UNIVERZITET U NIŠU
FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU
TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -
Dr Darko Mihajlov, doc.
- 2. PREDAVANJE -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
1. ČAS
2. ČAS
Ravanski sistem sučeljnih sila;
Moment sile za tačku;
Moment sile za osu;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
Ravanski sistem sučeljnih sila – sistem sila koje
dejstvuju na kruto telo, a koje su raspoređene u ravni
i pritom im se napadne linije seku u jednoj tački.
Sistem kolinearnih sila – specijalni slučaj sučeljnog
sistema sila kada sve napadne linije sistema sila leže
na jednoj pravoj.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
Sve sile sistema sučeljnih sila se mogu primenom
Teoreme o pomeranju sile duž napadne linije
pomeriti duž napadnih linija tako da im napadna
tačka bude tačka preseka njihovih napadnih linija –
tačka sučeljavanja sila.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
Slaganjem sistema sučeljnih sila dobija se jedna sila
– REZULTANTA.
Sistem sučeljnih sila je u ravnoteži ako je intenzitet
rezultante jednak nuli.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
Rezultanta dveju sila istog smera, koje leže na istoj
napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja
vektor čiji je intenzitet jednak zbiru intenziteta datih
sila, leži na istoj napadnoj liniji, ima smer datih sila i
istu napadnu tačku.
1. Rezultanta dveju kolinearnih sila
1.1. Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (1/2)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
1.1 Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (2/2)
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
, 0;
( 4) 2 cos0
R F F
A R F F F F R F F
Slaganje dveju sila istog pravca, istog smera, sa istom
napadnom tačkom
A
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
Rezultanta dveju sila suprotnog smera, koje leže na
istoj napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja
vektor čiji je intenzitet jednak razlici intenziteta datih
sila, leži na istoj napadnoj liniji i ima smer sile većeg
intenziteta.
1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila
suprotnog smera (1/2)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila
suprotnog smera (2/2)
Slaganje dveju sila istog pravca, suprotnog smera,
sa istom napadnom tačkom
1 2
2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
; 180 ;
( 4) 2 cos180 ,
R F F
A R F F F F R F F F F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku
pod uglom , 0o i 180o (1/2)
Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku pod
uglom , tako da je 0o i 180o , predstavlja
vektor koji je određen po aksiomi (A4) dijagonalom
paralelograma konstruisanog nad silama kao
stranicama.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA DVEJU SILA
2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku
pod uglom , 0o i 180o (2/2)
Pravilo paralelograma Pravilo trougla
2 2 2
1 2 1 22 cosR F F F F sin180sinsinsin
21 RRFF
Slaganje dveju sila čije se napadne linije seku
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
T: Rezultanta ravanskog sistema sučeljnih sila
jednaka je vektorskom zbiru datih sila i dejstvuje u
tački sučeljavanja sila.
Rezultanta je određena završnom stranicom poligona
sila čije stranice predstavljaju date sile po
intenzitetu, pravcu i smeru (pravilo poligona sila).
Redosled nanošenja sila pri konstrukciji poligona
nije bitan.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
Slaganje ravanskog sistema sučeljnih sila - poligon sila otvoren
(1) (2) (3)
DOKAZ (1/3):
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
Ravanski sistem od n sila dejstvuje u
tački A. Usvaja se n = 4 .
DOKAZ (2/3):
1 2 nF ,F ,...,F
Primena pravila trougla sila tri puta:
2112 , FFR
31213 , FRR
413, FRR
4312 ,, FFRR
.,,, 4321 FFFFR
(a)
(1)
(2)
(b) (c)
(b)(c)
(d)
(a)(d)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
Konstruiše se otvoreni poligon sila čije su stranice
sile datog sistema.
Rezultanta je određena vektorom čija se početna
tačka poklapa sa napadnom tačkom A sistema sila, a
krajnja tačka sa završnom tačkom E poslednje sile.
DOKAZ (3/3):
(3)
),,,()( 4321 FFFFR
n
i
iFR1
(a)(b)(c)
, tj.
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA
SUČELJNIH SILA (1/5)
T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je
potrebno i dovoljno da njihova rezultanta bude jednaka
nuli, tj. da je vektorski zbir datih sila jednak nuli.
(osnovni vektorski oblik uslova ravnoteže sistema sučeljnih sila)
Tada je poligon sila zatvoren.
00
n
i
iFR
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA
SUČELJNIH SILA (2/5)
Ravnoteža sistema sučeljnih sila u ravni - zatvoren poligon sila
(1) (2) (3) (4)
1nR
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA
SUČELJNIH SILA (3/5)
Uravnoteženi sistem od n sila napada tačku A.
DOKAZ:
(1)
0,...,, 21 nFFF
(2) Slaganje sistema od (n-1) sile u rezultantu po
pravilu poligona sila.
1nR
1 1 2 1, ,..., n nR F F F , tj. 1
1
1
n
n i
i
R F (a)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA
SUČELJNIH SILA (4/5)
Dati sistem sila je sveden na dve sile: i .
Za ravnotežu ovih dveju sila je na osnovu (A2)
potrebno da su istog intenziteta, suprotnog smera i
da leže na istoj napadnoj liniji:
DOKAZ:
(3) 1nR nF
1 nn RF
(b)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA
SUČELJNIH SILA (5/5)
DOKAZ:
(4) .001
1
1
1
1
n
i
in
n
i
i
n
i
in FFFFF
(a)(b)
Poligon sila je zatvoren.
00
n
i
iFR
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (1/8)
Def.: Ortogonalnom projekcijom ax vektora na osu
x naziva se dužina odsečka na osi x, ili na ma kojoj
njoj paralelnoj osi.
Odsečak odvajaju ravni postavljene kroz krajeve
A i B vektora upravno na osu.
Projekcija ima znak “+” ili “-” prema tome da li
vektor ima isti ili suprotan smer ose. (nastavak)
a
A B
a
a
A B
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (2/8)
Def. (nastavak): Ortogonalna projekcija ax vektora na
osu x jednaka je proizvodu intenziteta tog vektora i
kosinusa ugla između vektora i ose:
a
cosaax
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (3/8)
Projekcija vektora na osu
cosaax
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (4/8)
Projekcija sile na osu x
Primena definicije o projekciji vektora na osu za
određivanje projekcije sile na osu (1/2)
; F FF u AB F F u AB
; ; ;F F F xF u a F u a X u a
cos / ; x Fa a u
cos cos .F x Fu a u a X F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (5/8)
Primena definicije o projekciji vektora na osu za
određivanje projekcije sile na osu (2/2)
Def.: Projekcija X sile na osu x je skalarna veličina,
koja je jednaka proizvodu intenziteta sile i kosinusa
ugla između sile i ose:
F
cosFX
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (6/8)
Projekcija sile na osu može da se definiše i kao
skalarni proizvod sile i jediničnog vektora te ose:
cos cos ; 1 X F F i F i i
Sila se može razložiti u dve komponente, i ,
čije su napadne linije paralelne osama Dekartovog
koordinatnog sistema u ravni 0xy:
F xF yF
, x yF F F F X i Y j , x yF X i F Y j
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (7/8)
Projekcije sila na osu za karakteristične položaje napadnih linija
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.
PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (8/8)
Ako su poznate projekcije X i Y sile , tada je ta sila
potpuno definisana na analitički način:
F
2 2 2 2 2
cos ;
90 ; cos =cos 90 sin ;
cos sin ;
;
cos , cos .
X F
Y F F
X Y F F X Y
X Y
F F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
T: Ortogonalna projekcija rezultujućeg vektora na neku
osu jednaka je algebarskom zbiru ortogonalnih
projekcija komponentnih vektora na istu osu:
1 1
; .n n
i x ix
i i
a a a a
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
DOKAZ:
Projekcija zbira vektora
na osu
DAax
1 ;xa A B 2 3;x xa B C a C D
DCCBBADA
xxxx aaaa 321
3
1
3
1
321 ;i
ixx
i
i aaaaaaa
(a)
(b)
(c)
(a)(b) (c)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
T: Projekcija rezultante ravanskog sistema sučeljnih
sila na ma koju osu jednaka je algebarskom zbiru
projekcija datih sila na istu osu:
1 1
; n n
R i R i
i i
X X Y Y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
(a) (b) (c)
Sistem sučeljnih sila:
a) tačku A napadaju četiri sile;
b) konstrukcija poligona ravanskih sila;
c) razlaganje rezultante na komponente i projekcije
rezultante sistema sučeljnih sila na ose Dekartovog
koordinatnog sistema.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
DOKAZ (1/3):
Ravanski sistema sučeljnih sila napada
tačku A krutog tela.
(a) ),....,1( niFi
Određivanje vektora rezultante primenom pravila
poligona sila:
(b) R
n
i
iFR1
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
(b) cos ;i i iX F cosi i iY F
cos ;R RX R cosR RY R
DOKAZ (2/3):
1 1
cos ;n n
R i i i
i i
X F X
1 1
cos .n n
R i i i
i i
Y F Y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
(c)
DOKAZ (3/3):
x y R RR R R X i Y j
2 2 2 2 ;x y R RR R R X Y
cos ; cosR RR R
X Y
R R
RR
R
Ytg
X
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
JEDNAČINE RAVNOTEŽE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je
potrebno i dovoljno da su algebarski zbirovi projekcija
svih sila na dve uzajamno ortogonalne ose jednaki
nuli, tj. :
(jednačine ravnoteže)
1 1
(1) 0; (2) 0. n n
i i
i i
X Y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
JEDNAČINE RAVNOTEŽE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA
DOKAZ:
Osnovni oblik uslova ravnoteže:
Ako je , tada je i .
(a) 0R
0R
0R
(b) 2 2 ;R RR X Y (c)
1 1
; .n n
R i R i
i i
X X Y Y
(b)(a)
2 2 0 0 , 0.R R R RX Y X Y
(c)(d)
0(2) ;0)1(11
n
i
i
n
i
i YX - Kraj dokaza -
(d)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
T: Za ravnotežu sistema tri sile čije napadne linije leže
u jednoj ravni i nisu paralelne, potrebno je i dovoljno
da date sile obrazuju zatvoreni trougao sila i da se
njihove napadne linije seku u jednoj tački.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (1/7):
Ako telo napadaju tri sile koje
su u ravnoteži, tada mora da
bude ispunjen uslov:
(a)
0,, (1) 321 FFF
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (2/7):
Ukoliko napadne linije nisu paralelne, tada se
napadne linije neke dve sile seku u nekoj tački. Na
primer, napadne linije sila i seku se u tački A.
(b)
1F 2F
Nastavak ...
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (3/7):
Sile i se na osnovu Teoreme o pomeranju sile
pomere u napadnu tačku A, a zatim se slože u
rezultantu po aksiomi (A4):
(b)
1221 ),( (2) RFF
1F 2F
Nastavak ...
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (4/7):
Kako su po pretpostavci sile u ravnoteži, sledi da
rezultanta ovih dveju sila i treća sila moraju da budu
jednake po intenzitetu, da dejstvuju na istoj napadnoj
liniji i da su suprotnog smera.
(b)
Nastavak ...
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (5/7):
Ovaj uslov je zadovoljen jedino ako napadna linija
treće sile prolazi kroz tačku A, koja je presečna tačka
napadnih linija prve i druge sile, i ako je:
(b)
0, 312 FR
Nastavak ...
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (6/7):
Iz (A2) sledi da i moraju da leže na istoj
napadnoj liniji i da su jednakih intenziteta, a
suprotnih smerova, tj. napadna linija sile mora da
prolazi kroz tačku preseka A
napadnih linija druge dve sile.
(b) 12R 3F
3F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -
TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE
DOKAZ (7/7):
Sile , i obrazuju zatvoren trougao sila, jer je
i u ravnoteži su:
(c) 1F
3 12F R
2F 3F
12 3 1 2 3, , , 0R F F F F
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/8)
Ako je telo vezano u jednoj tački za nepokretni zglob,
tada se telo pod dejstvom sile može obrtati oko
zgloba.
Obrtno dejstvo sile se objašnjava pomoću novog
statičkog pojma - MOMENTA SILE ZA TAČKU.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Ako sila dejstvuje na
kruto telo koje je zglobno
vezano u tački 0, tada će
se telo obrtati oko ose koja
prolazi kroz tačku 0, a
upravna je na ravan koju
obrazuju sila i tačka 0.
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (2/8)
F
F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Moment sile za tačku je određen ako su poznata tri
podatka: intenzitet, pravac i smer.
Def.: Moment sile za tačku je
vektor koji je jednak vektorskom
proizvodu vektora položaja
napadne tačke sile i vektora
sile: 0M F r F
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (3/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Vektorski proizvod dva vektora određuje treći vektor koji
je upravan na ravan koju obrazuju dati vektori i po
intenzitetu je jednak površini
paralelograma konstruisanog
nad tim vektorima, odnosno
dvostrukoj povšini trougla
0AB.
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (4/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Intenzitet vektora momenta sile za tačku:
0 0sin 2 ABM F r F r F F h P
Pravac vektora momenta
sile za tačku je određen
pravom koja prolazi kroz
momentnu tačku 0 i upravna
je na ravan obrtanja.
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (5/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Za rešavanje statičkih problema u ravni, s obzirom na
to da se sve sile i momentne tačke nalaze u istoj ravni,
dovoljno je da se odredi intenzitet momenta i smer
obrtanja koji se obeležava kružnom strelicom u toj
ravni.
Jedinica za moment sile je izvedena veličina [Nm].
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (6/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Moment sile se menja u zavisnosti od izbora
momentne tačke, jer to uslovljava promenu dužine
kraka sile, odn. promenu visine trougla h.
Izuzetak je u slučaju kada se
izabere nova momentna
tačka na pravoj paralelnoj
napadnoj liniji sile.
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (7/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
Moment sile za tačku je jednak nuli ako napadna linija
sile prolazi kroz momentnu tačku, jer je tada dužina
kraka h jednaka nuli.
DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (8/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (1/7)
T: Moment rezultante dveju sučeljnih sila za tačku koja
leži u njihovoj ravni jednak je algebarskom zbiru
momenata tih sila za istu tačku.
1 2O O OM R M F M F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (2/7) DOKAZ (1/5):
Sile i napadaju tačku
A. Tačka O je izabrana za
momentnu tačku.
Rezultanta ovih sila je
određena primenom pravila
o paralelogramu sila (A4) :
21 FFR
1F 2F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (3/7) DOKAZ (2/5):
Momentna tačka O je
spojena sa temenima
paralelograma A, B, C, D.
Tako su konstruisani
trouglovi: OAB, OAC i OAD.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (4/7) DOKAZ (3/5):
Upravno na pravac OA
nacrtana je proizvoljna
prava i na nju su
projektovana temena
paralelograma.
Tako su određene visine
trouglova.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (5/7) DOKAZ (4/5):
1 2 ;O OABM F P OA A B
2 2 ;O OACM F P OA A C
2 ;O OADM R P OA A D
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (6/7) DOKAZ (5/5):
1 2O O
O
M F M F
OA A B A C
OA A B B D
OA A D M R
1 2 .O O OM R M F M F
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
DVEJU SILA (7/7)
PRIMENA: Izračunavanje momenta sile za koordinatni
početak kao momentne tačke
yx FFF
0 0 0x yM F M F M F
0 xM F Xy
0 yM F Yx
0M F Yx Xy
(a)
(b)
(c)
(b)(c) (a)
T:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (1/3)
T: Moment rezultante ravanskog sistema sučeljnih sila
jednak je algebarskom zbiru momenata komponentnih
sila za istu momentnu tačku u ravni dejstva sila:
0 0
1
n
i
i
M R M F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
DOKAZ (1/2):
Postepenom primenom
Varinjonove teoreme za dve
sile, dolazi se do zaključka
da ova teorema važi i za
sistem n sučeljnih sila.
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (2/3)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU -
DOKAZ (2/2):
VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE
RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (3/3)
1,2 1 2 0 1,2 0 1 0 2,R F F M R M F M F
1,3 1,2 2 0 1,3 0 1,2 0 3,R R F M R M R M F
1,3 4 0 0 1,3 0 4,R R F M R M R M F
0 0 1 0 2 0 3 0 4M R M F M F M F M F
1
;n
i
i
R F
0 0
1
n
i
i
M R M F
(a)
(b)
(c)
(a)(b)(c)
- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA OSU -
MOMENT SILE ZA OSU (1/4)
Ako je telo vezano u ma koje dve tačke, može se pod
dejstvom sile obrtati oko ose koja prolazi kroz te dve
tačke.
Ove dve tačke i sve tačke vezanog tela koje se nalaze
na pravoj koja prolazi kroz te dve tačke ostaju
nepokretne sve vreme kretanja tela.
Putanje tačaka krutog tela su kružne i nalaze se u
ravni upravnoj na osu obrtanja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA OSU -
MOMENT SILE ZA OSU (2/4)
Obrtno dejstvo sile na vezano telo koje se može obrtati
oko nepokretne ose izražava se veličinom koja se
naziva MOMENT SILE ZA OSU.
Moment sile za osu karakteriše obrtni efekat sile na
telo oko neke ose.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA OSU-
MOMENT SILE ZA OSU (3/4)
Def.: Moment sile za osu jednak je proizvodu projekcije
sile na ravan koja je upravna na tu osu i dužine normale
spuštene iz presečne tačke te ose i ravni na pravac te
projekcije. Moment sile za osu je skalarna veličina.
zM F F h
02z A BM F P F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA OSU -
MOMENT SILE ZA OSU (4/4)
Moment sile za osu jednak je nuli u sledećim slučajevima:
Napadna linija sile je
paralelna osi za koju se
traži moment;
Napadna linija sile seče
osu za koju se traži
moment;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -
ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I
MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/2)
Zavisnost između momenta sile za osu i momenta sile za
ma koju tačku te ose formulisana je sledećom teoremom:
T: Moment sile za osu jednak je projekciji na tu osu
momenta sile za ma koju tačku te ose:
0 0 cos .z zM F M F M F
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -
DOKAZ:
ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I
MOMENTA SILE ZA TAČKU (2/2)
0 0
0 0
0
0 0
cos
2 2 cos
2
2
A B AB
A B AB
z A B
AB
P P
P P
M F P
M F P
(a)
(b)
(b)(a)
0 0cosz zM F M F M F - Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
1. Šta predsatvlja ravanski sistem sučeljnih sila?
2. Izvršiti slaganje dveju kolinearnih sila; diskutovati na šta
se mogu svesti.
3. Formulisati teoreme o slaganju sistema sučeljnih sila u
ravni.
4. Formulisati teoreme o ravnoteži sistema sučeljnih sila,
pokazati to na primeru.
Kontrolna pitanja 2 (1/3)
Nastavak
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
Kontrolna pitanja 2 (2/3)
5. Definisati projekciju sile na osu. Prikazati specijalne
slučajeve projekcija sila.
6. Definisati komponente sile. Pokazati razlaganje sile na
dva uzajamno upravna pravca Dekartovog koordinatnog
sistema 0x i 0y.
7. Uspostaviti vezu između komponenata i projekcija sile.
8. Izvesti jednačine ravnoteže ravanskog sistema sučeljnih
sila.
Nastavak
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
Kontrolna pitanja 2 (3/3)
9. Definisati moment sile za tačku. Kada je moment sile za
tačku jednak nuli?
10. Kako se može predstaviti moment sile za tačku preko
površine?
11. Definisati moment sile za osu. Kada je moment sile za
osu jednak nuli?
12. Koja je veza između momenta sile za tačku i momenta
sile za osu?