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Plan de l’exposé

Sur le lieu singulier des solutions de viscositéd’équations eikonales sous-elliptiques

Emmanuel Trélat1

1MAPMOUniversité d’Orléans

Rencontre KAMfaible, ENS Lyon, mai 2008

E. Trélat Equations eikonales sous-elliptiques

Plan de l’exposé

Equation eikonale

‖∇S(x)‖2 = 1 dans Ω, S|∂Ω = 0,

où Ω ⊂ IRn ouvert analytique borné. L’unique solution deviscosité est

S(x) = d(x , ∂Ω).

QuestionEquations eikonales généralisées ?

m∑i=1

(fi .S)2 = 1


Plan de l’exposé

Théorème (E.T., Ann. IHP, 2006)

La solution de viscosité de certaines équations d’Hamilton-Jacobi est sous-analytique.Par conséquent :

elle est stratifiable (au sens de Whitney) ;

l’ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de codim > 1.

Exemples

Ω ⊂ IRn ouvert borné sous-analytique, g : ∂Ω→ IR sous-analytique et vérifiant une condition de compatibilité.Dans les cas suivants, la solution de viscosité est continue et sous-analytique sur Ω :

1 Calcul des variations classique :

H(x,∇S(x)) = 0 dans Ω, S|∂Ω = g,

où le Hamiltonien H est uniformément superlinéaire et strictement convexe en p.

2 (n = 2)

∂S

∂x1

!2

+

x1

∂S

∂x2

!2

= 1, S|∂Ω = g.

3 (n = 3)∂S

∂x1+

∂S

∂x1+ x2

∂S

∂x3

!2

+

∂S

∂x2− x1

∂S

∂x3

!2

= 1, S|∂Ω = g.

Remarque

En présence de singulières minimisantes, la conclusion est fausse en général (contre-exemples explicites).


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Résultats de généricité.

x(t) =mX

i=1

ui (t)fi (x(t))`

+ f0(x(t))´, (1)

Théorème (Y. Chitour, F. Jean, E.T., J. Diff. Geom., 2006)

Pour m > 3, génériquement (au sens ouvert dense pour la topologie de Whitney) :

aucune trajectoire rigide ;

en contrôle optimal (coût quadratique) : aucune singulière minimisante.

(extension aux systèmes affines)

Corollaire

Pour m > 3, génériquement, sous-analyticité de la solution de viscosité.


Plan de l’exposé

Résultats de type Morse-Sard.

Théorème (L. Rifford, E.T., Math. Ann., 2005)En géométrie sous-Riemannienne, sous la condition de Hörmander, si la variété M est complète,alors ∃N1 ⊂ M dense, tel que, ∀x ∈ N1, il existe un unique chemin minimisant joignant x0 et x ;de plus, cette trajectoire admet un relèvement extrémal normal.

En particulier, l’ensemble des extrémités des singulièresminimisantes strictes est d’intérieur vide.

Si la distribution est de corang un, alors ∃N2 ⊂ M de mesure de Lebesgue pleine tel que,∀x ∈ N2, il existe un chemin minimisant reliant x0 à x et ayant un relèvement extrémal normal, quide plus est non singulier, et x n’est pas conjugué à x0.

En particulier, dans le cas de corang un, l’ensemble desextrémités des singulières minimisantes est de mesure nulle.


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Système de Brockett dans IR3

x = u1f1(x) + u2f2(x), avec u21 + u2

2 6 1,

où f1 = ∂∂x1

+ x2∂

∂x3, f2 = ∂

∂x2− x1

∂∂x3

.

Système hybride perturbé, de la forme

x(t) = f (x(t), k(x(t) + e(x(t), t), sd (t))) + d(x(t), t),sd (t) = kd (x(t) + e(x(t), t), s−d (t)),

(e : bruit de mesure, d : perturbation extérieure, et sd (t) ∈ 1, 2)

–1

–0.5

0

0.5

1

–2 –1 1 2

x3

x1

x2

Théorème (C. Prieur, E.T., SIAM J. Cont. Optim., 2006) details

L’origine est semi-globalement robustement stabilisable en temps quasi-minimal.

Généralisation aux systèmes x =mX

i=1

ui fi (x),mX

i=1

u2i 6 1.


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Et en présence de singulières minimisantes ?

S’il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonctionvaleur peut ne pas être sous-analytique, ni même continue.

Examplex(t) = 1 + y(t)2,y(t) = u(t),

coût CT (u) =

Z T

0u(t)2dt.

Trajectoire (x(t) = t, y(t) = 0, u(t) = 0) singulière minimisante.

Pour (x, y) ∼ (T , 0) :

S(0,0),T (x, y) =1

4

y4

x − T+

y4

x − Te− y2

x−T + o“ y4

x − Te− y2

x−T”

.

Remarque

S(0,0),T (x, y) = Analyt

y4

x − T,

y4

x − Texp

−y2

x − T

! !→ classe log-exp.

-

6y

x

(T, 0)

7

0

Figure 1: Ensembles de niveaux de la fonction valeur


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Etude asymptotique dans le cas Martinet

Dans IR3, distribution ∆ = Vectf1, f2, où f1 =∂

∂x+

y2

2∂

∂z, f2 =

∂

∂y, munie de la

métrique g = a(x , y , z)dx2 + c(x , y , z)dy2.

Cas modèle : a = (1 + αy)2 et c = (1 + βx + γy)2.

Unique trajectoire singulière minimisante non triviale, partant de 0 :(x(t), y(t), z(t)) = (t , 0, 0). (stricte⇔ α 6= 0)

Cas Martinet plat : α = β = γ = 0.Les sphères SSR(0, r) ne sont pas sous-analytiques.

(Agrachev - Bonnard - Chyba - Kupka, ESAIM : COCV, 1997)

Si α 6= 0, les sphères SSR(0, r) (et donc, dSR(0, ·)) ne sont passous-analytiques.

(E.T., CRAS, 2000)

Cas Martinet général intégrable : a = a(y), c = c(y).Les sphères SSR(0, r) appartiennent à la classe log-exp.

(Bonnard - Launay - E.T., J. Math. Sci., 1998).

Cas général : question ouverte.


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Problème de contrôle optimal

x(t) = f (x(t),u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ IRm,

x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =

∫ T

0f 0(x(t),u(t))dt .

DéfinitionApplication entrée-sortie

Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn

u 7→ xu(T , x0).


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x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =

∫ T

0f 0(x(t),u(t))dt .


Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn

u 7→ xu(T , x0).

DéfinitionFonction valeur

S(T , x) = inf

C(T ,u)∣∣ Ex0,T (u) = x

.


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x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =

∫ T

0f 0(x(t),u(t))dt .


Ex0,T : L∞([0,T ], IRm) → IRn

u 7→ xu(T , x0).

Définition

Le contrôle u (ou la trajectoire xu(·)) est singulier si

rang dEx0,T (u) < n.


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QuestionRégularité de S ?

Motivation :singularités des solutions de viscosité d’équationsd’Hamilton-Jacobi,problèmes de stabilisation.


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Principe du maximum de Pontryagin



x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =

∫ T

0f 0(x(t),u(t))dt .

Multiplicateurs de Lagrange

∃(ψ,ψ0) ∈ IRn × IR \ 0 | ψdEx0,T(u) = −ψ0dCT(u).


Plan de l’exposé




x(T ) = x1, min C(T ,u), où C(T ,u) =

∫ T

0f 0(x(t),u(t))dt .

Principe du maximum de Pontryagin (sans contrainte sur le contrôle)

Toute trajectoire minimisante x(·) est la projection d’une extrémale(x(·),p(·),p0,u(·)) solution de

x =∂H∂p

, p = −∂H∂x

,∂H∂u

= 0,

où H(x ,p,p0,u) = 〈p, f (x ,u)〉+ p0f 0(x ,u).


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Principe du maximum de Pontryagin (sans contrainte sur le contrôle)

Toute trajectoire minimisante x(·) est la projection d’une extrémale(x(·),p(·),p0,u(·)) solution de

x =∂H∂p

, p = −∂H∂x

,∂H∂u

= 0,

où H(x ,p,p0,u) = 〈p, f (x ,u)〉+ p0f 0(x ,u).

Une extrémale est dite normale si p0 6= 0, et anormale if p0 = 0.

Les trajectoires singulières sont les projections des extrémalesanormales.


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Sous-analyticité de la fonction valeur

ThéorèmePour des données analytiques :Absence de trajectoires singulières minimisantes

⇒ S sous-analytique.

(A. Agrachev 1998, E.T. 2000)


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DéfinitionEnsembles sous-analytiques.


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Propriétés

1 Tout ensemble sous-analytique est stratifiable (au sens deWhitney).

2 f fonction sous-analytique sur M (variété analytique).Alors, Sing(f ) est une sous-variété stratifiée de codim > 1.

3 M, N variétés analytiques (de dim < +∞), A ⊂ N, g : N → M etf : N → IR sous-analytiques. On pose, pour tout x ∈ M,

ψ(x) = inff (y) | y ∈ g−1(x) ∩ A.

Si g|A est propre, alors ψ est sous-analytique.


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Idée de la preuve.

L’application Φ : p(0) 7→ u (contrôle normal) est analytique, et

S(T , x) = inf

C(T ,u)∣∣ Ex0,T (u) = x

= min

(C Φ

)(p(0)) |

(Ex0,T Φ

)(p(0)) = x

Puis, on montre que Ex0,T Φ est propre.


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Equation d’Hamilton-Jacobi :[−p0 ∂S

∂t

]+ Hr

(x ,−p0 ∂S

∂x)

= 0,

(habituellement, p0 = −1) de la forme

H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)

DéfinitionSoit v : Ω→ IR continue.Sur-différentiel :

D+v(x) =

p ∈ IRn | lim sup

y→x

v(y)− v(x)− 〈p, y− x〉‖y− x‖

6 0.

Sous-différentiel :

D−v(x) =

p ∈ IRn | lim inf

y→x

v(y)− v(x)− 〈p, y− x〉‖y− x‖

> 0.


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∂t

]+ Hr

(x ,−p0 ∂S

∂x)

= 0,


H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)

Définitionv : Ω→ IR, continue, est sur-solution de viscosité de (1) si

∀x ∈ Ω ∀p ∈ D−v(x) H(x , v(x),p) > 0,

et est sous-solution de viscosité de (1) si

∀x ∈ Ω ∀p ∈ D+v(x) H(x , v(x),p) 6 0.

v est une solution de viscosité de (1) si elle est à la fois sous- etsur-solution.


Plan de l’exposé


∂t

]+ Hr

(x ,−p0 ∂S

∂x)

= 0,


H(x , v(x),∇v(x)) = 0 dans Ω. (1)

Remarques

x ∈ Ω | D+v(x) 6= ∅ et x ∈ Ω | D−v(x) 6= ∅ sont denses dans Ω.

Si D+v(x) 6= ∅ et D−v(x) 6= ∅, alors v est differentiable en x .

v solution C1 ⇒ v solution de viscosité.Réciproquement :v solution de viscosité ⇒ H(x , v(x),∇v(x)) = 0 si v est differentiable en x .

Remarque

Courbes caractéristiques = extrémales normales.


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