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Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014
Feuille 4Integrales doubles
Exercice 1. Calculer lintegrale double suivante
Df(x, y)dxdy, avec
1. f(x, y) = x et D = {(x, y) R2; y 0, x y + 1 0, x+ 2y 4 0} .2. f(x, y) = x+ y et D = {(x, y) R2; 0 x 1; x2 y x} .3. f(x, y) = cos(xy) et D =
{(x, y) R2; 1 x 2, 0 xy pi
2
}.
4. f(x, y) = xy et D = {(x, y) R2; x 0, y 0, xy + x+ y 1.}.Indication :
x(1 x)2(1 + x)2
= x 4 + 81 + x
4(1 + x)2
.
5. f(x, y) = 1(x+y)3
et D = {(x, y) R2; 1 < x < 3, y > 2, x+ y < 5} .6. f(x, y) = |x+ y| et D = {(x, y) R2; 0 < x < 2,2 < y < 2} .
Exercice 2. Soit D le domaine :
D ={
(x, y) [0, 1]2 et x2 + y2 > 1} .Calculer
D
xy
1 + x2 + y2dxdy
Exercice 3. Soit D le domaine :
D ={
(x, y) R2; 1 x 1 et x2 y 4 x3} .Calculer laire de D.
Exercice 4. Calculer lintegrale double
1
1 + x2 + y2dxdy
ou` = {(x, y) R2; 0 x 1, 0 y 1, 0 < x2 + y2 1} .
Exercice 5. Soit D = {(x, y) R2; x2 + y2 2x 0}.1. Montrer que D est un disque.
2. Calculer
D
x2 + y2dxdy.
Exercice 6. Calculer
Df(x, y)dxdy dans les cas suivants :
1. D = {(x, y) R2; x 0, y 0, 1 x2 + y2 4} et f(x, y) = xyx2+y2
.
2. D = {(x, y) R2; x 0, 1 x2 + y2 2y} et f(x, y) = x2 + y2.3. D = {(x, y) R2; x 1, 4 (x 1)2 + (y 1)2 9} et f(x, y) = xy.
1
-
Exercice 7. Soient a et b deux nombres reels tels que 0 < a < b et soit
D ={
(x, y) (R+)2, a 6 xy 6 b, y > x, y2 x2 1} .En effectuant le changement de variables
u = xy et v = y2 x2,
calculer
I =
D
(y2 x2)(y2 + x2) dxdy.
Exercice 8. En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer
(2xy x2)dx+ (x+ y2)dy,
ou` est le bord oriente du domaine delimite par les courbes dequation y = x2 et x = y2.
Exercice 9. Soit K = {(x, y) R2; x 0, y 0 et x2 + y2 1}. Soit son bord oriente,et la forme differentielle :
= xy2dx+ 2xydy.
1. Calculerw en utilisant une parametrisation de .
2. Calculerw en utilisant la formule de Green-Riemann.
Exercice 10. Calculer les coordonnees du centre de gravite du domaine :
D =
{(x, y) R2; x
2
a2+y2
b2 1, x 0 et y 0
}.
2