Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014

Feuille 4Integrales doubles

Exercice 1. Calculer lintegrale double suivante

Df(x, y)dxdy, avec

1. f(x, y) = x et D = {(x, y) R2; y 0, x y + 1 0, x+ 2y 4 0} .2. f(x, y) = x+ y et D = {(x, y) R2; 0 x 1; x2 y x} .3. f(x, y) = cos(xy) et D =

{(x, y) R2; 1 x 2, 0 xy pi

2

}.

4. f(x, y) = xy et D = {(x, y) R2; x 0, y 0, xy + x+ y 1.}.Indication :

x(1 x)2(1 + x)2

= x 4 + 81 + x

4(1 + x)2

.

5. f(x, y) = 1(x+y)3

et D = {(x, y) R2; 1 < x < 3, y > 2, x+ y < 5} .6. f(x, y) = |x+ y| et D = {(x, y) R2; 0 < x < 2,2 < y < 2} .

Exercice 2. Soit D le domaine :

D ={

(x, y) [0, 1]2 et x2 + y2 > 1} .Calculer

D

xy

1 + x2 + y2dxdy

Exercice 3. Soit D le domaine :

D ={

(x, y) R2; 1 x 1 et x2 y 4 x3} .Calculer laire de D.

Exercice 4. Calculer lintegrale double

1

1 + x2 + y2dxdy

ou` = {(x, y) R2; 0 x 1, 0 y 1, 0 < x2 + y2 1} .

Exercice 5. Soit D = {(x, y) R2; x2 + y2 2x 0}.1. Montrer que D est un disque.

2. Calculer

D

x2 + y2dxdy.

Exercice 6. Calculer

Df(x, y)dxdy dans les cas suivants :

1. D = {(x, y) R2; x 0, y 0, 1 x2 + y2 4} et f(x, y) = xyx2+y2

.

2. D = {(x, y) R2; x 0, 1 x2 + y2 2y} et f(x, y) = x2 + y2.3. D = {(x, y) R2; x 1, 4 (x 1)2 + (y 1)2 9} et f(x, y) = xy.

1

Exercice 7. Soient a et b deux nombres reels tels que 0 < a < b et soit

D ={

(x, y) (R+)2, a 6 xy 6 b, y > x, y2 x2 1} .En effectuant le changement de variables

u = xy et v = y2 x2,

calculer

I =

D

(y2 x2)(y2 + x2) dxdy.

Exercice 8. En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer

(2xy x2)dx+ (x+ y2)dy,

ou` est le bord oriente du domaine delimite par les courbes dequation y = x2 et x = y2.

Exercice 9. Soit K = {(x, y) R2; x 0, y 0 et x2 + y2 1}. Soit son bord oriente,et la forme differentielle :

= xy2dx+ 2xydy.

1. Calculerw en utilisant une parametrisation de .

2. Calculerw en utilisant la formule de Green-Riemann.

Exercice 10. Calculer les coordonnees du centre de gravite du domaine :

D =

{(x, y) R2; x

2

a2+y2

b2 1, x 0 et y 0

}.

2