Download - Tevcic zbirk
VELEUČILIŠTE U KARLOVCU
Marina Tevčić : Zbirka zadataka iz Matematike 1
Karlovac, 2007.
SADRŽAJ 1. VEKTORI 1 2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 14 2.1. Ravnina 14 2.2. Pravac 21 2.3. Pravac i ravnina 31 3. MATRICE I DETERMINANTE 36 3.1. Matrice 36 3.2. Determinante 44 3.3. Sustavi linearnih jednadžbi 48 4. FUNKCIJE 62 4.1. Funkcije 62 4.2. Limes niza realnih brojeva 77 4.3. Neprekidnost i limes funkcije 81 5. DIFERENCIJALNI RAČUN 91 5.1. Derivacija nekih osnovnih funkcija 91 5.2. Osnovna pravila deriviranja 96 5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije 97 5.4. Logaritamsko deriviranje 102 5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije 105 5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije 107 5.7. Derivacije višeg reda 110 5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju 116 5.9. Diferencijal funkcije 121 5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije 123 5.11. Taylorova formula 124 5.12. L'Hospitalovo pravilo 127 5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije 132 5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije 138 5.15. Asimptote 142 5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije 146 5.17. Zakrivljenost krivulje 156 6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 159 6.1. Metoda sekante 159 6.2. Metoda tangente 164 7. LITERATURA 177
PREDGOVOR Sama ideja pisanja ove zbirke zadataka potekla je od profesora Dragutina Peršea,
koji me je upozorio da studenti Veleučilištu u Karlovcu, nailaze na mnoge poteškoće zbog nedostatka odgovarajuće literature za vježbu. To me je ponukalo da na jednom mjestu skupim sve one zadatke, koje sam godinama rješavala zajedno sa studentima na predavanjima, auditornim vježbama, ispitima.
Zbirka je podijeljena na 6 poglavlja, a neka od njih i na potpoglavlja. Organizirana je
tako da prati propisani nastavni plan i program iz kolegija Matematika I. Nadam se da ćete ovu zbirku zadataka koristiti kao dopunski izvor zadataka za
vježbu, ali tek nakon što ste usvojili teoretsko znanje na predavanjima ili iz pratećeg udžbenika, te samostalno riješili primjere obrađene na predavanjima, odnosno auditornim vježbama.
Primjeri obrađeni u zbirci uglavnom su detaljno riješeni, samo ponegdje je preskočen
jednostavni račun. Nakon svake cjeline, dani su još dodatni zadaci za vježbu uz predočenje konačnog rješenja.
Rješavajući samostalno ove zadatke, doći ćete do rješenja. Kontrolirajući Vaša
rješenja sa ovdje ponuđenim rješenjima, možda ćete naići na neke pogreške. Bit ću Vam zahvalna da me na njih upozorite. Trudit ću se ispraviti ih i ispravke unijeti u eventualno novo izdanje zbirke.
Najveći teret oko čitanja, korigiranja, poboljšanja ovog rukopisa, podnijela je dipl.ing.
matematike, gospođa Jasna Hoppe. Hvala ti, Jasna. Zahvaljujem recenzentima: profesoru Dragutinu Peršeu, profesorici Ljubici Štambuk,
profesoru Darku Vyroubalu, koji su tekst pomno pregledali i dali korisne primjedbe i sugestije. Veliku podšku u radu davao mi je profesor Dane Momčilović, koji me je i uveo u sve
one nepisane male tajne nastavničkog zvanja, bez njegove pomoći ne bi nastala ova zbirka. Ipak, najveći doprinos dali su studenti kojima sam predavala. Zajedno smo
osmišljavali, prilagođavali zadatke, ponekad uživali rješavajući ih, ponekad nam je njihovo rješavanje zadavalo sitne glavobolje, ali u konačnosti trud se isplatio. Ovladali smo materijom, ali i dokazali sebi samima onu poznatu izreku našeg velikog matematičara i pjesnika, Vladimira Devidea: «Matematika nipošto nije suhoparna, dosadna i bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke uzvraća ljubav onome koji je razumije i voli.»
I na kraju, dobra zabava svima Vama koji ćete se prihvatiti rješavanja zadataka iz ove
zbirke. Karlovac, 01.10.2007. Marina Tevčić
Zbirka zadataka iz Matematike 1 1
1. VEKTORI Primjer 1. Neka su vektori cAB
r= , aBC
r= , bCA
r= stranice trokuta ABC.
a) pomoću vektora c,b,arrr
izrazite vektore težišnica AD , BE, CF b) pokažite da i težišnice mogu biti stranice nekog trokuta
c) pokažite da je AB21ED =
R.
a)
c21bAB
21CAAFCACF
b21aCA
21BCCEBCBE
a21cBC
21ABBDABAD
rr
rr
rr
+=+=+=
+=+=+=
+=+=+=
b) treba pokazati da vrijedi 0CFBEAD
r=++
( ) 0023cba
23c
23b
23a
23c
21bb
21aa
21cCFBEAD
rrrrrrrrrrrrrr=⋅=++=++=
++
++
+=++
c) ( ) ( ) AB21c
21c
21ba
21a
21b
21CDECED ==−⋅−=+−=−−=+=
rrrrrr
Primjer 2. Nađite vektor a
r za koji vrijedi 2ax −= , 3ay = i 7a =
r.
R.
2z
2y
2x aaaa ++=
r
( ) 6a361349aa13a327 z2
z2
z2
z22 ±=⇒=−=⇒+=++−=
k6j3i2a,k6j3i2a 21
rrrrrrrr++−=−+−=⇒
2 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 3. Odredite radij-vektor a
r ako se zna da mu je modul 32 i da sa koordinatnim osima zatvara
jednake kuteve. R.
Ako je ar
radij-vektor, a γβα ,, kutevi koje zatvara s koordinatnim osima, tada vrijedi :
aacos,
aa
cos,aacos zyx rrr =γ=β=α .
Radij-vektor možemo napisati u obliku :
kcosajcosaicosakajaiaa zyx
rrrrrrrrrr⋅γ⋅+⋅β⋅+⋅α⋅=⋅+⋅+⋅=
( )kcosjcosicosaarrrrr⋅γ+⋅β+⋅α⋅= .
Za kuteve γβα ,, vrijedi i jednakost : 1coscoscos 222 =γ+β+α
Kako je 33
31cos1cos3 2 ±=±=α⇒=α⋅⇒γ=β=α , pa je
( )k2j2i2k33j
33i
3332a
rrrrrrr++±=
++⋅±=
Primjer 4. Zadana su tri uzastopna vrha )3,2,1(A −= , )1,2,3(B = i )4,4,6(C = paralelograma ABCD. Nađite koordinate vrha D i koordinate sjecišta dijagonala. R.
Zbirka zadataka iz Matematike 1 3
( ) ( ) ( ) ( )6,0,4Dk6i4kj2i3k4j4i6k3j2i
rrrBCOAADOAODr BCAD
=⇒+=++−++++−=
=−+=+=+==rrrrrrrrrrr
rrrr
( )
( ) ( )
=⇒++=++++−=
=+=−+=+=+==
27,1,
27Sk
27ji
27k4j4i6
21k3j2i
21
r21r
21rr
21rAC
21OAASOAOSr CAACAS
rrrrrrrrr
rrrrrr
Primjer 5. Zadana su točke )3,2,1(A = i )6,7,8(B = . Nađite točku C koja dužinu AB dijeli u omjeru 2:3. R.
4 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )
( ) ( )
=⇒++=+++++=
=+=−+=+=+==
521,4,
519Ck
521j4i
519k6j7i8
52k3j2i
53
r52r
53rr
52rAB
52OAACOAOCr BAABAC
rrrrrrrrr
rrrrrr
Primjer 6. Nađite skalarni produkt vektora b2a3m
rrr−= i b6a5n
rrr−= , ako je 4a =
r, 6b =r
, a ϕ kut
između vektora ar
i br
, 3π
=ϕ .
R.
( ) ( )3363612
2164281615612
3cos6428415
b12ba28a15b12ba10ba18a15b6a5b2a3nm
22
2222
=⋅+⋅⋅⋅−⋅=⋅+
π⋅⋅⋅−⋅=
=⋅+⋅⋅−⋅=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅=−⋅−=⋅rrrrrrrrrrrrrr
Primjer 7.
Nađite b3arr
− ako je 3a =r
, 2b =r
, a ϕ kut između vektora ar
i br
, 3π
=ϕ .
R.
( ) ( )
2736189293
cos2363
b9cosba6ab9ba6ab3ab3ab3a
22
2222
=+−=⋅+
π⋅⋅⋅−=
=⋅+ϕ⋅⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=−⋅−=−rrrrrrrrrrrrrr
Primjer 8. Odredite parametar λ tako da vektori k2j3i4a
rrrrλ+−λ= i k5ib
rrr+λ−= budu međusobno
okomiti. R.
⇒=⋅⇔⊥ 0babarrrr
( ) ( )
25,00104
052034
212 =λ=λ⇒=λ+λ−
=⋅λ+⋅−+λ−⋅λ
Zbirka zadataka iz Matematike 1 5
Primjer 9. Odredite površinu trokuta ABC koji ima vrhove ).6,3,3(C),2,4,2(B),2,4,4(A === R.
Označimo :
k4jirrACb
k0j0i2rrABa
AC
ABrrrrrr
rrrrrr
+−−=−==
⋅+⋅+−=−== .
Površina trokuta je ba21P
rr×= .
123.4268P6828ba
k2j82k)8(j0i411002kji
ba
22 ==⇒=+=×
+=⋅+−⋅−⋅=−−
−=×
rr
rrrrr
rrr
rr
Primjer 10. Izračunajte površinu paralelograma određenog vektorima ( )ab2
rr− i ( )b2a3
rr+ ako je 4a =
r,
5b =r
, a ϕ kut između vektora ar
i br
, 4π
=ϕ .
R. Površina paralelograma je nmP
rr×= .
Označimo ab2m
rrr−= , b2a3n
rrr+= , pa je :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ba8ba2ba6ba2aa3bb4ab6
b2aa3ab2b2a3b2b2a3ab2nmrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
×⋅−=×⋅−×⋅−=×⋅−×⋅−×⋅+×⋅=
=×−×−×+×=+×−=×
( ) 137.11328022548sinba8ba8ba8nmP =⋅=⋅⋅⋅=ϕ⋅⋅⋅=×⋅−=×⋅−=×=
vrrrrrrr
6 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 11. Kolika je duljina visine spuštene iz vrha C trokuta ABC, ako su A=(2,-3,1), B=(-2,1,4), C=(3,1,1). R.
Kako je površina trokuta vAB21P ⋅⋅= , a to daje
AB
ACAB
ABP2v
×=
⋅= .
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) j4ik11j31i23rrAC
k3j4i4k14j31i22rrAB
AC
ABrrrrrrr
rrrrrrrr
+=⋅−+⋅++⋅−=−=
++−=⋅−+⋅++⋅−−=−=
( ) ( )
( ) ( )
( )
672.341
553v
41344AB
55320312ACAB
k20j3i12416k)3(j12i041344kji
ACAB
222
222
==⇒
=++−=
=−++−=×
−+−=−−⋅+−⋅−−⋅=−=×rrrrrr
rrr
Primjer 12. Zadani su vrhovi tetraedra A=(1,-2,3), B=(-2,1,2), C=(3,5,-6), D=(4,2,1). Izračunajte volumen tog tetraedra. R.
Volumen tetraedra je ( ) ( ) ADACAB61AD,AC,AB
61V ⋅×== .
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k2j4i3k31j22i14rrAD
k9j7i2k36j25i13rrAC
kj3i3k32j21i12rrAB
AD
AC
AB
rrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
−+=⋅−+⋅++⋅−=−=
−+=⋅−−+⋅++⋅−=−=
−+−=⋅−+⋅++⋅−−=−=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 7
( )
3.206122
V
122243972133
ADACAB
&=−
=⇒
−=−−−−
=⋅×
Primjer 13. Da li su točke A=(1,-1,1), B=(0,2,4), C=(1,3,3), D=(4,0,-3) komplanarne ? R. Točke A, B, C, D bit će komplanarne ako leže u istoj ravnini, a onda su i vektori AD,AC,AB komplanarni, što znači da im mješoviti produkt mora biti jednak 0.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k4ji3k13j10i14rrAD
k2j4i0k13j13i11rrAC
k3j3ik14j12i10rrAB
AD
AC
AB
rrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
−+=⋅−−+⋅++⋅−=−=
++⋅=⋅−+⋅++⋅−=−=
++−=⋅−+⋅++⋅−=−=
( ) 0413
240331
ADACAB =−
−=⋅×
Dobili smo da je mješoviti produkt ( ) 0ADACAB =⋅× , što znači da su ti vektori komplanarni, a time su i točke A, B, C, D komplanarne. Primjer 14. Odredite parametar t tako da vektori k2j3ia
rrrr++−= , k4j3i2b
rrrr−−= , k6j12itc
rrrr++=
budu komplanarni. Rastavite vektor cr
u smjeru vektora biarr
. R. Treba odrediti t tako da vrijedi : ( ) 0cba =⋅× .
( )
k6j12i3c
3t018t6
18t6612t432
231cba
rrrr++−=⇒
−=⇒=−−⇒
−−=−−−
=⋅×
8 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )( )( )
ba5c1,54263312213
bac
rrr
rrr
+=⇒=µ=λ⇒
−⋅µ+⋅λ=−⋅µ+⋅λ=⋅µ+−⋅λ=−
⇒µ+λ=
Primjer 15. Nađite skalarnu komponentu projekcije vektora ( )cbad
rrr××= na vektor b
r ako su :
kji2c,kji2b,k2jarrrrrrrrrrr
++=−+=+= . R.
( )
3611
622
62416
)1(12)2()1(4182
bbdd
k2j4i8042210kji
cbad
j4i2)22(k)22(j)11(i112112
kjicb
222b ==++
=−++
−⋅−+⋅+⋅=
⋅=
−+=−
=××=
−=−⋅++⋅−+⋅=−=×
r
rrr
rrr
rrr
rrrr
rrrrr
rrr
rr
r
Primjer 16. Zadan je vektor j6i3a
rrr+= . Odredite vektor b
r u ravnini tako da je ab
rr⊥ i 5b =
r.
R.
⇒
+=
+=
jbibb
j6i3a
yx
rrr
rrr
⇒
=+⇒=
=+⇒=⋅⇒⊥
5bb5b
0b6b30baba2
y2
x
yxr
rrrr
ji2b,ji2b1b,2b5bb
0b6b321yx2
y2
x
yx rrrrrrm +−=−=⇒=±=⇒
=+
=+
Primjer 17. Izračunajte površinu trokuta što ga razapinju vektori abx
rrr−= i cba2y
rrrr−+= ako su
kj2i4c,k3jib,kji2arrrrrrrrrrrr
+−=++=+−= . R.
( ) ( ) k2j2ikji2k3jiabxrrrrrrrrrrrr
++−=+−−++=−=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 9
( ) ( ) ( ) k4jikj2i4k3jikji22cba2y
rrrrrrrrrrrrrrrr++=+−−++++−=−+=
k3j6i6)21(k)24(j)28(i411221kji
yxrrrrrr
rrr
rr−+=−−⋅+−−⋅−−⋅=−=×
29
281)3(66
21yx
21P 222 ==−++=×⋅=
rr
Primjer 18. Odredite parametar k tako da vektor ( ) j2kia
rrr⋅−+−= zatvara s vektorima j5i12b
rrr−−=
i j3i4crrr
−= jednake kuteve. R.
169)2k(1k522
)5()12()2k()1()5()2k()12()1(
babacos
22222 ⋅−+
−=
−+−⋅−+−
−⋅−+−⋅−=
⋅
⋅=α vr
vr
25)2k(1k32
)3(4)2k()1()3()2k(4)1(
cacacos
22222 ⋅−+
−=
−+⋅−+−
−⋅−+⋅−=
⋅⋅
=γ rr
rr
Kako su kutevi α i γ jednaki, γ=α coscos , što daje :
25)2k(1k32
169)2k(1k522
22 ⋅−+
−=
⋅−+
−
5k32
13k522
)2k(15k32
)2k(113k522
22
−=
−⇒
−+⋅
−=
−+⋅
−
( ) ( ) 84k1413k325k522 −=⇒⋅−=⋅−
j8ia6krrr
−−=⇒−= Primjer 19. Nađite kuteve trokuta s vrhovima A=(2,3,-1), B=(2,1,2), C=(3,0,0).
10 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R.
⇒
−−=−=
+−=−=
+−⋅=−=
k2jirrBC
kj3irrAC
k3j2i0rrAB
BC
AC
AB
rrrrr
rrrrr
rrrrr
⇒
=−+−+=
=+−+=
=+−+=
6)2()1(1BC
111)3(1AC
133)2(0AB
222
222
222
⇒
'''0
'''0
'''0
544475246182.0611
2)1(13)1()1(
CBCA
CBCAcos
10463452910.0613
)3()2(2)1(0
BCBA
BCBAcos
561041752617.01113
13)3()2(0
ACAB
ACABcos
=γ⇒=⋅
⋅−+⋅+−⋅−=
⋅
⋅=γ
=β⇒=⋅
−⋅−+⋅−+=
⋅
⋅=β
=α⇒=⋅
⋅+−⋅−+=
⋅
⋅=α
Primjer 20. Točke A=(1,-2,3), B=(4,1,-1), C=(2,0,1) vrhovi su trokuta. Izračunajte duljinu težišnice spuštene iz vrha C. R.
( )
( ) ( ) ( ) j21i
21ki2kji4
21k3j2i
21
rr21r
21rr
21rrAB
21CAACCACC CBAABCA11
rrrrrrrrrr
rrrrrrr
⋅−⋅=+−−+⋅++−⋅=
=−⋅+⋅=−⋅+−=⋅+=+=
22
21
21
21CC
22
1 ==
−+
=⇒
Zbirka zadataka iz Matematike 1 11
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite parametar λ tako da vektor a
r zatvara s vektorima j12i5b
rrr+= i
j4i3crrr
−= jednake kuteve, ako je ji)1(arrr
++λ= . 2. Zadan je vektor j2i4a
rrr+= . Odredite vektor b
r u ravnini tako da je ab
rr⊥ i 5b =
r.
3. Nađite duljine stranica i kuteve trokuta sa vrhovima : A=(-1,2,3) , B=(2,1,2), C=(0,3,0). 4. Točke A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) i D(2,3,8) su vrhovi piramide. Izračunajte volumen piramide i visinu na bazu ABC. 5. Odredite površinu trokuta što ga zatvaraju vektori b2cp
rrr−= i abq
rrr−= , ako su
kj3i2arrrr
−+= , k2j3brrr
+−= , k2j4icrrrr
+−= . 6. Kolike su duljine dijagonala paralelograma ABCD, ako je b2a5AB
rr+= , b3aAD
rr−= ,
22a =r
, 3b =r
, 4
)b,a( π=∠
rr ?
7. Neka su točke A=(5,-1), B=(-3,0), C=(7,7) vrhovi trokuta. Odredite duljine težišnica trokuta.
8. Dani su vektori aOAr
= i bOBr
= . Vektor cOCr
= je težišnica trokuta OAB. Izrazite vektor a
r kao linearnu kombinaciju vektora b
r i c
r .
9. Odredite veličinu najvećeg kuta trokuta ∆ABC, ako je A(-1,2), B(1,-1), C(6,1). 10. Vektor BD prikažite kao linearnu kombinaciju vektora AB i BC , ako je A(-1,2), B(1,1), C(2,-3), D(-7,-2). 11. Dani su vektori )1,1,1(a =
r , )0,2,1(b −=r
. Nađite takav vektor cr
da bude komplanaran
sa vektorima ar
i br
, okomit na vektor ar
i da bude 14bc =⋅rr
. 12. Zadani su vektori )0,3,1(a −=
r , )1,4,2(b −=
r , )5,4,3(c =
r , )8,19,1(d −−−=
r. Izrazite
vektor dr
kao linearnu kombinaciju vektora ar
, br
i cr
.
12 Zbirka zadataka iz Matematike 1
13. Odredite duljinu visine vB spuštene iz vrha B u trokutu ABC čiji su vrhovi A(1,-2,8), B(0,0,4) i C(6,2,0 ). 14. Odredite parametar t iz uvjeta da su vektori : k9j3a
rrr+−= , k6j2i)2tln(b
rrrr+−⋅−= ,
k5j2itcrrrr
+−⋅= komplanarni. 15. Vektor ji3a
rrr+= rastavite na komponente u smjeru vektora jib
rrr+−= , j3i2c
rrr+= .
Zadatak riješite analitički i grafički. 16. Točkama P i Q dužina AB podijeljena je na tri jednaka dijela. Ako je A(3,8), prva do nje P(4,13), odredite koordinate točke B. 17. Ako su A(-2,-2) i B(4,1) dva vrha, a S(0,1) sjecište dijagonala paralelograma ABCD, odredite vrhove C i D.
18. Zadani su vektori b17aprrr
+λ= i ba3qrrr
−= , gdje je 2a =r
, 5b =r
, 32)b,a( π
=∠rr
.
Odredite koeficijent λ tako da vektori pr
i qr
budu međusobno okomiti. 19. Odredite površinu trokuta što ga čine vektori b2ap
rrr−= i abq
rrr−= ako su
kj3i2arrrr
−+= , k2j3brrr
+−= . 20. Odredite parametar k tako da vektor a
r zatvara sa vektorima j3i4b
rrr+−= i
j5i12crrr
+= jednake kutove, ako je j)1k(iarrr⋅−+= .
21. Odredite kut i površinu trokuta što ga čine vektori : k12j4i8a
rrrr+−= , k2j6i4b
rrrr++= .
22. Izračunajte površinu paralelograma ABCD ako su poznati vrhovi : A(2,-2,1), B(1,-1,2), C(-2,1,2). 23. Točke )3,2,1(A −= , )1,1,4(B −= , )1,0,2(C = vrhovi su trokuta. Odredite vektor težišnice
1CC i njegov modul. 24. Izračunajte visinu paralelepipeda razapetog vektorima k5j3i2a
rrrr−+= , k4jib
rrrr++−= ,
kji3crrrr
−−= ako mu je osnovica paralelogram razapet vektorima ar
i br
. 25. Izračunajte površinu trokuta što ga čine vektori abx
rrr−= i cba2y
rrrr−+= ako su
kji2arrrr
+−= , k3jibrrrr
++= , kj2i4crrrr
+−= .
Zbirka zadataka iz Matematike 1 13
R.
1. 7=λ
2. j2ib,j2ib 21
rrrrrr−=+−=
3. ''4'3158,''52'5762,32BC,11CAAB 00 =γ=β=α===
4. 14v,14V ==
5. 202.3P =
6. 35.24d,15d 21 ==
7. 605.9'CC,487.9'BB,408.5'AA ===
8. bc2arrr
−=
9. '531010=β
10. BC2AB5BD ⋅+⋅−=
11. kj5i4crrrr
+−=
12. c2b2adrrrr
−+−=
13. 055.3vB =
14. 3t =
15. c54b
57a
rrr⋅+⋅−=
16. ( )23,6B =
17. ( ) ( )1,4D,4,2C −==
18. 40=λ
19. 81.7P =
20. 9k =
21. 665.53P,''54'23730 ==α
22. 118P =
23. 22CC,j
21i
21CC 11 =⋅−⋅=
rr
24. 726.2v =
25. 5.4P =
14 Zbirka zadataka iz Matematike 1
2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 2.1. Ravnina Primjer 1. Odredite vektor normale ako su zadane opće jednadžbe ravnina: (1) 05zy2x3 =−+− (2) 0z2y4x =−+ (3) 05zx3 =+− (4) 0z3y =− (5) 4x = R. Opća jednadžba ravnine je 0DCyByAx =+++ , gdje je vektor normale ( )C;B,An =
r, pa je :
(1) ( )1,2,3n −=
r
(2) ( )2,4,1n −=r
(3) ( )1,0,3n −=
r
(4) ( )3,1,0n −=r
(5) ( )0,0,1n =
r
Primjer 2. Odredite jednadžbu ravnine: (1) koja prolazi točkom ( )1,1,2T0 −= i okomita je na vektor k3j2in
rrrr+−=
(2) koja prolazi točkom ( )1,1,2T0 −= i okomita je na os y R. (1) ( )1,1,2T0 −= , k3j2in
rrrr+−=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
03z3y2x01z31y22x1
0zzCyyBxxA 000
=++−⇒
=+⋅+−⋅−−⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
(2) ( )1,1,2T0 −= , k0j1i0n
rrrr⋅+⋅+⋅=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1y01y
01z01y12x00zzCyyBxxA 000
=⇒
=−=+⋅+−⋅+−⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
Zbirka zadataka iz Matematike 1 15
Primjer 3. Zadana je jednadžba ravnine 04z2x =+− . Odredite vektor normale i nekoliko točaka te ravnine. R.
( )2,0,1n04z2x −=⇒=+−r
Poznavajući jednadžbu ravnine, možemo odrediti po volji mnogo točaka te ravnine. Dovoljno je uvrstiti dvije koordinate po volji i iz jednadžbe odrediti treću. Npr. točka na osi x : ( )0,0,4T4x0402x0z,0y −=⇒−=⇒=+⋅−⇒==
točka na osi y : ⇒=⇒=+⋅−⇒== 04040200z,0x takva točka ne postoji
točka na osi z : ( )2,0,0T2z04z200y,0x =⇒=⇒=+⋅−⇒==
točka sa zadanim koordinatama, npr. : ( )1,0,2T1z04z220y,2x −=⇒=⇒=+⋅−−⇒=−=
točka sa zadanim koordinatama, npr. :
( )1,4,2T1z04z224y,2x −=⇒=⇒=+⋅−−⇒=−= Primjer 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s ravninom 04z5y2x3 =−+− , a prolazi točkom ( )2,1,2T0 −−= . R. ( )2,1,2T0 −−= , ( )5,2,3n −=
r
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
02z5y2x302z51y22x3
0zzCyyBxxA 000
=++−⇒
=+⋅++⋅−−⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
Primjer 5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom ( )2,0,1T0 −= , a okomita je na ravnine
04z3y2x...1 =−++π , 05z2yx3...2 =+−+π .
16 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R.
⇒
⊥⇒π⊥π
⊥⇒π⊥π
22
11
nn
nnrr
rr
nr
je kolinearan sa ( )2121 nnnnnrrrrr
×⋅λ=⇒×
( )3,2,1n1 =
r , ( )2,1,3n2 −=
r
k5j11i7213
321kji
nn 21
rrr
rrv
rr⋅−⋅+⋅−=
−=×
( )21 nnnrrr
×⋅λ= , ako uzmemo npr. ( )5,11,7n1 −=⇒−=λr
Uvrštavajući ( )2,0,1T0 −= , ( )5,11,7n −=
r u jednadžbu ravnine, dobivamo:
( ) ( ) ( )
03z5y11x702z50y111x7
=++−⇒
=+⋅+−⋅−−⋅
Primjer 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama ( )3,1,2A −= , ( )2,1,3B = , a paralelna je s vektorom ( )4,1,3a −=
r.
R.
Vektor a
r translatiramo u ravninu. Vrijedi ( )ABan ×⋅λ=
rr.
( )4,1,3a −=
r, ( ) ( )1,2,1zz,yy,xxAB ABABAB −=−−−=
k5ji7121413
kjiABa
rrr
rrv
r⋅+−⋅=
−−=×
( )ABan ×⋅λ=rr
, ako uzmemo npr. ( )5,1,7n1 −=⇒=λr
Ako vektor ( )5,1,7n −=
r i jednu od točaka, npr. ( )3,1,2A −= uvrstimo u jednadžbu ravnine:
Zbirka zadataka iz Matematike 1 17
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
030z5yx703z51y12x7
0zzCyyBxxA 000
=−+−⇒
=−⋅++⋅−−⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
Primjer 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama ( )4,1,2A = , ( )2,1,1B −= , ( )2,0,1C −= . R.
A, B, C su tri nekolinearne točke. Vektor normale na ravnine kroz te tri točke možemo zapisati u obliku : ( )ACABn ×⋅λ=
r. Ako uzmemo npr. ACABn1 ×=⇒=λ
r.
k5j4i2213221
kjiACAB
rrr
rrv
⋅−⋅+⋅=−−−−−−=×
Ako vektor ( )5,4,2n −=
r i jednu od točaka, npr. ( )2,0,1C −= uvrstimo u jednadžbu ravnine:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
012z5y4x202z50y41x2
0zzCyyBxxA 000
=+−+⇒
=−⋅−−⋅++⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
Primjer 8. Odredite kut koji zatvaraju ravnine: (1) 02zy2x...1 =++−π , 01zy2x...2 =−−+π (2) 01z8y6x2...1 =+−+−π , 01z6y9x3...2 =−++π (3) 02z10y6x2...1 =−−+−π , 04z15y9x3...2 =++−π R. (1) ( ) ( )2121 n,n,
rr∠=ππ∠=ϕ
( )1,2,1n1 −=r
, ( )1,2,1n2 −=r
18 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( ) 0000
21
21 60120180,12021
121121112211
nnnncos =−=ψ=ϕ⇒−=
++⋅++−⋅+⋅−+⋅
=⋅⋅
=ϕ rr
rr
(2) ( )8,6,2n1 −−=
r , ( )6,9,3n2 =
r
⇒=ϕ⇒=++⋅++
⋅−⋅+⋅−=
⋅⋅
=ϕ 0
21
21 9003681964364
689632nnnncos rr
rr
ravnine su okomite
(3) ( )10,6,2n1 −−=
r , ( )15,9,3n2 −=
r
212
1
2
1
2
1 nIInCC
BB
AA rr
⇒λ===
02121 0,nIInn
32n
32
1510
96
32
=ϕ⇒−=⇒−=λ=−
=−
=− rrrr
Primjer 9. Odredite parametar m tako da ravnine :
04z3y2xm...1 =−+−⋅π , 01z4y5x3...2 =+++π budu okomite. R.
0nnnn 212121 =⋅⇔⊥⇔π⊥πrrrr
( )3,2,mn1 −=
r , ( )4,5,3n2 =
r
⇒=⋅ 0nn 21
rr
32m2m3043523m −=⇒−=⇒=⋅+⋅−⋅
Primjer 10. Odredite udaljenost točke ( )5,2,3T −= od ravnine 07zy3x2 =+−− . R.
Zbirka zadataka iz Matematike 1 19
Udaljenost točke T od ravnine jednaka je skalarnoj komponenti projekcije vektora AT (gdje je A bilo koja točka ravnine π ) na smjer vektora normale n
r, po apsolutnoj vrijednosti.
nnATATd n r
rr ⋅==
Točka A je bilo koja točka ravnine π , nađemo je tako da dvije koordinate uzmemo po volji, a treću izračunamo iz jednadžbe ravnine. Npr. uzmemo x=0, y=0, uvrstimo u jednadžbu ravnine:
( )7,0,0A7z
07z030207zy3x2
=⇒==+−⋅−⋅
=+−−
( )1,3,2n −−=
r
( ) ( ) ( ) k2j2i3k75j02i03ATrrrrrr⋅−⋅−⋅=⋅−+⋅−−+⋅−=
( ) ( )( ) ( )
1414
14
132
212332n
nAT
nnATATd
222n ==
−+−+
−⋅−−⋅−⋅=
⋅=
⋅== r
r
r
rr
Primjer 11. Odredite udaljenost paralelnih ravnina:
06z2y6x3...1 =−−+π , 014z2y6x3...2 =+−+π . R.
Udaljenost paralelnih ravnina izračunat ćemo tako da izračunamo udaljenost po volji odabrane točke ravnine 2π od ravnine 1π . Neka je 1T bilo koja točka ravnine 1π , a 2T bilo koja točka ravnine 2π .
20 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )3,0,0T3z06z206030y,0x...T 11 −=⇒−=⇒=−−⋅+⋅⇒==
( )7,0,0T7z014z206030y,0x...T 22 =⇒=⇒=+−⋅+⋅⇒== Vektor ( )10,0,0TT 21 = projiciramo na vektor normale ( )2,6,3n −=
r:
( ) ( )( ) 7
2049
20
263
2106030n
nTTTTd222
21n21 =
−=
−++
−⋅+⋅+⋅=
⋅== r
rr
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom A=(2,1,-1) i paralelna je s vektorima
)3,2,1(a =r
, )2,1,3(b −=r
. 2. Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i točku M=(4,-1,2). 3. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi polovištem dužine AB i okomita je na tu spojnicu, ako su A=(1,2,3) , B=(-1,2,1). 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s vektorom )1,1,2(m −=
r i ima segmente a=3,
b= -2 na osi x i y.
5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem 2
2z1
1y2
1x +=
−=
+ i okomita je na
ravninu 2x-y+3z-5=0. 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(1,0,-2), a okomita je na ravnine : π1 ... 3x+y-2z=0 , π2 ... 2x+4y+6z+3=0. 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama T1=(1,0,5) , T2=(2,3,1), a paralelna je s
pravcem p ... 6z
21y
11x
=−+
=−
.
R. 1. 7x-11y+5z+2=0 2. 2y+z=0 3. x+z-2=0 4. 2x-3y+z-6=0 5. 5x-2y-4z-1=0 6. 7x-11y+5z+3=0 7. 2x-2y-z+3=0
Zbirka zadataka iz Matematike 1 21
2.2. Pravac Primjer 1. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom ( )3,2,1T −= i :
(1) paralelan je s vektorom k2j3i5arrrr
++−= (2) okomit je na XZ ravninu (3) paralelan je s osi x R.
czz
byy
axx 000 −
=−
=−
, ( )0000 z,y,xT = , ( )c,b,as =r
(1) ( )3,2,1T0 −= , aIIsaIIp
rrr⇒ , as
rr⋅λ= , npr. uzmemo as1
rr=⇒=λ
( )
23z
32y
51x
23z
32y
51x
−=
+=
−−
⇒
−=
−−=
−−
(2) ( )3,2,1T0 −= , jIIsXZp
rr⇒⊥ , js
rr⋅λ= , npr. uzmemo ( )0,1,0js1 ==⇒=λ
rr
( )
03z
12y
01x
03z
12y
01x
−=
+=
−⇒
−=
−−=
−
(3) ( )3,2,1T0 −= , iIIsosixIIp
rr⇒− , is
rr⋅λ= , npr. uzmemo ( )0,0,1is1 ==⇒=λ
rr
( )
03z
02y
11x
03z
02y
11x
−=
+=
−⇒
−=
−−=
−
Primjer 2. Zadana je jednadžba pravca. Odredite vektor smjera i nekoliko točaka tog pravca.
(1) 3z
22y1x =
−+
=−
(2) 3
3z23y
21x +−
=−+
=−
(3) 2zy2
1x3+−==
−
22 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(4) 2
z30
2y1
x3 −=
−=
−
(5)
+λ−==
−λ=
3z0y
23x
R.
( )λ=−=
−=
−czz
byy
axx 000 , ( )0000 z,y,xT = , ( )c,b,as =
r
+⋅λ=
+⋅λ=
+⋅λ=
0
0
0
zczybyxax
(1) ( ) ( ) ( )3,2,1s,0,2,1T
30z
22y
11x
3z
22y1x 0 −=−=⇒
−=
−−−
=−
⇒=−+
=−r
Vektor smjera je ( )3,2,1s −=r
, jedna od točaka je ( )0,2,1T0 −= . Da bi odredili još neke točke ravnine, rješavat ćemo parametarske jednadžbe pravca, birajući po volji vrijednost parametra λ .
λ=−λ−=
+λ=
3z22y
1x
npr. za 0=λ
( )0,2,1T003z
2202y110x
1 −=⇒
=⋅=
−=−⋅−==+=
za 1=λ
( )3,4,2T313z
4212y211x
2 −=⇒
=⋅=
−=−⋅−==+=
za 2=λ
( )6,6,3T623z
6222y312x
3 −=⇒
=⋅=
−=−⋅−==+=
za 1−=λ
( )( )
( )3,0,0T313z
0212y011x
4 −=⇒
−=−⋅=
=−−⋅−==+−=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 23
(2) ( ) ( ) ( )3,2,2s,3,3,1T
33z
23y
21x
33z
23y
21x
0 −−=−=⇒−−
=−−−
=−
⇒+−
=−+
=− r
(3)
−=
=⇒
−−
=−
=−
⇒+−==− 1,1,
32s,2,0,
31T
12z
10y
32
31x
2zy2
1x30
r
Ako je vektor sr
vektor smjera pravca, onda je i vektor ss1
rr⋅λ= također vektor smjera.
Možemo odabrati 3=λ i dobivamo ( )3,3,2s −=r
kao vektor smjera.
(4) ( )
−−==⇒
−
−=
−=
−−
⇒−
=−
=−
32,0,1s,0,2,3T
320z
02y
13x
2z3
02y
1x3
0
r
(5) ( )
( )( ) ( )1,0,3s,3,0,2T
313z000y
2323x
0 −=−=⇒
+λ⋅−=+λ−=+λ⋅==
−+λ⋅=−λ=r
Primjer 3. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama ( )3,1,2T1 −= i ( )5,2,3T2 = . R. Možemo uzeti ( )3,1,2TT 10 −== , ( )2,3,1rrTTs
12 TT21 =−==r
, pa je jednadžba pravca :
23z
31y
12x −
=+
=−
.
Primjer 4. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi ishodištem i paralelan je s pravcem
24z
13y
31x +
=−−
=−
.
R. Paralelni pravci imaju isti vektor smjera, pa je ( )2,1,3s −=
r, ( )0,0,0T0 = . Uvrštavanjem
dobivamo : 2
0z10y
30x −
=−−
=−
, odnosno 2z
1y
3x
=−
= .
24 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 5.
Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na pravce 1
4z2
1y3
5x...p1−
=+
=−
,
32z
41y
1x...p2
−=
+= i prolazi točkom ( )4,0,1T −= .
R.
( )212121 sssss,sspp,pprrrrrrr
×⋅λ=⇒⊥⊥⇒⊥⊥
k10j8i2341123kji
ss 21
rrr
rrr
rr⋅+⋅−⋅==×
Uzmemo npr. ( )10,8,2s1 −=⇒=λ
r
104z
8y
21x −
=−
=+
⇒
Primjer 6. Odredite kanonski oblik jednadžbe pravca određenog ravninama 013z3y2x...1 =−++π ,
014z4yx3...2 =−++π (pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina). R.
Zbirka zadataka iz Matematike 1 25
( )212121 nnsns,nsp,p
rrrrrrr×⋅λ=⇒⊥⊥⇒π⊆π⊆
k5j5i5413321kji
nn 21
rrr
rrr
rr⋅−⋅+⋅==×
Uzmemo npr. ( )1,1,1s51
−=⇒=λr
Za jednadžbu pravca potrebna nam je i jedna točka tog pravca, ta točka leži i u ravnini 1π i u ravnini 2π , pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbe ravnina 1π i 2π .
=−++=−++
014z4yx3013z3y2x
dvije jednadžbe sa tri nepoznanice
Jednu od koordinata točke odabrat ćemo po volji, npr. uzmemo 0z = i uvrstimo :
( )0,5,3T5y,3x014yx3013y2x
=⇒==⇒
=−+=−+
1z
15y
13x
−=
−=
−⇒
Primjer 7.
Odredite udaljenost točke ( )1,3,2T −= od pravca 25z
2y
31x
−+
==−
.
R.
( ) ( )T,Tdp,Td ′= , gdje je T′ projekcija točke T na pravac p
( )p,Td je ujedno duljina visine paralelograma razapetog vektorima sr
i TT0
26 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( )s
sTTp,Tdp,TdsvssTTP
0
0 r
rrrr ×
=⇒⋅=⋅=×=
( ) ( ) ( )4,3,1TT,2,2,3s,5,0,1T25z
2y
31x
00 =−=−=⇒−+
==− r
( )kj2i27k7j14i14223
431kji
sTT0
rrrrrr
rrr
r+⋅−⋅⋅−=⋅−⋅+⋅−=
−=×
( ) ( )( ) 17
172117
37
223
1227s
sTTp,Td
222
2220 ⋅
=⋅
=−++
+−+⋅−=
×= r
r
Primjer 8.
Odredite kut među pravcima 2
3z2
2y1x...p1
+=
−= ,
6z
33y
2x...p2 =
+= .
R. ( ) ( )2121 s,sp,p
rr∠=∠
( ) ( )6,3,2s,2,2,1s 21 ==
rr
0154172120
632221623221
sssscos 0
22222221
21 ′′′=ϕ⇒=++⋅++
⋅+⋅+⋅=
⋅⋅
=ϕ rr
rr
Primjer 9.
Zadani su pravci : 21z
54y
32x...p1 −
−=
+=
−,
05z
13y
2x...p2
+=
−=
λ− .
Odredite parametar λ tako da se pravci 21 p,p sijeku. Nađite : (1) sjecište tih pravaca (2) jednadžbu ravnine koju ti pravci određuju R. Ako se pravci sijeku, onda zadovoljavaju uvjete : a) 21 sis
rr nisu kolinearni 21 sks
rr⋅≠⇔
b) 2121 TT,s,srr
su komplanarni ( ) 0TTss 2121 =⋅×⇔rr
Zbirka zadataka iz Matematike 1 27
( )1,4,2T1 −= , ( )2,5,3s1 −=r
( )5,3,T2 −λ= , ( )0,1,2s1 =
r
( )6,7,2TT 21 −−λ= Provjeravanje uvjeta : a) ⇒⋅≠ 21 sks
rr21 sisrr
nisu kolinearni
b) ( ) 501020672
012253
0TTss 2121 −=λ⇒=+λ⇒=−−λ
−⇒=⋅×
rr
(1) sjecište tih pravaca Sjecište dvaju pravaca je točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbe jednog i drugog pravca.
+=
−=
+−−
=+
=−
05z
13y
25x
21z
54y
32x
Iz sistema jednadžbi možemo izdvojiti npr. slijedeće jednakosti :
5z,11y,11x03z5y2011y2x
022y3x5−===⇒
=++=+−=−−
( )5,11,11S −=⇒
(2) jednadžba ravnine koju ti pravci određuju
( ) 212121 ssn1.npr,ssnsn,snrrrrrrrrrr
×=⇒=λ×⋅λ=⇒⊥⊥
( )7,4,2nk7j4i2012253
kjiss 21 −−=⇒⋅−⋅−⋅=−=×
rrrr
rrr
rr
28 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Kako pravci leže u ravnini, možemo bilo koju točke jednog od pravaca uvrstiti u jednadžbu ravnine. Uzmemo npr. točku ( )1,4,2T1 −= i dobivamo :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
013z7y4x201z74y42x2
0zzCyyBxxA 000
=−−−⇒=−⋅−+⋅−−⋅
=−⋅+−⋅+−⋅
Primjer 10. Odredite udaljenost paralelnih pravaca :
12z
23y
1x...p1
−=
−= ,
12z
21y
13x...p2
−=
+=
−
R.
Udaljenost paralelnih pravaca najjednostavnije je odrediti tako da se nađe udaljenost točke jednog od pravca do drugog pravca. Tu udaljenost ujedno možemo shvatiti kao visinu paralelograma kojeg razapinju vektori 1s
r i 21TT .
1
211
1211 s
TTsddsTTsP r
rrr ×
=⇒⋅=×=
( )1,2,1s1 =
r, ( )2,3,0T1 = , ( )2,1,3T2 −= , ( )0,4,3TT 21 −=
k10j3i4043121kji
TTs 211
rrr
rrr
r⋅−⋅+⋅=
−=×
( )6305
6125
121
1034s
TTsd
222
222
1
211 ⋅==
++
−++=
×=⇒ r
r
Zbirka zadataka iz Matematike 1 29
Primjer 11. Odredite udaljenost mimosmjernih pravaca:
21z
1y
11x...p1
−==
+ ,
42z
31y
1x...p2
−=
+=
R.
Vektori 1s
r , 2sr
, 21TT razapinju u prostoru paralelepiped. Duljina visine tog paralelepipeda je udaljenost pravaca 1p i 2p .
( )2,1,1s1 =r
, ( )1,0,1T1 −= , ( )4,3,1s2 =r
, ( )2,1,0T2 −= , ( )1,1,1TT 21 −=
( )21
2121
ss
TTss
BVd rr
rr
×
⋅×==
( ) 2111431211
TTss 2121 =−
=⋅×rr
k2j2i2431211kji
ss 21
rrr
rrr
rr⋅+⋅−⋅−==×
( ) ( ) 33
322
222
2d
222==
+−+−=⇒
30 Zbirka zadataka iz Matematike 1
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite udaljenost pravca koji prolazi točkama A=(2,-1,-1), B=(6,-8,0) od pravca koji prolazi točkama C=(2,1,2), D=(0,2,-1).
2. Odredite udaljenost točke T=(2,1,-1) od pravca p … 3z
03y
41x
=−
=−−
.
3. Odredite međusobni položaj pravaca. Ako se sijeku, odredite sjecište i kut pod kojim se sijeku. Ako se ne sijeku, odredite udaljenost između njih.
a) p1 ... 2z5
27y
1x
−−
=+
= , p2 ... 6z
3y4
2x
=−−
=
b) p1 ... 31z
1y2
11x −
=−
=−
, p2 ... 3z4
23y
12x
−−
=−
=−
c) p1 … 21z
1y
11x −
=−−
=+
, p2 … 4z2
31y
1x
−−
=+
=
d) p1 … 2z
1y1
1x
=−−
= , p2 … 2
1z1y
11x −
=−−
=−
R.
1. 66d =
2. 5101d =
3.
a) pravci su mimosmjerni, 41
4117d =
b) pravci leže u istoj ravnini, sijeku se u točki
= 2,
35,
34P pod kutem 05490 ′=ϕ
c) pravci su mimosmjerni, 33d =
d) pravci su paralelni, 37d =
Zbirka zadataka iz Matematike 1 31
2.3. Pravac i ravnina Primjer 1.
Odredite kut pravca
=−+−=
02z2x31x3y
i ravnine 04zyx2 =−++ .
R.
Kut između pravca p i ravnine π , definira se kao kut između pravca i njegove projekcije p' na ravninu π .
nsns
2cossin rr
rr
⋅
⋅=
ϕ−π
=ϕ
Pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina:
( ) ( )2,0,3n,0,1,3n02z2x3
1x3y21 =−=⇒
=−+−= rr
.
( )2121 nnsns,ns
rrrrrrr×⋅λ=⇒⊥⊥
k3j6i2203013kji
nn 21
rrr
rrr
rr⋅+⋅−⋅−=−=× , npr. ( )3,6,2s1 −=⇒−=λ
r
( )1,1,2n04zyx2 =⇒=−++
r
( )14524
66
6497
112362
131622nsns
sin 0
222222′′′=ϕ⇒=
⋅=
++⋅−++
⋅−⋅+⋅=
⋅
⋅=ϕ rr
rr
32 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 2. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Odredite probodište pravca i ravnine ako ono
postoji. Pravac je zadan jednadžbom 6z
21y
11x...p =
−+
=−
, a ravnina:
(1) 01zy3x2 =−++ (2) 03zy2x2 =+−− (3) 04zy2x2 =−−− R. (1)
( )6,2,1s6z
21y
11x...p −=⇒=
−+
=− r
( )1,3,2n01zy3x2... =⇒=−++πr
Ako je πIIp , onda je ns
rr⊥ , tj. 0ns =⋅
rr.
⇒≠=⋅+⋅−⋅=⋅ 02163221ns
rr pravac i ravnina nisu paralelni
Ako pravac probada ravninu, onda je probodište točka ( )z,y,xP = koja leži i na pravcu i u ravnini :
⇒λ==−+
=−
6z
21y
11x...p
λ=−λ−=
+λ=
6z12y
1x
Za razne parametre λ dobivamo razne točke pravca. Treba odrediti λ tako da dobijemo točku koja ujedno leži i u ravnini, pa zahitjevamo da koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbu ravnine 01zy3x2 =−++ . Uvrštavajući parametarske jednadžbe pravca dobivamo :
( ) ( )122
0161231201zy3x2
=λ⇒=λ=−λ+−λ−⋅++λ⋅
=−++
( )6,3,2P616z
3112y211x
−=⇒
=⋅=−=−⋅−=
=+=⇒
(2)
( ) ( )0,1,1T,6,2,1s6z
21y
11x...p 0 −=−=⇒=
−+
=− r
( )1,2,2n03zy2x2... −−=⇒=+−−πr
Zbirka zadataka iz Matematike 1 33
( ) ( ) ( ) ⇒=−⋅+−⋅−+⋅=⋅ 0162221nsrr
pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u ravnini Ako pravac leži u ravnini onda je svaka točka tog pravca ujedno točka ravnine. Provjeriti ćemo da li točka ( )0,1,1T0 −= koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :
( )π∉⇒≠=+−−⋅−⋅
=+−−π
0
?
T070301212
03zy2x2...
⇒ pravac je paralelan s ravninom, ali ne leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.
⇒λ==−+
=−
6z
21y
11x...p
λ=−λ−=
+λ=
6z12y
1x
Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :
( ) ( )70
0361221203zy2x2...
−=λ⋅=+λ−−λ−⋅−+λ⋅
=+−−π
⇒ ne postoji parametar λ koji zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da ne postoji točka pravca koja bi ujedno bila i točka ravnine, što dalje povlači da pravac ne leži u ravnini. (3)
( ) ( )0,1,1T,6,2,1s6z
21y
11x...p 0 −=−=⇒=
−+
=− r
( )1,2,2n04zy2x2... −−=⇒=−−−πr
( ) ( ) ( ) ⇒=−⋅+−⋅−+⋅=⋅ 0162221nsrr
pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u ravnini Provjeriti ćemo da li točka ( )0,1,1T0 −= koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :
( )π∈⇒==−−−⋅−⋅
=−−−π
0
?
T000401212
04zy2x2...
⇒ pravac leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.
34 Zbirka zadataka iz Matematike 1
⇒λ==−+
=−
6z
21y
11x...p
λ=−λ−=
+λ=
6z12y
1x
Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :
( ) ( )00
0461221204zy2x2...
=λ⋅=−λ−−λ−⋅−+λ⋅
=−−−π
⇒ svaki realni broj λ zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da postoji beskonačno mnogo točka koje zadovoljavaju ovu jednadžbu, što dalje znači da svaka točka pravca leži u ravnini odnosno da sam pravac leži u ravnini. ZADACI ZA VJEŽBU
1. Odredite parametar λ tako da se pravci p1 ... λ
=−
=z
3y
2x , p2 ...
1z
25y
31x
=+
=+
sijeku i napišite jednadžbu ravnine u kojoj leže.
2. Odredite parametar λ tako da se pravci p1 … 41z
3y
11x −
=−
=+
,
p2 … 5
z42y2
3x −=
λ+
=−
sijeku, te odredite jednadžbu ravnine koju određuju.
3. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem 11z
21y
11x
−+
=+
=− i točkom M=(2,0,1).
4. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcima :
p1 ... 5
1z3
2y7x
−+−
=+
= , p2 ... 5
2z3
3y7
1x +=
−=
− .
5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(2,-3,2) i presječnicom ravnina : p1 ... 6x+4y+3z+5=0 , p2 ... 2x+y+z-2=0. 6. Nađite probodište pravca i ravnine :
a) 51z
12y
33x
−+
=−−
=+ , x-2y+z-15=0
b) 2
3z3
1y22x −
=−
=−+ , x+2y-2z+6=0
7. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Ako pravac probada ravninu, pronađite probodište.
a) p ... 1
1z2y
1x1 +
==−−
, π ... 05zy2x =++−
Zbirka zadataka iz Matematike 1 35
b) p ... 1
z11
1y2x −
=+
= , π ... 04z3yx =+++
c) p …
23
z13
1y1x −
=+
= , π … 04zyx2 =−−+
d) p … 1
2z11y
2x −
=−−
=−
, π … 07z3yx =−++
R. 1. 5x-y-13z=0 2. 4=λ , 011z10y13x... =+−−π 3. 5x-3y-z-9=0 4. 17x-13y-16z-10=0 5. 16x+7y+8z-27=0 6. a) p II π b) p ⊆ π 7.
a) pravac probada ravninu u točki
=
23,5,
27P pod kutem 03190 ′=ϕ
b) pravac je paralelan sa ravninom, ali ne leži u ravnini
c) pravac probada ravninu u točki
−=
135,
1323,
1312P pod kutem 02490 ′=ϕ
d) pravac leži u ravnini
36 Zbirka zadataka iz Matematike 1
3. MATRICE I DETERMINANTE 3.1. Matrice Primjer 1.
Nađite inverznu matricu matrice
=
1235
A .
R. a) pomoću proširene matrice
−
−=⇒
−
−
−
−−
−
5231
A52
311001
~
~52
051
10531~
152
051
510
531
~10
051
12531~
1001
1235
1
b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)
( ) ( )( ) ( )
−
−=
⇒
−
−=
⋅−⋅−⋅−⋅−=
= ++
++
5231
A5321
51312111
AAAA
AT~
2212
2111
2221
1211~
1652315Adet −=−=⋅−⋅=
−
−=
−
−⋅
−=
⋅=⇒ −
5231
5231
11A
Adet1A
T~1
Primjer 2.
Nađite inverznu matricu matrice
=
153230241
A .
R. a) pomoću proširene matrice
~
103
0310
001
5703210241
~103010001
570230241
~100010001
153230241
−−−
−−−
Zbirka zadataka iz Matematike 1 37
−−−
−−
−−
−−
−
−
−
−
379256267
100010001
~
379
0310
0341
10032103201
~
1373
0310
0341
3100
32103201
~
−−−
−−=⇒
379256267
A 1-
b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) 33041
1A
22021
1A
2682324
1A
71255341
1A
5611321
1A
61041524
1A
95330
1A
661320
1A
71031523
1A
3333
2332
1331
3223
2222
1221
3113
2112
1111
=⋅−=
−=⋅−=
=−=⋅−=
=−−=⋅−=
−=−=⋅−=
=−−=⋅−=
−=⋅−=
=−−=⋅−=
−=−=⋅−=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) 1926471AaAaAaAdet 131312121111 −=−⋅+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅=
−−−
−=
⇒
−−
−−=
=
379256
267A
322756967
AAAAAAAAA
AT~
333231
232221
131211~
38 Zbirka zadataka iz Matematike 1
−−−
−−=
−−−
−⋅
−=
⋅=⇒ −
379256267
379256
267
11A
Adet1A
T~1
Primjer 3.
Riješite matričnu jednadžbu
−−
=⋅
− 21
41X
0112
.
R. 1. način
Matrica X mora biti oblika
=
dcba
X .
Iz jednakosti
−−
=
⋅
− 21
41dcba
0112
dobijemo dva sustava jednadžbi:
−=−
=+
1a1ca2
,
−=−
=+
2b4db2
čija su rješenja : 0d,2b,1c,1a ==−== .
Tražena matrica je
−
=0121
X .
2. način Jednakost BXA =⋅ množimo slijeva s 1A − (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :
BAXBAX
BAXAABXA
1
1
11
⋅=
⋅=⋅Ι
⋅=⋅⋅
=⋅
−
−
−−
−=⇒
−
−
−
−
−
2110
A2110
1001
~
~121
10
21001
~1
21
021
210211
~10
021
01211~
1001
0112
1
−
=
−−
⋅
−=⋅= −
0121
2141
2110
BAX 1
Zbirka zadataka iz Matematike 1 39
Primjer 4.
Riješite matričnu jednadžbu
−
−=
−
⋅68
424231
X .
R. 1. način
Matrica X mora biti oblika
=
dcba
X .
Iz jednakosti
−
−=
−
⋅
68
424231
dcba
dobijemo dva sustava jednadžbi:
=+
−=−
4b4a32b2a
,
−=+
=−
6d4c38d2c
čija su rješenja : 3d,2c,1b,0a −==== .
Tražena matrica je
−
=32
10X .
2. način Jednakost BAX =⋅ množimo s desna s 1A − (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :
1
1
11
ABXABX
ABAAXBAX
−
−
−−
⋅=
⋅=Ι⋅
⋅=⋅⋅
=⋅
−⋅=⇒
−
−
−
1234
101A
101
51
103
52
1001
~101
51
01
1031
~1201
10031
~1001
4231
1
−
=
=
−
⋅=
−⋅
−
−⋅=
−⋅⋅
−
−=⋅= −
3210
3020100
101
1234
6842
101
1234
101
6842
ABX 1
40 Zbirka zadataka iz Matematike 1
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite inverznu matricu matrice :
(1)
−
−=
3512
A
(2)
−
=0113
A
(3)
=
7241
A
(4)
−
=31
10A
(5)
−=
312211421
A
(6)
−
−−=
210322101
A
(7)
−−−−
=211101111
A
R.
(1)
=−
2513
A 1
(2)
−=−
3110
A 1
(3)
−
−=−
1247
A 1
(4)
=−
0113
A 1
Zbirka zadataka iz Matematike 1 41
(5)
−−−
−=−
1532117
021A 1
(6)
−−−−
=−
212524211
A 1
(7)
−−−−−−=−
121231
111A 1
2. Riješite matrične jednadžbe :
(1)
−=⋅
− 148
42X
3102
(2)
=⋅
1001
X2513
(3)
−
−=⋅
−
−519128
X7385
(4)
=⋅
−
−0710
X714
35
(5)
−−
=⋅
−132
1114X
3113
(6)
−−
=⋅
− 12
29X
0113
(7)
=⋅
329185
X7241
(8)
=⋅
− 310
25X
1312
42 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R.
(1)
−=
4321
X
(2)
−
−=
3512
X
(3)
−
=2134
X
(4)
=
2513
X
(5)
−−
=52
24X
(6)
−
=13
12X
(7)
=
4121
X
(8)
−
=0113
X
3. Riješite matrične jednadžbe :
(1)
−=
−
−⋅
1321
71435
X
(2)
=
⋅
50150
0050
X
(3)
−
=
−
⋅34
2913
12X
(4)
=
⋅
38413
0113
X
Zbirka zadataka iz Matematike 1 43
(5)
=
−−
⋅14210
1214
X
(6)
=
−
⋅16612
1232
X
(7)
−
−=
−
−⋅
8463
2121
X
(8)
−=
−−
⋅1114
1022
34X
R.
(1)
=
2513
X
(2)
=
0113
X
(3)
−
=2113
X
(4)
−
=13
14X
(5)
=
0113
X
(6)
−−
=2133
X
(7)
−
=13
41X
(8)
−
=13
21X
44 Zbirka zadataka iz Matematike 1
3.2. Determinante Primjer 1.
Izračunajte vrijednost determinante :
42734623
23553562
−−−−
−−
R.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 303273
623355
31473423
25551
423463
23561
427462
23521
42734623
23553562
D
4131
2111
−=−
−−−
⋅⋅−+−−−⋅−⋅−+
+−
−−−
⋅⋅−+−
−−−
⋅⋅−=
−−−−
−−
=
++
++
Primjer 2.
Riješite jednadžbu : 01x2x3x
x4x2x5x4x1x=
−+−−+
−+−
R.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
32
6644x044x66
44x663x4x2x2x5x3xx1x2x4x2xx1x4x1x
2x3x4x2x
5x1x3x
x2x4x
1x2xx4x
1x1x2x3x
x4x2x5x4x1x
==⇒=+−⇒
+−=−⋅−−+⋅+⋅−++−⋅−−⋅+⋅+−+⋅−−⋅−⋅−=
=+−−+
⋅−+−−
+⋅+−
−+−
⋅−=−+−
−+−+−
Primjer 3.
Izračunajte vrijednost determinante 24
4
zz1z101z0
D = ako je i1z −= .
Zbirka zadataka iz Matematike 1 45
R.
1z)1(1)z(zzz1z101z0
D 54
24
4
−=−⋅+−⋅−==
i1z −= ⇒
π=
π−π=−π=ϕ⇒−=
−=ϕ
=+=−=
47
42)1(arctg21
11tg
211i1r
⇒
π
⋅+π
⋅=4
7sini4
7 cos2z
( )( ) ( )
i4422i
2224
43sini
43cos24
438sini
438cos24
4384sini
4384cos24
435sini
435cos24
475sini
475 cos2
47sini
47 cos2z
55
5
⋅+−=
⋅+−⋅=
=
π
⋅+
π
⋅=
π
+π⋅+
π
+π⋅=
=
π+⋅
⋅+π+⋅
⋅=
π
⋅+π
⋅=
=
π
⋅⋅+π
⋅⋅=
π
⋅+π
⋅=
⇒ ( ) ( ) i451i441i11zD 55 ⋅+−=−⋅+−=−−=−= ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte vrijednost determinante :
(1)
1110404420221110
−
−
(2)
5138113242383236
−−−
46 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(3)
82542403
40214311
−−−−
−−−
(4)
dcbadcbadcbadcba
−−−−−−−−−−
(5) aaaaan2anaamam
−−+−+
2. Izračunajte vrijednost parametra λ za kojeg je vrijednost determinante:
120911612
3553291
−−−
λ−−−λ+
jednaka 18.
3. Izračunajte vrijednost determinante
i241000i2131i102101i21
+−−
−−−+
, gdje je i imaginarna
jedinica.
4. Izračunajte vrijednost determinante 0z11zz01z
D4
42= ako je i1z +−= .
5. Izračunajte vrijednost determinante 1zzz1zzz1
2
2
2
za 32sini
32cosz π
⋅+π
= .
Zbirka zadataka iz Matematike 1 47
6. Riješite jednadžbu :
(1) 011x
32xx11
=−
−−
(2) 011132x94x2
=
(3) 05x1x4x
x2x4x1x3x2x=
+−++−
−−+
R. 1. (1) 0D = (2) 30D −= (3) 266D = (4) abcd8D = (5) anmD ⋅⋅= 2. 2,4 21 −=λ−=λ 3. i75D += 4. i43D +−= 5. 0D = 6. (1) 1x,5x 21 =−= (2) 3x,2x 21 ==
(3) 119x =
48 Zbirka zadataka iz Matematike 1
3.3. Sustavi linearnih jednadžbi Primjer 1.
Riješite sustav jednadžbi :
=+=−
1y5x26y3x
R. a) Cramerovim pravilom
( ) 1123515231
D =⋅−−⋅=−
=
( ) 3313565136
Dx =⋅−−⋅=−
=
1126111261
Dy −=⋅−⋅==
11111
DD
y,31133
DDx yx −=
−=====⇒
b) Gaussovom metodom
−
−
−
−
−
−1
31001
~1
61031
~116
11031
~16
5231
1y,3x −==⇒ Primjer 2.
Riješite sustav jednadžbi :
=++−=+−=++
7z2y2x32zy2x9z3yx2
R. a) Cramerovim pravilom
( ) ( ) ( )( ) 1332213312121222
2321
32311
12212
2223121312
D
=⋅−−⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−⋅=
=−
⋅+⋅−−
⋅=−=
( ) ( ) ( )( ) 1372223712221229
2722
32712
12212
9227122319
Dx
−=⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅=
=−−
⋅+−⋅−
−⋅=−−=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 49
( ) ( ) ( )( ) 26327133121971222
7321
32311
92712
2273121392
Dy
=⋅−−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅=
=−
⋅+⋅−−⋅=−=
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3932219327122722
2321
97321
17222
2723221
912Dz
=⋅−−⋅⋅+⋅−−⋅−⋅−−⋅−⋅=
=−
⋅+−
⋅−−−
⋅=−−=
31339
DDz,2
1326
DD
y,11313
DDx zyx ======−=
−==⇒
b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak
−
−
−
−
−
−
321
100010001
~
35
135
16
10051105701
~
5395
135
16
513-0051105701
~
~
135
132
1-80511012-1
~1313
2
1-8015012-1
~792
22331212-1
~72
9
22312-1312
3z,2y,1x ==−=⇒ Primjer 3.
Riješite sustav jednadžbi :
=+=+−=−+
5y2x32zyx
1zy3x2
R. a) Cramerovim pravilom
( ) 02311
10311
30211
2023111132
D =−
⋅−+⋅−−⋅=−
−=
50 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) 042512
10512
30211
1025112131
Dx ≠=−
⋅−+⋅−−
⋅=−−
=
⇒≠==⇒ 04Di0D x sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak
−−
13
2
3-503-5011-1
~512
0231-3211-1
~521
02311-11-32
Ako pogledamo drugu i treću jednadžbu: 1z3y53z3y5
−=−−=−
, vidimo da smo naišli na
kontradiktorne jednadžbe, što znači da sustav nema niti jedno rješenje. Primjer 4.
Riješite sustav jednadžbi :
=+−=−+=+−
11zyx43zy3x2
4zy2x
R. a) Cramerovim pravilom
0114132
121D =
−−
−= 0
1111133
124Dx =
−−
−= 0
1114132
141Dy =−=
01114332421
Dz =−
−=
⇒ sustav nema niti jedno rješenje ili sustav ima beskonačno mnogo rješenja Ako zbrojimo prvu i drugu jednadžbu, odnosno drugu i treću jednadžbu, dobijemo istu jednadžbu : 7yx3 =+ , što znači da sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Iz te jednadžbe izrazimo y pomoću x : x37y −= , a onda iz prve jednadžbe izrazimo z pomoću x : ( ) 18x7x372x4y2x4z +−=−⋅+−=+−= .
Zbirka zadataka iz Matematike 1 51
Sva rješenja sustava su :
⋅−=⋅−=
=
t718zt37y
tx , gdje je t bilo koji broj.
b) Gaussovom metodom
−
−
−
−−
075
718
00073-107101
~
075
4
00073-1012-1
~
~05
4
0003-7012-1
~55
4
3-703-7012-1
~1134
11-41-3212-1
Sustav jednadžbi sveo se na :
⇒
−=⋅−
=⋅+
75z
73y
718z
71x
=
⋅+−=
⋅−=
zz
z73
75y
z71
718x
, gdje je z∈R
Želimo usporediti rezultate s rezultatima dobivenim Cramerovim pravilom :
( ) x37x71873
75yz
73
75y
x718zz18x7z71
718x
−=−⋅+−=→⋅+−=
−=→−=→⋅−=
Odaberemo tx = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:
⋅−=⋅−=
=
t718zt37y
tx, gdje je t∈R
52 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 5.
Riješite sustav jednadžbi :
=−+=+−=−+
0zyx0z3yx20zy2x3
R. a) Cramerovim pravilom
01111
312123
D ≠=−
−−
= ⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje 0zyx === .
b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i treći redak
~000
21-035-101-11
~000
21-053-01-11
~000
1-2331-21-11
~000
1-1131-21-23
000
100010001
~000
10035-103201
~000
310035-103201
~
⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje 0zyx === . Primjer 6.
Riješite sustav jednadžbi :
=++=++
=++
0z2y3x40z3y4x5
0zy2x3
R. a) Cramerovim pravilom
0234345123
D == ⇒ postoji i netrivijalno rješenje
Zbirka zadataka iz Matematike 1 53
Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-3) i pribrojimo drugoj jednadžbi, dobijemo :
0yx2 =−− . Istu jednadžbu dobijemo ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-2) i pribrojimo trećoj jednadžbi. Iz te jednadžbe možemo izraziti y pomoću x : x2y −= . Uvrštavanjem u prvu jednadžbu izrazimo z pomoću x : ( ) xx22x3y2x3z =−⋅−−=−−=
Sva rješenja sustava su :
=⋅−=
=
tzt2y
tx , gdje je t bilo koji broj.
b) Gaussovom metodom
000
0002101-01
~000
32
310
21031
321
~000
32
310
34
320
31
321
~000
234345123
Sustav jednadžbi sveo se na :
⇒
=⋅+=−
0z2y0zx
=⋅−=
=
zzz2y
zx , gdje je z∈R
Odaberemo tx = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:
=⋅−=
=
tzt2y
tx, gdje je t∈R
Primjer 7.
Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :
=+=+
3zx3z-3yx2
R.
−−
−−
−−
−1
31
110
01
~3
33
130
01
~33
13
03
10
~33
11
03
12
54 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Sustav jednadžbi sveo se na :
⇒
−=−=+
1zy3zx
=+−=−=
zzz1y
z3x , gdje je z∈R
Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo tz = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:
=+−=−=
tzt1y
t3x, gdje je t∈R
Primjer 8.
Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :
=+−−
=++−
1xx2xx
2x2x3xx2
4321
4321
R.
−−
−−−
−−
−01
01
35
10
01
~01
01
31
12
01
~21
21
11
32
21
~12
12
11
23
12
Sustav jednadžbi sveo se na :
⇒
=+
=++
0x3x
1xx5x
32
431
=
=
−=
−−=
44
33
32
431
xxxx
x3xxx51x
, gdje su ∈43 x,x R
Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo β=α= 43 x,x , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:
β=
α=α−=
β−α−=
4
3
2
1
xx
3x51x
, gdje su ∈βα , R
Zbirka zadataka iz Matematike 1 55
Primjer 9.
Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :
=+−+
=+−+
=++−
0x3x4x2x0x5x2x4x0x2x2xx3
4321
4321
4321
R.
−
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
−
−−
−
000
011
02
0
010
001
~000
013
024
012
001
~
~000
07
3
014
4
07
2
001
~000
77
3
1414
4
77
2
001
~000
253
224
112
341
~000
352
42
2
211
143
Sustav jednadžbi sveo se na :
⇒
=+−
=+
0xx2x
0xx
432
41
=
=
−=
−=
44
33
432
41
xxxx
xx2xxx
, gdje su ∈43 x,x R
Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odabemo β=α= 43 x,x , pa rješenje možemo zapisati u obliku:
β=
α=
β−α=
β−=
4
3
2
1
xx
2xx
, gdje su ∈βα , R
Primjer 10.
Riješite sustav jednadžbi :
( ) ( ) 3:42yx3:8z2x
34
z42
2y33x
41
zy3x2zy2x
=−+−+
=−
−−
+−+
=++−
−+
.
R.
56 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( )⇒
=−+−+
=−
−−
+−+
=++−
−+
3:42yx3:8z2x
34
z42
2y33x
41
zy3x2zy2x
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )⇒
−+⋅=−+⋅⋅=−⋅−−⋅++⋅−
⋅++−=−+⋅
2yx348z2x3123z432y63x4
1zy3x2zy2x4
⇒ ⇒
−+=−+=+−−+−−
++−=−+
8y4x1224z6x336z31212y612x4
zy3x2z4y8x4⇒
=+−−=++−
=−+
16z6y4x972z3y6x4
0z5y5x6
77649364556
D −=−−
−−
= 064163672550
Dx =−
−= 616
61693724506
Dy −=−−
−=
61616497264056
Dz −=−−
−= ⇒ 877
616z,877616y,0
770x =
−−
==−−
==−
=
Primjer 11. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,-8), B=(-1,0), C=(-2,1). R.
cbxax)x(f 2 ++=
( ) ( )( ) ( )
⇒
=+−⋅+−⋅
=+−⋅+−⋅
−=+⋅+⋅
1c2b2a
0c1b1a
8c1b1a
2
2
2
⇒
=+−=+−−=++
1cb2a40cba
8cba
6124111111
D =−−= 6
121110118
Da −=−−
−= 24
114101181
Db −=−
=
18124011811
Dc −=−−
−= ⇒ 3
618c,4
624b,1
66a −=
−=−=
−=−=
−=
⇒ 3x4x)x(f 2 −−−=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 57
Primjer 12.
U sustavu jednadžbi ( )
=−−=+⋅+λ−
=−+
4zy2x53z2y2x4
2z4yx odredite parametar λ tako da
determinanta sustava bude jednaka -7 i nađite rješenja tog sustava. R.
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1219
5224452142212125
224411
D
+λ−==⋅+λ+−⋅−+⋅−−⋅−−⋅−−⋅+λ−=
=−−
+λ−−
=
⇒ 171219 =λ⇒−=+λ−
⇒
=−−=+−
=−+
4zy2x53z2y3x4
2z4yx
1124
233412
Dx =−−
−−
= 13145
234421
Dy =−
−= 7
425334211
Dz =−−=
⇒ 17
7z,7
137
13y,71
71x −=
−=−=
−=−=
−=
Primjer 13.
Za koju vrijednost parametra λ sustav jednadžbi :
=++−=⋅+++
=++
05z7yx0z6)(λ6y2x
013z5yλx ima i
netrivijalna rješenja ? R. Da bi homogen sustav jednadžbi imao i netrivijalna rješenja, mora mu determinanta biti jednaka nuli.
58 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]180177
167213165257656571
662135
D
2 +λ−λ−=
=−⋅−⋅⋅+−⋅+λ−⋅⋅−⋅+λ−⋅⋅λ=
=−
+λλ
=
⇒ 0180177 2 =+λ−λ−
4,745
147317
145040289170180177
21
2,12
=λ−=λ⇒
−=
+−=λ⇒=−λ+λ
mm
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Riješite sustav jednadžbi :
(1)
−=+−−
=−+
=+−
=++
2xxx2xxx2xxx6xxx
421
431
432
321
(2)
=+
−−
+−
−=−+−−
=−+−+
33
3x2
2y4
4z)1(:4)zy2x(:)zy3x2(
34
2yx38z2x
(3)
−=+−−−+
−=−
+−
−+
=++−
−+
4:3)8z2x(:)2yx3(
34
z42
2y3
3x41
zy3x2zy2x
Zbirka zadataka iz Matematike 1 59
(4)
=−−
=−
+−
=−+
−
3z3y42x
32
2y1
3x21
0z24
1yx
(5)
=++=−+=++
3z6y4x21zyx3
4z3y2x
(6)
−=−+=++
=++
1zy3x3z6y2x4
4z3yx2
2. U sustavu jednadžbi
−=+−=−+
−=+⋅++
1z3yx22z2y3x2
6zy)2k(x odredite parametar k tako da
determinanta sustava bude jednaka 29. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.
3. U sustavu jednadžbi
−=−⋅++−=−+
=+−
5z4y)1k(x4z3yx4
2zy3x2odredite parametar k tako da determinanta
sustava bude jednaka 2. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.
4. U sustavu jednadžbi :
−=+−−=+−
=−+−
6zy3x1z3yx2
2z2y)1k(x2 odredite parametar k tako da determinanta
sustava bude 29 . Nađite rješenja tog sustava. 5. Riješite sustav jednadžbi :
(1)
=−−=++
=−
0z2y3x0zyx
0yx3
60 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(2)
=+=−+=++
0y2x0zy3x
0zyx
6. Za koju vrijednost parametra k sustav
=++=+−=++
0z10y2x50z4yx
0z2y4kx ima netrivijalna rješenja?
Odredite ta rješenja.
7. U sustavu jednadžbi
=++⋅=+⋅++−
=++
0z13y5xk0z5y)3k(x
0z10y6x2 odredite parametar k>0 tako da
sustav ima netrivijalna rješenja. Nađite ta rješenja. 8. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,2), B=(2,2) , C=(-1,8) . 9. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(-1,9) , B=(1,1) , C=(2,3) . R. 1. (1) 2xxxx 4321 ==== (2) 8z,8y,0x === (3) 8z,8y,0x ===
(4) 21z,1y,1x =−==
(5) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. (6) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. 2. 5k −= , 1z,2y,1-x === 3. 4k = , 10z,6y,5x === 4. 4k −= , 1z,2y,1-x === 5.
(1) Rtt4z
t3ytx
∈
−===
Zbirka zadataka iz Matematike 1 61
(2) Rttzty
t2x∈
==
⋅−=
6. 3k =
Rt
tz
t7
10y
t7
18x
∈
=
⋅=
⋅−=
7. 4k =
Rttz
tyt2x
∈
=−=−=
8. 4x3x)x(P 2 +−= 9. 3x4x2)x(P 2 +−=
62 Zbirka zadataka iz Matematike 1
4. FUNKCIJE 4.1. Funkcije Primjer 1. Odredite područje definicije funkcija : (1) 5xx2x4)x(f 23 −+−=
(2) 2x
x3)x(f−
=
(3) 1x)x(f +=
(4) 2x)x(f 2 +=
(5) 3 1x)x(f +=
(6) 1x)x(f 2 −−=
(7) 9x)x(f 2 −=
(8) x2
1x)x(f+
+−=
(9) x1x1)x(f
−+
=
(10) 4x
x3x2x)x(f23
−−−
=
(11) ( )6x5xlog)x(f 2 +−=
(12)
+
+−=
1x2x3xlog)x(f
2
(13) ( )xxln)x(f −=
(14) ( )x1ln)x(f −=
(15) x1
4 ex51x)x(f +−−+=
(16) 1x21
2)x(f −=
(17) x213)x(f −=
(18) xx
xx
eeee)x(f−
−
−+
=
(19) xsinxcos)x(f 22 −=
(20) 4
x21arccos)x(f −=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 63
R. (1) ( )+∞∞−== ,RD (2) { } ( ) ( )+∞∪∞−==⇒≠⇒≠− ,22,2\RD2x02x (3) [ )+∞−=⇒−≥⇒≥+ ,1D1x01x (4) ( )+∞∞−==⇒∈∀≥+⇒≥ ,RDRx,02x0x 22 (5) ( )+∞∞−== ,RD (6) ∅=⇒−≤⇒≥−⇒≥−− D1x1x01x 222 (7) ( ) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−=⇒≥+⋅−⇒≥− ,33,D03x3x09x2 (8) ( ) ( ) ( ]0,2D2x0x2&0x0x −=⇒−>⇒>+≤⇒≥−
(9) ( ) [ )1,1D0x1&0x1x1
−=⇒≠−
≥
−+
(10) ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ) ( )+∞∪∪−=⇒≠−≥−⋅+⋅⇒≥−− ,44,30,1D04x&03x1xx0x3x2x 23 (11) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∞−=⇒>−⋅−⇒>+− ,32,D03x2x06x5x2
(12) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪−=⇒>
+−⋅−
⇒>+
+− ,21,1D01x
2x1x01x
2x3x2
(13)
∅=⇒
=−=⇒>
=−−=⇒<
=−=⇒=
D.defnije...0ln)xxln()x(f0x
.defnije)...x2ln())x(xln()x(f0x.defnije...0ln)00ln()x(f0x
(14) ( ) ( )( ) ( ) ( ]0,D1x0x1&0x1x10x1ln ∞−=⇒<⇒>−≤⇒≥−⇒≥− (15) ( ) ( ) ( ) [ ) ( ]5,00,1D0x&5x0x5&1x01x ∪−=⇒≠≤⇒≥−−≥⇒≥+
(16)
+∞∪
∞−=
=⇒≠⇒≠⇒≠− ,
21
21,
21\RD
21x1x201x2
(17) ( )+∞∞−== ,RD (18) { }0\RD0x0x21eeee0ee 0x2xxxx =⇒≠⇒≠⇒=≠⇒≠⇒≠− −−
64 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(19)
( )
Zk,k4
,k4
Dk4
xk4
22xsin
22
21xsin1xsin20xsin21
xsin21xsinxsin1xsinxcos)x(f
222
22222
∈
π+
ππ+
π−=⇒π+
π≤≤π+
π−⇒
≤≤−⇒≤⇒≤⇒≥−⇒
−=−−=−=
(20)
−=⇒≤≤−⇒−≥≥⇒
⇒≤−≤−⇒≤−≤−⇒≤−
≤−⇒−
=
25,
23D
25x
23
23x
25
3x254x21414
x2114
x21arccos)x(f
Primjer 2. Ispitajte koje su od danih funkcija parne, koje su neparne, a koje nisu ni parne, ni neparne : (1) 5)x(f =
(2) ( )21x)x(f −=
(3) xsin3xx)x(f 32 +⋅= (4) xcosx)x(f 3 ⋅= (5) x)x(f =
(6) 22 xx1xx1)x(f ++−+−= (7) xx 22)x(f −+=
(8)
+−
=x1x1ln)x(f
R. (1) ⇒==−⇒= )x(f5)x(f5)x(f funkcija je parna (2) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2222 1x1x1x)x(f1x)x(f +=+−=−−=−⇒−= , )x(f)x(f ≠− , )x(f)x(f −≠−
⇒ funkcija nije niti parna niti neparna (3)
( ) ( ) ( ) ( )( ) )x(fxsin3xxxsin3xx
xsin3xxxsin3xx)x(fxsin3xx)x(f3232
323232
−=+⋅−=−⋅−=
=−⋅+−⋅=−+−⋅−=−⇒+⋅=
⇒ funkcija je neparna (4) ( ) ( ) ( ) )x(fxcosxxcosxxcosx)x(fxcosx)x(f 3333 −=⋅−=⋅−=−⋅−=−⇒⋅=
⇒ funkcija je neparna
Zbirka zadataka iz Matematike 1 65
(5) ⇒==−=−⇒= )x(fxx)x(fx)x(f funkcija je parna
(6) 22 xx1xx1)x(f ++−+−=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) )x(fxx1xx1xx1xx1
xx1xx1xx1xx1)x(f2222
2222
−=++−+−−=+−+++−−=
=+−−++=−+−+−−+−−=−
⇒ funkcija je neparna (7) ( ) ( ) )x(f222222)x(f22)x(f xxxxxxxx =+=+=+=−⇒+= −−−−−−
⇒ funkcija je parna
(8) ( ) ( )x1lnx1lnx1x1ln)x(f +−−=
+−
=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) )x(f
x1x1lnx1lnx1lnx1lnx1ln
x1x1ln
x1x1ln)x(f −=
+−
−=+−−−=−−+=
−+
=
−+−−
=−
⇒ funkcija je neparna Primjer 3. Odredite osnovni period slijedećih funkcija : (1) x3sin)x(f =
(2) 2xcos)x(f =
(3) x6tg)x(f =
(4) 5xctg)x(f =
R.
(1) ( )32T
32xf
32x3sin2x3sinx3sin)x(f π
=⇒
π
+=
π
+⋅=π+==
(2) ( ) ( ) π=⇒π+=
π+⋅=
π+== 4T4xf4x
21cos2
2xcos
2xcos)x(f
(3) ( )6
T6
xf6
x6tgx6tgx6tg)x(f π=⇒
π
+=
π
+⋅=π+==
(4) ( ) ( ) π=⇒π+=
π+⋅=
π+== 5T5xf5x
51ctg
5xctg
5xctg)x(f
66 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 4. Za zadane funkcije )x(f i )x(g odredite kompozicije ( ) )x(gf o i ( ) )x(fg o :
(1) 3x2)x(f += , 2
3x)x(g −=
(2) x1)x(f = , 2
3x21x)x(g −+−
=
(3) 1xe)x(f −= , ( )1xln21)x(g +⋅−=
(4) 2x)x(f = , x2)x(g = R.
(1) 3x2)x(f += , 2
3x)x(g −=
( ) ( ) x33x32
3x22
3xf)x(gf)x(gf =+−=+
−⋅=
−
==o
( ) ( ) ( ) ( ) x2x2
233x23x2g)x(fg)x(fg ==
−+=+==o
(2) x1)x(f = , 2
3x21x)x(g −+−
=
( ) ( ) 7x33x2
6x41x3x2
3x23x221x
1
23x21x12
3x21xf)x(gf
−−+
=−−−
+=
++⋅−−
=−
+−
=
−
+−
=o
( ) ( )
x323x7
x32x64x1
x32x322x12
x32x12
xx32
xx1
23
x12
1x1
x1g)x(fg
+−−
=+
−−−=
=+
+⋅−−=−
+−
=−+
−
=−+⋅
−=
=o
(3) 1xe)x(f −= , ( )1xln21)x(g +⋅−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ====+−=
+⋅−==
++
++−−+−
11xln11xln11xln
e1ee1xlnf1xln
21f)x(gf)x(gf o
1xe
1e1x
1ee
111xln +⋅
=⋅+
=⋅
=+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1eln11eln1eln
21eg)x(fg)x(fg
1x
1x1x1x
+=+−=+⋅−===
−
−−−o
Zbirka zadataka iz Matematike 1 67
(4) 2x)x(f = , x2)x(g =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx2x22xx 42222f)x(gf)x(gf ======o
( ) ( ) ( ) 2x2 2xg)x(fg)x(fg ===o Primjer 5. Nađite inverznu funkciju funkcije : (1) 3x2)x(f +=
(2) 1x)x(f 3 +=
(3) x22x2)x(f
−−
=
(4) 2x)x(f 2 −= , [ )∞∈ ,0x
(5) 3 3x1)x(f −=
(6) 2xlog)x(f =
(7) )2xlog(1)x(f ++=
(8) x
x
212)x(f+
=
(9) 23)x(f 1x += −
(10) x1e21)x(f −⋅=
R. (1) 3x2)x(f +=
23x)x(f
23y)y(f
23yx
3yx23x2y
11 −=⇒
−=⇒
−=
−=+=
−−
(2) 1x)x(f 3 +=
31313
3
3
1x)x(f1y)y(f1yx
1yx1xy
−=⇒−=⇒−=
−=
+=
−−
68 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(3) x22x2)x(f
−−
=
( )
( )
2x,x22x2)x(f
y22y2)y(f
y22y2x
2y2y2x2y2xyx22x2xyy2
2x2yx2x22x2y
11 −≠++
=⇒++
=⇒++
=
+=+⋅+=+−=−−=⋅−
−−
=
−−
(4) 2x)x(f 2 −= , [ )∞∈ ,0x
2x,2x)x(f2y)y(f
2yx
2yx2xy
11
2
2
−≥+=⇒+=⇒
+=
+=
−=
−−
(5) 3 3x1)x(f −=
3 313 313 3
33
33
3 3
x1)x(fy1)y(fy1x
y1xx1yx1y
−=⇒−=⇒−=
−=
−=
−=
−−
(6) 2xlog)x(f =
x1y1y
y
10
102)x(f102)y(f102x2x10
2xlogy
⋅=⇒⋅=⇒⋅=
=
=
−−
(7) )2xlog(1)x(f ++=
210)x(f210)y(f210x2x10
)2x(log1y)2x(log1y
1x11y11y
1y10
10
−=⇒−=⇒−=
+=
+=−
++=
−−−−−
−
Zbirka zadataka iz Matematike 1 69
(8) x
x
212)x(f+
=
( )
−
=⇒
−
=⇒
−
=
−=
=−⋅
=⋅+
=+⋅+
=
−−
x1xlog)x(f
y1ylog)y(f
y1ylogx
y1y2
yy1222yy2)21(y
212y
21
21
2
x
x
xx
xx
x
x
(9) 23)x(f 1x += −
( )( )( )
( ) ( )2xlog1)x(f2ylog1)y(f
2ylog1x2ylog1x
2ylog3log2y323y
31
31
3
3
31x
3
1x
1x
−+=⇒−+=⇒
−+=
−=−
−=
−=
+=
−−
−
−
−
(10) x1e21)x(f −⋅=
( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )x2ln21)x(fy2ln21)y(f
y2ln21xy2ln1x
x1y2ln
elogy2log
ey2
ey2
e21y
11
2
2
x1e
2e
x12
x1
x1
⋅−=⇒⋅−=⇒
⋅−=−=
−=
=
=
=
⋅=
−−
−
−
−
−
Primjer 6. Odredite )x(f ako je : (1) 3x4)1x2(f 2 −=−
(2) 2x1x
xf =
+
70 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. (1) 3x4)1x2(f 2 −=−
( )
2x2x)x(f
2u2u34
1u2u432
1u43x4)u(f
21ux
1ux21x2u
2
222
2
−+=⇒
−+=−++⋅
=−
+
=−=⇒
+=
+=−=
(2) 2x1x
xf =
+
( )( )
222
x1x)x(f
u1ux)u(f
u1ux
u1uxx1xu
1xxu
−=⇒
−
==⇒
−=
−=−⋅=+⋅
+=
Primjer 7. Pretvorite u eksplicitni oblik )x(fy = implicitno zadane funkcije :
(1) 1ylogxlog =+
(2) xexy = R. (1) 1ylogxlog =+
( )( )
x10y
xy101yxlog
1yxlog
110
=⇒
=
=⋅
=⋅
(2) xexy =
xxlnyxlnxy
xlneln xy
=⇒=
=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 71
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite područje definicije funkcija :
(1)
−
−+
−= 1
1xx2log
x11)x(f
21
(2) 2xxxx69
xlogf(x) 2
2
2 −−+++
=
(3) )1x2xln()x(f 2 +−=
(4) 3 2
2
x91x)x(f
−
+=
(5) 4x)xx2(log)x(f 2
21 +−=
(6) 32
2
xx1x1)x(f −−
+−
=
(7) x311x2log)x(f
−−
=
(8) 4
xx5log)x(f2−
=
(9) 2
32
xx44
xlog3x2x)x(f
+++−−=
(10) 1x1)x(f −−= (11) xlog)x(f
21=
(12) 1x
x3)x9log(
5x)x(f−
+−+
=
(13) 2x1xx3)x(f
2
+−
+−=
(14) x21
2 ex16x3)x(f +−−−=
72 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(15) 3xx21log)x(f
21 +
−=
2. Zadane su funkcije 1xe)x(f −= , )1xln(21)x(g +⋅−= . Odredite kompoziciju ( )( )xgf o .
3. Ako su 3x2)x(f 2 −⋅= i 2x4)x(g +⋅−= , odredite )x)(ff( o , )x)(gg( o , )x)(gf( o ,
)x)(fg( o .
4. Ako su 3x21)x(f 2 −⋅= i
41x
23)x(g +⋅= , odredite ( ) )x(gf o , ( ) )x(fg o , ( ) )x(ff o ,
( ) )x(gg o .
5. Ako su 2x43)x(f −= i
32x
23)x(g −⋅= , odredite ( ) )x(ff o , ( ) )x(gg o , ( ) )x(gf o ,
( ) )x(fg o . 6. Ako su 2x)x(f −= i 3xx)x(g 2 +−= , odredite sva rješenja jednadžbe ( ) ( ) )x(fg)x(gf oo = . 7. Odredite sva rješenja jednadžbe ( )( ) ( )( )xfgxgf oo = ako su 1x2)x(f −= i
1xx2)x(g 2 +−= .
8. Zadane su funkcije 1x3x21)x(f 2 +−⋅= i 3x2)x(g −= . Koliki je zbroj recipročnih
vrijednosti korijena jednadžbe ( ) 0)x(fg =o . 9. Odredite inverznu funkciju funkcije : (1) )1x(log1)x(f 2 +−= (2) )xlog()x(f π+−=
(3) 1)3x(log21)x(f 2 ++⋅−=
(4) xlogxlog)x(f 33 −=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 73
(5) 2x1
2)x(f−
=
(6) x45x2
01.0)x(f−
=
(7) xcos1xcos2)x(f
+−
=
(8) xsin1xsin1)x(f
+−
=
10. Ako je 1x
x2x3
x2f+
=
+ , odredite inverznu funkciju )x(f 1− .
11. Ako je x1
1x2xf =
− , odredite inverznu funkciju )x(f 1− .
12. Dokažite da su funkcije 123)x(f x11 +⋅= − i
−=
1x6log)x(f 22 inverzne.
13. Dokažite da su funkcije 22
221
)x(f 1x
xx
++
=+
i )5x2(log21)x(g 2 −⋅−= inverzne.
14. Dokažite da je funkcija )1x(log2)x(g 2 +−= inverzna funkcija funkcije
124)x(f x −⋅= − .
15. Odredite )x(f ako je 7x2
3x1f
+=
. Koliko je )2(f − ?
16. Odredite )x(f ako je 3x4)1x2(f 2 −=− . Koliki je
23f ?
17. Ako je x1
1x1f
−=
, koliko je
+ x11f ?
74 Zbirka zadataka iz Matematike 1
18. Odredite )x(f ako je 1x1x
2x1x3f
−+
=
+−
.
19. Zadana je funkcija 22
21x
21x)x(f
++
−= . Za koji x je 1)x(f = ?
20. Ako je xcos22
xsin3)x(f ⋅−
π
−⋅= , dokažite da je xcos5)x(f ⋅=−π .
R. 1. (1) ( )1,D −∞−= (2) ( ) ]( [ )+∞∪−−∪−∞−= ,21,33,D (3) ]( [ )+∞∪∞−= ,20,D (4) { }3,3\RD −= (5) ( )2,0D = (6) RD =
(7)
=
52,
31D
(8) [ ]4,1D = (9) ( ) ]( [ )+∞∪−−∪−∞−= ,31,22,D (10) [ ]2,0D = (11) ( ]1,0D = (12) [ ) ( ) ( )9,88,11,5D ∪∪−= (13) [ ) ( ]3,22,3D −∪−−= (14) [ ) ( ]3,00,4D ∪−=
(15)
−=
21,
32D
Zbirka zadataka iz Matematike 1 75
2. ( )( )1xe
1xgf+⋅
=o
3. 15x24x8)x)(ff( 24 +−=o , 6x16)x)(gg( −=o , 5x32x32)x)(gf( 2 +−=o ,
14x8)x)(fg( 2 +−=o
4. 3295x
83x
89)x)(gf( 2 −+=o ,
417x
43)x)(fg( 2 −=o ,
23x
23x
81)x)(ff( 24 +−=o ,
85x
49)x)(gg( +=o
5. 163x
23x)x)(ff( 24 ++−=o ,
35x
49)x)(gg( −=o ,
3611x2x
49)x)(gf( 2 ++−=o ,
2411x
23)x)(fg( 2 +−=o
6. 2x =
7. 23x,
21x 21 ==
8. 6x1
x1
21
−=+
9. (1) ( ) 12xf x11 −= −− (2) ( ) π−= −− x1 10xf (3) ( ) 34xf x11 −= −− (4) ( ) x1 3xf −− = (5) ( ) 2xlog2xf
21
1 +⋅=−
(6) ( ) ( )xlog125xf 1
+⋅=−
76 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(7) ( )
+−
=−
x1x2arccosxf 1
(8) ( )
+−
=−
x1x1arcsinxf 1
10. ( )x2
x2xf 1
+=−
11. ( )x2
1xf 1
−=−
15. 21)2(f,
x72x3)x(f =−
+=
16. ( )4
1323f,2x2xxf 2 =
−+=
17. ( )x1xf 1 −=−
18. ( )2x34xxf−+
=
19. 21x m=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 77
4.2. Limes niza realnih brojeva Primjer 1. Napišite nekoliko prvih članova niza : (a) ( )nn 1a −=
(b) n1an =
(c)
−
=
neparan...n,n11
paran...n,n1
an
(d)
π
⋅=2
nsinan
R. (a) -1,1,-1,1,-1,1,....
(b) ...,n1,...,
41,
31,
21,1
(c) ...,98,
81,
76,
61,
54,
41,
32,
21,0
(d) 1,0,-1,0,1,0,-1,0,.... Primjer 2. Odredite prvih pet članova niza. Da li je niz konvergentan ili divergentan ?
(a) ( )n111a n
n +−+=
(b) 1n21n3an +
+=
(c)
+
−=
neparan...n,n11
paran...n,n11
an
78 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. (a)
( )
( )
( )
( )
( )51
5111a
412
4111a
31
3111a
212
2111a
11111a
55
44
33
22
11
=+−+=
=+−+=
=+−+=
=+−+=
=+−+=
Niz je divergentan i ima dvije točke gomilanja : 0 ... za neparne n ... 0n1lim
n=
∞→
2 ... za parne n ... 2n12lim
n=
+
∞→
(b)
1151
1116
152153a
941
913
142143a
731
710
132133a
521
57
122123a
311
34
112113a
5
4
3
2
1
==+⋅+⋅
=
==+⋅+⋅
=
==+⋅+⋅
=
==+⋅+⋅
=
==+⋅+⋅
=
Niz je konvergentan, 23
0203
n1lim2lim
n1lim3lim
n12
n13
lim1n21n3lim
nn
nn
nn=
++
=+
+=
+
+=
++
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→ .
(c)
511
511a
43
411a
311
311a
21
211a
2111a
5
4
3
2
1
=+=
=−=
=+=
=−=
=+=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 79
Niz je konvergentan i teži prema 1 : za neparne n ... 101n1lim1lim
n11lim
nnn=+=+=
+
∞→∞→∞→
za parne n ... 101n1lim1lim
n11lim
nnn=−=−=
−
∞→∞→∞→
Primjer 3. Odredite limes niza :
(a) ( )
2
2
n n21nlim +
∞→
(b) ( ) ( ) ( )
3n n3n2n1nlim +⋅+⋅+
∞→
(c) ( )n1nlim
n−+
∞→
(d) 1nn2
2nn3lim 23
2
n +−+−
∞→
(e) ( )( )n1nn10lim 2
n−+⋅⋅
∞→
(f) n5
n n11lim
+
∞→
R. (a)
( ) ( )
( )2101
21
n1lim1lim
21
n11lim
21
n1nlim
21
n1nlim
21
n1nlim
21
n21nlim
22
nn
2
n
2lim
n
2
n2
2
n2
2
n
n
=+⋅=
+⋅=
+⋅=
=
+
⋅=
+
⋅=+
⋅=
∞∞
=+
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→
(b)
( ) ( ) ( )
1111n31lim
n21lim
n11lim
n31
n21
n11lim
n3n
n2n
n1nlim
n3n2n1nlim
nnnn
n3n
=⋅⋅=
+⋅
+⋅
+=
+⋅
+⋅
+=
=
+⋅
+⋅
+
=
∞∞
=+⋅+⋅+
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→
80 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(c)
( ) ( ) ( ) ( )
0n1n
1lim
n1nn1nlim
n1nn1nn1nlimn1nlim
n
nnn
=++
=
=++−+
=++++
⋅−+=∞−∞=−+
∞→
∞→∞→∞→
(d)
020
n1
n12lim
n2
n1
n3lim
n1
n12
n2
n1
n3
lim
n1
nn
nn2
n2
nn
nn3
lim1nn2
2nn3lim
3n
32n
3
32
n
33
2
3
3
333
2
n23
2
n==
+−
+−
=+−
+−=
+−
+−=
∞∞
=+−+−
∞→
∞→
∞→∞→∞→
(e)
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
52
1011
110
1n11
1lim10
nn
n1
nn
nn
lim10n1n
nlim10
n1nn1nnlim10
n1nn1nn1nnlim10
n1nnlim10n1nn10lim
2
n
22
2n2n
2
22
n2
22
n
2
n
2
n
==+
⋅=
=++
⋅=
++
⋅=++
⋅=
=++
−+⋅⋅=
++
++⋅−+⋅⋅=
=−+⋅⋅=−+⋅⋅
∞→∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
(f) 5
5n
n
n5
ne
n11lim
n11lim =
+=
+
∞→∞→
ZADACI ZA VJEŽBU Odredite limes niza :
(1) ( ) ( )
( )3
22
n n1n21nn1nna
−⋅−−⋅+−
=
(2) n1nn1nan
++−+
=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 81
(3)
2n
2
2
n 1n2na
++
=
(4) 2n1nan
++
=
(5) n
n
n 352132a
⋅−+⋅
=
(6) 2n1nan
++
=
R.
(1) 21
−
(2) 1− (3) e (4) 1
(5) 52
−
(6) 1 4.3. Neprekidnost i limes funkcija Primjer 1. Izračunajte :
(a) 2
3
x x21x6x4lim
−−
∞→
(b) 1x1x3lim 2x +
−∞→
(c) 1x1xlim 2
3
x +−
∞→
(d)
+
−−∞→ 2x3
x4x9
xlim2
2
3
x
(e) 2x3xlim
2
x ++
∞→
82 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(f) 2x3xlim
2
x ++
−∞→
(g) 1xx
xlim2x ++∞→
(h) 1xx
xlim2x ++−∞→
R.
(a) 22004
2x1
x64
lim
xx2
x1
xx6
xx4
limx21
x6x4lim
3
2
x
3
3
3
33
3
x3
3
x−=
−−
=−
−=
−
−=
∞∞
=−−
∞→∞→∞→
(b) 010
0100
x11
x1
x3
lim
x1
xx
x1
xx3
lim1x1x3lim
2
2
x
22
2
22
x2x==
+−
=+
−=
+
−=
∞∞
=+−
∞→∞→∞→
(c) +∞==+−
=+
−=
+
−=
∞∞
=+−
∞→∞→∞→ 01
0001
x1
x1
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlim
3
3
x
33
2
33
3
x2
3
x
(d) ( )( )
=
+−
−=∞−∞=
+
−− ∞→∞→ 2x3
x2x3
xlim2x3
x4x9
xlim2
22
3
x
2
2
3
x
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
−∞=−
=−+−
=−
+−=
−
+−
=
∞∞
=−+−
=
=
+⋅−
+−=
+⋅−−⋅−
=
+
−+⋅−
=
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
02
0002
x4
x9
x22
lim
x4
xx9
xx2
xx2
lim4x9x2x2lim
2x32x3x2x2lim
2x32x32x3xxlim
2x3x
2x32x3xlim
3
x
33
2
3
2
3
3
x2
23
x
23
x
23
x
23
x
(e) 111
0101
x21
x31
lim
x2
xx
x3
xx
lim2x3xlim
2
x
22
2
x
2
x==
++
=+
+=
+
+=
∞∞
=++
∞→∞→∞→
(f) 11
10101
t21
t31
lim
t2
tt
t3
tt
lim2t3tlim
txt
x
2x3xlim
2
t
22
2
t
2
t
2
x−=
−=
+−+
=+−
+=
+−
+=
+−+
=+∞→−=−∞→
=++
∞→∞→∞→−∞→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 83
(g) 21
111
0111
x111
1lim
x1
xx
xx
xx
lim1xx
xlim
2
x
22
2x2x=
+=
++=
++=
++
=
∞∞
=++ ∞→∞→∞→
(h)
−∞=−
=+−
−=
++−−
=++−
−=
=
++−
−
=++−
−=
+∞→−=−∞→
=++
∞→
∞→∞→−∞→
01
111
0111
t111
1lim
t1
tt
tt
tt
lim1tt
tlimt
xtx
1xxxlim
2
t
22
2t2t2x
Primjer 2. Izračunajte :
(a) 8x6x3lim 32x +
+−→
(b) 4x4x
8xlim 2
3
2x +−−
→
(c) 49x
3x2lim 27x −−−
→
(d) 1x
2xxlim 3
2
1x +−−
−→
(e) 1x1xlim
31x −−
→
R. (a)
( ) ( )( ) ( )
41
123
4443
4x2x3lim
4x2x2x2x3lim
2x2x3lim
00
8x6x3lim 22x22x332x32x
==++
=
=+−
==+−⋅+
+⋅=
++⋅
=
=
++
−→−→−→−→
84 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(b) ( )
( ) ( )( ) 2x
4x2xlim2x
4x2x2xlim2x2xlim
00
4x4x8xlim
2
2x2
2
2x2
33
2x2
3
2x −++
=−
++⋅−=
−−
=
=
+−−
→→→→
⇒
+∞=+
=−+
=−
++
−∞=−
=−−
=−
++
+→
−→
012
20212
2x4x2xlim
012
20212
2x4x2xlim
2
02x
2
02x
(c)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 561
22141
3x27x1lim
3x27x7xx7lim
3x27x7x3x4lim
3x27x7x3x2lim
3x23x2
7x3x2lim
7x3x2lim
00
49x3x2lim
7x7x
7x
22
7x
227x227x27x
−=+⋅
−=
−+⋅+−
=−+⋅+⋅−
−=
=−+⋅+⋅−
+−=
−+⋅+⋅−−−
=
=−+−+
⋅−−−
=−−−
=
=
−−−
→→
→→
→→→
(d) ( ) ( )
( ) ( ) 1111
211xx
2xlim1xx1x
2x1xlim00
1x2xxlim 21x21x3
2
1x−=
++−−
=+−
−=
+−⋅+−⋅+
=
=
+−−
−→−→−→
(e)
( ) ( )( ) ( )
23
11111
1t1ttlim
1t1t1tt1tlim
1t1tlim
1t1tlim
1t1x
tx
00
1x1xlim
2
1t
2
1t2
3
1t3 6
6
1t
6
31x
=+++
=+++
=
=+⋅−++⋅−
=−−
=−
−=
→→=
=
=
−
−
→
→→→→
Primjer 3. Izračunajte :
(a) x
x4sinlim0x→
(b)
→
5xsin
3xsin
lim0x
(c) x
tgxlim0x→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 85
(d) 20x xxcos1lim −
→
(e) 22x
x3sinlim0x −+→
R.
(a) 4414x4
x4sinlim00
xx4sinlim
0x40x=⋅=⋅=
=
→→
(b) 35
x35xlim
5x3x
lim
5xlim
5x
5xsin
lim
3xlim
3x
3xsin
lim
5x
5x
5xsin
3x
3x
3xsin
lim
5xsin
3xsin
lim0x0x
0x05x
0x03x
0x0x=
⋅⋅
==
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
→→
→→
→→
→→
(c) 1111
xcos1lim
xxsinlim
xcosxsin
x1lim
00
xtgxlim
0x0x0x0x=⋅=⋅=⋅=
=
→→→→
(d)
( )
( )
21
1111
xcos11lim
xxsinlim
xcos11lim
xxsinlim
xcos1xxsinlim
xcos1xxcos1lim
xcos1xcos1
xxcos1lim
00
xxcos1lim
0x
2
0x0x2
2
0x2
2
0x
2
2
0x20x20x
=+
⋅=
=+
⋅
=
+⋅=
+⋅=
=+⋅
−=
++
⋅−
=
=
−
→→→→→
→→→
(e)
( )
( )( )
( ) ( ) 26223122x3limx3
x3sinlim22x3x3
x3sinlim
x22xx3sinlim
22x22xx3sinlim
22x22x
22xx3sinlim
00
22xx3sinlim
0x0x30x
0x0x
0x0x
=⋅⋅=++⋅⋅=++⋅⋅=
=++⋅
=−+
++⋅=
=++++
⋅−+
=
=
−+
→→→
→→
→→
86 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 4. Izračunajte :
(a) x
x x51lim
−
∞→
(b)
2x
2
2
x 1x1xlim
−+
∞→
(c) x
0xxsin1lim +
→
R. (a)
( ) ( ) ( ) ( ) 5)5lim(
t1
0t
)5(t1
0tt5
0t
x
xet1limt1limt1lim
t5x
0tx
x5t
1x51lim
0t −−
→
−⋅
→
−
→
∞
∞→=
+=+=+=
−=
→∞→
−=
==
−
→
(b)
( )
22
2z
zz
z2
z
1z2
z
1z2
z
1z2
z
t
t
t
t
t
t
2x
2
2
x
e1e1z11lim
z11lim
z11lim
z11
z11lim
z11lim
z221lim
1z2tzt
z21t
1t21lim
1t2
1t1tlim
1t1tlim
tx
tx1
1x1xlim
2
=⋅=⋅
+=
+⋅
+=
=
+⋅
+=
+=
+=
+=∞→∞→=−
=
=
−+=
−+
−−
=
−+
=∞→∞→
===
−+
∞→∞→∞→
∞→
+
∞→
+
∞→
∞→∞→∞→
∞
∞→
(c)
( ) ( ) ( )
( ) eexsin1lim
xsin1lim0xsin
0xxsin1lim1xsin1lim
1xxsinlim
xsin1
0xsin
xxsin
xsin1
0xsin0x
x1
0x
x
0x
0x
==
+=
=
+=
→→
=+==+
→
→→→
∞
→
→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 87
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte :
(1) 3x2x
1xlim 21x −+−
→
(2) 1x5x6
1x8lim 2
3
21x +−
−→
(3) 8x
2x3xlim 3
2
2x −+−
→
(4) 2xx
8xlim 2
3
2x −++
−→
2. Izračunajte :
(1) ( )x2xx4lim 2
x−+
∞→
(2) )xxx(lim 2
x−+
∞→
(3) ( )1xxxlim 2
x+−−
∞→
(4) ( )3x7x1x2xlim 22
x+−−−−
∞→
3. Izračunajte :
(1)
−−
−→ 31x x13
x11lim
(2)
+−
−−→ x31
x96lim 23x
4. Izračunajte :
(1) 2x
3x21lim4x −
−+→
(2) 13x4
x2xlim1x −−
−−→
88 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5. Izračunajte :
(1) 215x
1xlim41x −+
−→
(2) 2x226x3lim
3
1x −+−
→
(3) 1xx1lim
4
3
1x −−
→
6. Izračunajte :
(1) 20x xxsinx11lim ⋅+−
→
(2) x
xsin1xsin1lim0x
+−−→
(3) 416x
x2sinlim0x −+→
(4) xsinxx2cos1lim
0x ⋅−
→
(5) x2sin
tgxlimx π→
(6) xsinx2xsinxlim
x ++
∞→
(7) 31x x1)1xsin(lim
++
−→
7. Izračunajte :
(1) 2x
x x3xlim
+
∞→
(2) 1x
x 2x23x2lim
+
∞→
++
(3) 1x
x 1x2xlim
+
∞→
++
Zbirka zadataka iz Matematike 1 89
(4) ( )ctgx
0xtgx1lim +
→
R. 1.
(1) 41
(2) 6
(3) 121
(4) 4− 2.
(1) 41
(2) 21
(3) 21
(4) 25
3. (1) 1−
(2) 61
4.
(1) 34
(2) 43
5. (1) 32
(2) 541
−
(3) 34
−
6.
(1) 21
−
90 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(2) 1− (3) 16 (4) 2
(5) 21
(6) 21
(7) 31
7. (1) ee (2) e (3) e (4) e
Zbirka zadataka iz Matematike 1 91
5. DIFERENCIJALNI RAČUN 5.1. Derivacije nekih osnovnih funkcija Primjer 1. Po definiciji derivacije dokažite : (1) ( ) 0xfC)x(f =′⇒=
(2) ( ) x2xfx)x(f 2 =′⇒=
(3) ( ) 23 x3xfx)x(f =′⇒=
(4) ( ) 1nn xnxfx)x(f −⋅=′⇒=
(5) ( ) 2x1xf
x1)x(f −=′⇒=
(6) ( )x2
1xfx)x(f =′⇒=
(7) ( ) xcosxfxsin)x(f =′⇒=
(8) ( ) xsinxfxcos)x(f −=′⇒=
(9) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=
R. (1) ( ) 0xfC)x(f =′⇒=
0xCClim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x0x=
∆−
=∆
−∆+=′
→∆→∆
(2) ( ) x2xfx)x(f 2 =′⇒=
( ) ( ) x2xx2limx
xx2xlim
xx)x(xx2xlim
xx)xx(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x0x
222
0x
22
0x0x
=∆+=∆
∆+⋅∆=
=∆
−∆+∆⋅⋅+=
∆−∆+
=∆
−∆+=′
→∆→∆
→∆→∆→∆
(3) ( ) 23 x3xfx)x(f =′⇒=
( ) ( ) 222
0x
22
0x
33223
0x
33
0x0x
x3)x(xx3x3limx
)x(xx3x3xlim
xx)x()x(x3xx3xlim
xx)xx(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
=∆+∆⋅+=∆
∆+∆⋅+⋅∆=
=∆
−∆+∆⋅+∆⋅+=
∆−∆+
=∆
−∆+=′
→∆→∆
→∆→∆→∆
92 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(4) ( ) 1nn xnxfx)x(f −⋅=′⇒= koristeći binomnu formulu dobivamo :
( ) ( ) ( ) ( ) nn1n22n1nn
nn
xxxxn...xx21
1nnxxnx
x)xx()x(f)xx(f
−∆+∆⋅⋅++∆⋅⋅⋅−⋅
+∆⋅⋅+=
=−∆+=−∆+
−−−
( ) ( ) ( ) ( ) 1n2n2n1n xxxn...xx
211nnxn
x)x(f)xx(f −−−− ∆+∆⋅⋅++∆⋅⋅
⋅−⋅
+⋅=∆
−∆+⇒
1n
0xxn
x)x(f)xx(flim)x(f −
→∆⋅=
∆−∆+
=′⇒
(5) ( ) 2x1xf
x1)x(f −=′⇒=
( )( ) ( )
( ) 20x
0x0x0x0x
x1
xxx1lim
xxxxxlim
xxxxxxxlim
xx1
xx1
limx
)x(f)xx(flim)x(f
−=∆+⋅
−=
=⋅∆+⋅∆
∆−=
⋅∆+⋅∆∆+−
=∆
−∆+=
∆−∆+
=′
→∆
→∆→∆→∆→∆
(6) ( )x2
1xfx)x(f =′⇒=
( )( ) ( ) x2
1xxxx
xlimxxxx
xxxlim
xxxxxx
xxxxlim
xxxxlim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x0x
0x0x0x
=+∆+⋅∆
∆=
+∆+⋅∆−∆+
=
=+∆++∆+
⋅∆
−∆+=
∆−∆+
=∆
−∆+=′
→∆→∆
→∆→∆→∆
(7) ( ) xcosxfxsin)x(f =′⇒=
( ) ( )
xcosxcos12xxcoslim
2x2xsin
lim2xxcos
2x2xsin
lim
x2xsin
2xxcos2
limx
2xxxsin
2xxxcos2
lim
xxsin)xxsin(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x02x0x
0x0x
0x0x
=⋅=
∆
+⋅
∆
∆
=
∆
+⋅∆
∆
=
=∆
∆⋅
∆
+⋅=
∆
−∆+
⋅
+∆+
⋅=
=∆
−∆+=
∆−∆+
=′
→∆→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆
Zbirka zadataka iz Matematike 1 93
(8) ( ) xsinxfxcos)x(f −=′⇒=
( ) ( )
xsinxsin12xxsinlim
2x2xsin
lim2xxsin
2x2xsin
lim
x2xsin
2xxsin2
limx
2xxxsin
2xxxsin2
lim
xxcos)xxcos(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x02x0x
0x0x
0x0x
−=⋅−=
∆
+⋅
∆
∆
−=
∆
+⋅∆
∆
−=
=∆
∆⋅
∆
+⋅−=
∆
−∆+
⋅
+∆+
⋅−=
=∆
−∆+=
∆−∆+
=′
→∆→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆
(9) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=
( )
alnaeln
1alna
)1t(limln
1alna
)1tln(lim
1alna)1tln(
1limalna)1tln(
t1
1limalna
)1tln(tlimalna
aln)1tln(
tlima0t0x
)1tln(alnxln/1tat1a
x1alima
x1aalim
xaalim
x)x(f)xx(flim)x(f
xx
t1
0t
x
t1
0t
x
t10t
x
0t
x
0t
x
0t
x
xx
x
0x
xxx
0x
xxx
0x0x
⋅=⋅⋅=
+
⋅⋅=
=
+
⋅⋅=
+
⋅⋅=
+⋅⋅⋅=
=
+
⋅⋅=
+⋅=
→⇒→∆
+=⋅∆+=⇒=−
=
=∆−
⋅=∆
−⋅=
∆−
=∆
−∆+=′
→
→
→→
→→
∆∆
∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆→∆
Specijalno, ( ) xxx eelnexfe)x(f =⋅=′⇒= Primjer 2. Po definiciji derivacije funkcije nađite derivacije slijedecih funkcija : (1) 6x4x)x(f 2 +−=
(2) x35)x(f −=
(3) 2x1)x(f −=
(4) x5cos)x(f =
94 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. (1) 6x4x)x(f 2 +−=
( ) ( )
( )
( ) 4x24xx2limx
4xx2xlimx
6x4x6x4x4)x(xx2xlim
x6x4x6)xx(4)xx(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x
0x
222
0x
22
0x0x
−=−∆+=
=∆
−∆+⋅∆=
∆−+−+∆⋅−−∆+∆⋅⋅+
=
=∆
+−−+∆+⋅−∆+=
∆−∆+
=′
→∆
→∆→∆
→∆→∆
(2) x35)x(f −=
( )=
∆−−∆+⋅−
=∆
−∆+=′
→∆→∆ xx35xx35
limx
)x(f)xx(flim)x(f0x0x
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) x3523
x35xx353lim
x35xx35xx3lim
x35xx35xx35xx35lim
x35xx35x35xx35
xx35xx35
lim
0x
0x0x
0x
−⋅−
=−+∆+⋅−
−=
=−+∆+⋅−⋅∆
∆⋅−=
−+∆+⋅−⋅∆−−∆+⋅−
=
=−+∆+⋅−
−+∆+⋅−⋅
∆−−∆+⋅−
=
→∆
→∆→∆
→∆
(3) 2x1)x(f −=
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( ) 22220x220x
22
222
0x22
22
0x
22
2222
0x
22
0x0x
x1x
x12x2
x1xx1
xx2limx1xx1x
xx2xlim
x1xx1x
x1xxx2x1limx1xx1x
x1xx1lim
x1xx1
x1xx1x
x1xx1lim
xx1xx1
limx
)x(f)xx(flim)x(f
−
−=
−
−=
−+∆+−
∆−−=
−+∆+−⋅∆
∆−−⋅∆=
=
−+∆+−⋅∆
+−∆−∆⋅−−=
−+∆+−⋅∆
−−∆+−=
=−+∆+−
−+∆+−⋅
∆−−∆+−
=
=∆
−−∆+−=
∆−∆+
=′
→∆→∆
→∆→∆
→∆
→∆→∆
(4) x5cos)x(f =
( )
( ) ( )=
∆
∆⋅⋅
∆⋅+⋅−
=∆
−∆+⋅
⋅
+∆+⋅
⋅−=
=∆
−∆+⋅=
∆−∆+
=′
→∆→∆
→∆→∆
x
x25sinx
25x5sin2
limx
2x5xx5sin
2x5xx5sin2
lim
xx5cos)xx(5coslim
x)x(f)xx(flim)x(f
0x0x
0x0x
Zbirka zadataka iz Matematike 1 95
( ) x5sin51x5sin5
x25
x25sin
limx25x5sinlim5
25
x25
x25sin
x25x5sin2lim
0x250x0x
⋅−=⋅⋅−=
=
∆⋅
∆⋅
⋅
∆⋅+−=
⋅∆⋅
∆⋅
⋅
∆⋅+⋅−=
→∆⋅→∆→∆
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Po definiciji derivacije nađite derivaciju funkcije :
(1) x2
2)x(f =
(2) 3x21)x(f −=
(3) 2x3)x(f 3 −=
(4) x41
2)x(f−
=
(5) 2x3x4)x(f 2 +−−=
(6) ( )23x2)x(f −=
R.
(1) x2x
1)x(f −=′
(2) 3
2
x21x3)x(f
−
−=′
(3) 2x32
x9)x(f3
2
−=′
(4) ( )3x41
4)x(f−
=′
(5) 3x8)x(f −−=′ (6) 12x8)x(f −=′
96 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5.2. Osnovna pravila deriviranja Primjer 1. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite :
(1) ( )xcos
1xftgx)x(f 2=′⇒=
(2) ( )xsin
1xfctgx)x(f 2−=′⇒=
R.
(1) ( )xcos
1xftgx)x(f 2=′⇒=
( ) ( )( )
( )
xcos1
xcosxsinxcos
xcosxsinxsinxcosxcos
xcosxcosxsinxcosxsin
xcosxsin)x(f
22
22
22
=+
=
=−⋅−⋅
=′⋅−⋅′
=′
=′
(2) ( )xsin
1xfctgx)x(f 2−=′⇒=
( ) ( )( )
( )
( )xsin
1xsin
xcosxsinxsin
xcosxsin
xsinxcosxcosxsinxsin
xsinxsinxcosxsinxcos
xsinxcos)x(f
22
22
2
22
22
−=+−
=−−
=
=⋅−⋅−
=′⋅−⋅′
=′
=′
Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, nađite derivacije funkcija :
(1) x1xx5)x(f 3 23 −+=
(2) xcosxsinxcosxsin)x(f
−+
=
(3) ( ) xx e1x23)x(f ⋅−+⋅=
(4) x
4
ex)x(f =
R.
(1) ( ) 232111
32
133 23
x1
x1
32x15x1x
32x35
x1xx5)x(f +⋅+=⋅−−⋅+⋅⋅=
′
−+=′ −−−−
Zbirka zadataka iz Matematike 1 97
(2)
( ) ( ) ( ) ( )( )
=−
′−⋅+−−⋅′+=
′
−+
=′2xcosxsin
xcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin)x(f
( ) ( ) ( ) ( )( )
=−
+⋅+−−⋅−= 2xcosxsin
xsinxcosxcosxsinxcosxsinxsinxcos
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )22
2
22
2
22
2
22
xcosxsin2
xcosxsin12
xcosxsinxcosxsin2
xcosxsinxcos2xsin2
xcosxsinxcosxsinxcosxsin
−−
=−⋅−
=
=−
+⋅−=
−⋅−⋅−
=−
+−−−=
(3) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxxx ex2ln23e1xe12ln23e1x23)x(f ⋅+⋅⋅=⋅−+⋅+⋅⋅=′
⋅−+⋅=′
(4) ( ) ( )( )
( ) ( )x
3
x2
x3
x2
x4x3
2x
x4x4
x
4
ex4x
ex4ex
eexex4
eexex
ex)x(f −⋅
=−⋅⋅
=⋅−⋅
=′
⋅−⋅′
=′
=′
5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije Primjer 1.
Po definiciji derivacije dokažite : ( )x1xfxln)x(f =′⇒=
R.
( ) ( )
x11
x1eln
x1
u1limlnx1u1lnlim
x1
0u0xxxu
xx1lnlim
x1
xx1ln
xx
x1lim
xx1ln
x1lim
xxxln
x1lim
xx
xxlnlim
x)xln()xxln(lim
x)x(f)xx(flim)x(f
u1
0uu1
0u
xx
0x
0x0x0x
0x0x0x
=⋅=⋅=
=
+⋅=+⋅=
→⇒→∆
∆=
=
∆+⋅=
=
∆+⋅
∆⋅=
∆+⋅
∆=
∆+
⋅∆
=
=∆
∆+
=∆
−∆+=
∆−∆+
=′
→→
∆
→∆
→∆→∆→∆
→∆→∆→∆
Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite :
(1) ( )xaln
1xfxlog)x(f a ⋅=′⇒=
98 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(2) ( ) xx exfe)x(f =′⇒= (3) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=
(4) ( )2x1
1xfxarcsin)x(f−
=′⇒=
(5) ( )2x1
1xfxarccos)x(f−
−=′⇒=
(6) ( ) 2x11xfarctgx)x(f+
=′⇒=
(7) ( ) 2x11xfarcctgx)x(f+
−=′⇒=
R.
(1) ( )xaln
1xfxlog)x(f a ⋅=′⇒=
Iz alnxlnxloga = slijedi :
( ) ( )xaln
1x1
aln1xln
aln1
alnxlnxloga ⋅
=⋅=′⋅=′
=′
(2) ( ) xx exfe)x(f =′⇒=
ylnxey x =⇔= ( )( )
xx ey
y11
yln
1e ===′=′
⇒
(3) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=
alnxx eay ⋅== ( ) ( ) ( ) alnaalnealnxeea xalnxalnxalnxx ⋅=⋅=′⋅⋅=′
=′
⇒ ⋅⋅⋅
(4) ( )2x1
1xfxarcsin)x(f−
=′⇒=
ysinxxarcsiny =⇔=
( )( ) 22 x1
1ysin1
1ycos
1
ysin
1xarcsin−
=−
==′=′
π
≤≤π
−≤≤−2
y2
,1x1
(5) ( )2x1
1xfxarccos)x(f−
−=′⇒=
ycosxxarccosy =⇔=
( )( ) 22 x1
1ycos1
1ysin
1
ycos
1xarccos−
−=−
−=−
=′=′ ( )π≤≤≤≤− y0,1x1
Zbirka zadataka iz Matematike 1 99
(6) ( ) 2x11xfarctgx)x(f+
=′⇒=
tgyxarctgxy =⇔=
( )( ) 22
2
2x1
1ytg1
1ycos
ycos11
tgy
1arctgx+
=+
===′=′
(7) ( ) 2x11xfarcctgx)x(f+
−=′⇒=
ctgyxarcctgxy =⇔=
( )( ) 22
2
2x1
1yctg1
1ysin
ysin1
1
ctgy
1arcctgx+
−=+
−=−=−
=′=′
Primjer 3. Nađite derivacije složenih funkcija :
(1) ( )x2sin)x(f 3=
(2) ( )x2x3sin)x(f 4 +=
(3) ( )( )x2x3sinln)x(f 4 +=
(4) ( )( )x2x3sinln)x(f 4 +=
(5) ( )xsinln)x(f =
(6) xe)x(f −=
(7) ( )x2arctg)x(f =
(8) xcos4)x(f =
(9) α−= tgtgx)x(f
(10) ( ) ( )arctgxlnxlnarctg)x(f +=
R. (1)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2cosx2sin62x2cosx2sin3x2sin)x(f 223 ⋅⋅=⋅⋅⋅=′
=′ (2)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2x3cos2x122x12x2x3cosx2x3sin)x(f 43344 +⋅+=+⋅+=′
+=′
100 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(3)
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x2x3ctg2x12
2x12x2x3cosx2x3sin
1x2x3sinln)x(f
43
344
4
+⋅+=
=+⋅+⋅+
=′
+=′
(4)
( )( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x2x3sinln
x2x3ctg1x62x12x2x3cosx2x3sin
1x2x3sinln
121
x2x3sinln)x(f
4
4334
44
4
+
+⋅+=+⋅+⋅
+⋅
+⋅=
=′
+=′
(5)
( )( ) ctgx21
xsinxcos
21xcos
xsin1
21
xsin1xsinln)x(f ⋅=⋅=⋅⋅⋅=
′=′
(6)
( ) ( ) xxx e)1(ee)x(f −−− −=−⋅=′
=′ (7)
( )( )( ) 22 x41
22x21
1x2arctg)x(f+
=⋅+
=′=′
(8)
( ) ( ) xsin44lnxsin4ln44)x(f xcosxcosxcos ⋅⋅−=−⋅⋅=′
=′ (9)
( )xcos
1tgx1
21tgtgx)x(f 2⋅⋅=
′α−=′
(10)
( ) ( )( ) 22 x11
arctgx1
x1
xln11arctgxlnxlnarctg)x(f
+⋅+⋅
+=′+=′
Zbirka zadataka iz Matematike 1 101
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite derivacije funkcija :
(1) 33 2 xxb
xa)x(f
⋅−=
(2) xcosx)x(f 2 ⋅=
(3) ( )
2xarctgxx1)x(f
2 −⋅+=
(4) xlogxlnxlogaln)x(f a ⋅−⋅=
(5) ( )ctgxln)x(f =
(6) ( )xsinln)x(f =
(7) ( )1xxln)x(f 2 ++=
(8) ( ) 2xx21xarcsin
21x)x(f −⋅+⋅
−=
2. Zadana je funkcija 1x
1x)x(f−−
= . Dokažite da je njena derivacija ( )1xx4
1(x)f+⋅
=′ .
3. Zadana je funkcija x1x1xxln)x(f
2
2
−+
++= . Dokažite da je njena derivacija
1x2)x(f2 +
=′ .
4. Ako je 2
2
e x1x1log)x(f 2
+−
= dokažite da je 1x
x)x(f 4 −=′ .
5. Ako je xtgxxtg31)x(F 3 +−= , )xsin(ln)x(f = , pokažite da je )1(f)
4(F ′=π′ .
6. Zadana je funkcija ctgxtgxctgxtgx)x(f
+−
= . Dokažite da je njena 1. derivacija x2sin2)x(f ⋅=′ .
7. Zadana je funkcija x2sinxsin2x2sinxsin2)x(f
−+
= . Dokažite da je njena derivacija
( )2cosx-12sinx-(x)f =′ .
8. Dokažite da je derivacija funkcije x2cos1x2cos1)x(f
−+
= jednaka xsin
xcos2)x(f 3
⋅−=′ .
9. Zadana je funkcija xsin
xcosxsinf(x) 2
44 −= . Dokažite da je njena derivacija
xsinctgx2(x)f 2
⋅=′ .
102 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. 1.
(1) 323 2 xx3
b4xx3
a2)x(f⋅⋅
+⋅⋅
−=′
(2) xsinxxcosx2)x(f 2 ⋅−⋅=′ (3) arctgxx)x(f ⋅=′
(4) ( )xlog21x1)x(f −⋅=′
(5) xcosxsin
1)x(f⋅
−=′
(6) ctgx21)x(f ⋅=′
(7) 1x
1)x(f2 +
=′
(8) ( )xarcsin)x(f =′ 5.4. Logaritamsko deriviranje Primjer 1. Nađite derivacije funkcija : (1) xx)x(f =
(2) ( )xxln)x(f =
(3) ( ) xsinx xcosx)x(f +=
(4) ( ) ( )3 23 1x2x
3x)x(f+⋅+
+=
R. (1) xx)x(f =
xxy = Funkciju prvo logaritmiramo :
xlnxyln ⋅= Deriviranjem jednadžbe po x, smatrajući da je y funkcija od x, dobivamo :
( )( ) ( )1xlnx)x(f1xlnxy
1xlnyy
y/x1xxln1y
y1
xx +⋅=′⇒+⋅=′
+⋅=′
⋅⋅+⋅=′⋅
Zbirka zadataka iz Matematike 1 103
(2) ( )xxln)x(f =
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅=′⇒
+⋅=′
+⋅=′
⋅⋅⋅+⋅=′⋅
⋅=
=
xln1xlnlnxln)x(f
xln1xlnlnxlny
xln1xlnlnyy
y/x1
xln1xxlnln1y
y1
xlnlnxyln
xlny
xx
x
(3) ( ) xsinx xcosx)x(f += )x(v)x(u)x(f)x(v)x(u)x(f ′+′=′⇒+=
+⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅=′
+⋅⋅⋅=′
⋅⋅+⋅⋅=′⋅
⋅=
=
1xln21
xxx
xxxln
xx
21xu
xxxln
xx
21uu
u/x1xxln
x1
21u
u1
xlnxuln
xu
xx
x
( )( )
( ) ( )
( )
−⋅⋅=′
⋅−⋅⋅+⋅=′⋅
⋅=
=
xcosxsinxcoslnxcosvv
v/xsinxcos
1xsinxcoslnxcosvv1
xcoslnxsinvln
xcosv
2
xsin
( ) ( )
−⋅⋅=′
xcosxsinxcoslnxcosxcosv
2xsin
( ) ( )
−⋅⋅+
+⋅⋅⋅=′+′=′⇒
xcosxsinxcoslnxcosxcos1xln
21
xxx)x(v)x(u)x(f
2xsinx
104 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(4) ( ) ( )3 23 1x2x
3x)x(f+⋅+
+=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+⋅−
+⋅−
+⋅⋅
+⋅+
+=′⇒
+⋅−
+⋅−
+⋅⋅=′
⋅+
⋅−+
⋅−+
⋅=′⋅
+⋅−+⋅−+⋅=
+⋅+
+=
1x1
32
2x1
23
3x1
21
1x2x
3x)x(f
1x1
32
2x1
23
3x1
21yy
y/1x
132
2x1
23
3x1
21y
y1
1xln322xln
233xln
21yln
1x2x
3xy
3 23
3 23
ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) tgxxsin1x2 3xx)x(f ++= +
(2) x x)x(f =
(3) 2xx)x(f =
(4) x
x11)x(f
+=
(5) ( )xarctgx)x(f =
(6) xx2 xx)x(f += . R.
(1) xcos
33lnx
xsinxlnxcosxx
1x2xln2x)x(f 2
tgxxsin1x2 ⋅
+
+⋅⋅+
+
+⋅=′ +
(2) ( )xln1x)x(f2
x1
−⋅=′−
(3) ( )xlnx2xx)x(f2x ⋅+⋅=′
(4)
+
−
+⋅
+=′
x11
x11ln
x11)x(f
x
(5) ( ) ( ) ( )
⋅+
+⋅=′arctgxx1
xarctgxlnarctgx)x(f 2x
(6) ( ) x22
x2 xxxln
x1x2xln2)x(f ⋅
−+⋅+=′
Zbirka zadataka iz Matematike 1 105
5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije implicitno zadanih funkcija : (1) 3x4yyx2x 223 +=++ (2) yxey += (3) yx yx = R. (1)
4yy2yx2yx22x33x4yyx2x
22
223
=′⋅+′⋅+⋅⋅+
+=++
( )
y2x2xy4x34y
xy4x34y2x2y
2
2
22
+−−
=′
−−=+⋅′
(2)
yxey +=
( )
1yx1
1e1y
11eyy1ye
y
y
y
−+=
−=′
=−⋅′
′+=′⋅
(3)
( )
1yln1xlny
1ylny1xln
yy1yylny
x1xxln1
ylnyxlnxyx yx
++
=′
+⋅′=+
′⋅⋅+⋅′=⋅+⋅
⋅=⋅
=
Primjer 2. Nađite )x(y′ u točki ( )1,0T = funkcije 1xy eey +=⋅ . R.
106 Zbirka zadataka iz Matematike 1
1xyy
1xy
eyeyey1
eey+
+
=′⋅⋅+⋅′⋅
=⋅
( )
( )21
e2e
e1eeTy
eyeey
eeyey
11
10
yy
1x
1xyy
==⋅+
=′
⋅+=′
=⋅+⋅′
+
+
+
Ako se traži samo vrijednost derivacije u nekoj točki, možemo koordinate točke uvrstiti odmah u nesređeni oblik.
( )
21
e2ey
eeeyeye1ey
1y,0x/eyeyey1
eey
1011
1xyy
1xy
==′
=+⋅′=′⋅⋅+⋅′
===′⋅⋅+⋅′⋅
=⋅
+
+
+
ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) x2yxy2x 22 =−+ u točki T=(2,4)
(2) ( )22 yxlnxyarctg +=
(3) 1by
ax
2
2
2
2
=+
(4) 3 23 23 2 ayx =+
(5) xy2yx −=++
(6) eyxex 2y =⋅+⋅ (7) 0ysinxycosy2cos =⋅+− R.
(1) yx
yx1y−−−
=′ , 25y
T=′
(2) yxyxy
−+
=′
(3) yx
aby 2
2
⋅−=′
Zbirka zadataka iz Matematike 1 107
(4)
−=′ 3
yxy
(5) xy2xxy2y
y+
+−=′
(6) 2y
y
xexxy2ey+⋅
+−=′
(7) ycosxysiny2sin2
ysiny⋅−−⋅
=′
5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije parametarski zadanih funkcija : (1)
−=
−=
t23ty
1tx3
2
(2)
=
= −
t2
t
ey
ex
R. (1)
−=
−=
t23ty
1tx3
2
2t23t3
dtdy
t2dtdx
22
−=−=
=
t22t
dtdxdtdy
dxdy)x(y
2 −===′
−=′
−=⇒
t22ty
1tx2
2
(2)
=
= −
t2
t
ey
ex
108 Zbirka zadataka iz Matematike 1
2edtdy
)1(edtdx
t2
t
⋅=
−⋅= −
t3t
t2
e2ee2
dtdxdtdy
dxdy)x(y ⋅−=
−===′
−
⋅−=′
=⇒
−
t3
t
e2y
ex
Primjer 2.
Nađite )0x(y =′ za funkciju :
=
⋅=
ttlny
tlntx
R.
1t0tln,0t0tlnt0x =⇒=≠⇒=⋅⇒=
22 ttln1
t
1tlntt1
dtdy
1tlnt1ttln1
dtdx
−=
⋅−⋅=
+=⋅+⋅=
( )1tlnttln1
1tlnt
tln1
dtdxdtdy
dxdy)x(y 2
2
+⋅−
=+
−
===′
( )
+⋅−
=′
⋅=
⇒
1tlnttln1y
tlntx
2
( ) ( ) ( ) 1101
0111ln1
1ln11t,0xy 2 =+⋅
−=
+⋅−
===′
Primjer 3.
Nađite )0x(y =′ za funkciju :
⋅=
⋅=
tsinbytcosax
R.
2t0tcos,0a0tcosa0x π=⇒=≠⇒=⋅⇒=
( )
tcosbdtdy
tsinatsinadtdx
⋅=
⋅−=−⋅=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 109
ctgtab
tsinatcosb
dtdxdtdy
dxdy)x(y ⋅−=
⋅−⋅
===′
⋅−=′
⋅=⇒
ctgtaby
tcosax
00ab
2ctg
ab
2t,0xy =⋅−=
π⋅−=
π
==′
ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1)
−=
−=
1t5y4tx
(2)
( )
−=
+=
arctgttyt1lnx 2
(3)
( )( )
−⋅=
−⋅=
tcos1ay
tsintax
(4)
=
=
tgtytcos
1x
R. (1)
=′−=
5y4tx
(2)
( )
=′
+=
2ty
t1lnx 2
(3)
( )
−=′
−⋅=
tcos1tsiny
tsintax
110 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(4)
=′
=
tsin1y
tcos1x
5.7. Derivacije višeg reda Primjer 1. Za zadane funkcije odredite drugu derivaciju :
(1)
−+
=x1x1ln)x(f
(2) xsinxcosxsinxcos)x(f
+−
=
(3) xx
x2x2
eeee)x(f−
−
+−
=
R.
(1)
−+
=x1x1ln)x(f
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 22
22
x11
x1x11
x12
x1x1
21
x1x1x1
x1x1
21
x1x1
x11x1x11
x1x1
121
x1x1
1)x(f
−=
−⋅+=
−⋅
+−
⋅=
=−
++−⋅
+−
⋅⋅+−
=−
−⋅+−−⋅⋅
−+
⋅⋅
−+
=′
( )( )
( )2222 x1x2x2
x111)x(f
−=−⋅
−⋅−=′′
(2) xsinxcosxsinxcos)x(f
+−
=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 111
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( ) ( )22
22
2
22
2
2222
2
xsinxcos2
xsinxcosxcosxsin2
xsinxcosxcos2xsin2
xsinxcosxcosxsinxsinxcosxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin
xsinxcosxcosxsinxsinxcosxsinxcosxcosxsin)x(f
+−
=++⋅−
=+
⋅−⋅−=
=+
⋅+−−⋅+⋅−−−⋅−=
=+
+−⋅−−+⋅−−=′
( )( ) ( )
( )33 xsinxcosxsinxcos4xcosxsin
xsinxcos22)x(f
+−⋅
=+−⋅+−
⋅−=′′
(3) xx
x2x2
eeee)x(f−
−
+−
=
( ) ( ) ( ) ( ) xx
xx
xxxx
xx
2x2x
xx
x2x2
eeee
eeeeeeee
eeee)x(f −
−
−−
−
−
−
−
−=+
−⋅+=
+−
=+−
=
( ) xxxx eee1e)x(f −− +=⋅−−=′
xx ee)x(f −−=′′
Primjer 2. Odredite y ′′ u točki A=(0,1) za funkciju 1yxyx 44 =+− . R.
/1yxyx 44 ′=+− 0yy4yxyx4 33 =′⋅+′⋅−−
( )( )
41y
0y14y01041,0A/0yy4yxyx4
A
33
33
=′⇒
=′⋅⋅+′⋅−−⋅
==′⋅+′⋅−−
/0yy4yxyx4 33 ′=′⋅+′⋅−−
0yy4yyy34yxy1yx34 322 =′′⋅+′⋅′⋅⋅+′′⋅−′⋅−′−⋅
( ) ( ) 0y4xyyy12y2x12 3222 =+−⋅′′+′⋅+′−
( )3
222
y4xyy12y2x12y
−′⋅+′−
=′′
112 Zbirka zadataka iz Matematike 1
161
41612
21
14041112
412012
y 3
222
A−=
−
+−=
⋅−
⋅⋅+⋅−⋅
=′′⇒
Primjer 3. Odredite )x(y ′′ za funkciju arctgyxy += . R.
yy1
11y
/arctgyxy
2′⋅
++=′
′+=
1y1
11y 2 =
+
−⋅′
1y1
1y1y 2
2
=
+
−+⋅′
2
2
yy1y +
=′
/1y1y 2
′+=′
( )5
2
2
2
33
3
yy12
yy1
y2y
y2y
yy)2(y+⋅
−=+
⋅−=′⋅−=′′
′⋅−=′′ −
Primjer 4.
Nađite )x(y ′′′ za funkciju :
=
= −
3
t
tyex
R.
t2t
2
et3et3
dtdxdtdy
dxdy)t(yy ⋅−=
−===′=′
−
( ) t22t22t2t
t2t
et6t3et3et6e
et3et23
dtdxdtyd
dxyd)t(yy ⋅+=⋅+⋅=
−⋅−⋅⋅−
=
′
=′
=′′=′′−
,
Zbirka zadataka iz Matematike 1 113
( ) ( ) ( ) t32t
t22t2
e6t18t6e
e2t6t3e6t23
dtdxdtyd
dxyd)t(yy ⋅++−=
−⋅⋅++⋅+⋅
=
′′
=′′
=′′′=′′′−
Primjer 5.
Nađite )x(y ′′ u točki 2
t π= za funkciju :
( )( )
−⋅=
−⋅=
tcos1ay
tsintax
R.
( ) tcos1tsin
tcos1atsina
dtdxdtdy
dxdy)t(yy
−=
−⋅⋅
===′=′
( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( ) a1
01a1
2cos1a
12
ty
tcos1a1
tcos1atcos1
tcos1a1tcos
tcos1atsintcostcos
tcos1atcos1
tsintsintcos1tcos
dtdxdtyd
dxyd)t(yy
22
233
3
222
−=−⋅−
=
π−⋅
−=
π=′′⇒
−⋅−
=−⋅−−
=−⋅
−=
=−⋅
+−=
−⋅−
⋅−−⋅
=
′
=′
=′′=′′
ZADACI ZA VJEŽBU
1. Dokažite da je druga derivacija funkcije 3xx2
1x)x(f 2
2
−+−
= jednaka ( )33x2
4)x(f+−
=′′ .
2. Nađite treću derivaciju funkcije xx
x2x2
eeee)x(f−
−
+−
= .
3. Nađite treću derivaciju funkcije
−+
=x1x1ln)x(f .
4. Zadana je funkcija ( )1xxln)x(f 2 ++= . Nađite njenu 2. derivaciju (x)f ′′ .
114 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5. Nađite drugu derivacija funkcije xsinxcosxsinxcos)x(f
−+
= .
6. Nađite drugu derivaciju funkcije
−+
=1x3sin1x3sinln)x(f .
7. Nađite derivaciju 2
2
dxyd
parametarski zadane funkcije 3
2
tbytax⋅=
⋅= .
8. Zadana je funkcija tsineytcosex
t
t
⋅=
⋅= . Izračunajte 2
2
dxyd
u T(t=0).
9. Nađite više derivacije funkcija : (1)
( )( )
⋅−⋅=
⋅+⋅=
tcosttsinay
tsinttcosax 2. derivaciju
(2)
−=
=
2t1y
tarcsinx 2. derivaciju
(3)
=
=
tgtytcos
1x 3. derivaciju
(4)
=
=
tarcsinyex t
2. derivaciju
(5)
( )
−=
+=
arctgttyt1lnx 2
2. derivaciju
R.
2. xx ee)x(f −−−=′′′
3. ( )32
2
x1
2x6(x)f−
+=′′′
4. ( )32 1x
x-(x)f+
=′′
Zbirka zadataka iz Matematike 1 115
5. ( )( )3sinx-cosx
cosxsinx4(x)f +⋅=′′
6. ( )x3osc9-(x)f 2=′′
7. ta4
b3dx
yd22
2
=
8. 2dx
yd
0t2
2
=
=
9. (1)
( )
⋅⋅=′′
⋅+⋅=
tcosta1y
tsinttcosax
3
(2)
−−=′′
=
2t1y
tarcsinx
(3)
⋅=′′′
=
tsintcos3y
tcos1x
5
4
(4)
( )
−⋅−⋅
−+=′′
=
22t2
2
t
t1t1e1tty
ex
(5)
( )
+=′′
+=
t4t1y
t1lnx2
2
116 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju Primjer 1.
Nađite jednadžbu tangente i normale u točki s apscisom 1x −= na krivulju 2x1x4y +−= .
R.
( ) ( )( )
( )5,1T51411141y
x1x4y1x 22 −=⇒=+=
−+−⋅−=−⇒+−=⇒−=
( )
( ) ( )224
124y
x24x24y
/x1x4y
31x
33
2
−=+−=−
−−=′
−−=⋅−+−=′
′+−=
−=
−
jednadžba tangente :
( ) ( )000 xxxfyy −⋅′=− ( )( )
3x2y2x25y
1x25y
+−=⇒
−−=−−−⋅−=−
jednadžba normale :
( ) ( )00
0 xxxf1yy −⋅′
−=−
( )( )
211x
21y
21x
215y
1x2
15y
+⋅=⇒
+⋅=−
−−⋅−
−=−
Primjer 2. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju 0y2cosycosysinx2 =+−⋅ u točki
π
=2
,1T .
R. /0y2cosycosysinx2 ′=+−⋅
( ) ( ) 0y2y2sinyysinyycosxysinx2 2 =′⋅⋅−+′⋅−−′⋅⋅+⋅ ( )
π′⋅−=⋅−+⋅⋅′2
,12 y/ysinx2y2sin2ysinycosxy
π⋅⋅−=
π
⋅⋅−
π+
π⋅⋅′
2sin12
22sin2
2sin
2cos1y 2
Zbirka zadataka iz Matematike 1 117
( )2y21y
11202101y
2,1
2
−=′⇒−=⋅′
⋅⋅−=⋅−+⋅⋅′
π
jednadžba tangente :
( )
24x2y
2x22
y
1x22
y
+π+⋅−=⇒
+⋅−=π
−
−⋅−=π
−
jednadžba normale :
( )1x2
12
y −⋅−
−=π
−
21x
21y
21x
21
2y
−π+⋅=⇒
−⋅=π
−
Primjer 3.
Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju :
⋅=⋅=
tsintytcostx
za vrijednost parametra
2t π= .
R.
π
=⇒
π=⋅
π=
π⋅
π=
=⋅π
=π
⋅π
=⇒
π=
⋅=⋅=
2,0T
21
22sin
2y
0022
cos2
x
2t
tsintytcostx
( )
tcosttsintcosttsin1dtdy
tsinttcostsinttcos1dtdx
⋅+=⋅+⋅=
⋅−=−⋅+⋅=
tsinttcostcosttsin
dtdxdtdy
dxdy)t(yy
⋅−⋅+
===′=′
π−=
π−
=⋅
π−
⋅π
+=
π⋅
π−
π
π⋅
π+
π
=
π′ 2
2
1
12
0
02
1
2sin
22cos
2cos
22sin
2y
118 Zbirka zadataka iz Matematike 1
jednadžba tangente :
( )
2x2y
x22
y
0x22
y
π+⋅
π−=⇒
⋅π
−=π
−
−⋅π
−=π
−
jednadžba normale :
( )0x2
12
y −⋅
π−
−=π
−
2x
2y
x22
y
π+⋅
π=⇒
⋅π
=π
−
Primjer 4. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju exyey =+ u točki s apscisom x=0. R.
( )1,0T1yey0e0xexye yy =⇒=⇒=⋅+⇒=⇒=+
( )
xeyy
yxey0yxy1ye
/exye
y
y
y
y
+−=′
−=+⋅′
=′⋅+⋅+′⋅
′=+
( ) e1
0e1y 11,0
−=+
−=′
jednadžba tangente :
( )
1xe1y
xe11y
0xe11y
+⋅−=⇒
⋅−=−
−⋅−=−
jednadžba normale :
( )0x
e1
11y −⋅−
−=−
Zbirka zadataka iz Matematike 1 119
xe1y ⋅=− 1xey +⋅=⇒
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Napišite jednadžbu tangente i normale na krivulju 4xy −= u točki sa ordinatom 1.
2. Napišite jednadžbu tangente na krivulju xsin
1f(x) = u njenoj točki s apscisom 2
x0π
= .
3. Napišite jednadžbu tangente na krivulju 1x22
3siny −
−
π= u točki sa apscisom
4x0
π= .
4. Napišite jednadžbu zajedničke tangente krivulja xsiny = i 3x31xy ⋅+= .
5. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju 2
1xarcsiny −= u sjecištu sa x-osi.
6. U kojoj točki tangenta na krivulju 1ey x2 += , paralelna s pravcem 1x2y −= , dira tu krivulju ? Napišite jednadžbu tangente. 7. Napišite jednadžbe tangente i normale na krivulju )1xln(e)x(f x +⋅= u točki krivulje s apscisom x=0. 8. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju
2x4ey −= u sjecištu sa pravcem y=1 . 9. Odredite jednadžbe tangente i normale na krivulju 01xy2yx 33 =−−+ u točki T=(1,0) . 10. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju 24yxxy 233 =−+− u točki T=(1,3). 11. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju ( ) 32 xx2y =−⋅ u točki T=(1,1) . 12. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju yxey −= u sjecištu sa x-osi. 13. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulju 4xy3ex y22 =+⋅ u točki gdje krivulja siječe x-os.
14. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju
⋅=⋅=
tsintytcostx
u točki 2
t π= .
120 Zbirka zadataka iz Matematike 1
15. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulje :
(1)
−
=2
1xarcsiny u sjecištu krivulje s x-osi
(2)
−=
=
2t1y
tarcsinx za 1t =
(3) 7yxyx 33 =−−⋅ u točki T=(1,2)
R.
1. 9x2yn,23x
21yt +−=−= KK
2. 1yt =K
3. 12
x2yt −π
−=K
4. xyt =K
5. 2x2yn,21x
21yt +−=−= KK
6. ( ) 2x2yt,2,0T +== K
7. xyn,xyt −== KK
8. 21x
41yn,9x4yt,
21x
41yn,9x4yt 2211 +=+−=+−=+= KKKK
9. 32x
32yn,
23x
23yt +−=−= KK
10. 29x26yn,2677x
261yt +−=+= KK
11. 23x
21yn,1x2yt +−=−= KK
12. 2x2yn,21x
21yt +−=−= KK
13. 7x27yn,
74x
72yt,1x
21yn,4x2yt 2211 −=+−=−−=+= KKKK
14. 2
x2
yn,2
x2yt π+
π=
π+
π−= KK
15.
(1) 21x
21yt −⋅=L , 2x2yn +⋅−=L
Zbirka zadataka iz Matematike 1 121
(2) 2
xyt π+−=L ,
2xyn π−=L
(3) 1123x
111yt +⋅−=L , 9x11yn −⋅=L
5.9. Diferencijal funkcije Primjer 1. Nađite diferencijale funkcija : (1) ( )2xearcctgy =
(2) 2x3y −−=
(3) 222 ayxy2x =−+
R. (1) ( )2xearcctgy =
( ) dxe1
ex2dxx2ee1
1dx)x(ydy 2
22
2 x2
xx
2x⋅
+
⋅−=⋅⋅⋅
+
−=⋅′=
(2)
2x3y −−=
( ) dx3x3ln2dxx23ln3dx)x(ydy22 xx ⋅⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅−=⋅′= −−
(3) 222 ayxy2x =−+
( )
dxxyyxdy
xyyxy
0yyxyx0yy2yx2y2x2
⋅−+
=⇒−+
=′
=′⋅−++=′⋅−′⋅++
Primjer 2. Nađite diferencijale 2. reda za funkcije : (1)
2x3y −−= (2) 222 ayxy2x =−+ R. (1)
2x3y −−=
dx3x3ln2dy2x ⋅⋅⋅⋅= −
122 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( ) ( )2x22 dx3x3ln2dx)x(yyd2
⋅′
⋅⋅⋅=⋅′′= −
( )( ) ( )2xx2 dxx23ln3x3ln233ln2yd22
⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= −−
( )( ) ( )222x2 dx3lnx43ln23yd2
⋅⋅−⋅⋅= − (2) 222 ayxy2x =−+
dxxyyxdy ⋅
−+
=
( ) ( )222 dxxyyxdx)x(yyd ⋅′
−+
=⋅′′=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )222 dx
xy1yyxxyy1yd ⋅
−−′⋅+−−⋅′+
=
( )( )
( )( )
( )( )22
22
22
22
2 dxxyxy
xy2x2xy2y2
dxxy
xyyxx2y2
dxxy
yx2y2yd ⋅−−
−−−
=⋅−
−+
⋅−=⋅
−
′⋅−=
( )( )
( )( )
( )23
22
3
222 dx
xya2dx
xyyxy2x2yd ⋅
−⋅−
=⋅−
−+⋅−=
Primjer 3. Nađite diferencijale 4. reda za funkcije : (1) xsiny 2= (2) xlnxy ⋅= R. (1) xsiny 2=
( ) dxx2sindxxcosxsin2dxxsindx)x(ydy 2 ⋅=⋅⋅⋅=⋅′
=⋅′=
( ) ( ) ( ) ( )22222 dxx2cos2dx2x2cosdxx2sindx)x(yyd ⋅⋅=⋅⋅=⋅′=⋅′′=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )33333 dxx2sin4dx2x2sin2dxx2cos2dx)x(yyd ⋅⋅−=⋅⋅−⋅=⋅′⋅=⋅′′′=
( ) ( ) ( ) ( )4444)4(4 dxx2cos8dx2x2cos4dxx2sin4dx)x(yyd ⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅′⋅−=⋅= (2) xlnxy ⋅=
( ) ( ) dx1xlndxx1xxln1dxxlnxdx)x(ydy ⋅+=⋅
⋅+⋅=⋅′⋅=⋅′=
( ) ( ) ( ) ( )2222 dxx1dx1xlndx)x(yyd ⋅=⋅′+=⋅′′=
( ) ( ) ( )32333 dx
x1dx
x1dx)x(yyd ⋅−=⋅′
=⋅′′′=
( ) ( ) ( )434
24)4(4 dx
x2dx
x1dx)x(yyd ⋅=⋅
′
−=⋅=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 123
5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije Primjer 1. Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost :
(1) 2.0e , za 0x = i 2.0x =∆
(2) ( )8.0ln , za 1x = i 2.0x −=∆
(3) 3 26 , za 27x = i 1x −=∆
(4) ( )046ctg , za 045x = i 01x =∆
R. (1) 2.0e , za 0x = i 2.0x =∆
( )
2.1e2.12.0112.0eeexeeeexf,e)x(f
2.0002.00
xxxx
xx
≅⇒=⋅+=⋅+≅
∆⋅+≅
=′=
+
∆+
(2) ( )8.0ln , za 1x = i 2.0x −=∆
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2.08.0ln2.02.0102.0111ln2.01ln
xx1xlnxxln
x1xf,xln)x(f
−≅⇒−=−⋅+=−⋅+≅−
∆⋅+≅∆+
=′=
(3) 3 26 , za 27x = i 1x −=∆
( )
( ) 962963.226962963.291
3131
271
3127127
xx1
31xxx
x1
31xf,x)x(f
33 2
33
3 2
33
3 2
3
≅⇒=⋅−=−⋅⋅+≅−
∆⋅⋅+≅∆+
⋅=′=
(4) ( )046ctg , za 045x = i 01x =∆
( )
( )
( ) xxsin
1ctgxxxctg
rad180
1x
xsin1xf,ctgx)x(f
2
0
2
∆⋅−≅∆+
π==∆
−=′=
124 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( ) ( )
( ) 965093.046ctg
901
180
22
1118045sin
145ctg145ctg
0
202000
≅⇒
π−=
π⋅
−=
π⋅−≅+
ZADACI ZA VJEŽBU Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost : (1) 17 , za 16x = i 1x =∆ (2) ( )2.1ln , za 1x = i 2.0x =∆
(3) 5 31 , za 32x = i 1x −=∆ (4) ( )044tg , za 045x = i 01x −=∆ (5) ( )029cos , za 030x = i 01x −=∆ (6) ( )029sin , za 030x = i 01x −=∆ R. (1) 4.125 (2) 0.2 (3) 1.9875 (4) 0.965093 (5) 0.874752 (6) 0.485 5.11. Taylorova formula Primjer 1. Funkciju 3xx2)x(f 3 +−= razvijte po potencijama binoma (x-1). R. Razvoj po potencijama binoma (x-1) podrazumijeva razvoj u okolini točke 1x0 = .
3xx2)x(f 3 +−= 4312)1(f =+−=⇒ 1x6)x(f 2 −=′ 516)1(f =−=′⇒
x12)x(f =′′ 12)1(f =′′⇒ 12)x(f =′′′ 12)1(f =′′′⇒
0)x(f )4( = 0)1(R0)1(f 3)4( =⇒=⇒
Zbirka zadataka iz Matematike 1 125
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x(R1x!31f1x
!21f1x
!11f1f)x(f 3
32 +−⋅′′′
+−⋅′′
+−⋅′
+=
( ) ( ) ( )32 1x!3
121x!2
121x!1
54)x(f −⋅+−⋅+−⋅+=
( ) ( ) ( )32 1x21x61x54)x(f −⋅+−⋅+−⋅+=⇒
Primjer 2. Funkciju ( )1xln)x(f += aproksimirajte polinomom 3. stupnja u okolini točke 0x0 = . Izračunajte ln(1.2) pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.
)1xln()x(f += 01ln)10ln()0(f ==+=⇒
1x1)x(f+
=′ 110
1)0(f =+
=′⇒
( )21x1)x(f+
−=′′ ( )
110
1)0(f 2 −=+
−=′′⇒
( )31x2)x(f+
=′′′ ( )
210
2)0(f 3 =+
=′′′⇒
( )4)4(
1x6)x(f+
−= ( ) 44
4)4(
3 x!4
1x6
x!4
)x(f)x(R ⋅+⋅ϑ
−=⋅
⋅ϑ=⇒ , 10 <ϑ<
( ) ( ) ( ) ( ) )x(Rx!30fx
!20fx
!10f0f)x(f 3
32 +⋅′′′
+⋅′′
+⋅′
+=
( ) 32 x!3
2x!21x
!110)x(f ⋅+⋅
−+⋅+≅
32 x31x
21x)x(f ⋅+⋅−≅⇒
)2.1ln()12.0ln()2.0(f)1xln()x(f =+=⇒+=
( ) ( ) 182666.02.0312.0
212.0)2.0(f 32 =⋅+⋅−≅⇒
( )44
34
)4(
3 2.0!4
)12.0(6
)2.0(Rx!4
)x(f)x(R ⋅+⋅ϑ−
=⇒⋅⋅ϑ
=
( )
0004.0)2.0(R
10,)12.0(
0004.0)12.0(4321
2.06)2.0(R
3
44
4
3
<⇒
<ϑ<+⋅ϑ
=+⋅ϑ⋅⋅⋅⋅
⋅=
126 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Primjer 3. Funkciju xe)x(f = aproksimirajte polinomom 4. stupnja u okolini točke 0x0 = . Izračunajte e1 = e pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.
x)5()4( e)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f ===′′′=′′=′= 1e)0(f)0(f)0(f)0(f)0(f)0(f 0)5()4( ====′′′=′′=′=⇒
)x(Rx!4
1x!3
1x!2
1x!111)x(f 4
432 +⋅+⋅+⋅+⋅+=
708333.2e708333.21!4
11!3
11!2
11!111)1(f 432 ≅⇒=⋅+⋅+⋅+⋅+≅⇒
10,!5
e)1(Rx!5
ex!5
)x(f)x(R 45
x5
)5(
4 <ϑ<=⇒⋅=⋅⋅ϑ
=ϑ⋅ϑ
022652.0)1(R008333.0!5
e)1(R!5
144 <<⇒<<⇒
Primjer 4. Funkciju xsin)x(f = aproksimirajte polinomom 10. stupnja u okolini točke 0x0 = . R.
xsin)x(f = 00sin)0(f ==⇒ xcos)x(f =′ 10cos)0(f ==′⇒ xsin)x(f −=′′ 00sin)0(f =−=′′⇒ xcos)x(f −=′′′ 10cos)0(f −=−=′′′⇒
xsin)x(f )4( = 00sin)0(f )4( ==⇒ xcos)x(f )5( = 10cos)0(f )5( ==⇒ xsin)x(f )6( −= 00sin)0(f )6( =−=⇒ xcos)x(f )7( −= 10cos)0(f )7( −=−=⇒
xsin)x(f )8( = 00sin)0(f )8( ==⇒ xcos)x(f )9( = 10cos)0(f )9( ==⇒
xsin)x(f )10( −= 00sin)0(f )10( =−=⇒
1098765432 x!10
0x!9
1x!8
0x!71x
!60x
!51x
!40x
!31x
!20x
!110)x(f ⋅+⋅+⋅+⋅
−+⋅+⋅+⋅+⋅
−+⋅+⋅+≅
!9x
!7x
!5x
!3xx)x(f
9753
+−+−≅⇒
Zbirka zadataka iz Matematike 1 127
ZADACI ZA VJEŽBU Aproksimirajte funkciju f(x) u okolini točke 0x polinomom : (1) 3 1x)x(f += , 0x0= , polinomom 2. stupnja (2) 3 x1)x(f −= , 0x0= , polinomom 4. stupnja (3) xcos)x(f = , 0x0= , polinomom 6. stupnja (4) x)x(f = , 16x0= , polinomom 2. stupnja R.
(1) 2x91x
311)x(f ⋅−⋅+≈
(2) 432 x24310x
815x
91x
311)x(f ⋅−⋅−⋅−⋅−≈
(3) !6
x!4
x!2
x1)x(f642
−+−≈
(4) ( ) ( )216x512
116x814)x(f −⋅−−⋅+≈
5.12. L'Hospital-ovo pravilo Primjer 1. Izračunajte :
(1)
+−−−
→ 3x4x9x3x2lim 2
2
3x
(2)
++∞→ 4x3x
elim 2
x
x
(3) ( )
−−
−→ 3x2x
8xlnlim 2
2
3x
R.
(1) 29
4323322
4x23x22lim
00
3x4x9x3x2lim
3x2
2
3x=
−⋅−⋅⋅
=
−⋅−⋅⋅
=
=
+−−−
→→
128 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(2) ∞=∞
=
=
∞∞
=
+⋅
=
∞∞
=
++ ∞→∞→∞→ 22
elim3x2
elim4x3x
elimx
x
x
x2
x
x
(3) ( )( ) ( ) 2
32x28x
x2lim2x2
8xx2
lim00
3x2x8xlnlim 23x
2
3x2
2
3x=
−⋅−
=
−⋅−⋅
=
=
−−
−→→→
Primjer 2. Izračunajte :
(1) ( )( )ctgxxcos1lim0x
⋅−→
(2) ( )xlnxlim 2
00x⋅
+→
(3) ( )( )tgxx2lim2
x⋅−π
π→
R. (1)
( )( ) ( ) =
=
=
−=
−
=∞⋅=⋅−→→→→
xcos1
xsinlim00
tgxxcos1lim
ctgx1
xcos1lim0ctgxxcos1lim
2
0x0x0x0x
( ) 0100cos0sinxcosxsinlim 22
0x=⋅=⋅=⋅=
→
(2)
( ) ( )( ) 02
xlim
x2
x1
lim
x1xlnlim0xlnxlim
2
00x
3
00x
2
00x
2
00x=
−
=
−=
∞∞−
=
=∞−⋅=⋅+→+→+→+→
(3)
( )( ) ( )
( ) 2122
sin2xsin2lim
xsin12lim
00
ctgxx2lim
00
tgx1
x2lim0tgxx2lim
22
2x
22x
2x
2x
2x
=⋅=π
⋅=⋅=
=
−
−=
=
−π=
=
−π
=∞⋅=⋅−π
π→
π→
π→
π→
π→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 129
Primjer 3. Izračunajte :
(1)
−
−→ xln1
1xxlim
1x
(2)
⋅
π−⋅
∞→x
2arctgxxlim
x
R. (1)
( ) ( )( ) ( )
21
2010
21ln11ln
2xln1xlnlim
11xln1xlnlim
1x1xxln1
x1xxln1
lim00
1xxlnxxlnxlim
x1xxlnx
xlnlim
x1xxln
xlnlim
x11xxln1
1x1xxln1
lim00
xln1x1xxlnxlim
xln1
1xxlim
1x1x
1x1x1x1x
1x1x1x
=++
=++
=
++
=
+++
=
=
+⋅+⋅
⋅+⋅=
=
−+⋅⋅
=
−+⋅=
−+
=
=
⋅−+⋅
−⋅+⋅=
=
⋅−
−−⋅=∞−∞=
−
−
→→
→→→→
→→→
(2)
( ) ( ) =
=
π−
=⋅∞=
π
−⋅=∞−∞=
⋅
π−⋅
∞→∞→∞→ 00
x1
2arctgx
lim02
arctgxxlimx2
arctgxxlimxxx
1x2x2lim
x1xlim
x1x1
1
limx2
2
x
2
2
x−=
⋅⋅−
=
∞∞
−=
+−
=
−
+=∞→∞→∞→
Primjer 4. Izračunajte : (1) ( )x
0xxsinlim
→
(2) ( )x1
x
x21lim +
∞→
(3)
−
→
x11
1xxlim
130 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. (1) ( )x
0xxsinlim
→
( ))xln(sinxyln
xsiny x
⋅==
( ) ( ) ( )( )
010
xcosxsinxxcosx2lim
00
xsinxcosxlim
x1
xcosxsin
1
lim
x1
)xln(sinlim0)xln(sinxlimylnlim
2
0x
2
0x
2
0x0x0x0x
==
⋅+⋅−=
=
⋅−=
=
−
⋅=
∞∞−
=
=∞−⋅=⋅=
→→
→→→→
( ) ( ) 1xsinlim1ylim1ey0ylog0ylnlim x
0x0x
0e0x
=⇒=⇒==⇒=⇒=→→→
(2) ( )x1
x
x21lim +
∞→
( )( )x
x1
x
21lnx1yln
21y
+⋅=
+=
( ) ( ) ( ) ( )=
⋅⋅+=
∞∞
=
+=∞⋅=
+⋅=
∞→∞→∞→∞→ 1
2ln221
1
limx
21lnlim021lnx1limylnlim
xx
x
x
x
x
xx
2ln2ln2
2ln22lnlim2122lnlim x
x
xx
x
x=
⋅⋅⋅
=
∞∞
=
+⋅
=∞→∞→
( ) ( ) 221lim2ylim2y2logylog2lnylnlim x1
x
xxeex=+⇒=⇒=⇒=⇒=
∞→∞→∞→
(3)
−
→
x11
1xxlim
xlnx1
1yln
xy x11
⋅−
=
= −
( ) ( ) 11
11
x1
lim00
x1xlnlim0xln
x11limylnlim
1x1x1x1x−=
−=
−=
=
−=⋅∞=
⋅
−=
→→→→
( )e1xlim
e1ylim
e1ey1ylog1ylnlim x1
1
1x1x
1e1x
=
⇒=⇒==⇒−=⇒−= −
→→
−
→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 131
ZADACI ZA VJEŽBU Izračunajte :
(1)
−
→ 20x xxcos1lim
(2) ( )
+
−→ 1xln
eelimax2ax
0x
(3) ( ) tgxx2lim2
x⋅−π
π→
(4) ( ) xlnarctgx2limx
⋅⋅−π∞→
(5)
⋅π
−π
→ xcos2ctgxxlim
2x
(6)
−
→ xsin1
x1lim
0x
(7) ( )x
0xxlim
→
(8) ( ) x1
1xxlnlim −
→
(9) ( )tgx
2x
xsinlimπ
→
(10) ( ) xln1
0xctgxlim
→
R.
(1) 21
(2) a−
(3) 2
(4) 0
(5) 1−
(6) 0
(7) 1
(8) 1
(9) 1
(10) e1
132 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije Primjer 1. Odredite intervale monotonosti za funkcije : (1) 5x4xy 2 ++= (2) x9x6xy 23 ++=
(3) ( ) 11xy 3 2 −−= R. (1) 5x4xy 2 ++=
R=fD 4x2)x(y +=′
( )( )
+∞−
−∞−⇒
−>⇒>+⇒>′
−<⇒<+⇒<′
rastef,2intervaluu
padaf2,intervaluu2x04x20)x(y2x04x20)x(y
(2) x9x6xy 23 ++=
R=fD ( ) ( )3x1x39x12x3)x(y 2 +⋅+⋅=++=′
( )( ) ( )
+∞−∪−∞−
−−⇒
+∞<<−−<<−∞⇒>′
−<<−⇒<′
rastef,13,intervaluu
padaf1,3intervaluux1&3x0)x(y
1x30)x(y
(3) ( ) 11xy 3 2 −−= R=fD
3 1x32)x(y−⋅
=′
{ }1Df \R=′ Derivacija funkcije različita je od nule u cijelom području definicije, ali u točki x=1 ne postoji.
⇒
+∞<<⇒>′
<<−∞⇒<′
x10)x(y1x0)x(y ( )
( )
+∞
∞−
rastef,1intervaluu
padaf1,intervaluu
Primjer 2. Odredite ekstreme funkcija :
(1) 23
x3xy +=
(2) ( )41xy +=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 133
(3) ( )3 24x1y −−=
(4) ( )3 22 1xy −= R.
(1) 23
x3xy +=
R=fD x2x)x(y 2 +=′
2x2)x(y +=′′ Nužni uvjet (N.U.) : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
2x,0x0x2x 212 −==⇒=+
Dovoljni uvjet (D.U.) : ( ) 0xy 0 ≠′′ , tj. :
( ) ⇒>′′ 0xy 0 funkcija u 0x postiže minimum
( ) ⇒<′′ 0xy 0 funkcija u 0x postiže maksimum
( ) ⇒>=+⋅=′′ 022020y za 0x1 = funkcija postiže minimum 0)0(yymin == ( ) ( ) ⇒<−=+−⋅=−′′ 022222y za 2x2 −= funkcija postiže maksimum
34)2(yymax =−=
(2) ( )41xy +=
R=fD
( )31x4)x(y +⋅=′
( )21x12)x(y +⋅=′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
( ) 1x01x4 03 −=⇒=+⋅
D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′ , odnosno ( ) 0xy 0
)n( ≠ , gdje je n paran broj
( ) ( ) ( ) 011121y1x12)x(y 22 =+−⋅=−′′⇒+⋅=′′
( ) ( ) 01124)1(y1x24)x(y =+−⋅=−′′′⇒+⋅=′′′ ⇒>=−⇒= 024)1(y24)x(y )4()4( 1x0 −= funkcija postiže minimum
0)1(yymin =−= Dovoljan uvjet možemo ispitati i tako da provjerimo da li prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x . Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0h4h41h14h1yhxy 333
0 <−=−⋅=+−−⋅=−−′=−′
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0h4h41h14h1yhxy 3330 >=⋅=++−⋅=+−′=+′
134 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : 0xodlijevo0)x(y <′ i
0xoddesno0)x(y >′ , što znači da funkcija u točki 0x postiže minimum
0)1(yymin =−= .
(3) ( )3 24x1y −−= R=fD
3 4x32)x(y−⋅
−=′
{ }4Df \R=′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji ( )0xy′ ne postoji za 4x0 = jer prva derivacija ima prekid u točki 4x0 = .
D.U.: prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( )( )
0h3
24h43
2h4yhxy330 >−⋅
−=
−−⋅−=−′=−′
( ) ( )( )
0h3
24h43
2h4yhxy330 <⋅−
=−+⋅
−=+′=+′
Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : 0xodlijevo0)x(y >′ i
0xoddesno0)x(y <′ , što znači da funkcija u točki 0x postiže maksimum
1)4(yymax == .
(4) ( )3 22 1xy −= R=fD
3 2 1x3x4)x(y−⋅
=′
{ }1,1Df −=′ \R N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
0x01x3
x4013 2=⇒=
−⋅
( )0xy′ ne postoji za 1x02 −= i 1x03 = . D.U.: prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
Zbirka zadataka iz Matematike 1 135
( ) ( ) ( )( )
01h3
h4
1h03
h04h0yhxy3 23 20 >
−⋅
−=
−−⋅
−=−′=−′
( ) ( ) ( )( )
01h3
h4
1h03
h04h0yhxy3 23 20 <
−⋅=
−+⋅
+=+′=+′
Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x01 = i to: 01xodlijevo0)x(y >′ i
01xoddesno0)x(y <′ , što znači da funkcija u točki 01x postiže maksimum
1)0(yymax == .
( ) ( ) ( )( )
01h13
h14h1yhxy3 20 <
−−−⋅
−−=−−′=−′
( ) ( ) ( )( )
01h13
h14h1yhxy3 20 >
−+−⋅
+−=+−′=+′
Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 1x02 −= i to : 02xodlijevo0)x(y <′ i
02xoddesno0)x(y >′ , što znači da funkcija u točki 02x postiže minimum
0)1(yymin =−= .
( ) ( ) ( )( )
01h13
h14h1yhxy3 20 <
−−⋅
−=−′=−′
( ) ( ) ( )( )
01h13
h14h1yhxy3 20 >
−+⋅
+=+′=+′
Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 1x03 = i to : 03xodlijevo0)x(y <′ i
03xoddesno0)x(y >′ , što znači da funkcija u točki 03x postiže minimum
0)1(yymin == . Primjer 3. Kako od komada žice duljine L načiniti pravokutnik maksimalne ploštine? R.
maxxx2Lx
2LxyxP
x2LyLy2x2
2 →−⋅=
−⋅=⋅=
−=⇒=+
x22L)x(P −=′
136 Zbirka zadataka iz Matematike 1
N.U.:
( )4Ly,
4Lx0x2
2LxP 00 ==⇒=−=′
D.U.:
( ) ⇒<−=′′ 02xP 0 za 4Lx0 = funkcija postiže maksimum
16L
4L
4LyxP
2
00max =⋅=⋅= .
Od komada žice duljine L pravokutnik najveće ploštine je zapravo kvadrat sa stranicom
duljine 4L
.
Primjer 4. Na osi parabole x4y2 = dana je točka A udaljena 3 jedinice od tjemena u pozitivnom smjeru osi x. Nađite apscisu točke na paraboli koja je najbliža točki A. R.
( ) ( ) minx4x3yx3d 2222 →+−=+−=
( ) ( ) ( )( ) 2)x(d
2x241x32)x(d2
2
=″
−=+−⋅−⋅=′
N.U.:
( ) 214y,1x02x2)x(d 002 =⋅==⇒=−=′
D.U.:
( ) 02)x(d 02 >=″
Za 1x0 = funkcija postiže minimum ( ) ( ) 81413d 22
min =⋅+−= . Točka T=(1,2) na paraboli
najbliža je točki A , a udaljenost točke T do točke A je 8dmin = .
Zbirka zadataka iz Matematike 1 137
ZADACI ZA VJEŽBU 1.Odredite intervale monotonosti za funkcije : (1) ( ) ( )22 2x1xy +⋅−=
(2) 2x2xy −⋅=
(3) 2xx3y
2
+−
=
(4) 1x1xy 2
2
+−
=
(5) 3x1xy +
=
2. Odredite ekstreme funkcija : (1) ( ) ( )22 2x1xy +⋅−=
(2) 1x1xy 2
2
+−
=
(3) 2xx4x2xy 2
2
−++−
=
(4) 1x
xy2
−=
(5) 2x4
x43y −−=
(6) 2xxexy −⋅=
(7) 2x2xy −⋅=
(8) 2
xxy42 −
=
(9) 1x
1x2xy 2
2
++−
=
(10) 2xx3y
2
+−
=
R. 1.
(1) ( ) ( ) ↑+∞∪
−↓
−∪∞ f...,1
212,-,f...1,
21,-2-
(2) [ ) ( ] ( ) ↑↓+∪−− f...1,1-,f...2,11,2 (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ↑−−∪−↓+∞−∪∞ f...1,223,-,f...,1,-3- (4) ( ) ( ) ↑+∞↓∞ f...,0,f...,0-
(5) ( ) ↑
∞↓+∞∪
f...
23,--,f...,0,0
23-
138 Zbirka zadataka iz Matematike 1
2.
(1) ( ) ( )
−==−=
1681,
21T,0,1T,0,2T maxminmin 21
(2) ( )1,0Tmin −=
(3) ( )2,0T,32,4T maxmin −=
=
(4) ( ) ( )0,0T,4,2T maxmin == (5) ( )4,2Tmax −=
(6) ( )1,1T,e2
1,21T max4 3min =
⋅−−=
(7) ( ) ( )1,1T,1,1T maxmin =−−=
(8) ( )
=
−==
81,
22T,
81,
22T,0,0T
21 maxmaxmin
(9) ( ) ( )2,1T,0,1T maxmin −== (10) ( ) ( )2,1T,6,3T maxmin −=−= 5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije Primjer 1. Odredite točke infleksije, te intervale konveksnosti i konkavnosti za funkcije : (1) x9x6xy 23 ++=
(2) 3 2xy +=
(3) 3x
1y−
=
(4) xexy ⋅= R. (1) x9x6xy 23 ++=
R=fD
12x6)x(y9x12x3)x(y 2
+=′′++=′
N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
2x012x6)x(y 0 −=⇒=+=′′ D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( ) 0h612h26h2yhxy 0 <⋅−=+−−⋅=−−′′=−′′ ( ) ( ) ( ) 0h612h26h2yhxy 0 >⋅=++−⋅=+−′′=+′′
Zbirka zadataka iz Matematike 1 139
Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.
( ) ( ) ( ) ( ) 2292622y 23 −=−⋅+−⋅+−=−
Točka ( )2,2 −−=Ι je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konveksan. (2) 3 2xy +=
R=fD
( )
( )3 5
3 2
2x9
2)x(y
2x3
1)x(y
+⋅−=′′
+⋅=′
{ }2DD ff −== ′′′ \R N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
( ){ }2x,0
2x9
2)x(y3 5
−∈∀≠+⋅
−=′′ \R
Druga derivacija nije definirana u točki 2x0 −= , pa je to apscisa moguće točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( )( )( ) ( )
0h9
2
h9
2
2h29
2h2yhxy3 53 53 50 >⋅
=−⋅
−=+−−⋅
−=−−′′=−′′
( ) ( )( )( )
0h9
2
2h29
2h2yhxy3 53 50 <⋅
−=++−⋅
−=+−′′=+′′
Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy >′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy <′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.
( ) 0222y 3 =+−=−
Točka ( )0,2−=Ι je točka infleksije.
140 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konveksan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konkavan
(3) 3x
1y−
=
{ }3Df \R=
( )
( )3
2
3x2)x(y
3x1)x(y
−=′′
−−=′
{ }3DD ff \R== ′′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
( ){ }3x,0
3x2)x(y 3 \R∈∀≠−
=′′
Druga derivacija nije definirana u točki 3x0 = , no kako ni sama funkcija nije definirana u toj točki, nema točke infleksije. Da bi odredili intervale konveksnosti, konkavnosti promatramo ponašanje druge derivacije u okolini točke 3x0 = . Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( )( )( ) ( )
0h2
h2
3h32h3yhxy 3330 <−=
−=
−−=−′′=−′′
( ) ( )( )( )
0h2
3h32h3yhxy 330 >=−+
=+′′=+′′
Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x .
Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )3,∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞,3 graf funkcije je konveksan. (4) xexy ⋅=
( )( ) x
x
ex2)x(yex1)x(y⋅+=′′
⋅+=′
R=== ′′′ fff DDD
Zbirka zadataka iz Matematike 1 141
N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
( ) 2x0ex2)x(y 0x −=⇒=⋅+=′′
D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( )( ) 0eheh22h2yhxy h2h2
0 <⋅−=⋅−−+=−−′′=−′′ −−−−
( ) ( ) ( )( ) 0eheh22h2yhxy h2h20 >⋅=⋅+−+=+−′′=+′′ +−+−
Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.
( ) ( ) 2e22y −⋅−=−
Točka
−−=Ι 2e
2,2 je točka infleksije.
Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konveksan. ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite intervale konveksnosti, konkavnosti za funkcije :
(1) x1
ey−
=
(2) 2xx3y
2
+−
=
2. Odredite točke infleksije za funkcije :
(1) 2x2xy −⋅=
(2) x1
ey−
=
(3) 2
xxy42 −
=
(4) 1x1xy 2
2
+−
=
(5) 2
3
x1xy +
=
(6) 1x
1x2xy 2
2
++−
=
142 Zbirka zadataka iz Matematike 1
R. 1.
(1) ( ) konveksan...,21,konkavan...
21,00,
+∞
∪∞−
(2) ( ) ( ) konveksan...,2,konkavan...2, +∞−−∞− 2.
(1) ( )0,0=Ι
(2)
=Ι 2e
1,21
(3)
=Ι
−=Ι
725,
66,
725,
66
21
(4)
=Ι
−−=Ι
21,
33,
21,
33
21
(5) ( )0,1−=Ι
(6) ( )1,0=Ι 5.15. Asimptote Primjer 1. Odredite asimptote krivulje :
(1) 3x
3x6xy2
−+−
=
(2) 1x
1xy2
2
−
+=
R.
(1) 3x
3x6xy2
−+−
=
{ }3Df \R= Pravac 3x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :
−∞=−
=+−
=−
+−→ 0
60
31893x
3x6xlim2
3x
Zbirka zadataka iz Matematike 1 143
Pravac 3xy −= je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :
122lim
3x26x2lim
x3x3x6xlim
x3x
3x6x
limxx2
2
x
2
x==
∞∞
=−−
=
∞∞
=−
+−=−
+−
±∞→±∞→±∞→±∞→
( ) 313lim
3x3x3lim
3x3xx3x6xlimx1
3x3x6xlim
xx
2
x
2
x−=
−=
−+−
=
−
−⋅−+−=
⋅−
−+−
±∞→±∞→±∞→±∞→
(2) 1x
1xy2
2
−
+=
[ ] ( ) ( )+∞∪−∞−== ,11,1,1-Df \R Pravac 1x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :
+∞==−+
=−
+→ 0
211
111x
1xlim2
2
1x
Pravac 1x −= je vertikalna asimptota jer vrijedi :
+∞==−+
=−
+−→ 0
211
111x
1xlim2
2
1x
Pravac xy = je desna kosa asimptota :
1
x11xx
x11x
lim1xx
1xlimx
1x1x
lim
2
22
x2
2
x
2
2
x=
−⋅⋅
+⋅
=−⋅
+=−
+
+∞→+∞→+∞→
144 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )03
x23lim
x2x3lim
1xx1x1xx1x3lim
1xx1x1x1xx1xlim
1xx1x1xx1x
1x1xx1xlim
1x1xx1xlimx1
1x1xlim
x3
2
x2222
2
x
222
2222
x22
22
2
22
x
2
22
x2
2
x
=∞
===−⋅+−+−⋅
+=
=−⋅++⋅−
−⋅−+=
−⋅++
−⋅++⋅
−
−⋅−+=
=−
−⋅−+=
⋅−
−
+
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
Pravac xy −= je lijeva kosa asimptota :
1
x11xx
x11x
lim1xx
1xlimx
1x1x
lim
2
22
x2
2
x
2
2
x−=
−⋅⋅
+⋅
=−⋅
+=−
+
−∞→−∞→−∞→
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )03
x23lim
x2x3lim
1xx1x1xx1x3lim
1xx1x1x1xx1xlim
1xx1x1xx1x
1x1xx1xlim
1x1xx1xlimx1
1x1xlim
x3
2
x2222
2
x
222
2222
x22
22
2
22
x
2
22
x2
2
x
=∞
=−
=−
=−⋅−−+−⋅
+=
=−⋅−+⋅−
−⋅−+=
−⋅−+
−⋅−+⋅
−
−⋅++=
=−
−⋅++=
⋅+
−
+
−∞→−∞→−∞→
−∞→−∞→
−∞→−∞→
Zbirka zadataka iz Matematike 1 145
ZADACI ZA VJEŽBU Odredite asimptote krivulje :
(1) x1
ey =
(2) 2
2
x93x2xy
−−−
=
(3) 2xx3y
2
+−
=
(4) 2
3
x1x2y +
=
(5) 2xx4x2xy 2
2
−++−
=
(6) 1x
xy2
−=
(7) x2
6xxy2
−−−
=
(8) ( )2
3
1x2xy+⋅
=
R.
(1) 1y,0x ==
(2) 1y,3x −=−=
(3) 2xy,2x +−=−=
(4) x2y,0x ==
(5) 1y,1x,2x ==−=
(6) 1xy,1x +==
(7) 1xy,2x −−==
(8) 1x21y,1x −=−=
146 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije Primjer 1.
Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju ( )2
3
1xxy−
= .
R. 1. područje definicije
{ }1Df \R= 2. sjecišta s koordinatnim osima :
x-osi (y=0)... ( )
( )0,0T0x1x
x0 2
3
=⇒=⇒−
=
y-osi (x=0)... ( )
( )0,0T0y010
0y0x 2
3
=⇒=⇒=−
=⇒=
3. asimptote Pravac 1x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :
( ) ( )∞==
−=
−→ 01
111
1xxlim 2
3
2
3
1x
Pravac 2xy += je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :
( )( )
122lim
x2x2lim
1x2xxlim
1xxxlim
x1x
x
limxx2
2
x2
3
x
2
3
x===
∞∞
=+−
=−⋅
=−±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→
( )( )
( )2
x2x4lim
1x2xxx2lim
1x1xxxlimx1
1xxlim
x2
2
x2
23
x2
3
x==
+−
−=
−−⋅−
=
⋅−
− ±∞→±∞→±∞→±∞→
4. ekstremi
( )( )32
1x3xx)x(y
−
−⋅=′
( )41xx6)x(y−
=′′
{ }1DD ff \R== ′′′
N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
( )( )
3x,0x01x
3xx213
2
==⇒=−
−⋅
Zbirka zadataka iz Matematike 1 147
( )0xy′ ne postoji za 1x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada
kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′
( )( )
⇒=−⋅
=′′ 010060y 4 u 0x1 = funkcija ne postiže ekstrem
( )( )
⇒>=−⋅
=′′ 01618
13363y 4 za 3x2 = funkcija postiže minimum
427ymin =
Točka
=
427,3Tmin je točka minimuma.
5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )
01h
3hh1h0
3h0h0h0yhxy 3
2
3
2
1 >−−−−⋅
=−−
−−⋅−=−′=−′
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )
01h
3hh1h0
3h0h0h0yhxy 3
2
3
2
1 >−−⋅
=−+
−+⋅+=+′=+′
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )
0h2
hh31h3
3h3h3h3yhxy 3
2
3
2
2 <−
−⋅−=
−−−−⋅−
=−′=−′
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )
0h2
hh31h3
3h3h3h3yhxy 3
2
3
2
2 >+
⋅+=
−+−+⋅+
=+′=+′
Intervali monotonosti : u intervalu ( ) ( )+∞∪∞− ,31, f raste u intervalu ( )3,1 f pada 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
( )0x0
1xx6)x(y 04 =⇒=−
=′′
( )0xy ′′ ne postoji za 1x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
01hh6
1h0h06h0yhxy 440 <
−−−
=−−−⋅
=−′′=−′′
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
01hh6
1h0h06h0yhxy 440 >
−=
−++⋅
=+′′=+′′
148 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.
( )( )
010
00y 2
3
=−
=
Točka ( )0,0=Ι je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu ( )0,∞− graf funkcije je konkavan, a u intervalu ( ) ( )+∞∪ ,11,0 graf funkcije je konveksan.
Primjer 2. Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju arctgxxy ⋅= . R. 1. područje definicije
R=fD 2. sjecišta s koordinatnim osima : x-osi (y=0)... ( )0,0T0xarctgxx0 =⇒=⇒⋅= y-osi (x=0)... ( )0,0T0y00arctg0y0x =⇒=⇒=⋅=⇒=
Zbirka zadataka iz Matematike 1 149
3. asimptote
Pravac 1x2
y −⋅π
= je desna kosa asimptota :
2arctgxlim
xarctgxxlim
xx
π==
⋅+∞→+∞→
( ) ( )
1x2x2lim
x1xlim
x1x1
1
lim
00
x1
2arctgx
lim02
arctgxxlimx2
arctgxxlim
x2
2
x
2
2
x
xxx
−=−
=+−
=−
+=
=
=
π
−=⋅∞=
π
−⋅=∞−∞=
⋅
π−⋅
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
Pravac 1x2
y −⋅π
−= je lijeva kosa asimptota :
2arctgxlim
xarctgxxlim
xx
π−==
⋅−∞→−∞→
( ) ( )
1x2x2lim
x1xlim
x1x1
1
lim
00
x1
2arctgx
lim02
arctgxxlimx2
arctgxxlim
x2
2
x
2
2
x
xxx
−=−
=+−
=−
+=
=
=
π
+=⋅∞=
π
+⋅=∞−∞=
⋅
π+⋅
−∞→−∞→−∞→
−∞→−∞→−∞→
4. ekstremi
2x1xarctgx)x(y+
+=′
( )22x12)x(y
+=′′
R== ′′′ ff DD N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
( ) 0x0x1
xx1arctgxx1
xarctgx 02
2
2 =⇒=+
++⋅=
++
D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′
( )( )
⇒>=+
=′′ 020120y 22
za 0x0 = funkcija postiže minimum 0ymin =
150 Zbirka zadataka iz Matematike 1
Točka ( )0,0Tmin = je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 0h1hharctg
h01h0h0arctgh0yhxy 220 <
+−
+−=−+−
+−=−′=−′
( ) ( ) ( ) ( )( )
0h1
harctghh01
h0h0arctgh0yhxy 220 >+
+=+++
++=+′=+′
Intervali monotonosti : u intervalu ( )0,∞− f pada u intervalu ( )+∞,0 f raste 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
( )⇒∈∀≠
+=′′ Rx,0
x12)x(y 22
funkcija nema točke infleksije
⇒∈∀>′′ Rx,0)x(y graf funkcije je konveksan
Zbirka zadataka iz Matematike 1 151
Primjer 3.
Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju x1
exy ⋅= . R. 1. područje definicije
{ }0Df \R= 2. sjecišta s koordinatnim osima :
x-osi (y=0)... 0xex0 x1
=⇒⋅= , no { }0Df \R= , što znači da funkcija ne siječe x-os y-osi (x=0)... { }0Df \R= , što znači da funkcija ne siječe y-os 3. asimptote Pravac 0x = je vertikalna asimptota, jer vrijedi :
( ) ∞===
=
−
⋅−=
∞∞
=
=∞⋅=
⋅ ∞
→→→→eeelim
x1
x1e
lim
x1
elim0exlim 01
x1
0x
2
2x1
0x
x1
0xx1
0x
Pravac 1xy += je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna, jer vrijedi :
1eelimxexlim 0x
1
x
x1
x===
⋅±∞→±∞→
1eelim
x1
x1e
lim
x1
1elim1exlimx1exlim 0x
1
x
2
2x1
x
x1
xx1
xx1
x===
−
⋅−=
−
=
−⋅=
⋅−⋅
±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→
4. ekstremi
x1
ex
1x)x(y ⋅−
=′
3
x1
xe)x(y =′′
{ }0DD ff \R== ′′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji
1x0ex
1x0
x1
=⇒=⋅−
152 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )0xy′ ne postoji za 0x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada
kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′
( ) ⇒>==′′ 0e1e1y 3
1
za 1x0 = funkcija postiže minimum eymin =
Točka ( )e,1Tmin = je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( ) ( )( ) 0e
h1he
h01h0h0y h
1h0
1
>⋅−−−
=⋅−−−
=−′ −−
( ) ( )( ) 0e
h1he
h01h0h0y h
1h0
1
<⋅−
=⋅+
−+=+′ +
( ) ( )( ) 0e
h1he
h11h1h1y h1
1h1
1
<⋅−−
=⋅−−−
=−′ −−
( ) ( )( ) 0e
h1he
h11h1h1y h1
1h1
1
>⋅+
=⋅+
−+=+′ ++
Intervali monotonosti : u intervalu ( ) ( )+∞∪∞− ,10, f raste u intervalu ( )1,0 f pada 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji
f3
x1
Dx,0xe)x(y ∈∀≠=′′
( )0xy ′′ ne postoji za 0x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke infleksije. Funkcija nema točke infleksije. Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :
( )( ) ( )
0h
eh0
eh0y 3
h1
3
h01
<−
=−
=−′′−−
( )( )
0he
h0eh0y 3
h1
3
h01
>=+
=+′′+
Zbirka zadataka iz Matematike 1 153
Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu ( )0,∞− graf funkcije je konkavan, a u intervalu ( )+∞,0 graf funkcije je konveksan.
154 Zbirka zadataka iz Matematike 1
ZADACI ZA VJEŽBU Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkcije :
(1) 2x
xy2
−=
(2) 2
3
x1xy +
=
(3) 2x
6xxy2
−−−
=
(4) 3 3x1y −=
(5) 2xxexy −⋅=
R. (1)
(2)
Zbirka zadataka iz Matematike 1 155
(3)
(4)
(5)
156 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5.17. Zakrivljenost krivulje Primjer 1.
Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje 1x
1)x(y−
= u točki ( )1,2T = .
R.
1x1)x(y−
=
( ) ( )1
121)2(y
1x1)x(y 22 −=
−−
=′⇒−−
=′
( ) ( )2
122)2(y
1x2)x(y 33 =
−=′′⇒
−=′′
( )( )( )( ) ( )( ) 2
22
122
222
11
2
xy1
xyk33232
====−+
=′+
′′=
22
2
22
1k1R ====
Primjer 2. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje xln)x(y = u sjecištu s x-osi. R. Sjecište s x-osi :
1xxlny
0y=⇒
==
xln)x(y =
111)1(y
x1)x(y ==′⇒=′
11
1)1(yx
1)x(y 22 −=−
=′′⇒−
=′′
( )( )( )( ) ( ) 4
2221
21
11
1
xy1
xyk33232
−=−
=−
=+
−=
′+
′′=
222
4
42
1k1R ====
Zbirka zadataka iz Matematike 1 157
Primjer 3.
Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti parametarski zadane krivulje
⋅=
=t
t
ety
ex u
točki 0t = . R.
ttt ex,exex ==⇒= &&& 1e)0(x,1e)0(x 00 ==== &&&
tttttttt ete2eteey,eteyety ⋅+⋅=⋅++=⋅+=⇒⋅= &&&
2e0e2)1(y,1e0e)0(y 0000 =⋅+⋅==⋅+= &&&
( ) ( ) 42
221
21
11
1121
yx
xyyxk3322322
===+
⋅−⋅=
+
⋅−⋅=
&&
&&&&&&
222
4
42
1k1R ====
Primjer 4. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje 3yxyx 22 =++ u točki ( )1,1T = . R.
3yxyx 22 =++
0yy2yy2yxyy20yy2yxyx2
=′′⋅⋅+′⋅′⋅+′′⋅+′+′+=′⋅⋅+′⋅++⋅
( )
1y3y3
0y12y11121y,1x/0yy2yxyx2
)1,1(T −=′⇒
−=′=′⋅⋅+′⋅++⋅
===′⋅⋅+′⋅++⋅
=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
32y
2y30y12112y1112
1y,1x/0yy2yy2yxyy2
)1,1(T −=′′⇒
−=′′=′′⋅⋅+−⋅−⋅+′′⋅+−+−+
===′′⋅⋅+′⋅′⋅+′′⋅+′+′+
=
158 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( )( )( )( ) ( )( ) 6
223
12232
232
11
32
xy1
xyk33232
−=−=−
=−
=−+
−=
′+
′′=
232
6
62
1k1R ====
ZADACI ZA VJEŽBU Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulja :
(1)
+=
x11arctgy u sjecištu s pravcem 1x −=
(2) exyey =+ u točki ( )1,0T =
(3)
⋅=
+=t
t
ety
etx u točki ( )0,1T =
(4)
⋅=
⋅=
tsinbytcosax
u točkama 0t1 = , 2
t 2π
=
(5)
−=
+=
1tty
2tt2x
u točki ( )2,1T =
R.
(1) 22k −= , 2R =
(2) ( )32 1e
ek+
= , ( )
e1e
R32 +
=
(3) 25
53k = , 3
55R =
(4) ⇒= 0t1 2bak −= ,
abR
2
=
⇒π
=2
t2 2abk −= ,
baR
2
=
(5) 24
1717R =
Zbirka zadataka iz Matematike 1 159
6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 6.1. Metoda sekante (regula falsi) Primjer 1. Metodom sekante na intervalu [ ]1,0 nađite realni korijen jednadžbe 01x3x3 =−+ s točnošću na bar tri decimale. R. Stavimo ax0 = i bx1 = , zatim računamo niz ( ) ,...4,3,2n,xn = po formuli :
( ) ( ) ( )nnk
nkn1n xf
xfxfxxxx ⋅
−−
−=+ ,
gdje je kx ona prethodna aproksimacija, za koju je ( ) ( ) 0xfxf kn <⋅ . Definiramo : ( ) 1x3xxf 3 −+= Odaberemo : 0x0 = , 1x1 = Izračunamo : ( ) 10f −= , ( ) 31f = Računamo daljne aproksimacije :
( ) ( ) ( ) ( ) 25.0313
011xfxfxf
xxxx 112
1212 =⋅
−−−
−=⋅−−
−=
( ) 234.025.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 304.0234.0234.0325.0125.0xf
xfxfxxxx 2
21
2123 =−⋅
−−−
−=⋅−−
−=
( ) 06.0304.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 318.006.006.03
304.01304.0xfxfxf
xxxx 3
31
3134 =−⋅
−−−
−=⋅−−
−=
( ) 014.0318.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅
160 Zbirka zadataka iz Matematike 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 321.0014.0014.03
318.01318.0xfxfxf
xxxx 441
4145 =−⋅
−−−
−=⋅−−
−=
( ) 004.0321.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 322.0004.0004.03
321.01321.0xfxfxf
xxxx 5
51
5156 =−⋅
−−−
−=⋅−−
−=
( ) 0006.0322.0f −=
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
Ako navedeni algoritam programiramo u nekom od programskih jezika, računalo će koristiti veći broj znamenaka, pa ako dobro odaberemo početni interval, već nakon nekoliko koraka doći ćemo do točnog (približnog) rezultata.
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -1.00000 1.00000 3.00000 0.25000 -0.23438 2 0.25000 -0.23438 1.00000 3.00000 0.30435 -0.05877 3 0.30435 -0.05877 1.00000 3.00000 0.31771 -0.01479 4 0.31771 -0.01479 1.00000 3.00000 0.32106 -0.00372 5 0.32106 -0.00372 1.00000 3.00000 0.32190 -0.00094 6 0.32190 -0.00094 1.00000 3.00000 0.32211 -0.00024 7 0.32211 -0.00024 1.00000 3.00000 0.32217 -5.94774e-5
Zbirka zadataka iz Matematike 1 161
Primjer 2. Metodom sekante nađite realne korijene sljedećih jednadžbi : (1) 05x2x3 =−− (2) 02xx5 =−− (3) 01xx3 =+− R. (1) 5x2x)x(f 3 −−= na [ ]3,2
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 -1.00000 3.00000 16.00000 2.05882 -0.39080 2 2.05882 -0.39080 3.00000 16.00000 2.08126 -0.14720 3 2.08126 -0.14720 3.00000 16.00000 2.08964 -0.05468 4 2.08964 -0.05468 3.00000 16.00000 2.09274 -0.02020 5 2.09274 -0.02020 3.00000 16.00000 2.09388 -0.00745 6 2.09388 -0.00745 3.00000 16.00000 2.09431 -0.00275 7 2.09431 -0.00275 3.00000 16.00000 2.09446 -0.00101 8 2.09446 -0.00101 3.00000 16.00000 2.09452 -0.00037 9 2.09452 -0.00037 3.00000 16.00000 2.09454 -0.00014 10 2.09454 -0.00014 3.00000 16.00000 2.09455 -5.05686e-5
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
162 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(2) 2xx)x(f 5 −−= na [ ]2,1
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 1.00000 -2.00000 2.00000 28.00000 1.06667 -1.68583 2 1.06667 -1.68583 2.00000 28.00000 1.11967 -1.35993 3 1.11967 -1.35993 2.00000 28.00000 1.16045 -1.05607 4 1.16045 -1.05607 2.00000 28.00000 1.19096 -0.79496 5 1.19096 -0.79496 2.00000 28.00000 1.21330 -0.58404 6 1.21330 -0.58404 2.00000 28.00000 1.22937 -0.42127 7 1.22937 -0.42127 2.00000 28.00000 1.24079 -0.29979 8 1.24079 -0.29979 2.00000 28.00000 1.24883 -0.21127 9 1.24883 -0.21127 2.00000 28.00000 1.25446 -0.14786
10 1.25446 -0.14786 2.00000 28.00000 1.25838 -0.10298 11 1.25838 -0.10298 2.00000 28.00000 1.26109 -0.07148 12 1.26109 -0.07148 2.00000 28.00000 1.26298 -0.0495 13 1.26298 -0.04950 2.00000 28.00000 1.26428 -0.03422 14 1.26428 -0.03422 2.00000 28.00000 1.26517 -0.02363 15 1.26517 -0.02363 2.00000 28.00000 1.26579 -0.01630 16 1.26579 -0.01630 2.00000 28.00000 1.26622 -0.01124 17 1.26622 -0.01124 2.00000 28.00000 1.26652 -0.00775 18 1.26652 -0.00775 2.00000 28.00000 1.26672 -0.00534 19 1.26672 -0.00534 2.00000 28.00000 1.26686 -0.00368 20 1.26686 -0.00368 2.00000 28.00000 1.26696 -0.00254 21 1.26696 -0.00254 2.00000 28.00000 1.26702 -0.00175 22 1.26702 -0.00175 2.00000 28.00000 1.26707 -0.0012 23 1.26707 -0.00120 2.00000 28.00000 1.26710 -0.00083 24 1.26710 -0.00083 2.00000 28.00000 1.26712 -0.00057 25 1.26712 -0.00057 2.00000 28.00000 1.267146 -0.00039 26 1.267146 -0.00039 2.00000 28.00000 1.267153 -0.00019 27 1.267153 -0.00019 2.00000 28.00000 1.267157 -0.00013 28 1.267157 -0.00013 2.00000 28.00000 1.267161 -8.85003e-5
3 2 1 0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
f x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 163
(3) 1xx)x(f 3 +−= na [ ]1,2 −−
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 -1.00000 1.00000 -2.00000 -5.00000 -1.16667 0.57870 2 -1.16667 0.57870 -2.00000 -5.00000 -1.25311 0.28536 3 -1.25311 0.28536 -2.00000 -5.00000 -1.29344 0.12954 4 -1.29344 0.12954 -2.00000 -5.00000 -1.31128 0.05659 5 -1.31128 0.05659 -2.00000 -5.00000 -1.31899 0.02430 6 -1.31899 0.02430 -2.00000 -5.00000 -1.32228 0.01036 7 -1.32228 0.01036 -2.00000 -5.00000 -1.32368 0.00440 8 -1.32368 0.00440 -2.00000 -5.00000 -1.32428 0.00187 9 -1.32428 0.00187 -2.00000 -5.00000 -1.32453 0.00079 10 -1.32453 0.00079 -2.00000 -5.00000 -1.32464 0.00034 11 -1.32464 0.00034 -2.00000 -5.00000 -1.32468 0.00014 12 -1.32468 0.00014 -2.00000 -5.00000 -1.32470 6.0475e-5
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
164 Zbirka zadataka iz Matematike 1
6.2. Metoda tangente (Newtonova metoda) Primjer 1. Metodom tangente nađite realni korijen jednadžbe 05x3x3 =−− s točnošću 0.001. R. Izaberemo [ ]b,ax1 ∈ , i računamo niz ( ) ,...4,3,2n,xn = po formuli :
( )( )n
nn1n xf
xfxx′
−=+ , ,...3,2,1n =
Definiramo : 5x3x)x(f 3 −−= Odaberemo : 3x1 = Izračunamo : 3x3)x(f 2 −=′ Računamo aproksimacije :
( )( ) 46.2
24133
32759273
xfxfxx
1
112 =−=
−−−
−=′
−=
( )( ) 295.2165.046.2
316.18538.789.1446.2
xfxfxx
2
223 =−=
−−−
−=′
−=
( )( ) 279.2016.0295.2
3801.155885.6088.12295.2
xfxf
xx3
334 =−=
−−−
−=′
−=
( )( ) 279.2
582.120279.2
3582.155837.6837.11279.2
xfxfxx
4
445 =−=
−−−
−=′
−=
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 165
Računajući s većim brojem znamenaka, dobivamo :
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 13.00000 24.00000 -0.54167 2.45833 2 2.45833 2.48170 15.13021 -0.16402 2.29431 3 2.29431 0.19400 12.79158 -0.01517 2.27914 4 2.27914 0.00158 12.58350 -0.00013 2.27902 5 2.27902 1.07752e-7 12.58178 -8.56413e-9 2.27902
Primjer 2. Metodom tangente nađite rješenja jednadžbi :
(1) x1tgx = na intervalu [ ]ππ− ,
(2) 2xxsin = (3) x42x = (4) x3x e4e −−= (5) 2x x1e2.0 −=⋅
(6) x1xlog =
(7) 4x2xln −= R.
(1) x1tgx)x(f −=
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -π 0.31831 1.10132 -0.28903 -3.43062 2 -3.43062 -0.00586 1.17339 0.00499 -3.42562 3 -3.42562 -7.39415e-6 1.17044 6.31743e-6 -3.42562
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π -0.31831 1.10132 0.28903 3.43062 2 3.43062 0.00586 1.17339 -0.00499 3.42562 3 3.42562 7.39415e-6 1.17044 -6.31743e-6 3.42562
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -0.10000 9.89967 101.01007 -0.09801 -0.19801 2 -0.19801 4.84970 26.54612 -0.18269 -0.38070 3 -0.38070 2.22655 8.06008 -0.27624 -0.65694 4 -0.65694 0.75100 3.91189 -0.19198 -0.84892 5 -0.84892 0.04212 3.67777 -0.01145 -0.86037 6 -0.86037 -0.00014 3.70215 3.65517e-5 -0.86033
166 Zbirka zadataka iz Matematike 1
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.10000 -9.89967 101.01007 0.09801 0.19801 2 0.19801 -4.84970 26.54612 0.18269 0.38070 3 0.38070 -2.22655 8.06008 0.27624 0.65694 4 0.65694 -0.75100 3.91189 0.19198 0.84892 5 0.84892 -0.04212 3.67777 0.01145 0.86037 6 0.86037 0.00014 3.70215 -3.65517e-5 0.86033
tgx)x(f1 = , x1)x(f2 =
6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28
6.28
4.71
3.14
1.57
1.57
3.14
4.71
6.28
f1 x( )
f2 x( )
(2) 2xxsin)x(f −=
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.10000 0.08983 0.79500 -0.11300 -0.01300 2 -0.01300 -0.01317 1.02591 0.01283 -0.00016 3 -0.00016 -0.00016 1.00033 0.00016 -2.68703e-8 4 -2.68703e-8 -2.68703e-8 1.00000 2.68703e-8 0.00000
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π -9.86960 -7.28319 -1.35512 1.78647 2 1.78647 -2.21465 -3.78695 -0.58481 1.20166 3 1.20166 -0.51135 -2.04251 -0.25035 0.95131 4 0.95131 -0.09081 -1.32200 -0.06869 0.88262 5 0.88262 -0.00661 -1.13010 -0.00585 0.87677
Zbirka zadataka iz Matematike 1 167
xsin)x(f1 = , 2
2 x)x(f =
6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28
6.28
4.71
3.14
1.57
1.57
3.14
4.71
6.28
f1 x( )
f2 x( )
(3) x42)x(f x −=
x1 2)x(f = , x4)x(f2 =
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
2
4
6
8
10
12
14
16
18
f1 x( )
f2 x( )
168 Zbirka zadataka iz Matematike 1
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 1.00000 -3.30685 0.30240 0.30240 2 0.30240 0.02359 -3.14521 0.00750 0.30990 3 0.30990 1.66896e-5 -3.14076 5.31388e-6 0.30991
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 -4.00000 1.54518 2.58870 5.58870 2 5.58870 25.76970 29.35736 -0.87779 4.71091 3 4.71091 7.34568 14.15304 -0.51902 4.19189 4 4.19189 1.50857 8.66804 -0.17404 4.01785 5 4.01785 0.12779 7.22842 -0.01768 4.00017 6 4.00017 0.00121 7.09167 -0.00017 4.00000 7 4.00000 1.12152e-7 7.09036 -1.58176e-8 4.00000
(4) 4ee)x(f x3x −+= −
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -1.00000 16.45342 -59.88873 0.27473 -0.72527 2 -0.72527 5.29343 -25.94351 0.20404 -0.52123 3 -0.52123 1.37020 -13.73546 0.09976 -0.42147 4 -0.42147 0.19712 -9.96704 0.01978 -0.40170 5 -0.40170 0.00624 -9.34198 0.00067 -0.40103 6 -0.40103 6.84517e-6 -9.32150 7.34342e-7 -0.40103
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 1.00000 -1.23193 2.56892 0.47955 1.47955 2 1.47955 0.40279 4.35554 -0.09248 1.38707 3 1.38707 0.01871 3.95636 -0.00473 1.38235 4 1.38235 4.62699e-5 3.93680 -1.17532e-5 1.38233
x1 e)x(f = , x3
2 e4)x(f −−=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
f1 x( )
f2 x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 169
(5) 2x x1e2.0)x(f +−⋅=
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 -0.80000 0.200000 4.00000 4.00000 2 4.00000 25.91963 18.91963 -1.36999 2.63001 3 2.63001 8.96177 8.03482 -1.08176 1.54825 4 1.54825 2.33773 4.03715 -0.57905 0.96920 5 0.96920 0.46651 2.46556 -0.18921 0.77999 6 0.77999 0.04467 1.99626 -0.02238 0.75761 7 0.75761 0.00061 1.94186 -0.00031 0.75730 8 0.75730 1.19376e-7 1.94110 -6.14994e-8 0.75730
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -2.00000 3.02707 -3.97293 0.76192 -1.23808 2 -1.23808 0.59082 -2.41817 0.24433 -0.99375 3 -0.99375 0.06158 -1.91346 0.03218 -0.96157 4 -0.96157 0.00107 -1.84668 0.00058 -0.96099 5 -0.96099 3.51403e-7 -1.84547 1.90413e-7 -0.96099
x
1 e2.0)x(f ⋅= , 22 x1)x(f −=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
f1 x( )
f2 x( )
(6) x1xlog)x(f −=
i xi f(xi) f'4(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 1.00000 -1.00000 1.43429 0.69721 1.69721 2 1.69721 -0.35947 0.60305 0.59609 2.29329 3 2.29329 -0.07559 0.37952 0.19919 2.49248 4 2.49248 -0.00458 0.33521 0.01365 2.50613 5 2.50613 -1.84574e-5 0.33251 5.55094-5 2.50618
170 Zbirka zadataka iz Matematike 1
xlog)x(f1 = , x1)x(f2 =
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4
3
2
1
1
2
3
4
f1 x( )
f2 x( )
(7) 4x2xln)x(f +−=
xln)x(f1 = , 4x2)x(f2 −=
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
f1 x( )
f2 x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 171
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00100 -2.90976 998.00000 0.00292 0.00392 2 0.00392 -1.55062 253.38959 0.00612 0.01004 3 0.01004 -0.62174 97.65021 0.00637 0.01640 4 0.01640 -0.14315 58.96789 0.00243 0.01883 5 0.01883 -0.00998 51.10761 0.00020 0.01902 6 0.01902 -5.34007e-5 50.56253 1.05613e-6 0.01903
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 2.00000 0.69315 -1.50000 0.46210 2.46210 2 2.46210 -0.02318 -1.59384 -0.01454 2.44755 3 2.44755 -1.75186e-5 -1.59143 -1.10081e-5 2.44754
Primjer 3. Metodom sekante i tangente nađite korijene jednadžbi : (1) 01x3x3 =−+ (2) 05x3x3 =−− (3) 0xe x =−− (4) 010xlnx =−⋅ (5) 0x4xcos =− (6) 02xxsin =+− R. (1) 1x3x)x(f 3 −+= (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -1.00000 1.00000 3.00000 0.25000 -0.23438 2 0.25000 -0.23438 1.00000 3.00000 0.30435 -0.05877 3 0.30435 -0.05877 1.00000 3.00000 0.31771 -0.01479 4 0.31771 -0.01479 1.00000 3.00000 0.32106 -0.00372 5 0.32106 -0.00372 1.00000 3.00000 0.32190 -0.00094 6 0.32190 -0.00094 1.00000 3.00000 0.32211 -0.00024 7 0.32211 -0.00024 1.00000 3.00000 0.32217 -5.94774e-5
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 -1.00000 3.00000 0.33333 0.33333 2 0.33333 0.03704 3.33333 -0.01111 0.32222 3 0.32222 0.00012 3.31148 -3.68672e-5 0.32219 4 0.32219 1.31383e-9 3.31141 -3.9676e-10 0.32219
172 Zbirka zadataka iz Matematike 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
f x( )
(2) 5x3x)x(f 3 −−= (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -5.00000 3.00000 13.00000 0.83333 -6.92130 2 0.83333 -6.92130 3.00000 13.00000 1.58610 -5.76811 3 1.58610 -5.76811 3.00000 13.00000 2.02064 -2.81164 4 2.02064 -2.81164 3.00000 13.00000 2.19479 -1.01180 5 2.19479 -1.01180 3.00000 13.00000 2.25294 -0.32351 6 2.25294 -0.32351 3.00000 13.00000 2.27108 -0.09948 7 2.27108 -0.09948 3.00000 13.00000 2.27661 -0.03023 8 2.27661 -0.03023 3.00000 13.00000 2.27829 -0.00915 9 2.27829 -0.00915 3.00000 13.00000 2.27880 -0.00277 10 2.27880 -0.00277 3.00000 13.00000 2.27895 -0.00084 11 2.27895 -0.00084 3.00000 13.00000 2.27900 -0.00025 12 2.27900 -0.00025 3.00000 13.00000 2.27901 -7.63713e-5
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 13.00000 24.00000 -0.54167 2.45833 2 2.45833 2.48170 15.13021 -0.16402 2.29431 3 2.29431 0.19400 12.79158 -0.01517 2.27914 4 2.27914 0.00158 12.58350 -0.00013 2.27902 5 2.27902 1.07752e-7 12.58178 -8.56413e-9 2.27902
Zbirka zadataka iz Matematike 1 173
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
f x( )
(3) xe)x(f x −= − (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 -1.86466 0.00000 1.00000 0.69816 -0.20066 2 0.69816 -0.20066 0.00000 1.00000 0.58148 -0.02241 3 0.58148 -0.02241 0.00000 1.00000 0.56873 -0.00249 4 0.56873 -0.00249 0.00000 1.00000 0.56732 -0.00028 5 0.56732 -0.00028 0.00000 1.00000 0.56716 -3.08386e-5
x
1 e)x(f −= , x)x(f2 =
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
f1 x( )
f2 x( )
174 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 1.00000 -2.00000 0.50000 0.50000 2 0.50000 0.10653 -1.60653 0.06631 0.56631 3 0.56631 0.00130 -1.56762 0.00083 0.56714 4 0.56714 1.9648e-7 -1.56714 1.25375e-7 0.56714
(4) 10xlnx)x(f −⋅= (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 5.00000 -1.95281 6.00000 0.75056 5.72236 -0.01802 2 5.72236 -0.01802 6.00000 0.75056 5.72887 -0.00015 3 5.72887 -0.00015 6.00000 0.75056 5.72893 -1.27614e-6
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 5.00000 -1.95281 2.60944 0.74836 5.74836 2 5.74836 0.05340 2.74892 -0.01943 5.72894 3 5.72894 3.2864e-5 2.74553 -1.197e-5 5.72893
xlnx)x(f 1 ⋅= , 10)x(f2 =
4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
4
2
2
4
6
8
10
12
14
16
f1 x( )
f2 x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 175
(5) x4xcos)x(f −= (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 1.00000 1.00000 -3.45970 0.22423 0.07804 2 0.22423 0.07804 1.00000 -3.45970 0.24134 0.00564 3 0.24134 0.00564 1.00000 -3.45970 0.24258 0.00041 4 0.24258 0.00041 1.00000 -3.45970 0.24267 2.90962e-5
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π/2 -6.28319 -5.00000 -1.25664 0.31416 2 0.31416 -0.30558 -4.30902 -0.07092 0.24324 3 0.24324 -0.00241 -4.24085 -0.00057 0.24267 4 0.24267 -1.56579e-7 -4.24030 -3.69264e-8 0.24267
xcos)x(f1 = , x4)x(f2 =
6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28
6.28
4.71
3.14
1.57
1.57
3.14
4.71
6.28
f1 x( )
f2 x( )
(6) 2xxsin)x(f +−= (a) metoda sekante :
i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 0.90930 4.00000 -2.75680 2.49606 0.10557 2 2.49606 0.10557 4.00000 -2.75680 2.55153 0.00489 3 2.55153 0.00489 4.00000 -2.75680 2.55409 0.00019 4 2.55409 0.00019 4.00000 -2.75680 2.55419 7.50926e-6
176 Zbirka zadataka iz Matematike 1
(b) metoda tangente
i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π/2 1.42920 -1.00000 1.42920 3.00000 2 3.00000 -0.85888 -1.98999 -0.43160 2.56840 3 2.56840 -0.02608 -1.84017 -0.01417 2.55423 4 2.55423 -5.48779e-5 -1.83240 -2.99486e-5 2.55420
xsin)x(f1 = , 2x)x(f2 −=
6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28
6.28
4.71
3.14
1.57
1.57
3.14
4.71
6.28
f1 x( )
f2 x( )
Zbirka zadataka iz Matematike 1 177
7. LITERATURA 1. T. Bradić i drugi : Matematika za tehnološke fakultete
(Element , Zagreb, 1998.) 2. J.N. Bronstein, K.A. Semendjajev : Matematički priručnik
(Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.) 3. B. Dakić, N. Elezović: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred
prirodoslovnih gimnazija (Element, Zagreb, 2003.)
4. B. Dakić, N. Elezović: Priručnik za nastavnike uz udžbenik Matematike 4 (Element, Zagreb, 2004.)
5. B. Dakić : Zbirka zadataka iz matematika s pismenih ispita - 4 (Element, Zagreb, 1999.)
6. B.P.Demidovič : Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize (Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.)
7. P. Javor : Matematička analiza 1 (Element, Zagreb, 1995.)
8. P. Javor : Matematička analiza – Zbirka zadataka (Školska knjiga, Zagreb, 1994.)
9. P. Javor : Matematička analiza 2 (Element, Zagreb, 2003.)
10. V.P. Minorski : Zbirka zadataka iz više matematike (Tehnička knjiga, Zagreb, 1987.)
11. Ž. Pauše : Matematički priručnik 1 (Školska knjiga, Zagreb, 2003.)
12. Ž. Pauše : Matematički priručnik 2 (Školska knjiga, Zagreb, 2004.)
13. D. Perše : Matematika I (Veleučilište u Karlovcu, Karlovac, 2004.)