Download - Studiul Experimental Al Efectului Hall
UNIVERSITATEA BUCURESTI FACULTATEA DE FIZICA
LUCRARE DE DIPLOMA
STUDIUL EXPERIMENTAL AL EFECTULUI HALL
Indrumator: Conf. Dr. Petrica Cristea
Absolvent: Razvan C. Zamfir
1
Cuprins
Cuprins .................................................................................................................................................................... 1 CAPITOLUL I. INTRODUCERE ......................................................................................................................... 3
I.1 Scurt istoric .................................................................................................................................................... 3 CAPITOLUL II. CONSIDERATII TEORETICE ELEMENTARE ....................................................................... 5
II.1. Consideratii generale .................................................................................................................................. 5 II.2 Efectul Hall ................................................................................................................................................... 9
CAPITOLUL III. SENZORI PE BAZA DE EFECT HALL................................................................................. 17 III. 1 Introducere................................................................................................................................................ 17 III. 2. Senzori Hall de baza................................................................................................................................ 19 III.3. Senzori cu semnal de iesire analog........................................................................................................... 20 III. 4. Caracteristici de semnal / caracteristici de putere.................................................................................... 21 III.5. Functia de transfer a senzorului Hall ........................................................................................................ 21 III.6. Senzori cu semnal de iesire digital ........................................................................................................... 23 III.7. Functia de transfer a senzorilor cu iesire digitala ..................................................................................... 24 III.8. Caracteristici de intrare ale senzorului cu iesire digitala .......................................................................... 25 III.9. Caracteristici de iesire ale senzorului cu iesire digitala ............................................................................ 26
CAPITOLUL IV. REZULTATE EXPERIMENTALE......................................................................................... 28 IV.1 Montaj experimental ................................................................................................................................. 28 IV.2 Rezultate experimentale ............................................................................................................................ 32
CAPITOLUL V. CONCLUZII ............................................................................................................................. 35 BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................................................... 36 ANEXA................................................................................................................................................................. 37
2
3
CAPITOLUL I. INTRODUCERE
Edwin Hall
AKA Edwin Herbert Hall
Nascut: 7-Noiembrie-1855
Locul nasterii: Great Falls,
ME
Decedat: 20-Noiembrie-1938
Locul decesului: Cambridge,
MA
Nationalitate: Statele Unite
ale Americii
Pe cand lucra la teza sa de
doctorat, avandu-l pe Henry Augustus Rowland ca indrumator, a descoperit Efectul Hall in
1879, publicat mai tarziu in American Journal of Science si in Philosophical Magazine.
Efectul apare atunci cand curentul electric este plasat intr-un camp magnetic cauzand o
diferenta de potential si un camp magnetic transversal. Masurarea diferentei de potential va
da intensitatea campului magnetic aplicat. In 1895 Hall a fost numit profesor de fizica la
Harvard, unde a activat pana la retragere, in 1921.
Universitate: Johns Hopkins University
Profesor: Physics, Harvard University (1895-1921)
I.1 Scurt istoric
Edwin Herbert Hall a descoperit efectul care astazi ii poarta numele in 1879, pe
cand, lucrand ca doctorand sub conducerea lui H. A. Rowland la Universitatea din
Baltimore, incerca sa verifice experimental teoria propusa de Kelvin in legatura cu
influenta campului magnetic asupra curentului electric dintr-un conductor.
Hall a descoperit ca, atunci cand un magnet era plasat astfel incat inductia
magnetica sau sa fie perpendiculara pe fata unui dreptunghi subtire de aur prin care
4
circula current electric, aparea o diferenta de potential pe directia perpendiculara pe
curent. A aflat ca aceasta diferenta de potential este proportionala cu curentul I care
circula prin conductor (numit si curent de comanda) si cu densuitatea de flux sau inductia
magnetica B perpendiculara pe conductor. Pentru cei interesati, un articol original al lui
Hall, despre dezvoltari si aplicatii ulterioare, se poate gasi in ANEXA 1.
Cu toate ca experimentele lui Hall au fost incununate de succes si s-au bucurat de
o primire calduroasa la aceea vreme, aplicatii in domenii din afara fizicii teoretice nu au
fost gasite decat odata cu progresul inregistrat in directia realizarii de noi materiale
semiconductoare cu proprietati remarcabile, precum si ca urmare a cercetarilor efectuate
in legatura cu studiul generatorului Hall, atat in ce priveste campul electric din placa
Hall, cit si comportarea generatorului Hall ca element de circuit.
In cele ce urmeaza va vor fi prezentatate, intr-un studiu neexhaustiv, efectul Hall
si cateva din aplicatiile sale.
5
CAPITOLUL II. CONSIDERATII TEORETICE
ELEMENTARE
II.1. Consideratii generale
Efectul Hall a fost descoperit in 1879 de catre Edwin Herbert Hall cu ocazia unor
experiente menite sa puna in evidenta influenta campului magnetic asupra curentului
electric dintr-un conductor. Aplicatiile efectelor galvanomagnetice au aparut odata cu
realizarea materialelor semiconductoare, deoarece la acestea efectele galvanomagnetice
sunt mult mai pronuntate ca in cazul metalelor. Principalul motiv il constituie faptul ca in
cazul metalelor concentratia purtatorilor de sarcina este cu aproximativ 6 ordine de
marime ( 2310≅ cm-3) mai mare decat in cazul semiconductorilor dopati mediu.
Sistemele tehnice in care se folosesc efectele galvanomagnetice pot fi denumite in
termeni generali si dispozitive galvanomagnetice.
Generatorul Hall este unul din dispozitivele cu semiconductori a carui importanta
in tehnica a devenit in ultimii ani din ce in ce mai mare.
Aplicatiile generatorului Hall sunt nuemeroase si in diferite domenii, dar in mod
deosebit se remarca aplicatiile in domeniul masurarilor campurilor magnetice si in
automatizari.
Cele mai multe dintre aceste aplicatii se bazeaza pe faptul ca tensiunea Hall este o
masura a produsului dintre marimile de comanda (I si B).
Efectele galvanomagnetice sunt folosite cu succes si in fizica experimentala,
stand la baza unor metode fundamentale de investigare a proprietatilor electrice a
corpurilor solide. Astfel, prin masurarea acestor efecte si a conductivitatii electrice, se pot
determina concentratiile si mobilitatile purtatorilor de sarcina.
De asemenea, se pot obtine informatii remarcabile asupra interactiunii dintre
purtatorii de sarcina si reteaua cristalina.
Pentru prezentarea intuitiva a efectului Hall, ne referim la o placa
semiconductoare S de grosime constanta, avind o forma oarecare. Placa este prevazuta
pe suprafetele laterale cu doi electrozi metalici 1 si 1' (Fig. 1).
Aplicand electrozilor 1 si 1' o tensiune de la o sursa, in placa se stabileste un
regim electrocinetic stationar.
6
FIG. II. 1: Configuratie generala pentru studiul efectului Hall, 0=B .
În figura s-au reprezentat calitativ liniile echipotentiale (Vc = const.). Pe fetele laterale
libere ale placii se considera doua puncte 2 si 2', astfel dispuse incat ele sa se gaseasca pe
aceasi suprafata echipotentiala. Aceasta inseamna ca intre ele, in absenta campului
magnetic, diferenta de potential este 0 (V2 – V2’=0). Pozitia celor doua puncte se poate
determina pe cale experimentala cu ajutorul a doi electrozi punctiformi γ suplimentari.
Presupunem ca, placa este introdusa intr-un camp magnetic exterior uniform si
constant in timp, de inductie B perpendiculara pe suprafata placii.
FIG. II.2: Configuratie generala pentru studiul efectului Hall, 0≠B .
În acest caz, intre punctele 2 si 2' apare o diferenta de potential, denumita tensiune Hall.
Daca inductia magnetica B este perpendiculara pe vectorul densitate de curent j in fiecare
7
punct al placii, asa cum este si cazul considerat in figura II.2, se vorbeste despre efect Hall
transversal. În situatia ca s-ar fi considerat pe fetele libere ale placii doua puncte intre care
diferenta de potential nu ar fi fost nula in absenta campului magnetic, prin tensiune Hall s-
ar fi inteles numai diferenta dintre tensiunea in prezenta campului magnetic si tensiunea in
absenta acestuia.
Aparitia tensiunii Hall intre punctele 2 si 2', care in absenta campului magnetic
erau la acelasi potential, este o indicatie ca are loc o modificare a spectrului campului
electric din placa. În figura II.2 sunt trasate calitativ noile linii echipotentiale
( constV = .).
Se poate astfel considera ca efectul Hall consta in modificarea spectrului
campului electric, respectiv a distributiei potentialului din placa semiconductoare
parcursa de curent, cind aceasta se gaseste intr-un camp magnetic. În general, se modifica
atat spectrul campului electric, cat si campul vectorilor densitatii de curent din placa.
Modificarea spectrului electric poate fi privita pe de alta parte, drept rezultat al
actiunii unui camp electric suplimentar. De aceea, se mai spune ca efectul Hall consta in
aparitia unui camp electric suplimentar in placa parcursa de curent si supusa actiunii
campului magnetic. Cand aceasta se gaseste intr-un camp electric suplimentar se numeste
cimp electric Hall.
În cadrul teoriei electronice clasice a conductiei electrice, campul Hall este
datorat distributiei de sarcina electrica aparuta pe fetele laterale libere ale placii, ca
urmare a efectului clasic al actiunii fortei Lorentz ce se exercita asupra purtatorilor
mobili cu sarcina electrica, care se deplaseaza ordonat in placa, atunci cand aceasta este
parcursa de current electric.
Spectrul campului electric se modifica numai cu inductia magnetica si nu depinde
de intensitatea si de sensul curentului ce strabate placa semiconductoare.
FIG. II.3(a): Liniile echipotentiale care trec prin punctele 2 si 2’, in prezenta campului.
magnetic.
8
Este util sa stabilim o legatura intre tensiunea Hall UH si tensiunea U11’(b)
aplicata electrozilor 1 si 1'. În figura II.3 s-au trasat liniile echipotentiale care trec prin
punctele 2 si 2’ in prezenta campului magnetic. Se observa ca tensiunea Hall este egala
tocmai cu caderea de tensiune corespunzatoare portiunii din placa semiconductoare
parcursa de curentul total I cuprinsa intre suprafetele echipotentiale care trec prin
punctele 2 si 2’.
)(/11BUU H α= )10( << α . (II.1)
Deci tensiunea Hall nu poate depasi tensiunea aplicata U11’ (B), ci este o fractiune din ea.
FIG. II.4
Consideram pe fetele laterale libere ale placii perechi de puncte 22',
33'..........................nn' (fig. II.4).
Se presupune ca aceste puncte indeplinesc conditiile:
• in absenta campului magnetic, fiecare dintre aceste perechi de puncte se gasesc pe cate
o suprafata echipotentiala (linie punctata), deci: V2’ = V2, V3’ = V3, ...,Vn’ = Vn;
• in prezenta campului magnetic sa se gaseasca pe aceeasi suprafata echipotentiala (linie
plina) perechile de puncte in urmatoarea ordine: V3=V2, V4=V3,..., Vn = Vn’-1;
• in ceea ce priveste punctele extreme 2 si 2', sa avem: V2 ≈ V1, si Vn’ ≈ V1.
Ţinand seama de interpretarea tensiunii Hall drept o cadere de tensiune si de dispozitia
particulara a perechilor de puncte considerate, este evidenta relatia:
9
(UH)22’ + (UH)33' +...+ (UH) nn’ ≈ U11’ (B), (II.2)
sau:
)()( '
'
'11
22
BUUuu
xH ≅∑
=λ . (II.3)
Prin urmare, tensiunea intre electrozii 11' este egala cu suma tensiunilor Hall
corespunzatoare unui nr. finit de perechi de puncte alese intr-un mod particular pe fetele
libere ale placii.
Cu cat perturbarea campului este mai importanta, cu atat in suma intervine un
numar mai mic de termeni.
Tensiunea Hall depinde de mai multi parametri fizici ai materialului
semiconductor. Caderea de tensiune intre punctele 2 si 2’, egala cu tensiunea Hall,
variaza direct proportional cu curentul de comanda I, deoarece spectrul electric nu se
modifica cu acesta.
Tensiunea Hall:
• creste cu inductia magnetica externa B, insa nu se poate spune ca
intotdeauna variaza direct proportional cu B.
• depinde de pozitia spatiala a punctelor de pe proba intre care se determina.
• tensiunea Hall depinde de parametrii materialului semiconductor, de
forma si dimensiunile geometrice ale placii semiconductoare si ale
electrozilor, precum si de conditiile de alimentare si de functionare ale
placii.
În conditii simplificate se poate considera ca tensiunea Hall este proportionala cu
produsul dintre curentul de comanda I care strabate placa si inductia magnetica B.
II.2 Efectul Hall
II.2.1 Conductivitatea electrica a materialelor semiconductoare
Într-un corp solid, conductor sau semiconductor, in absenta campurilor electrice si
magnetice, ca urmare a agitatiei termice, electronii se deplaseaza haotic, cu viteza
thv numita viteza de agitatie termica. Viteza medie a miscarii dezorganizate in raport cu
corpul considerat este nula, ceea ce inseamna ca densitatea de curent este de asemenea
nula.
În cazul unui semiconductor, purtatorii pot fi atat electronii, cat si golurile.
10
Aplicand o tensiune electrica din exterior in interiorul corpului solid, se stabileste un
camp electric. Asupra unui purtator de sarcina se.exercita forta EF e= . Aici, E este
intensitatea cimpului electric, iar e este sarcina electrica elementara. Sub actiunea
campului electric din exterior, peste miscarea haotica a electronilor se suprapune
componenta unei miscari suplimentare ordonate a purtatorilor de sarcina, viteza medie in
raport cu reteaua cristalina fiind diferita de zero. Aceasta corespunde stabilirii unui curent
electric.
Daca ne referim la un semiconductor cu o conductibilitate mixta, pentru
densitatea de curent se obtine expresia:
pn vvJ epen +−= , (II.4)
unde: n, p- concentratia purtatorilor de sarcina (m-3).
vn , vp - viteza de drift a miscarii purtatorilor de sarcina de un anumit tip [m/s].
Raportul dintre valoarea absoluta a vitezei medii a purtatorilor de sarcina de un
anumit tip si valoarea absoluta a intensitatii campului electric se numeste mobilitatea
purtatorilor de sarcina respective. În cazul electronilor:
Evn
n =μ . (II.5)
În cazul golurilor, relatia este similara
Evp
p =μ . (II.6)
Mobilitatea reprezinta viteza medie a miscarii ordonate a purtatorilor de sarcina de un
anumit tip corespunzatoare unei intensitati de cimp electric egala cu unitatea.
Deoarece electronii se deplaseaza in sens invers intensitatii campului electric, iar golurile
in acelasi sens, avem urmatoarele relatii in forma vectoriala:
Ev nn μ−= , (II.7a)
Ev pp μ= . (II.7b)
11
În cadrul teoriei clasice a conductiei electronice, mobilitatea se pune in legatura
cu lungimea parcursului liber al purtatorului de sarcina, respectiv cu durata "medie" τ a
miscarii “libere” a purtatorului de sarcina, intre doua ciocniri successive:
*,
,,
pn
pnpn m
eτμ = , (II.8)
unde m este masa purtatorului de sarcina. Ţinind cont de relatiile anterioare, expresia
densitatii de curent devine:
Ej ⋅+= )( pn npne μμ , (II.9)
sau:
Ej ⋅= σ . (II.10)
In ecuatia (II.10), expresia
)( pn pne μμσ += (II.11)
reprezinta conductivitatea electrica a materialului considerat (s/m). Marimea inversa
ρσ =−1 este numita rezistivitate electrica [Ω · m]. Uzual, ecuatia (II.11) reprezinta
formularea locala a legii Ohm. In particular, in cazul unui semiconductor preponderent
de tip N avem:
)nn enμσ ≅ , (II.12)
iar pentru un semiconductor de tip P
pp epμσ ≅ . (II.13)
Prin urmare, in cazul in care conductia electrica este datorata unui singur tip de purtatori
de sarcina, mobilitatea acestora poate fi exprimata ca:
)(,
, pnepn
pn ⋅=
σμ . (II.14)
12
rezistivitatea, respectiv conductivitatea electrica, este determinata de mobilitate si de
concetratia purtatorilor de sarcina. Acesti parametri, la randul lor, depind de natura
compozitiei chimice a materialului respectiv, de temperatura T si, in general, de cimpurile
electrice exterioare. Mobilitatea purtatorilor scade, in general, cu temperatura, iar
concentratia creste.
II.2.2. Coeficientul Hall. Expresia tensiunii Hall
În mod simplu, studiul efectului Hall se poate efectua pentru o geometrie
simplificata, asa cum este cea a unei placi dreptunghiulare de grosime h constanta si de
lungime teoretic infinita.
FIG. II.5: Efectul Hall in probe cu geometrie paralelipipedica.
În figura II.5 este reprezentata, intr-un sistem de coordonate cartezian, o placa
paralelipipedica de grosime h si latime l. Placa este strabatuta in directia longitudinala de
curentul de comanda I si se gaseste in campul magnetic de inductie B, perpendiculara pe
planul placii. În aceste conditii, experienta arata ca apare o diferenta de potential intre
punctele 2 si 2’, care, in absenta campului magnetic, se gasesc, potrivit discutiei din
paragraful anterior, pe aceeasi suprafata echipotentiala. Aceasta diferenta de potential
este numita tensiune Hall. Deoarece inductia magnetica B este perpendiculara in fiecare
punct al placii pe vectorul densitate de curent j avem de-a face cu un efect Hall
transversal. Se vor considera conditii izoterme pentru studiul efectului, conditii care
corespund cazului cand temperatura absoluta T este aceeasi in toate punctele placii.
Electronii (golurile) se deplaseaza ordonat dupa axa Ox cu viteza medie pnv , .
În prezenta campului magnetic, asupra electronilor (golurilor) se exercita forta
Lorentz. Notand cu kji ,, vectorii axelor de coordinate, avem:
13
z
pnpn
B
v
kB
iv
=
= ,, m. (II.15)
Potrivit postulatului Lorentz, forta care actioneaza asupra electronilor plasati in camp
magnetic este data de produsul vectorial:
BvF ×= pne ,m , (II.16)
In mod evident, pentru pentru configuratia geometrica prezentata in Fig. II.5, aceasta se
reduce la o forta care actioneaza in lungul axei Oy. In cazul conductiei preponderent
controlate de electroni, expresia fortei Lorentz este:
znznynLn BevBeveF −=×−−=×−= )()(, kiBv . (II.17a)
In cel al conductiei preponderent controlate de goluri se obtine o expresie similara:
zpzpypLp BevBeveF −=×=×= )()(, kiBv . (II.17b)
ceea ce arata ca, pentru ambele tipuri de purtatori, cu inductia magnetica orientata ca in
figura 5, fortele Lorentz sunt dirijate in lungul axei Qy, in sens contrar versorului axei.
De asemenea, fortele Lorentz sunt perpendiculare pe directia inductiei magnetice si pe
cea a densitatii de curent. Ca urmare, fata (2’) a placii se incarca negativ pentru probe cu
conductie N, respectiv pozitiv pentru probe cu conductie de tip P.
La echilibru, sarcinile electrice separate pe cele doua fete ale placii, stabilesc un
camp electric de intensitate yE , numit camp electric Hall. Datorita campului Hall, asupra
electronilor se exercita forta electrica aditionala ye eEF −= , de asemenea dirijata dupa
axa 0y. Asa cum se poate usor observa, pentru ambele tipuri de purtatori, sensurile fortei
Lorentz si fortei electrice sunt de sensuri contrare. Intensitatile campului Lorentz si
campului electric Hall cresc pe masura ce se acumuleaza sarcini pe cele doua fete laterale
ale placii. Procesul separararii nete a sarcinilor inceteaza atunci cand aceste doua forte se
echilibreaza. Astfel, dupa un regim tranzitoriu de foarte scurta durata, se ajunge la
regimul stationar, cand purtatorii de sarcina, cu viteza de drift vn,p se vor deplasa dupa
axa Ox, fara a mai fi deviati. Conditia care exprima echilibrul celor doua forte este:
14
ypnLorentz eEF m=),( , (II.18)
Tinand cont de expresiile fortelor FL si Fe se obtine expresia intensitatii campului electric
Hall:
zpny BvE ,= . (II.19)
Viteza medie a electronilor poate fi exprimata in functie de densitatea de curent:
)(,
, penj
v pnpn = . (II.20)
De aici, rezulta ca valoarea campului electric in lungul axei y este data de
)( penBjE zn
y = . (II.21)
Valoarea tensiunii Hall HU este data de relatia
zHzznzn
pnH IBh
RIBehpnhpen
BlhjlenBjVVU 1
)(1
)()(
22),( / ===−= mmm (II.22)
In felul acesta, se obtine expresia clasica a legii efectului Hall pentru probe cu
geometrie paralelipipedica, la campuri relativ slabe: Tensiunea Hall UH este direct
proportionala cu produsul dintre curentul de comanda I si inductia magnetica B
perpendiculara pe planul probei. De notat aparitia grosimii probei h, la numitorul expresiei
(II.22). Din punct de vedere experimental, aceasta inseamna ca este de preferat sa lucram
cu straturi subtiri (h mic), pentru a obtine un efect usor masurabil.
Marimea:
epnRH )(
1m= , (II.23)
se numeste coeficient Hall . Dupa cum se observa, acest coeficient este negativ pentru
15
electroni si este pozitiv pentru goluri. Astfel, polaritatea tensiunii Hall poate fi folosita
pentru a determina tipul de conductie al probei.
Din ecuatia (II.23) si expresia conductivitatii pnpn pen ,, )( μσ ≅ rezulta expresia
importanta a mobilitatii Hall:
HHR μσ = . (II.24)
In cazul unui semiconductor avand conductibilitate mixta, expresia constantei Hall
devine:
2
22
)(1
pn
npH pn
npe
Rμμμμ
+−
= (II.25)
Pe marginea rezultatelor obtinute se pot face unele precizari:
• În cazul unei placi de lungime infinita si a unui efect Hall izoterm si transversal,
tensiunea Hall este direct proportionala cu coeficientul Hall si cu produsul dintre
curentul I si inductia magnetica B si este invers proportionala cu grosimea h a
placii.
• Coeficientul Hall depinde de natura chimica a materialului de temperatura si de
inductia magnetica. La curent I si inductie B date, semnul coeficientului Hall,
respectiv al tensiunii Hall depinde de tipul purtatorilor de sarcini majoritari.
• Prin masurarea conductivitatii electrice si a coeficientului Hall se pot determina
concentratia si mobilitatea purtatorilor de sarcina.
• La materiale semiconductoare, coeficientul Hall are valori mult mai mari decit la
metale, aceasta deoarece la semiconductori concentratia purtatorilor de sarcina
este mult mai mica (cu ordine de marime) decit la metale.
II.2.3. Efectul Hall in solidul real
Relatiile anterioare referitoare la efectul Hall au fost stabilite in conditii de studiu
idealizate. Electronii, in miscarea lor cuasi-ordonata prin cristal sub actiunea unui camp
electric exterior, nu se deplaseaza liber si nu au toti aceeasi viteza.
La. calculul fortei Lorentz ce se exercita asupra electronilor nu s-a tinut seama de
faptul ca miscarea cuasi-ordonata a acestora se suprapune peste miscarea dezordonata a
agitatiei termice.
Problema conductiei electrice intr-un corp solid isi gaseste rezolvarea numai in
16
cadrul fizicii solidului, pe baza teoriei cuantice. Astfel, se arata ca, spre deosebire de
cazul electronilor liberi, energia unui electron din interiorul cristalului nu poate lua orice
valoare. Energiile pe care le poate avea electronul intr-un solid sunt grupate in benzi de
energie interzise.
Parcursul liber, respectiv mobilitatea purtatorilor de sarcina, sunt influentate de
perturbatiile aduse periodicitatii retele cristaline.
Procesele care perturba periodicitatea retelei cristaline sunt:
• Interactiunea dintre purtatorii de sarcina si vibratiile retelei cristaline
datorita agitatiei termice. În acest sens se vorbeste de imprastierea termica
a purtatorilor de sarcina.
• Interactiunea dintre purtatorii de sarcina si atomii si mai ales ionii de
impuritati ai retelei. În ultimul caz se vorbeste de imprastierea ionica a
purtatorilor de sarcina.
• Interactiunea reciproca a purtatorilor de sarcina.
• Imprastierea pe unele defecte ale retelei cristaline.
17
CAPITOLUL III. SENZORI PE BAZA DE EFECT
HALL
III. 1 Introducere
Odata cu aparita si dezvoltarea tehnologiei de obtinere a materialelor semiconductoare
in anii 1950, efectului Hall i-au fost gasite primele aplicatii importante. Aceste aplicatii au
fost totusi mult limitate de costurile lor ridicate. In 1965, Everett Vorthmann and Joe Maupin,
si-au unit fortele pentru a pune la punct un senzor bazat pe semiconductori, cu un pret scazut.
Au examinat multe concepte, dar s-au oprit asupra efectului Hall, dintr-un motiv simplu: totul
putea fi integrat in totalitate intr-un cip de siliciu. Aceasta descoperire a condus la aparitia
primei aplicatii cu cost scazut, produsa in masa, a efectului Hall: senzori pentru tastaturi
Firma MICRO SWITCH Sensing and Control a produs si vandut mai mult de un milliard de
astfel de senzori.
Cand un conductor purtator de sarcina este plasat intr-un camp magnetic, se produce o
tensiune care apare pe o directie perpendiculara atat pe intensitatea curentului cat si pe camp.
Acest efect este cunoscut sub numele de efect Hall si a fost descris in capitolul anterior.
FIG. III. 1: Schema simplificata pentru studiul efectului Hall in absenta campului magnetic.
Figura 1 iustreaza principiile de baza ale efectului Hall. Ea arata o foita subtire de
material semiconductor (element Hall), prin care este trecut un current I. Conexiunile de iesire
sunt perpendiculare pe directia curentului. Cand nu este present nici un camp magnetic (Fig.
III.1), distributia de current este uniforma si nu se constata nici o diferenta de potential.
In prezenta unui camp magnetic perpendicular (Fig. III.2), o forta Lorentz este
exercitata asupra curentului. Aceasta forta perturba distributia de current, dand nastere unei
diferente de potential (tensiune electrica). Aceasta tensiune electrica este tensiunea Hall (UH).
18
FIG. III.2: Principiul efectului Hall in prezenta campului magnetic.
Senzorii pe baza efectului Hall pot fi incorporati in multe dispozitive de detectie. Daca
parametrul de detectat depinde sau poate fi facut sa depinda de campul magnetic, un sensor
Hall il va detecta.
Tensiunea Hall este proportionala cu produsul dintre curentul I si valoarea inductiei
magnetice B. Este deordinul 7 μv/V/gauss, la siliciu si, prin urmare, pentru scopuri practice
necesita amplificare.
Siliciul prezinta efectul de piezorezistenta, o schimbare a rezistentei electrice,
proportionala cu efortul. Intr-un sensor Hall este de dorit minimizarea acestui effect. Acest
deziderat este realizat prin orientarea corespunzatoare elementului Hall pe circuitul integrat si
prin folosirea mai multor elemente Hall. Figura III.3 arata doua elemente Hall localizate
foarte aproape unul de altul pe un circuit integrat (IC).
FIG. III.3: Orientarea elementelor Hall.
Sunt pozitionate astfel pentru ca amandoua sa fie supuse stres reprezentat prin RΔ . Primul
element Hall este excitat de-a lungul axei verticale, iar al doilea de-a lungul axei orizontale.
19
Sumarea celor doua semnale de iesire elimina semnalul datorat stresului.
III. 2. Senzori Hall de baza
Elementul Hall este celmai simplu senzor de camp magnetic. El cere conditionare
semnalului pentru a face semnalul de iesire utilizabil pentru cele mai multe dintre aplicatii.
Dispozitivele electronice de conditionare a semnalului necesare sunt un amplificator si un
compensator de temperatura. Figura 4 ilustreaza senzorul Hall de baza.
FIG. III.4. Senzorul pe baza de efect Hall.
Tensiunea Hall in absenta unui camp magnetic este zero. Totusi, daca tensiunea la fiecare
terminal de iesire este masurata in raport cu masa, va aparea o tensiune diferita de zero.
Aceasata este tensiunea pe mod comun (common mode voltage - CMV) si este aceeasi la
fiecare terminal. Doar diferenta de potential este zero. Amplificatorul din figura III.4 trebuie
sa fie un amplificator diferential pentru a amplifica numai diferenta de potential – tensiunea
Hall.
Tensiunea Hall este un semnal de nivel scazut, de ordinal 30 μV, in prezenta unui
camp magnetic de un gauss. Acest semnal de nivel scazut necesita un amplificator cu zgomot
scazut, cu impedanta de intrare mare si castig moderat. Un amplificator diferential cu aceste
caracteristici poate fi usor integrat cu un element Hall folosind tehnologia standard a
tranzistorilor bipolari. Compensatoarele de temperatura sunt, de asemenea, usor de integrat.
Asa cum am discutat in capitolul anterior, tensiunea Hall este o functie de curentul de
intrare. Scopul regulatorului din figura III.4 este de a pastra acest current constant, asfel incat
indicatia senzorului sa depinda doar de intensitatea campului magnetic. Deoarece multe
sisteme au integrata o sursa de tensiune controlata, unii senzori Hall ar putea sa nu includa
regulatorul intern de tensiune.
20
III.3. Senzori cu semnal de iesire analog
Senzorul din figura III.4 este un dispozitiv clasic, cu semnal de iesire analog. Senzorii
analogici dau o tensiune de iesire proportionala cu intensitatea campului magnetic la care sunt
expusi. Cu toate ca acesta este un dispozitiv complet, au fost adaugate circuite cu functiuni
suplimentare, pentru a simplifica folosirea in practica.
Campul magnetic detectat poate fii pozitiv sau negativ (de-a lungul unei directii). Ca
urmare, rezultatul amplificarii va fii pozitiv sau negativ si va cere doua surse: una cu plus si
una cu minus. Pentru a evita necesitatea a doua surse, un compensator cu tensiune fixa este
integrat in amplificatorul diferential. Valoarea tensiunii fixe apare in absenta campului
magnetic si este considerata valoarea zero (referinta) a tensiunii. Cand este detectat un camp
magnetic pozitiv, este indicata o valoare a tensiunii mai mare decat cea de nul. Cand este
detectat un camp magnetic negativ, este indicata o valoare a tensiunii mai mica decat cea de
nul, dar pozitiva. Acest concept este ilustrat in figura III.5.
FIG. III.5. Conceptul compensarii integrate in IC.
Iesirea amplificatorului nu poate depasi limitele impuse de sursa de tensiune. De fapt,
amplificatorul va incepe sa se satureze inainte de atingerea limitelor sursei. Aceasta saturatie
este ilustrata in Figura 5. Este important de observat ca aceasta saturatie se produce in
amplificator, nu in elemental Hall. Astfel, campurile magnetice mari nu vor defecta senzorii
pe baza de effect Hall, in schimb, ii vor duce la saturatie.
Pentru a creste mai mult flexibilitatea unui astfel de detector, se adauga la iesirea
amplificatorului un emitor deschis, un colector deschis, sau un tranzistor push-pull.. Figura
21
III.6 arata un sensor Hall cu output analog complet, avand incorporate toate circuitele si
functiile mai sus descrise.
FIG. III.6. Senzor simplu cu output analog
III. 4. Caracteristici de semnal / caracteristici de putere
Senzorii Hall cu iesire analoga sunt disponibili pentru tensiuni cuprinse in domeniile
de tensiune continua 4,5 V - 10,5 V ; 4,5 V - 12,0 V, sau 6,6 V - 12,6 V. Iesirea lor este in
mod uzual de tip push-pull si necesita o sursa de tensiune stabilizata, sau o baterie, pentru a
functiona correct.
Figura III.7 prezinta un sensor analog ratiometric, care accepta o sursa intre 4,5 - 10,5
V. Acest sensor are o sensibilitate (mV/Gauss) si un offset (V) proportional (ratiometric) cu
tensiunea sursei.
FIG. III.7: Senzor ratiometric analog .
III.5. Functia de transfer a senzorului Hall
22
Functia de transfer a dispozitivului descrie semnalul de iesire in functie de semnalul de
intrare. Functia de transfer este descrisa cu ajutorul unei ecuatii sau prin prezentarea unui
grafic. Pentru senzorii Hall cu iesire analoga, functia de transfer exprima relatia dintre
valoarea inductiei magnetice care excita senzorul si tensiunea sa de iesire. Functia de transfer
a unui senzor Hall tipic, cu iesire analoga, este ilustrata in figura III.8.
Ecuatia 2 este o aproximare analogica a functiei de transfer pentru un senzor.
( ) ( )SSout VBVV ×+××= − 5,01025,6 4 (III.1a)
( ) 640640 +<<− GaussB (III.1b)
Functia de transfer a unui senzor cu iesire analoga este caracterizata de sensibilitate, tensiune
de offset si domeniu.
• Sensibilitatea senzorului este definita drept variatia semnalului de iesire (tensiune)
datorata unei schimbari date a semnalului de intrare (inductie magnetica).
FIG. III.8: Functia de transfer pentru un senzor cu iesire analoga
Panta functiei de transfer ilustrata in figura III.8 determina sensibilitatea senzorului. Factorul
( )SV×× −41025,6 din ecuatia III.1a corespunde, deasemenea, sensibilitatii senzorului.
• Semnalul offset de iesire reprezinta semnalul de iesire al unui senzor neexcitat de
vreun camp magnetic. In cazul functiei din figura III.8 tensiunea de offset este
tensiunea de iesire la 0 gauss, pentru o valoare data a tensiunii de alimentare.
Semnalul de offset este reprezentat de al doilea termen in membrul drept al ecuatiei
(III.1ª).
23
• Domeniul defineste intervalul de valori al iesirii unui senzor. Este diferenta dintre
tensiunile de iesire, cand tensiunile de intrare variaza intre cele produse de variatia
orientarii intre gauss pozitiv (nord) si gauss negativ (sud). In limbaj matematic,
aceasta se paote scrie:
)@()@( −−+= OUTOUT VVDomeniu (III.2)
Desi un densor cu iesire analoga este considerat liniar pe toata lungimea sa, in
practica nici un senzor nu este perfect liniar. Liniaritatea defineste valoarea maxima a
domeniului de masura pentru care functia experimentala de transfer este bine aproximata de o
linie dreapta.
Un dispozitiv Hall este sensibil la variatiile de temperatura. Pentru a compensa acest
efect nedorit, pot fi incorporate elemente suplimentare de conditionare a semnalului. Figura
III.9 ilustreaza variatia sensibilitatii cu temperatura pentru un senzor Hall liniar radiometric,
miniatural.
FIG.III. 9: Variatia sensibilitatii cu temperatura
III.6. Senzori cu semnal de iesire digital
Un senzor cu iesire digitala are doar una din doua stari: ON si OFF. Senzorul cu iesire
analoga, din figura III.4, poate fi transformat usor intr-unul cu iesire digitala prin adaugarea
unui circuit de tip trigger Schmitt (declansator Schmitt). Figura III.10 ilustreaza schema
senzorului Hall tipic, stabilizat intern, cu iesire digitala.
Circuitul declansator Schmitt compara tensiunea de iesire a amplificatorului diferential
24
(Figura III.10) cu tensiunea de referinta prezenta; cand acesta depaseste referinta, circuitul
declansator Schmitt porneste; cand, dimpotriva, tensiunea de la iesirea amplificatorului
diferential coboara sub referinta, circuitul declansator Schmitt se opreste.
Pentru o comutare intre starile ON si OFF precisa, lipsita de zgomote electrice, in
circuitul Schmitt se introduce o bucla de histerezis, care rezulta din doua valori distincte ale
referintei, valori care depind de starea comutatorului (ON, sau OFF).
FIG. III. 10: Senzor Hall cu iesire digitala .
III.7. Functia de transfer a senzorilor cu iesire digitala
Functia de transfer pentru un senzor Hall cu iesire digitala, care include bucla de
histerezis, este aratata in figura III.11. Principalele caracteristici intrare/iesire sunt:
• Punctul de functionare.
• Punctul de relaxare .
• Diferenta dintre cele doua in spatiul starilor parametrului de iesire.
Pe masura ce creste intensitatea campului magnetic, nu se produce nici o schimbare in
semnalul de iesire al senzorului pana cand nu este atins punctul de operare. O crestere a
campului magnetic dincolo de acest punct nu va mai produce nici o alta schimbare. Daca
aducem campul magnetic sub nivelul punctului de operare, semnalul de iesire va ramanea
acelasi pana la atingerea punctului de relaxare. In acest punct, iesirea senzorului va reveni la
starea initiala (OFF). Diferenta intre punctul de operare si cel de relaxare este eliminarea
declansarilor false, determinate de variatii minore ale inputului.
25
FIG. III.11: Histerezisul functiei de transfer a unui senzor Hall cu iesire digitala.
Ca si in cazul senzorilor Hall cu iesire analoga, pentru marirea flexibilitatii aplicatiilor,
etajul de iesire contine un tranzistor (uzual NPN) care realizeaza o groapa de curent. (figura
III.12).
FIG. III.12
III.8. Caracteristici de intrare ale senzorului cu iesire digitala
Caracteristicile de intrare ale unui senzor cu iesire digitala sunt definite in termeni de
• Punct de operare.
• Punct de relaxare.
• Diferenta lor in spatiul starilor de iesire.
Deoarece aceste caracteristici variaza cu temperatura si de la sezor la senzor, ele sunt
specificate in termeni de valori minime si maxime.
Notiunea de punct de operare maxim serefera la nivelul campului magnetic care va
face ca senzorul sa porneasca, in orice conditii bine stabilite. Notiunea de punct de oprire
26
minim se refera la nivelulul campului magnetic care va face ca senzorul sa se opreasca. Figura
III.13 arata caracteristicile de intrare ale unui senzor cu iesire digitala unipolara, tipic.
FIG. III.13 : Caracteristicile de intrare ale unui senzor unipolar, cu iesire digitala.
Un senzor bipolar are un punct de operare maxim pozitiv (polul sud) si un punct de
oprire minim negativ (polul nord). Functiile de transfer sunt ilustrate in figura 14.
FIG. III.14: Caracteristicile de intrare ale unui sensor bipolar, cu iesire digitala.
III.9. Caracteristici de iesire ale senzorului cu iesire digitala
Caracteristicile de iesire ale unui senzor cu iesire digitala sunt definite ca fiind
caracteristicile de iesire ale tranzistorului de la iesire. Pentru un transistor de tip NPN, acestea
includ:
27
• Curentul maxim.
• Tensiunea de strapungere.
• Timpul de comutare.
28
CAPITOLUL IV. REZULTATE EXPERIMENTALE
IV.1 Montaj experimental
In prezenta lucrare, am utilizat un set experimental Hall, asistat de senzorul
CASSY, de productie LEYBOLD, achizitionat de Facultatea de Fizica a Universitatii din
Bucuresti. Setul experimental, face parte din dotartea Laboratorului de Electricitate si
Magnetism. Experimentele prezentate in acest capitol au fost efectuate in incinta acestui
laborator. Majoritatea rezultatelor s-au obtinut prin achizitie directa, datorita prezentei
interfetei CASSY, asistata de software corespunzator (CASSY Lab, versiunea 1.55).
Proba Hall este reprezentata de o placuta paralelipipedica de germaniu, cu conductie de
tip p, avand urmatoarele dimensiuni:
• Lungime 20 mm
• Latime 10 mm
• Grosime 1 mm
Schema experimentala a montajului este prezentata in Figura IV.1
Interfata achizitie CASSY
ConectorSenzor Hall
Conexiunicurent comanda
Conexiunitensiune Hall
Sursa stabilizatapentru controlulcurentului prin bobine (B)
Sursa stabilizata pentrucurent de comanda
Piesepolare
Protectie curent Compensare
Interfata achizitie CASSY
ConectorSenzor Hall
Conexiunicurent comanda
Conexiunitensiune Hall
Sursa stabilizatapentru controlulcurentului prin bobine (B)
Sursa stabilizata pentrucurent de comanda
Piesepolare
Protectie curent Compensare
FIG.IV.1: Schema experimentala a montajului pentru studiul efectului Hall. Sursa schitei
principale: P7.2.1.4 Leybold Physics Experiments
29
Detalii referitoare la montajul diferitelor componente se gasesc in figurile
Proba Hall
Contacte UH
Contactecurentcomanda
Bobine pentruproducereacampuluimagnetic
Piese polare
Curentcomanda
Proba Hall
Contacte UH
Contactecurentcomanda
Bobine pentruproducereacampuluimagnetic
Piese polare
Curentcomanda
FIG.IV.2a: Detaliu schema experimentala a montajului pentru studiul efectului Hall.
30
Sursatensiune
AmpermetruI bobine
AmpermetruI comandaBobine
Sursatensiune CassySursa
tensiune
AmpermetruI bobine
AmpermetruI comandaBobine
Sursatensiune Cassy
FIG.IV.2b: Detaliu schema experimentala a montajului pentru studiul efectului Hall.
Sursa imagine: P. Cristea, S. Antohe “Experimente de Electricitate si Magnetism asistate
de calculator”, in pregatire
31
Pentru masurarea tensiunii Hall s-a folosit o sonda Hall tangentiala, in configuratia
prezentata in figura IV.3.
Piesapolara
SondaHall
Bobina
BobinaPiesa
polara
SondaHall
Bobina
Bobina
FIG. IV.3: Masurarea tensiunii Hall folosind o sonda Hall tangentiala.
32
IV.2 Rezultate experimentale
Pentru a verifica legea efctului Hall (II.22) in configuratie paralelipipedica, au fost
masurate tensiunile Hall, ca functie de curentii de comanda care strabat proba (folosind
valoarea curentului prin bobine ca parametru al familiei de curbe. Intr-un experiment
separat au fost masurate tensiunile Hall, ca functie de curentii prin bobine (B) (folosind
valoarea curentului prin proba ca parametru al familiei de curbe). Rezultatele sunt
prezentate in figurile IV.4a si IV.4b
FIG.IV.4a : Dependenta tensiunii Hall de curentul de comanda I prin proba, pentru diferite
valori ale campului magnetic B (parametrul familiei de curbe) in care este plasata proba de
Ge.
Se observa ca legea prezisa de dependenta teoretica continuta in ecuatia (II.22) este, in
limita erorilor experimentale, confirmata satisfacator. Rezultate similare, s-au obtinut si
pentru dependenta tensiunii Hall UH de inductia magnetica, folosind valorile curentului de
33
comanda drept parametru al familiei de curbe. Rezultatele sunt prezentate in figura IV.4b
FIG.IV.4b : Dependenta tensiunii Hall de inductia magnetica B, pentru diferite valori ale
curentului de comanda (parametrul familiei de curbe) care parcurge proba de Ge.
34
Pentru etalonarea campului produs de bobine, intr-un experiment separat, s-a masurat,
folosind sonda tangentiala Hall, valoarea inductiei magnetice B, care corespunde
diferitilor curenti prin bobine. Impreuna cu rezultatele experimentale prezentate anterior,
un asemenea experiment permite determinarea constantei Hall a esantionului de Ge.
Rezultatele sunt prezentate in figura IV.5
FIG.IV.5 : Etalonarea campului produs de bobine prin masurarea inductiei magnetice care
corespunde diferirilor curenti prin bobine.
35
CAPITOLUL V. CONCLUZII In lucrare s-au prezentat bazele teoretice elementare ale efectului Hall. S-au studiat
principiile de baza ale uneia dintre cele mai importante aplicatii ale sale, anume senzorii
integrati de camp magnetic. Au fost realizate experimente Hall asistate de calculator
pentru confirmarea legii acestui efect.
36
BIBLIOGRAFIE
[1] Lucrare de Diploma, Efectul Hall, Autor: Ionescu A. Iulian, Indrumator: Lector Dr.
Ion Secareanu, Facultatea de Matematica, Universitatea din Bucuresti, 1992
[2] Catalog Leybold: P7.2.1.4 Leybold Physics Experiments
[3] Frankel David, “Traductoare galvano-magnetice”, Ed. Facla, Timisoara, 1973
[4] Sora C. “Introducere in studiul generatorului Hall”, Editura Academiei R.S.R, 1969
[5] Frankel David, Sabata, Ioan “Traductorul Hall”, Editura Tehnica Bucuresti 1968
[6] Warsza I. “Unele probleme in legatura cu utilizarea generatoarelor Hall in tehnica
masurarii”, Tehnica masurarii – caiet selectiv, 1965
[7] P. Cristea, S. Antohe “Experimente de Electricitate si Magnetism asistate de
calculator”, in pregatire
ANEXA
MetalsA Theory of the Hall Effect and the Related Effect for Several
Edwin H. Hall
doi:10.1073/pnas.9.2.41 1923;9;41-46 PNAS
This information is current as of May 2007.
www.pnas.org#otherarticlesThis article has been cited by other articles:
E-mail Alerts
. click hereright corner of the article orcite this article - sign up in the box at the top Receive free email alerts when new articles
Rights & Permissions
www.pnas.org/misc/rightperm.shtmltables) or in entirety, see: To reproduce this article in part (figures,
Reprints www.pnas.org/misc/reprints.shtml
To order reprints, see:
Notes:
PHYSICS: E. H. HALL
A THEORY OF THEHALL EFFECTAND THERELATED EFFECTFOR SEVERAL METALS
By EDWIN H. HALL
JEFFERSON PHYsIcAL LABORATORY, HARVARD UNIVERSITYRead before the Academy, November 16, 1922
Forty-three years ago last October, in the physical laboratory ofJohns Hopkins University, I discovered the electro-magnetic effect, or"phenomenon," which has ever since been called by my name. In thecourse of eight or ten years thereafter three other effects, related to thisone, were detected and were named, respectively, after their discoverers,Ettingshausen, Nernst and Leduc. The last is sometimes called theRighi effect, Righi having found it independently.
Figures- 1-4 will probably not be superfluous. In each we have
71
FIGURE 1 FIGURE 2 FIGURE 3 FIGURE 4
Hall effect, Ettingshausen effect, Nernst effect, Leduc effect,R or. T,, P or,Th, Q or&T., S or hTh,positive. positive. positive. positive.
a current, in 1 and 2 a current of electricity, E, in 3 and 4 a currentof heat, H, flowing from right to left through a plate of metal placed atright angles with the lines of force of a magnetic field, the generating cur-rent of which runs clockwise. Conditions 1 and 2 may exist together,and so figures 1 and 2 might be superposed, though a negative Ettings-hausen effect may go with a positive Hall effect, and vice versa. A likestatement holds for 3 and 4. The alternative symbols, for example,,Te, are descriptive, the T meaning transverse, the initial subscript tellingthe nature of the longitudinal flow, the final subscript the nature of thetransverse effect.The various effects are mathematically defined as follows :1
R H-e (1); p= (2); Q =-a-(3); 5=- (4)HI 'HI 'HA HA
It is easy to account for a negative Hall effect as due to the transversepush of the magnetic field on a free electron stream within the metal plate,but a positive Hall effect is harder to explain, though various attempts inthis direction have been made by Sir J. J. Thomson and others. I have atheory, more or less plausible, of the positive action, but in this paper Ishall not undertake to give it.
Voi. 9, 1923 41
PHYSICS: E. H. HALL
In fact, I shall for the present confine my attention to metals having anegative R, and the only ones of this description for which I have satis-factory data (except bismuth, in which, as in the obviously crystallinemetals generally, there is probably some effect not to be reached by thetheories of this paper) range themselves in two groups: first, copper, goldand silver, in each of which all four of the effects are negative; and, second,aluminium, nickel, palladium and platinum, in each of which S, as wellas R, is negative, while P and Q are positive. My theory of the transverseeffects in these seven metals has the very closest relation to the theory ofdual electric conduction, and the attendant theory of thermal conduction,which I have been setting forth in these PROCEEDINGS during the lastfour or five years.2
Let us see first what comes from the dual nature of electric conduction,the existence of two streams, one of free electrons, the f stream, the other ofassociated electrons, the a stream. That the f stream would in the mag-netic field be expected to yield a negative Hall effect is a fact too obviousand familiar to need discussion. Let us call Rf the Hall coefficient weshould get if this stream alone gave a transverse effect. That the a streamwould also yield a Hall effect, through transverse orientation of the ions, isnot so obvious, and in due time I must support this thesis by argument, butin this paper I have not space for this demonstration. Let Ra be theHall coefficient we should get if this stream alone gave a transverse effect.But the two Hall effects thus provided for would not, in general, be
equal. What, then, should be the result of the two tendencies? Some-thing closely analogous to that happens when two galvanic cells of differente. m. f. are joined in opposition as in figure 5. Here a cyclic current flows,clockwise if F1 is greater than E2, counter-clockwise if E2 is the greater,while the potential of point A is in either case less than that of point B.
CA. + +5:FIGURE 5 FIGURE 6 FIGURE 7
So within the plate of figure 6 or figure 7 there is a transverse cyclic current,the f transverse stream crossing the plate in one direction, the a transversestream in the opposite direction, the direction of the cyclic motion depend-ing on the relative magnitudes of Rf and Ra.
It is easy to find from theory an expression for Rf. I get
Rf =-(6.28d' X x) *. k 75 (5)
In this equation x is such a quantity that lo = x (1 6. )'/3),
42 PROC. N. A. S.
(6)
PHYSICS: E. H. HALL
lo being the mean path of free electrons at 00 C. and v the number of atomsper cu. cm.; so that (1 . v,/3) is approximately the centre to centre dis-tance of adjacent atoms and may for short be so called. The quantity d'is a variable such that d' X x is the length of mean free path at any tem-perature T; k is the specific conductivity of the metal, equal to ka + kf.The value of Ra cannot be found without information to be obtained
from the Hall effect observations themselves. It is related to the observedvalue of R and the calculated value of Rf by the equation
R = Raka/k + Rf kf/k. (7)
Here R corresponds to potential of B less potential of A in figure 5, whileRf corresponds to El, let us say, and Ra to E2.
Figure 6 shows a case in which Rf is greater than R, numerically, and thef transverse current goes downward across the plate while the a transversecurrent goes upward. In figure 7 the Rf is less than the R, numerically,and the f transverse current goes up while the a transverse current runsdown. In both-cases the observed R is negative.Now as to the Ettingshausen effect in these two cases. In figure 6
the free electrons combine with ions to form atoms at the lower edge of theplate, and heat is given out by this process, warming the plate in thisregion, while at the upper edge ionization is constantly going on, absorbingheat and cooling the plate locally. Thus we have a positive Ettingshauseneffect combined with a negative Hall effect. In figure 7 the transverse ther-mal conditions are evidently opposite to those of figure 6 and so we havehere a negative Ettingshausen effect, combined with a negative Hall effect.
Equilibrium in either case is reached when the transverse gradient be-comes just great enough to carry back across the plate, by ordinary thermalconduction, the heat that is generated at one edge by the cyclic electriccurrent. Let us assume that 1, H, and the width of the plate, are eachunity. Then the condition of equilibrium is expressed by the equation
PO = (R - Rf)kf X, (8)
or by use of (5) PO= R+ 6 ) k (9)k P-5 /f
In these equations 0 is thermal conductivity in ordinary measure, and Xis the number of calories required to free (1 * e) electrons within the metal.My previous papers have given me the means of calculating kf and X formany metals, and I have a way of finding d'. Thus equation (9) gives methe means of determining x, which by means of equation (6) determines thelength of mean free path at 00 C. Values of x ranging from about 4 toabout 40 are found in this paper for the seven metals dealt with-that is,
43VOiL. 9, 1923
PHYSICS: E. H. HALL
values of mean free path, at 0° C., ranging from about 4 to about 40times the centre to centre distance of adjacent atoms.Though I have written and thus far discussed equation (8) as if the equi-
librium represented by it were of the "mobile" sort, heat conductionconstantly and actively undoing the constant thermal action of the trans-verse electric cyclic current, my conception of the mechanism of thermalconduction leads to the conclusion that the transverse temperature gra-dient tends of itself to set up a cyclic transverse electric current oppositein direction to the one that makes the temperature gradient, and that theequilibrium condition is really one of dead-lock, two virtual equal and op-posite cyclic transverse currents -really extinguishing each other, so that-we have finally the paradoxical state of a transverse potential gradientwith no transverse electric flow and a transverse temperature gradientwith no transverse heat flow.Using my previously developed theory of dual electric conduction and
of thermal conduction, I have worked out a theoretical relation between theHall effect and the Nernst effect which I shall here give without proof.Starting with the equation
Q = Q. ka/k + Qf kf/k, (10)which is strictly analogous to equation (7), I get by development an equa-tion, which I shall call (11), too long to be given and discussed here, whichcontains our x as its only unknown quantity.
Of course, if the theory and all the data used were strictly accurate,the value of x obtained from (11) should be the same as that obtainedfrom (9); in fact, the two equations do not, in any one of the four caseswhere comparison is thus far practicable, give just the same values of x, butin only one of these four cases is the ratio of the two values as great as 2, anda large part of the discrepancy can reasonably be attributed to inaccuracyof the experimental data, as will presently appear.The relation of the Leduc effect, a transverse temperature gradient, to
the Nernst effect, a transverse potential gradient, is precisely the same inform as the relation of the Ettingshausen effect to the Hall effect. It isgiven by the equation
So = (Q - Qf) kfX, (12)
which is to be compared with (8). An expression for Qf, containing x,is found in (11). The values of Q and S being known by directexperiment, we thus have a third method of determining x, and the valuethus formed is in good agreement, due allowance being made for probableinaccuracy of data, with the values found from (9) and (11), respectively.
It is to be remembered that equations (9), (11) and (12) have, for themost part, been used with reference to a mean temperature of 00 C. That
44 PROC. N. A. S.
PHYSICS: E. H. HALL
CD :D
CD
CDDC
0 p P.,
(D (D
CnD$ w
0 op_M
0
03
r, 0s "' .CD
2D) CD*0 CD
r _
t'D
01
'CD --03
orq P D(D~
* 00P 0
tn(o E0~~~~0
rA S XPA
?8
PA O CA
Z_ . . * .
.' E .
I I I I
00
++++ I-c o ewto- w o
o0
0 O00
CrYI- U wO cn&-4 co
00 CA 00~.00
++ ++0 I.
00 00 ~-. . . .
cn tN) co cr O 4 00' 004
0&.2
O IQ4
I I I I I I .cn (m - cn & &, > m
- . . z . . * o
- O
I I I pi
X)0 3 mUx- w
0 m
co
~-00
00o ] ;o-4.X 3 4
O0
-.4 ND o O00 -4 Co-.40) 0
00 CAD p,
00 - W w.
00 CA0003*
m oo -4 eDo tnotco c
x
: 1. ..
'00ccaXC 4 00
c
. . *. R00 ox 0 00 to
VoL. 9, 1923 45
w
PHYSICS: E. H. HALL
is, values of k, X, 1, etc., have been taken with reference to this tempera-ture; but observations of R and P have usually been taken at or nearroom temperature, values of Q and S in the neighborhood of 500 C., andI have in most cases left these as found, not knowing well the laws of theirvariation with temperature. For copper and nickel, however, I have themeans of reducing the observed values of R, Q, and S, but not P, to whatthey would be at O0 C., and the effect of this reduction is, in the case ofnickel at least, important and beneficial, as will be seen a little farther on.
In table I the results of observations and calculations are broughttogether. Where the three x's in one horizontal line are all alike thevalue is found from the Hall and Ettingshausen effects alone, there beingno available observed values of Q and S in these cases. The numbersgiven in [ ] are values of P, Q or of S found by calculation fromequation (9), equation (11) or equation (12), according to circumstances,by use of a predetermined value of x, found from observation data givenelsewhere on the same horizontal line. All the other values given in thetable are from direct observations of R, P, Q and S, respectively, reducedin certain indicated cases to O° C.The [U] means that the observations following on the same horizontal
line were made by Mr. F. Unwin,3 who, I think, used the same piece ofmetal for all four effects. From him alone I have complete data that seemusable for any metal in the list here given. The [Uo] indicates Unwinvalues of R, Q and S, reduced to 00 by means of information given byUnwin. The IL] means that the values of R and P following on the samehorizontal line were found by my assistant, Mr. N. C. Little, at theJefferson Physical Laboratory, the same piece of metal being used forboth effects. The metals used by Little were the purest that could beobtained. Mr. Unwin writes me that his metals were "not of any partic-ular purity."
Values of R, etc., found by other observers, not here named, are givenfor comparison, partly to show how dubious even direct measurements ofthe quantities in question are. It is not, I think, claiming too much to saythat the values in [ ], the values of P, Q and S obtained, respectively,from the values of other coefficients by calculation, compare very wellin accuracy with those obtained by direct measurement.
lIn these equations H is intensity of mag. field, I is intensity of long. elec. cur.(abs. units per sq. cm.), A is long. temp. grad., be is trans. pot. grad. (abs.), Ah is trans.temp. grad. Other definitions are sometimes given with sign conventions somewhatdifferent from those of figures 1-4.
2 See my Summary, these PROCE:EDINGS for March, 1921; also October, 1922.3 Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 34, 1913-14 (209), and 41, 1920-21 (44).
46 PROC. N. A. S.