Plan de l’exposé
Sur le lieu singulier des solutions de viscositéd’équations eikonales sous-elliptiques
Emmanuel Trélat1
1MAPMOUniversité d’Orléans
Rencontre KAMfaible, ENS Lyon, mai 2008
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
Equation eikonale
‖∇S(x)‖2 = 1 dans Ω, S|∂Ω = 0,
où Ω ⊂ IRn ouvert analytique borné. L’unique solution deviscosité est
S(x) = d(x , ∂Ω).
QuestionEquations eikonales généralisées ?
m∑i=1
(fi .S)2 = 1
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Théorème (E.T., Ann. IHP, 2006)
La solution de viscosité de certaines équations d’Hamilton-Jacobi est sous-analytique.Par conséquent :
elle est stratifiable (au sens de Whitney) ;
l’ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de codim > 1.
Exemples
Ω ⊂ IRn ouvert borné sous-analytique, g : ∂Ω→ IR sous-analytique et vérifiant une condition de compatibilité.Dans les cas suivants, la solution de viscosité est continue et sous-analytique sur Ω :
1 Calcul des variations classique :
H(x,∇S(x)) = 0 dans Ω, S|∂Ω = g,
où le Hamiltonien H est uniformément superlinéaire et strictement convexe en p.
2 (n = 2)
∂S
∂x1
!2
+
x1
∂S
∂x2
!2
= 1, S|∂Ω = g.
3 (n = 3)∂S
∂x1+
∂S
∂x1+ x2
∂S
∂x3
!2
+
∂S
∂x2− x1
∂S
∂x3
!2
= 1, S|∂Ω = g.
Remarque
En présence de singulières minimisantes, la conclusion est fausse en général (contre-exemples explicites).
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Résultats de généricité.
x(t) =mX
i=1
ui (t)fi (x(t))`
+ f0(x(t))´, (1)
Théorème (Y. Chitour, F. Jean, E.T., J. Diff. Geom., 2006)
Pour m > 3, génériquement (au sens ouvert dense pour la topologie de Whitney) :
aucune trajectoire rigide ;
en contrôle optimal (coût quadratique) : aucune singulière minimisante.
(extension aux systèmes affines)
Corollaire
Pour m > 3, génériquement, sous-analyticité de la solution de viscosité.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Résultats de type Morse-Sard.
Théorème (L. Rifford, E.T., Math. Ann., 2005)En géométrie sous-Riemannienne, sous la condition de Hörmander, si la variété M est complète,alors ∃N1 ⊂ M dense, tel que, ∀x ∈ N1, il existe un unique chemin minimisant joignant x0 et x ;de plus, cette trajectoire admet un relèvement extrémal normal.
En particulier, l’ensemble des extrémités des singulièresminimisantes strictes est d’intérieur vide.
Si la distribution est de corang un, alors ∃N2 ⊂ M de mesure de Lebesgue pleine tel que,∀x ∈ N2, il existe un chemin minimisant reliant x0 à x et ayant un relèvement extrémal normal, quide plus est non singulier, et x n’est pas conjugué à x0.
En particulier, dans le cas de corang un, l’ensemble desextrémités des singulières minimisantes est de mesure nulle.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Système de Brockett dans IR3
x = u1f1(x) + u2f2(x), avec u21 + u2
2 6 1,
où f1 = ∂∂x1
+ x2∂
∂x3, f2 = ∂
∂x2− x1
∂∂x3
.
Système hybride perturbé, de la forme
x(t) = f (x(t), k(x(t) + e(x(t), t), sd (t))) + d(x(t), t),sd (t) = kd (x(t) + e(x(t), t), s−d (t)),
(e : bruit de mesure, d : perturbation extérieure, et sd (t) ∈ 1, 2)
–1
–0.5
0
0.5
1
–2 –1 1 2
x3
x1
x2
Théorème (C. Prieur, E.T., SIAM J. Cont. Optim., 2006) details
L’origine est semi-globalement robustement stabilisable en temps quasi-minimal.
Généralisation aux systèmes x =mX
i=1
ui fi (x),mX
i=1
u2i 6 1.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Et en présence de singulières minimisantes ?
S’il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonctionvaleur peut ne pas être sous-analytique, ni même continue.
Examplex(t) = 1 + y(t)2,y(t) = u(t),
coût CT (u) =
Z T
0u(t)2dt.
Trajectoire (x(t) = t, y(t) = 0, u(t) = 0) singulière minimisante.
Pour (x, y) ∼ (T , 0) :
S(0,0),T (x, y) =1
4
y4
x − T+
y4
x − Te− y2
x−T + o“ y4
x − Te− y2
x−T”
.
Remarque
S(0,0),T (x, y) = Analyt
y4
x − T,
y4
x − Texp
−y2
x − T
! !→ classe log-exp.
-
6y
x
(T, 0)
7
0
Figure 1: Ensembles de niveaux de la fonction valeur
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Etude asymptotique dans le cas Martinet
Dans IR3, distribution ∆ = Vectf1, f2, où f1 =∂
∂x+
y2
2∂
∂z, f2 =
∂
∂y, munie de la
métrique g = a(x , y , z)dx2 + c(x , y , z)dy2.
Cas modèle : a = (1 + αy)2 et c = (1 + βx + γy)2.
Unique trajectoire singulière minimisante non triviale, partant de 0 :(x(t), y(t), z(t)) = (t , 0, 0). (stricte⇔ α 6= 0)
Cas Martinet plat : α = β = γ = 0.Les sphères SSR(0, r) ne sont pas sous-analytiques.
(Agrachev - Bonnard - Chyba - Kupka, ESAIM : COCV, 1997)
Si α 6= 0, les sphères SSR(0, r) (et donc, dSR(0, ·)) ne sont passous-analytiques.
(E.T., CRAS, 2000)
Cas Martinet général intégrable : a = a(y), c = c(y).Les sphères SSR(0, r) appartiennent à la classe log-exp.
(Bonnard - Launay - E.T., J. Math. Sci., 1998).
Cas général : question ouverte.
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Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
DéfinitionApplication entrée-sortie
Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn
u 7→ xu(T , x0).
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
DéfinitionApplication entrée-sortie
Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn
u 7→ xu(T , x0).
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
DéfinitionApplication entrée-sortie
Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn
u 7→ xu(T , x0).
DéfinitionFonction valeur
S(T , x) = inf
C(T ,u)∣∣ Ex0,T (u) = x
.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
DéfinitionApplication entrée-sortie
Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn
u 7→ xu(T , x0).
Définition
Le contrôle u (ou la trajectoire xu(·)) est singulier si
rang dEx0,T (u) < n.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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QuestionRégularité de S ?
Motivation :singularités des solutions de viscosité d’équationsd’Hamilton-Jacobi,problèmes de stabilisation.
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Principe du maximum de Pontryagin
Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
Multiplicateurs de Lagrange
∃(ψ,ψ0) ∈ IRn × IR \ 0 | ψdEx0,T(u) = −ψ0dCT(u).
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Plan de l’exposé
Principe du maximum de Pontryagin
Problème de contrôle optimal
x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,
x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =
∫ T
0f 0(x(t),u(t))dt .
Principe du maximum de Pontryagin (sans contrainte sur le contrôle)
Toute trajectoire minimisante x(·) est la projection d’une extrémale(x(·),p(·),p0,u(·)) solution de
x =∂H∂p
, p = −∂H∂x
,∂H∂u
= 0,
où H(x ,p,p0,u) = 〈p, f (x ,u)〉+ p0f 0(x ,u).
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Principe du maximum de Pontryagin
Principe du maximum de Pontryagin (sans contrainte sur le contrôle)
Toute trajectoire minimisante x(·) est la projection d’une extrémale(x(·),p(·),p0,u(·)) solution de
x =∂H∂p
, p = −∂H∂x
,∂H∂u
= 0,
où H(x ,p,p0,u) = 〈p, f (x ,u)〉+ p0f 0(x ,u).
Une extrémale est dite normale si p0 6= 0, et anormale if p0 = 0.
Les trajectoires singulières sont les projections des extrémalesanormales.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Sous-analyticité de la fonction valeur
ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
(A. Agrachev 1998, E.T. 2000)
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
DéfinitionEnsembles sous-analytiques.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
Propriétés
1 Tout ensemble sous-analytique est stratifiable (au sens deWhitney).
2 f fonction sous-analytique sur M (variété analytique).Alors, Sing(f ) est une sous-variété stratifiée de codim > 1.
3 M, N variétés analytiques (de dim < +∞), A ⊂ N, g : N → M etf : N → IR sous-analytiques. On pose, pour tout x ∈ M,
ψ(x) = inff (y) | y ∈ g−1(x) ∩ A.
Si g|A est propre, alors ψ est sous-analytique.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
Propriétés
1 Tout ensemble sous-analytique est stratifiable (au sens deWhitney).
2 f fonction sous-analytique sur M (variété analytique).Alors, Sing(f ) est une sous-variété stratifiée de codim > 1.
3 M, N variétés analytiques (de dim < +∞), A ⊂ N, g : N → M etf : N → IR sous-analytiques. On pose, pour tout x ∈ M,
ψ(x) = inff (y) | y ∈ g−1(x) ∩ A.
Si g|A est propre, alors ψ est sous-analytique.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
Propriétés
1 Tout ensemble sous-analytique est stratifiable (au sens deWhitney).
2 f fonction sous-analytique sur M (variété analytique).Alors, Sing(f ) est une sous-variété stratifiée de codim > 1.
3 M, N variétés analytiques (de dim < +∞), A ⊂ N, g : N → M etf : N → IR sous-analytiques. On pose, pour tout x ∈ M,
ψ(x) = inff (y) | y ∈ g−1(x) ∩ A.
Si g|A est propre, alors ψ est sous-analytique.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes
⇒ S sous-analytique.
Idée de la preuve.
L’application Φ : p(0) 7→ u (contrôle normal) est analytique, et
S(T , x) = inf
C(T ,u)∣∣ Ex0,T (u) = x
= min
(C Φ
)(p(0)) |
(Ex0,T Φ
)(p(0)) = x
Puis, on montre que Ex0,T Φ est propre.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
Equation d’Hamilton-Jacobi :[−p0 ∂S
∂t
]+ Hr
(x ,−p0 ∂S
∂x)
= 0,
(habituellement, p0 = −1) de la forme
H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)
DéfinitionSoit v : Ω→ IR continue.Sur-différentiel :
D+v(x) =
p ∈ IRn | lim sup
y→x
v(y)− v(x)− 〈p, y− x〉‖y− x‖
6 0.
Sous-différentiel :
D−v(x) =
p ∈ IRn | lim inf
y→x
v(y)− v(x)− 〈p, y− x〉‖y− x‖
> 0.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
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Equation d’Hamilton-Jacobi :[−p0 ∂S
∂t
]+ Hr
(x ,−p0 ∂S
∂x)
= 0,
(habituellement, p0 = −1) de la forme
H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)
Définitionv : Ω→ IR, continue, est sur-solution de viscosité de (1) si
∀x ∈ Ω ∀p ∈ D−v(x) H(x , v(x),p) > 0,
et est sous-solution de viscosité de (1) si
∀x ∈ Ω ∀p ∈ D+v(x) H(x , v(x),p) 6 0.
v est une solution de viscosité de (1) si elle est à la fois sous- etsur-solution.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques
Plan de l’exposé
Equation d’Hamilton-Jacobi :[−p0 ∂S
∂t
]+ Hr
(x ,−p0 ∂S
∂x)
= 0,
(habituellement, p0 = −1) de la forme
H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)
Remarques
x ∈ Ω | D+v(x) 6= ∅ et x ∈ Ω | D−v(x) 6= ∅ sont denses dans Ω.
Si D+v(x) 6= ∅ et D−v(x) 6= ∅, alors v est differentiable en x .
v solution C1 ⇒ v solution de viscosité.Réciproquement :v solution de viscosité ⇒ H(x , v(x),∇v(x)) = 0 si v est differentiable en x .
Remarque
Courbes caractéristiques = extrémales normales.
E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques