterasi logaritma lemma (2.4.1) dan hukum bilangan

besar diperoleh

3

1

2

21

01

,

,loglog

0

2nO

E

En

n

n

69

Dengan demikian untuk n cukup besar diperoleh

3

1

2

21

01

1 ,

,loglog

0

2,,1 nO

E

En

n

nxIn

n

ii

karena seragam pada

3

1

0: n maka diperoleh:

3

1

21

2

01

1 ,

,

2

1,,1 n

E

E

xInn

ii

Selanjutnya dengan menggunakan lemma 3.2.1 (a),30

1ˆn

dan untuk n

cukup besar, maka dengan probabilitas sama dengan satu diperoleh:

3

1

3

1

2

21

3

1

2

21

001

1

,

loglogloglog

2

,

,loglog

0

2,,1

nO

nOE

n

no

n

no

n

nOE

En

n

nxIn

n

ii

70

Oleh karena itu dengan probabilitas sama dengan satu, untuk n cukup

besar berarti bahwa:

n

ii

n

ii xInxIn

21

,,1,ˆ,ˆ1 untuk semua30

1

n

atau dapat dikatakan bahwa ,, SESE HH

. Karena

didalam bola

30

1:

n dan ,SEH fungsi kontinu pada , maka ,SEH

mempunyai minimum pada

30

1:

n . (Terbukti)

3. Menentukan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan

Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE)

Dengan asumsi (3) yang serupa dengan asumsi (1), diperoleh hasil

sebagaimana dinyatakan pada teorema berikut:

Teorema 3.2.1

Jika kondisi pada lemma 3.2.1 berlaku, maka terhadap hipotesis

000 : xGxFH untuk n ratio likelihood semi-parametrik ,~

2 RIn

berdistribusi 21X dengan

m

jjj

m

ii ygInygInxInRInSERIn

1ˆ~

1

2,~

,~

12,~

22

71

Bukti:

Misal ~~

dan ~

merupakan penyelesaian dari persamaan (21a) dan (21b),

dan 0~

0 n , dengan mengekspansikan persamaan (21a) dan (21b)

dengan mengunakan deret Taylor di sekitar 0~ dan 0

~ diperoleh:

00~,0~,0

,0~

,~

00~,0~,0

,0~

,~

020

02022

010

01011

nnn

nn

nnn

n

pO

po

. . . (22a)

Selanjutnya misal diketahui bahwa 0~ dan 0

~ berlaku

n

ii

n

iin n

xn 1

01

01 ,1

,,1~

,~

n

ii

m

jn n

ygInn 1

01

2

2

2 ,11~

,~

0

n

ii

n

iin n

xn 1

02

10

21 ,

1,,

1~,

~

,1

,,1~

,~

01

02

i

n

iin n

xn

. . . (22b)

Maka jika persamaan (22b) disubstitusikan pada persamaan (22a) maka

diperoleh:

n

m

jj

n

n

ii

n

ii

m

jj

n

ii

n

ii

Opn

Opn

nn

nn

1

10

0

10

10

10

2

10

,1

,1

0~

~

,1

,1

,1

,1

. . (23)

72

Jika persamaan (23) disederhanakan diperoleh

1

0~

~10 OpA

n

nn

. . . (24)

dengan

n

ij

n

ii

n

nn

n

n

10

2

1

10

2

1

2

1

,

,

dan

n

ii

n

ij

n

ii

n

ii

nn

nn

ac

baA

10

10

2

1

10

2

10

,1

,

,1

,1

Dengan menggunakan hukum bilangan besar, matrik A dapat dinyatakan sebagai:

,

,,

00

02

101

iEI

EE

ac

baA

. . . (25)

Dan

ygInEIm

j

1

2

2

0 ( 0I dinamakan informasi fisher)

Dengan cara yang sama jika persamaan (24) disederhanakan, maka akan

diperoleh:

11

0~

~

21

21

2

0 Opac

ba

cban

n

nn

nn

. . . (26)

Demikian juga berdasarkan lemma 2.6.1 diperoleh:

10 Opn . . . (27)

73

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (26) dan (27), limit distribusi dari

rasio likelihood semi-parametrik dapat ditentukan, yakni dengan ekspansi deret

Taylor sampai orde kedua terhadap ˆ,~

,~

disekitar 00 ,,0 sebagai berikut:

1~,

~,

~0

~,2

0~

,ˆ,2

~,20

~,2

2,~

,~

12,~

2

2

01

0

2

01

001

0

2

10

20

10

01

01

0

1ˆ~

1

Op

ygInygInxInRIn

m

jj

m

jj

m

ii

m

ii

m

jj

m

jj

m

ii

m

jjj

m

ii

(28)

Dengan mengganti 0~

,ˆ0 dan 0

~ dalam persamaan (28) seperti pada

persamaan (26) dan (27) serta menotasikan bcaKHG nn 221 ,, serta

cbaL

2

1, a diperoleh:

Lc

aHcG

obcac

acRIn p

nn

1

1,~

2

2

2

221

74

1

12

2

122

22

1

22

)(2

1)(2

)(222,~

2

21

2222224

2222221

222223

2222222221

222

2222222

222

222221

21222

2221

OpaHcGLc

OpHbcbcHaHa

aHcGaHKaHcGbcKLc

OpHbcbcHacGHa

GcaHKHKaHcGbcKLc

Op

Hbc

GHabcGcaabHGHabcGHacGac

Hbca

aHcGbcbcHacGHacGHGcKLc

OpHcbHaGcLbHaGaHcGaL

aHcGbLHcbHaGHLaHcGGLRIn

Jadi dari uraian tersebut dapat dinyatakan bahwa

1,~

2 21 OpaHcGLcRIn

atau

11,

~2 2

2121 Opac

bcacRIn nn

. Selanjutnya akan diselidiki

distribusi dari nn acZ 21 . Dengan menggunakan ekspektasi, diperoleh:

nnnn aEcEacEZE 2121 . . . (28)

n

iin xncEcE

10

2

1

1 ,,

karena ix bersifat identik maka

n

iin xEcEncE

10

2

1

1 ,, , karena

berlakunya sifat ketakbiasan maka 01 nE .

75

Dengan cara yang sama

0

1

2

1

1

2

1

22

jj

jjj

j

n

jj

nn

dyyg

dyygyg

ygan

ygInnaE

aEaE

Karena 01 nE dan 02 nE maka 021 nnE . Selanjutnya

dengan cara yang sama nilai variasi dari Z juga ditentukan yakni sebagai berikut

,2ZEZEZVar karena 0ZE ,

maka

nnnnnn EaaEcacEZEZVar 212

222

122

212 2 ,

Karena n1 dan n2 saling bebas, maka 021 nnE sehingga berdasarkan

persamaan (25) 2222

122

21 nnnn aEcacEZVar

atau

cabcZVar 22 . Dengan demikian berdasarkan teorema 2.4.1 (Teorema

Limit Pusat) distribusi Z dengan 0ZE dan cabcZVar 22 adalah

cabcN 22,0 . Selanjutnya berdasarkan teorema 2.3.3 maka distribusi dari

76

bcac

Z

2

2

adalah 21 . Sehingga dengan demikian distribusi rasio likelihood semi-

parametrik 21~,

~2 RIn (Terbukti).

3.3 Keterkaitan antara Hasil Penelitian dengan Kajian Agama

Dalam penelitian kali ini, penulis menggunakan metode rasio likelihood

semi-empiris (MLRE). Dengan metode tersebut penulis menentukan model dan

statistik uji dua distribusi dalam persamaan likelihood semi-parametrik. Dari

sinilah mengetahui bahwa statistika adalah cabang dari ilmu matematika dan ilmu

matematika sendiri merupakan suatu bentuk ilmu yang diturunkan oleh Allah

SWT.

Dengan statistika, penulis menjadikannya sebagai alat untuk menghasilkan

suatu metode yang baru untuk dikaji dalam penelitian ini. Setelah terdapat

beberapa peneliti sebelumnya, dimana mereka telah menghasilkan beberapa

metode. Tidak ada salahnya jika tetap berusaha untuk menghasilkan metode baru

agar kita dapat mengembangkan ilmu pengetahuan yang ada. Maka, penulis

mengharapkan kita untuk bersikap pantang menyerah dan percaya diri saat

mengerjakan atau menyelesaikan suatu metode. Saat gagal atau tidak bisa

menyelesaikan, kita dituntut untuk mencari cara lain untuk menyelesaikaannya.

Harus percaya diri bahwa bisa. Coba terus, sampai pada akhirnya kita dapat

menyelesaikannya. Kegagalan dengan satu metode tidak boleh mengurangi

semangat untuk mencari metode yang lain. Saat keberhasilan tercapai maka rasa

puas dan bangga akan tumbuh. Sungguh dalam menghasilkan suatu metode yang

77

baru mengajarkan pentingnya sikap pantang menyerah dan percaya diri. Inilah

sikap mutiara yang sangat berguna dalam kehidupan.

Sikap pantang menyerah, pantang berputus asa dan percaya diri sangat

dianjurkan dan merupakan perintah dalam Al-Qur’an. Dalam hidup, jangan suka

berputus asa. Jangan apatis, tapi hiduplah dengan optimis. Putus asa itu adalah

sikap hidup orang kafir dan harus dihindari. Kita harus percaya diri dan yakin

bahwa Allah akan selalu menyertai. Sikap optimis bahwa rahmat Allah akan

selalu menyertai akan menghasilkan sikap sadar dan tawakkal. Kita perlu

merenungkan firman Allah dalam QS Al-Ankabut ayat 23

Artinya: “Dan orang-orang yang kafir terhadap ayat-ayat Allah dan pertemuandengan Dia, mereka putus asa dari rahmat-Ku, dan mereka itumendapat azab yang pedih” (QS Al-Ankabut (29): 23)

Dalam QS Yusuf ayat 87

Artinya: “Hai anak-anakku, pergilah kamu, maka carilah berita tentang Yusufdan saudaranya dan jangan kamu berputus asa dari rahmat Allah.Sesungguhnya tiada berputus asa dari rahmat Allah, melainkan kaumyang kafir" (QS Yusuf (12): 87)

78

Dalam QS Al-Hijr ayat 56

Artinya: Ibrahim berkata: "Tidak ada orang yang berputus asa dari rahmatTuhan-nya, kecuali orang-orang yang sesat" (QS Al-Hijr (15): 56)

Sehingga dalam menghasilkan suatu metode yang baru akan terbentuk

pribadi yang berkualitas dan mengasah kemampuan berfikir untuk pantang

menyerah. Sikap tersebut diharapkan bisa membawa kita semua kepada fitrah

penciptaannya, yaitu mencapai ridho Allah SWT. Dalam penelitiannya penulis

berusaha untuk memenuhi tujuan tersebut, meskipun masih sangat sederhana.

79

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian dan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa

1. Dengan menggunakan metode rasio likelihood semi-empiris (MRLSE), bentuk

model persamaan semi-parametrik diperoleh dengan menggunakan langkah-

langkah sebagai berikut:

a). Menentukan Nilai Maksimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris, yaitu

diperoleh nilai jm

j

nSE ygnH

1

.

b). Menentukan Nilai Maksimum dari Ratio Likelihood Semi-Parametrik,

yaitu diperoleh nilai

n

iii

m

j

n

iij

n

ii xpnpygInpInH

11 11

,,1)(,

c). Menentukan Model Distribusi Semi-Parametrik dengan Menggunakan

Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE), yaitu diperoleh nilai

m

j

jn

i i

iygIn

nx

x

n 11

1

,,1

,,0

1

.

2. Statistik uji distribusi semi-paramerik dengan menggunakan metode rasio

likelihood semi-empiris (MRLSE), diperoleh dengan menggunakan langkah-

langkah sebagai berikut:

80

a). Menentukan Kondisi Regularitas dengan Probabilitas Sama dengan

Satu, yaitu diperoleh nilai

1)

n

nO

loglogˆ0 .

2)

,

,1

S

seragam pada

30

1ˆ:n

untuk n

dengan

n

ii

n

ii

xn

S

xn

1

2

11

,,1

,

,,1

,

.

b). Menentukan Nilai Minimum dari Fungsi Likelihood Semi-Empiris ,

yaitu diperoleh nilai ,SEH minimum pada

30

1:

n .

c). Menentukan Statistik Uji Distribusi Semi-Parametrik dengan

Menggunakan Metode Rasio Likelihood Semi-Empiris (MRLSE), yaitu

diperoleh nilai 11,

~2 2

2121 Opac

bcacRIn nn

. Yang

dapat diturunkan dari persamaan fungsi likelihood semi-parametrik dengan

menggunakan asumsi bahwa

,,

,, ii

xx .

81

4.2 Saran

Memperhatikan hasil pembahasan, nampaknya model inferensi semi-

parametrik ini dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif inferensi dalam

statistik baik untuk penentuan selang kepercayaan selisih dua perameter populasi

(mean) dari masing-masing distribusi pembentuk model semi-parametrik, maupun

untuk bermacam-macam pengujian hipotesis yang lain, misal pengujian kesamaan

sebanyak k distribusi dari model semi-parametrik.

82

DAFTAR PUSTAKA

Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika.Malang: UIN-MalangPress.

Casella G & Berger, L. R. 1990. Statistical inference. California: Duxbury press.AIWPC.

Departemen Agama Republik Indonesia. 1992. Al-Qur’an dan Terjemahannya(Juz 1 – Juz 30) Kitab Suci Al-Qur’an. Jakarta: Gema Risalah PressBandung.

Djauhari, M. A. 1998. DIKTAT MA 391 (TEORI PELUANG). Bandung: ITB.

Dudewics, E. D. & Mishara, S. N. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung:ITB.

Ferguson, T. S. 1996. Cource in Large Sample Theory. Madras: Chapman & Hall,Inc.

Lehmann, E. L. 1983. Theory of Point Estimation. Singapore: John Wiley & Sons,Inc.

Mood, A.M. 1974. Introduction to Theory of Statistics. Tokyo: McGraw-Hill, Ltd.

Namba, Akio. Simulation Studies on Bootstrap Empirical Likelihood Test. Japan:Kobe University. Hal: 1-7

Nasution, A. H & Rambe, A. 1984. Teori Statistika. Jakarta: Bhratara KaryaAksara.

Owen, A. B. 1991. Empirical Likelihood for Linier Models. Ann Stat. Vol. 19 No.4, 1725-1747

Owen, A. B. Statistics (Monograhs on Statistics and Applied Probability 92)Empirical Likelihood. CHAPMAN & HALL/CRC.

Pasya, A. F. 2004. Dimensi Sains Al-Qur’an (Menggali Kandungan IlmuPengetahuan dari Al-Qur’an). Solo: Tiga Serangkai.

83

Qin, J. March 1997. Semiparametric Likelihood Ratio-Based Inferences forTruncated Data.. American Statistical Associtio,Vol.92, No. 437, 236-245

Rao, C. R. 1973. Linear Statistical Inference and Its Applications. Singapore:John Wiley & Sons, Inc.

Sediono. 2001. Konstruksi Statistik Uji Untuk Kesamaan Nilai Tengah DuaSampel pada Model Semi Parametrik. Jurusan Matematika FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Airlangga. Hal: 5-9

Sen, P. K. & Singer, J. M. 1996. Large Sample Methods in Statistics anIntroductions with Application. Madras: Chapman & Hall, Inc.

Yitnosumarto, S. 1990. DASAR-DASAR STATISTIKA: Dengan PenekananTerapan dalam Bidang Agrokompleks, Teknologi dan Sosial. Jakarta:Rajawali.

stokastik

Documents