Download - Teorema Teorema Limit
TEOREMA – TEOREMA LIMITKelompok 3
Debby Dwi S (083174204)
Havidz Masnurillah (103174006)
Imroatul Mufidah (103174019)
Iga Erieani (103174024)
Annisa Dwi K (103174025)
Wulan Ayu R (103174039)
Mustakim (103174046)
Nur Azlina (103174048)
TEOREMA-TEOREMA LIMIT
Definisi
Barisan bilangan Real X = (Xn) dikatakan terbatas jika
terdapat bilangan real M > 0 sedemikian hingga ≤ M, untuk
semua n ϵ N. Artinya barisan X = (xn) terbatas jika dan hanya jika
himpunan {Xn : n ϵ N} terbatas di R.
Contoh
X = ( | n ϵ N) dan Y = ((-1)n | n ϵ N) masing-masing adalah barisan
terbatas.
Z+ = (n | n ϵ N) adalah barisan tak terbatas.
TeoremaBarisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.
BuktiMisalkan lim(xn) = x dan ɛ = 1.
Maka ada bilangan asli K = K(1) sedemikian hingga untuk setiap
Jika kita gunakan ketaksamaan segitiga dengan , akan
diperoleh
Pilih
Maka diperoleh untuk setiap n ϵ N.
Berikut ini akan dijelaskan bagaimana mencari limit dari
jumlah, selisih, kali, dan bagi dua barisan bilangan riil. Jika X = (xn)
dan Y = (yn) adalah barisan bilangan riil, maka kita definisikan jumlah
dua barisan tersebut sebagai X + Y = (xn + yn), selisih dua barisan
sebagai X - Y = (xn - yn) dan hasil kali dua barisan sebagai X . Y = (xn .
yn). Jika c R, kita definisikan hasil kali barisan X dengan c sebagai cX
= (cxn). Jika Z = (zn) barisan bilangan riil dengan zn 0, untuk setiap n
N, kita definisikan hasil bagi barisan X oleh Z sebagai X/Z = (xn/zn).
TEOREMAa) Misalkan 𝑋= ሺ𝑥𝑛ሻ dan 𝑌= ሺ𝑦𝑛ሻ barisan bilangan real masing-
masing konvergen ke 𝑥 dan 𝑦, dan 𝑐∈𝑅.
1) 𝑋+ 𝑌 konvergen ke 𝑥+ 𝑦
2) 𝑋− 𝑌 konvergen ke 𝑥− 𝑦
3) 𝑋𝑌 konvergen 𝑥𝑦, dan
4) 𝑐𝑋 konvergen ke 𝑐𝑥
b) Misalkan 𝑋= ሺ𝑥𝑛ሻ konvergen ke 𝑥 dan 𝑍= ሺ𝑧𝑛ሻ barisan bilangan
real tanpa nol konvergen ke 𝑧, dan jika 𝑧≠ 0, maka 𝑋𝑍 konvergen ke
𝑥𝑧.
BUKTI
a.1) Untuk menunjukkan bahwa limሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ= 𝑥+ 𝑦, kita ingin
mengestimasi jarak ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ� Berdasar ketaksamaan segitiga diperoleh
ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ+ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�
Berdasar hipotesis, jika 𝜀> 0, maka ada bilangan asli 𝐾1 sedemikian
hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1, maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2 selain itu juga ada 𝐾2
sedemikian hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾2, maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2.
Jadi jika 𝐾ሺ𝜀ሻ= supሼ𝐾1,𝐾2ሽ, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(𝜀) berlaku
ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ+ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ� < 𝜀2+ 𝜀2 = 𝜀
Karena 𝜖> 0 sebarang maka kita simpulkan bahwa
𝑋+ 𝑌= (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) konvergen ke 𝑥+ 𝑦.
a.2) Untuk menunjukkan bahwa limሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ= 𝑥− 𝑦, kita ingin
mengestimasi jarak ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ� Berdasar akibat dari ketaksamaan segitiga diperoleh
ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ−ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�
Berdasar hipotesis, jika 𝜀> 0, maka ada bilangan asli 𝐾1 sedemikian
hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1, maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2 selain itu juga ada 𝐾2
sedemikian hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾2, maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2.
Jadi jika 𝐾ሺ𝜀ሻ= supሼ𝐾1,𝐾2ሽ, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(𝜀) berlaku
ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ−ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ� < 𝜀2+ 𝜀2 = 𝜀
Karena 𝜖> 0 sebarang maka kita simpulkan bahwa
𝑋− 𝑌= (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) konvergen ke 𝑥− 𝑦.
Bukti:
ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�= ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦+ 𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑛.𝑦ȁ� = ȁ�ሺ𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑛.𝑦ሻ+ሺ𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑛.𝑦ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑦ȁ� = ȁ�𝑥𝑛ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ�+ ȁ�𝑦ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻȁ� = ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ ȁ�𝑦ȁ�ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� Karena X terbatas, maka ∃𝑀1 > 0 ∋ሺ∀𝑛 ∈𝑁ሻ,ȁ�𝑥𝑛ȁ�≤ 𝑀1
A.d.b: 𝑥𝑛𝑦𝑛 →𝑥𝑦
Pilih 𝑀= 𝑠𝑢𝑝ሼ𝑀1,ȁ�𝑦ȁ�ሽ, sehingga diperoleh ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�≤ 𝑀ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ 𝑀ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� Karena X dan Y konvergen, jika diberikan 𝜀> 0, akan ada bilangan asli K1 dan K2 sedemikian
sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1 maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2𝑀
Dan jika 𝑛 ≥ 𝐾2 maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2𝑀
Pilih 𝐾ሺ𝜀ሻ= 𝑚𝑎𝑥ሼ𝐾1,𝐾2ሽ. Jika 𝑛 > 𝐾(𝜀), kita tunjukkan bahwa
ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�≤ 𝑀ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ 𝑀ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� < 𝑀 𝜀2𝑀+ 𝑀 𝜀2𝑀= 𝜀
Karena 𝜀> 0 sebarang, maka dapat ditunjukkan bahwa barisan 𝑋𝑌= (𝑥𝑛.𝑦𝑛) konvergen ke xy atau 𝑥𝑛𝑦𝑛 →𝑥𝑦.
A.d.b. 𝑐𝑥𝑛 →𝑐𝑥
Bukti:
Ambil sebarang 𝜀> 0. Karena (𝑥𝑛) →𝑥, maka ∃𝐾∈𝑁∋∀𝑛𝜖𝑁,𝑛 ≥ 𝐾 berlaku ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2
Perhatikan bahwa ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�= ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥+ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ� = ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� ≤ ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� = ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑐− 1ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�
Karena (𝑥𝑛) →𝑥, maka (𝑥𝑛) terbatas, yaitu ∃𝑀> 0 ∋ȁ�𝑥𝑛ȁ�≤ 𝑀,∀𝑛𝜖𝑁. Akibatnya
ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑐− 1ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝑀ȁ�𝑐− 1ȁ�+ 𝜀2 < 𝜀
Terbukti bahwa ∀𝜀> 0 ∃𝐾𝜖𝑁 ∋∀𝑛 ≥ 𝐾,ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ�< 𝜀
Dengan kata lain, terbukti bahwa 𝑐𝑋→𝑐𝑥.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika Z = (zn) barisan bila ngan tak nol yang konvergen ke suatu limit tak nol z, maka barisan (1/zn) konvergen ke 1/z.
Bukti: Tetȁpkȁn 𝛼= 12ȁ�𝑧ȁ� sehinggȁ 𝛼> 0. Kȁrenȁ lim ሺ𝑧𝑛ሻ= 𝑧, mȁkȁ ȁdȁ bilȁngȁn ȁsli K1 sedemikiȁn hinggȁ jikȁ 𝑛 ≥ 𝐾1 berlȁku : ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�< 𝛼 Dengȁn menggunȁkȁn ȁkibȁt ketȁksȁmȁȁn segitigȁ diperoleh −𝛼≤ −ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�≤ ȁ�𝑧𝑛ȁ�− ȁ�𝑧ȁ�, untuk 𝑛 ≥ 𝐾1
Untuk 𝑛 ≥ 𝐾1, 12ȁ�𝑧ȁ�= ȁ�𝒛ȁ�− 𝜶≤ ȁ�𝒛𝒏ȁ� Sehinggȁ diperoleh 1 ȁ�𝑧𝑛ȁ�≤ 2 ȁ�𝑧ȁ�ΤΤ untuk 𝑛 ≥ 𝐾1, Mȁkȁ untuk 𝑛 ≥ 𝐾1 diperoleh
ฬ1𝑧𝑛 − 1𝑧ฬ= ฬ𝑧− 𝑧𝑛𝑧𝑛𝑧 ฬ= 1ȁ�𝑧𝑛𝑧ȁ�ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�
< 2ȁ�𝑥ȁ�2 ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ� untuk setiȁp 𝑛 ≥ 𝐾1 Jikȁ diberikȁn 𝜀> 0, mȁkȁ ȁdȁ bilȁngȁn 𝐾2 sedemikiȁn hinggȁ 𝑛 ≥ 𝐾2 mȁkȁ
ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�< 12𝜀ȁ�𝑧ȁ�2 Selȁnjutnyȁ, pilih 𝐾ሺ𝜀ሻ= 𝑠𝑢𝑝ሼ𝐾1,𝐾2ሽ, mȁkȁ
ቚ1𝑧𝑛 − 1𝑧ቚ< 𝜀, untuk 𝑛 ≥ 𝐾ሺ𝜀ሻ
Kȁrenȁ 𝜀> 0 sebȁrȁng, mȁkȁ lim൬
1𝑧𝑛൰= 1𝑧
Pembuktian b terlengkapi dengan menetapkan nilai Y adalah barisan (1/zn) dan menggunakan teorema sebelumnya bahwa X . Y = (xn/zn) konvergen ke x (1/z) = x/z.
AKIBAT 2.1Apabila A = (an), B =(bn), C = (cn), … , Z = (zn) merupakan barisan-barisan
bilangan real yang konvergen, maka
(i) A + B + C + … + Z = (an + bn + cn + … + zn) merupakan barisan
bilangan yang konvergen, dan lim (an + bn + cn + … + zn) = lim
(an) + lim (bn) + lim (cn) + … + lim (zn)
(ii) A x B x C x … x Z = (an . bn . cn . … . zn) merupakan barisan
konvergen, dan lim (an . bn . cn . … . zn) = lim (an) . lim (bn) . lim
(cn) . … . lim (zn)
(iii) Jika k ϵ N dan A = (an) barisan yang konvergen, maka lim (𝑎𝑛𝑘) =
(lim (an))k
PEMBUKTIAN AKIBAT 2.1(i) Dari teorema sebelumnya yaitu X + Y konvergen ke x + y, berarti lim
(xn + yn) = x + y. Misalkan A konvergen ke a (berarti lim (an) = a) , B
konvergen ke b, dst. Lebih lanjut diperoleh
lim (an + bn + cn + … + zn) = a + b + c + … +z
= lim (an)+lim (bn)+lim (cn)+ … +lim (zn)
(ii) Dari teorema sebelumnya yaitu XY konvergen ke xy, berarti lim (XY)
= xy. Misalkan A konvergen ke a (berarti lim (an) = a) , B konvergen
ke b, dst. Lebih lanjut diperoleh
lim (an . bn . cn . … . zn) = a . b . c . … . z
= lim (an) . lim (bn) . lim (cn) . … . lim (zn)
(iii) lim (𝑎𝑛𝑘) = lim (an . an . an … an ) catatan : an sebanyak k
= a . a . a . … . a
= lim (an) . lim (an) . lim (an) . … . lim (an)
= (lim (an))k
Teorema 2.7 Jika X = () barisan bilangan real konvergen dan untuk semua , maka .Bukti: Andaikan , maka .Karena X konvergen ke , maka ada sedemikian hingga untuk ,
Atau
Pandang
Jadi untuk . Ini kontradiksi dengan .Jadi haruslah .