![Page 1: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/1.jpg)
Tema 2:Metodos de Deduccion
para la Logica Proposicional
Dpto. Ciencias de la Computacion Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla
Logica y ComputabilidadCurso 2010–11
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.1
![Page 2: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/2.jpg)
Contenido
Formas normalesEquivalenciaSustitucionFormas normales
TablerosFomulas α y βTableros completos
Sistemas deductivos
ResolucionClausulasLa regla de resolucionSaturacionEstrategias de resolucion
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.2
![Page 3: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/3.jpg)
Equivalencia
Dos formulas F1,F2 son equivalentes (F1 ≡ F2) si, para todavaloracion v , v(F1) = v(F2). Es decir, F1 ≡ F2 si F1 y F2 tienenlos mismos modelos.
I F1 ≡ F2 si y solo si F1 |= F2 y F2 |= F1
Ejemplos:
I Cualesquiera dos formulas insatisfactibles son equivalentes.
I Dos tautologıas cualesquiera son equivalentes.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.3
![Page 4: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/4.jpg)
Equivalencias (I)
Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:
I Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A y A ∧ B ≡ B ∧ A
I Asociatividad:
A∨(B∨C ) ≡ (A∨B)∨C y A∧(B∧C ) ≡ (A∧B)∧C
I Distributividad:
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
I Doble negacion: ¬¬A ≡ A
I Leyes de De Morgan:
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.4
![Page 5: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/5.jpg)
Equivalencias (II)
I Idempotencia: A ∨ A ≡ A y A ∧ A ≡ A
I Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A y A ∧ (A ∨ B) ≡ A
I Leyes de tautologıa: Si A es una tautologıa, entonces
A ∧ B ≡ B y A ∨ B ≡ A
I Leyes de inconsistentes: Si A es insatisfactible, entonces
A ∧ B ≡ A y A ∨ B ≡ B
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.5
![Page 6: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/6.jpg)
Sustitucion
I Dadas A,B ∈ PROP si A es una subformula de B yA′ ∈ PROP, la sustitucion de A por A′ en B es la formulaque se obtiene al cambiar cada aparicion de A en B por A′.Usaremos como notacion para la sustitucion: B{A/A′}.
I Si A no es una subformula de B, por definicion B{A/A′} es B.
Ejemplos: Si B es p → q → r ∨ s entonces:
I B{r ∨ s/p} es p → q → p.
I B{q ∧ r/q} es p → q → r ∨ s.
I B{q → r ∨ s/p ∧ r} es p → p ∧ r .
I B{p → q/p} es p → q → r ∨ s.
Si C es la formula (p → q) ∨ (r → p → q), entonces
I C{p → q/t} es t ∨ (r → t).
I C{p → q/t → p → q} es (t → p → q) ∨ (r → (t → p → q))
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.6
![Page 7: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/7.jpg)
El Teorema de sustitucion
Teorema de Sustitucion. Sean B ∈ PROP y A,A′ ∈ PROP talesque A ≡ A′. Entonces
B{A/A′} ≡ B
I El teorema de sustitucion nos permite manipular“algebraicamente” una formula F para obtener otra formulamas simple y equivalente a F . Este proceso es similar alempleado en la simplificacion de expresiones algebraicas.
I Ejemplo:
B ∨ (A ∧ (A→ B)) ≡ B ∨ (A ∧ (¬A ∨ B))≡ B ∨ (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B)≡ B ∨ (A ∧ B) ≡ B
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.7
![Page 8: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/8.jpg)
Literales
I Una formula F es un literal si es una variable proposicional ola negacion de una variable proposicional.
I Dos literales, L1 y L2, son complementarios (y decimos queuno es el complementario del otro) si L1 es p y L2 es ¬p.
Lema 1. Sean L1, . . . , Ln literales. Son equivalentes:
1.n∨
i=1
Li es una tautologıa.
2. {L1, . . . , Ln} contiene un par de literales complementarios.
Lema 2. Sean L1, . . . , Ln literales. Son equivalentes:
1.n∧
i=1
Li es inconsistente.
2. {L1, . . . , Ln} contiene un par de literales complementarios.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.8
![Page 9: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/9.jpg)
Formas normales
I Una formula esta en Forma normal conjuntiva (FNC) si esuna conjuncion de disyunciones de literales;
F =n∧
i=1
mi∨j=1
Li ,j
I Una formula esta en Forma normal disjuntiva (FND) si es
una disyuncion de conjunciones de literales;
F =n∨
i=1
mi∧j=1
Li ,j
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.9
![Page 10: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/10.jpg)
Formas normales (II)
Lema:
I Una formula en forma normal conjuntiva es una tautologıasyss cada una de sus disyunciones es una tautologıa.
I Una formula en forma normal disjuntiva es insatisfactible sysscada una de sus conjunciones es insatisfactible.
Teorema.
I Para toda formula G existe F en FNC tal que F ≡ G .
I Para toda formula G existe F en FND tal que F ≡ G .
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.10
![Page 11: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/11.jpg)
Paso a forma normal
Procedimiento para transformar G en FNC:
1. Eliminar todas las implicaciones usando:
A→ B ≡ ¬A ∨ B y A↔ B ≡ (A→ B) ∧ (B → A)
2. Trasladar las negaciones, mediante las leyes de Morgan:
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
3. Eliminar negaciones dobles usando ¬¬A ≡ A.
4. Convertir a FNC utilizando la ley distributiva:
A ∨ (B1 ∧ B2) ≡ (A ∨ B1) ∧ (A ∨ B2)
I Para pasar a FND utilizamos la ley distributiva:
A ∧ (B1 ∨ B2) ≡ (A ∧ B1) ∨ (A ∧ B2)
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.11
![Page 12: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/12.jpg)
Ejemplo(¬p ∧ q)→ (q ∨ r)→ p ⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ((q ∨ r)→ p)
⇒ ¬(¬p ∧ q) ∨ ¬(q ∨ r) ∨ p
⇒ ¬¬p ∨ ¬q ∨ (¬q ∧ ¬r) ∨ p
⇒ p ∨ ¬q ∨ ((¬q ∨ p) ∧ (¬r ∨ p))
⇒ (p ∨ ¬q ∨ ¬q ∨ p) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ p)
⇒ (¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ ¬r ∨ p)
Hemos eliminado literales repetidos en una misma clausula gracias a laequivalencia: A ∨ A ≡ A
(En la FND utilizarıamos la equivalencia A ∧ A ≡ A).
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.12
![Page 13: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/13.jpg)
Algoritmo de satisfactibilidad mediante FND
Entrada: Una formula F .Salida: Satisfactible, si F es satisfactible; Insatisfactible,en caso contrario.
ProcedimientoCalcular una FND de F , FND(F )G = G1 ∨ · · · ∨ Gn ← FND(F )para i = 1 hasta n
si en Gi no ocurren literales complementarios,entonces devolver satisfactible, parar
devolver insatisfactible
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.13
![Page 14: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/14.jpg)
Algoritmo de validez mediante FNC
Entrada: Una formula FSalida: Tautologia, si F es una tautologıa; No-tautologia, encaso contrario.
ProcedimientoCalcular una FNC de F , FNC (F )G = G1 ∧ · · · ∧ Gn ← FNC (F )para i = 1 hasta n
si en Gi no ocurren literales complementarios,entonces devolver No-tautologia; parar
devolver Tautologia
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.14
![Page 15: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/15.jpg)
Ejemplos
I F1 = (p ∧ q)→ (q ∧ r) ∨ p.Su forma normal conjuntiva es
(¬p ∨ ¬q ∨ q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ p)
Es tautologıa (y por tanto satisfactible)
I F2 = ¬(p ∨ q) ∨ (p → q).Su forma normal disyuntiva es:
(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q
Es satisfactible.
Su forma normal conjuntiva es
(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ q)
No es tautologıa.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.15
![Page 16: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/16.jpg)
Tableros Semanticos
I Gracias a la FND sabemos que la satisfactibilidad de unaformula puede reducirse a la de ciertos conjuntos de literales.
I El metodo de los tableros semanticos organiza de manerasistematica la busqueda de modelos, reduciendo lasatisfactibilidad de las formulas consideradas a la de ciertosconjuntos de literales.
El metodo de tableros semanticos:
1. Clasifica las formulas en dos clases:I Las formulas α, que se comportan como conjuncionesI Las formulas β, que se comportan como disyunciones
2. Asocia a cada formula, F , otras dos formulas mas sencillas(sus componentes) de modo que la satisfactibilidad de F sereduce a la de sus componentes.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.16
![Page 17: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/17.jpg)
Formulas de tipo α
Las formulas de tipo α son las siguientes:
α α1 α2
¬¬F FF1 ∧ F2 F1 F2
¬(F1 ∨ F2) ¬F1 ¬F2
¬(F1 → F2) F1 ¬F2
F1 ↔ F2 F1 → F2 F2 → F1
I Las formulas α1 y α2 son las componentes de α.
I Si F es de tipo α, entonces F ≡ α1 ∧ α2.
I Para satisfacer una formula de tipo α es necesario y suficientesatisfacer simultaneamente sus dos componentes α1 y α2.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.17
![Page 18: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/18.jpg)
Formulas de tipo β
Las formulas de tipo β son las siguientes:
β β1 β2
F1 ∨ F2 F1 F2
¬(F1 ∧ F2) ¬F1 ¬F2
(F1 → F2) ¬F1 F2
¬(F1 ↔ F2) ¬(F1 → F2) ¬(F2 → F1)
I Las formulas β1 y β2 son las componentes de β.
I Si F es de tipo β, entonces F ≡ β1 ∨ β2
I Para satisfacer una formula de tipo β solo es necesario ysuficiente satisfacer una de sus componentes β1 y β2.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.18
![Page 19: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/19.jpg)
Reglas α y β
Reducen la consistencia de un conjunto de formulas U a la de otroconjunto U ′ formado por formulas mas sencillas.
I Regla α: Si F ∈ U es de tipo α, entonces
U consistente ⇐⇒ (U − {F}) ∪ {α1, α2} consistente
I Regla β: Si F ∈ U es de tipo β, entonces
U consistente ⇐⇒
(U − {F}) ∪ {β1} consistente
o
(U − {F}) ∪ {β2} consistente
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.19
![Page 20: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplo
La formula q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p)) es insatisfactible:
q ∧ p ∧ (p → (q → ¬p))
q, p ∧ (p → (q → ¬p))
q, p, (p → (q → ¬p))
�����
HHHH
H
q, p, ¬p
×q, p, q → ¬p
���
HHH
q, p, ¬q
×q, p, ¬p
×
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.20
![Page 21: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/21.jpg)
Construccion de un tablero completo
Un tablero para {A1, . . . ,An} es un arbol T , con nodosetiquetados por conjuntos de formulas, tal que:
I La raız r de T esta etiquetado por U(r) = {A1, . . .An}.I Para cada nodo l de T , con etiqueta U(l), no marcado, hacer:
1. Si U(l) es un conjunto de literales, entonces:
1.1 Si existe un par de literales complementarios en U(l), marcarcon × (y se denomina hoja cerrada).
1.2 Si no existe tal par, marcar con © (hoja abierta).
2. Si U(l) no es un conjunto de literales, elegir A de U(l) noliteral.
2.1 Si A es una α–formula, entonces anadir un hijo l ′ de l conU(l ′) = (U(l) \ {A}) ∪ {α1, α2} (α2 puede no existir).
2.2 Si A es una β–formula, entonces anadir dos hijos l ′, l ′′ conetiquetas
U(l ′) = (U(l) \ {A}) ∪ {β1} y U(l ′′) = (U(l) \ {A}) ∪ {β2}
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.21
![Page 22: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/22.jpg)
Propiedades de los tableros
I La construccion siempre termina. El tablero final se denominatablero completo.
I Un tablero T es cerrado si todas sus hojas son cerradas. Enotro caso es abierto.
Correccion y Completitud
Sea S un conjunto de formulas, y T un tablero completo para S.
I Correccion: Si T es cerrado, entonces S es inconsistente.
I Completitud: Si S es inconsistente, entonces T es cerrado.
{A1, . . . ,An} admite un tablero abierto si y solo si es un conjuntoconsistente. Ademas la rama abierta define un modelo: Si U es laetiqueta de la hoja abierta,
v(p) = 1 si p ∈ U o ¬p /∈ U, y v(p) = 0 si ¬p ∈ U.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.22
![Page 23: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/23.jpg)
Ejemplo de consistencia:p ∧ ¬q ∧ (p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r)))
p, ¬q ∧ (p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r)))
p, ¬q, p → ((q ∨ r)→ (p ∧ r))
�������
HHH
HHH
H
p, ¬q, ¬p
×p, ¬q, (q ∨ r)→ (p ∧ r)
�����
HHHH
H
p, ¬q, ¬(q ∨ r)
p, ¬q, ¬r
©
p, ¬q, p ∧ r
p, ¬q, r
©Induce v(p) = v(r) = 1, v(q) = 0
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.23
![Page 24: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/24.jpg)
Consecuencia logica
{A1, . . .An} |= A⇐⇒ {A1, . . . ,An,¬A} admite un tablero cerrado.
Por ejemplo, {p → q, q ∨ r → s} |= p → s.
p → q, q ∨ r → s, ¬(p → s)
p → q, q ∨ r → s, p, ¬s
���
���
HHH
HHH
¬p, q ∨ r → s p, ¬s
×q, q ∨ r → s, p, ¬s
�����
HHHHH
q, ¬(q ∨ r), p, ¬s
q, ¬q, ¬r , p, ¬s
×
q, s, p, ¬s
×
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.24
![Page 25: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/25.jpg)
Pruebas formales
I Los tableros semanticos proporcionan un algoritmo para ladeduccion basado en este hecho:
{A1, . . . ,An} |= A ⇐⇒ {A1, . . . ,An,¬A} inconsistente
I Un enfoque mas natural del problema basico (PB) se obtienea traves de la nocion de demostracion:
1. Consideramos el conjunto de enunciados, BC, como unconjunto de axiomas (o hipotesis que asumimos como ciertasinicialmente).
2. El enunciado φ sera consecuencia de BC si podemos obteneruna demostracion de φ a partir de BC (de manera similar acomo en matematicas se demuestra un teorema).
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.25
![Page 26: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/26.jpg)
Sistemas deductivos
Un sistema deductivo, T, (o teorıa proposicional) consta de:
I Un conjunto, Ax(T), de formulas proposicionales quellamamos los axiomas de T.
I Reglas de inferencia de la forma:
A1, . . . ,An
A
siendo A1, . . . ,An,A formulas proposicionales. Las formulasA1, . . . ,An se denominan premisas y la formula A conclusion.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.26
![Page 27: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/27.jpg)
Pruebas y teoremas
I Una demostracion en T es una sucesion de formulasproposicionales A1, . . . ,Ak cada una de las cuales es unaxioma de T, o bien, se obtiene a partir de formulas anterioresde la sucesion mediante una regla de inferencia.
I Una formula A es un teorema de T, `T A, si existe unademostracion en T, A1, . . . ,Ak tal que A = Ak . La sucesionA1, . . . ,Ak se denomina una demostracion de A en T.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.27
![Page 28: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/28.jpg)
Ejemplo
I Axiomas de T: {p, q, p ∧ q → (¬s ∨ p → r)}I Reglas de inferencia: (A y B formulas cualesquiera)
I∧ :A, B
A ∧ BI∨ :
A
A ∨ B
C∨ :A ∨ B
B ∨ AMP :
A, A→ B
B
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.28
![Page 29: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo (bis)
La siguiente sucesion es una demostracion de r en T; luego `T r
1. p [[Hip.]]2. q [[Hip.]]3. p ∧ q [[I∧ aplicada a 1. y 2.]]4. p ∧ q → (¬s ∨ p → r) [[Hip.]]5. ¬s ∨ p → r [[MP aplicada a 3. y 4.]]6. p ∨ ¬s [[I∨ aplicada a 1.]]7. ¬s ∨ p [[C∨ aplicada a 6.]]8. r [[MP aplicada a 7. y 5.]]
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.29
![Page 30: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/30.jpg)
Clausulas
I Una clausula es una disyuncion de literales L1 ∨ · · · ∨ Ln.
I Dada una valoracion v y una clausula L1 ∨ · · · ∨ Ln se tiene:
v |= L1 ∨ · · · ∨ Ln ⇐⇒ Existe i = 1, . . . , n tal que v |= Li
Por tanto, el valor de verdad de L1 ∨ · · · ∨ Ln no depende nidel orden en que aparecen los literales ni de posiblesrepeticiones de literales.
I En consecuencia, identificamos la clausula L1 ∨ · · · ∨ Ln con elconjunto de literales {L1, . . . Ln}.
I Caso especial: la clausula vacıa, correspondiente al conjuntode literales vacıo. La denotamos por �.
I Por definicion, para toda valoracion, v , se tiene v(�) = 0.
I Notacion: El literal complementario de L se denota por Lc .
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.30
![Page 31: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/31.jpg)
Formas clausales
I Para toda formula F ∈ PROP existe un conjunto de clausulas{C1, . . . ,Cn} tal que para toda valoracion, v ,
v |= F ⇐⇒ v |= {C1, . . . ,Cn}
{C1, . . . ,Cn} se denomina una forma clausal de F .
I Podemos obtener una forma clausal a partir de una formanormal conjuntiva.
I La formula en forma normal conjuntiva
(L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm)
se escribe en forma clausal:
{{L1,1, . . . , L1,n1} . . . {Lm,1, · · · , Lm,nm}}
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.31
![Page 32: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/32.jpg)
La regla de resolucion
Generaliza algunas de las reglas de inferencia clasicas:
Modus Ponens :p, p → q
q
{p}, {¬p, q}{q}
Modus Tollens :p → q, ¬q
¬p
{¬p, q}, {¬q}{¬p}
Encadenamiento :p → q, q → r
p → r
{¬p, q}, {¬q, r}{¬p, r}
Reduccion al absurdo :p → q, p → ¬q
¬p
{¬p, q}, {¬p,¬q}{¬p}
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.32
![Page 33: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/33.jpg)
La regla de resolucion
Regla de resolucion:
{L1, . . . , L, . . . , Lm, }, {M1, . . . , Lc , . . . ,Mk}
{L1, . . . , Lm,M1, . . . ,Mk}
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.33
![Page 34: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/34.jpg)
Resolucion entre clausulas
I Si L ∈ C1 y L′ ∈ C2 son literales complementarios, entonces laresolvente de C1 y C2 respecto a L es
resL(C1,C2) = (C1 \ {L}) ∪ (C2 \ {L′})
El conjunto de las resolventes de C1 y C2 es:
Res(C1,C2) = {resL(C1,C2) : L ∈ C1 y Lc ∈ C2}.
I Ejemplos:Sea C1 = {p, q,¬r} y C2 = {¬p, r , s}. Entonces
resp(C1,C2) = {q,¬r , r , s}
res¬r (C1,C2) = {p,¬p, q, s}
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.34
![Page 35: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/35.jpg)
Demostraciones por resolucion
Dado un conjunto de clausulas, S , podemos considerar el sistemadeductivo que tiene a S como conjunto de axiomas y resolucioncomo unica regla de inferencia.
I Una demostracion por resolucion a partir de S es unasucesion de clausulas C1, . . . ,Cn tal que para cadai = 1, . . . , n se verifica:
I Ci ∈ S , o bienI Existen j , k < i tales que Ci ∈ Res(Cj ,Ck).
Si Cn = � diremos que C1, . . . ,Cn es una refutacion de S .
I Una clausula C es demostrable por resolucion a partir de Ssi existe una demostracion a partir de S , C1, . . . ,Cn, tal queCn = C .Notacion: S `r C .
I Decimos que S es refutable si S `r �.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.35
![Page 36: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplos
I Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p,¬q}, {¬q,¬p, s}}.Veamos que S `r {s}.
1. {p, q} Hipotesis2. {¬p, q} Hipotesis3. {q} Resolvente de 1 y 24. {¬q, p} Hipotesis5. {p} Resolvente de 3 y 46. {¬q,¬p, s} Hipotesis7. {¬q, s} Resolvente de 5 y 68. {s} Resolvente de 7 y 3
I Es habitual presentar las demostraciones por resolucionutilizando un arbol.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.36
![Page 37: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/37.jpg)
Ejemplos (II)
S1 = {{p, q}, {p,¬q}, {¬p, q}, {¬p,¬q}} es refutable;
{p, q}
{q}
�
{p}
{¬q}
{¬p, q}
{p,¬q}
{¬p,¬q}
���
���
SSS
����
����
Luego S `r �.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.37
![Page 38: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/38.jpg)
Adecuacion y Completitud
I Lema. Sean C1, C2 y C clausulas. Si C es una resolvente deC1 y C2, entonces {C1,C2} |= C .
I Teorema de adecuacion. Sean S un conjunto de clausulas yC una clausula. Entonces
S `r C =⇒ S |= C
I Incompletitud de resolucion:
{{q}} |= {q, r} pero {{q}} 6`r {q, r}
I Teorema de completitud de la refutacion:
S es inconsistente ⇐⇒ S `r �
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.38
![Page 39: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/39.jpg)
Resolucion por saturacion
I Algoritmo de resolucion por saturacion.Entrada: S , un conjunto finito de clausulas.Salida: SI, si S es inconsistente
NO, en caso contrario.
Procedimiento:
1. S ′ ← S2. S ′′ ← S ′ ∪
⋃C1,C2∈S′
Res(C1,C2)
3. Mientras � /∈ S ′′ y S ′ 6= S ′′ hacer:I S ′ ← SI S ′′ ← S ′ ∪
[C1,C2∈S′
Res(C1,C2)
4. Si � ∈ S ′′ devolver SI (i.e., inconsistente)5. Si � /∈ S ′′ devolver NO (i.e., consistente)
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.39
![Page 40: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/40.jpg)
Resolucion por saturacion
I El algoritmo de resolucion por saturacion genera una sucesionde conjuntos de clausulas:
S0 = S , Si+1 = Si ∪⋃
C1,C2∈Si
Res(C1,C2)
de tal modo que para toda clausula, C , se tiene
S `r C ⇐⇒ Existe j tal que C ∈ Sj
I En consecuencia, por el teorema de completitud, el algoritmode resolucion por saturacion es correcto.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.40
![Page 41: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejemplos (I)
I Sea S = {{p, q}, {¬p, q}, {p,¬q}, {¬q}}, aplicando elalgoritmo:
S1 = S ∪ {{q}, {p}, {¬p}, {¬p, p}, {q,¬q}}
S2 = S1 ∪ {�, ...}
Por tanto, S es inconsistente.
I Sea S = {{p, q}, {p,¬q}, {q, r , s}, {¬s,¬r}}, aplicando elalgoritmo:
S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}, {q, s,¬s}, {q, r ,¬r}}
S2 = S1 ∪ {{p, s,¬s}, {p, r ,¬r}, {q,¬r ,¬s}, {p, q, r , s}}
S3 = S2∪{{p,¬r ,¬s}, {p, q,¬s, s}, {p, q,¬r , r}, {p, q,¬r ,¬s}}
Y S4 = S3. Por tanto, S es consistente.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.41
![Page 42: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplos (II)
I La aparicion de tautologıas suele provocar el calculo demuchas resolventes repetidas y la aparicion de nuevastautologıas.
I Sin embargo, las tautologıas son clausulas esencialmenteredundantes, ya que tenemos el siguiente resultado:
I Sea C una tautologıa y S un conjunto de formulas. Entonces
S es consistente ⇐⇒ S − {C} es consistente
I Por tanto, en cada etapa del algoritmo de saturacion podemoseliminar las tautologıas obtenidas. En el caso anteriortendrıamos S = {{p, q}, {p,¬q}, {q, r , s}, {¬s,¬r}} yaplicando el algoritmo con eliminacion de tautologıas
S1 = S ∪ {{p}, {p, r , s}}, S2 = S1
Por tanto, S es consistente.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.42
![Page 43: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/43.jpg)
Completitud y eficiencia
I Hemos estudiado la deduccion como un metodo mecanicopara decidir la validez, consistencia, consecuencia logica, etc.
I La completitud es una propiedad fundamental de losprocedimientos de deduccion estudiados.
I En el caso de resolucion la existencia de una demostracion esdecidible, y el conjunto de teoremas es finito (si el conjunto declausulas inicial es finito): Resolucion por Saturacion.
I Sin embargo, los metodos de decision conocidos no soneficientes, en general.
I Una solucion: Restringir el tipo de clausulas consideradas.
I Una clausula de Horn es una clausulas con a lo sumo unliteral positivo.
I El problema de decidir si un conjunto de clausulas de Horn(proposicionales) es consistente es decidible de maneraeficiente.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.43
![Page 44: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/44.jpg)
Completitud y eficiencia (II)
Existen diferentes estrategias para reducir el numero o lacomplejidad de las pruebas, sin perder la adecuacion ymanteniendo la completitud.
= Pruebas originales = Pruebas refinadas
Logica, no teoremasConsecuencia
S−TEOREMAS
FORMULAS
C_1
C_2
C_3C_4S
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.44
![Page 45: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/45.jpg)
Opciones:
I Aumentar el numero de reglas de inferencia.I Acorta la longitud de las pruebas.I Es necesario justificar su adecuacion.I Ejemplo: La regla de Hiperresolucion:
{¬A1, . . . ,¬An,B1, . . . ,Bm}, {A1}, . . . , {An}{B1, . . . ,Bm}
I Reducir el ambito de aplicacion de las reglas.I Acorta el tiempo de comprobacion de la aplicabilidad.
I Utilizar Heurısticas.I Basadas en comprobaciones empıricas.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.45
![Page 46: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/46.jpg)
EstrategiasPara reducir el ambito de aplicacion de las reglas de inferencia enel caso de resolucion, podemos adoptar las siguientes estrategias.
I Resolucion positiva (resp. negativa): Solo se calculanresolventes si una de las dos clausulas contiene unicamenteliterales positivos (resp. negativos). Es (refutacionalmente)completa.
I Resolucion lineal: Una deduccion por resolucion a partir deun conjunto S , C1, . . . ,Cn, es lineal si para cada i < n laclausula Ci+1 es una resolvente de Ci y otra clausulapreviamente obtenida por resolucion o perteneciente a S .
I La resolucion lineal es (refutacionalmente) completa, ya que setiene el siguiente resultado:
I Teorema. Si S es un conjunto inconsistente y S − {C} esconsistente, entonces existe una refutacion de S por resolucionlineal cuya clausula inicial es C .
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.46
![Page 47: Tema 2: Métodos de Deducción para la Lógica Proposicional · 2010-10-13 · Tema 2: M etodos de Deducci on para la L ogica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computaci on Inteligencia](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040202/5e69f603fec6150a6017fc5a/html5/thumbnails/47.jpg)
Estrategias (II)
I Resolucion unidad: Solo se permiten resolventes si una delas clausulas es unitaria.
I Resolucion por entradas: Solo se permiten resolventes siuna de las clausulas pertenece a S .
I En general, resolucion unidad y por entradas NO sonrefutacionalmente completas, pero sı lo son restringidas aconjuntos de clausulas de Horn.
I Teorema. Sea S es un conjunto inconsistente formado porclausulas de Horn. Entonces S es refutable medianteresolucion unidad y mediante resolucion por entradas.
LC, 2010–11 Metodos de Deduccion 2.47