tevcic zbirk

VELEUČILIŠTE U KARLOVCU

Marina Tevčić : Zbirka zadataka iz Matematike 1

Karlovac, 2007.

SADRŽAJ 1. VEKTORI 1 2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 14 2.1. Ravnina 14 2.2. Pravac 21 2.3. Pravac i ravnina 31 3. MATRICE I DETERMINANTE 36 3.1. Matrice 36 3.2. Determinante 44 3.3. Sustavi linearnih jednadžbi 48 4. FUNKCIJE 62 4.1. Funkcije 62 4.2. Limes niza realnih brojeva 77 4.3. Neprekidnost i limes funkcije 81 5. DIFERENCIJALNI RAČUN 91 5.1. Derivacija nekih osnovnih funkcija 91 5.2. Osnovna pravila deriviranja 96 5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije 97 5.4. Logaritamsko deriviranje 102 5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije 105 5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije 107 5.7. Derivacije višeg reda 110 5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju 116 5.9. Diferencijal funkcije 121 5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije 123 5.11. Taylorova formula 124 5.12. L'Hospitalovo pravilo 127 5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije 132 5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije 138 5.15. Asimptote 142 5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije 146 5.17. Zakrivljenost krivulje 156 6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 159 6.1. Metoda sekante 159 6.2. Metoda tangente 164 7. LITERATURA 177

PREDGOVOR Sama ideja pisanja ove zbirke zadataka potekla je od profesora Dragutina Peršea,

koji me je upozorio da studenti Veleučilištu u Karlovcu, nailaze na mnoge poteškoće zbog nedostatka odgovarajuće literature za vježbu. To me je ponukalo da na jednom mjestu skupim sve one zadatke, koje sam godinama rješavala zajedno sa studentima na predavanjima, auditornim vježbama, ispitima.

Zbirka je podijeljena na 6 poglavlja, a neka od njih i na potpoglavlja. Organizirana je

tako da prati propisani nastavni plan i program iz kolegija Matematika I. Nadam se da ćete ovu zbirku zadataka koristiti kao dopunski izvor zadataka za

vježbu, ali tek nakon što ste usvojili teoretsko znanje na predavanjima ili iz pratećeg udžbenika, te samostalno riješili primjere obrađene na predavanjima, odnosno auditornim vježbama.

Primjeri obrađeni u zbirci uglavnom su detaljno riješeni, samo ponegdje je preskočen

jednostavni račun. Nakon svake cjeline, dani su još dodatni zadaci za vježbu uz predočenje konačnog rješenja.

Rješavajući samostalno ove zadatke, doći ćete do rješenja. Kontrolirajući Vaša

rješenja sa ovdje ponuđenim rješenjima, možda ćete naići na neke pogreške. Bit ću Vam zahvalna da me na njih upozorite. Trudit ću se ispraviti ih i ispravke unijeti u eventualno novo izdanje zbirke.

Najveći teret oko čitanja, korigiranja, poboljšanja ovog rukopisa, podnijela je dipl.ing.

matematike, gospođa Jasna Hoppe. Hvala ti, Jasna. Zahvaljujem recenzentima: profesoru Dragutinu Peršeu, profesorici Ljubici Štambuk,

profesoru Darku Vyroubalu, koji su tekst pomno pregledali i dali korisne primjedbe i sugestije. Veliku podšku u radu davao mi je profesor Dane Momčilović, koji me je i uveo u sve

one nepisane male tajne nastavničkog zvanja, bez njegove pomoći ne bi nastala ova zbirka. Ipak, najveći doprinos dali su studenti kojima sam predavala. Zajedno smo

osmišljavali, prilagođavali zadatke, ponekad uživali rješavajući ih, ponekad nam je njihovo rješavanje zadavalo sitne glavobolje, ali u konačnosti trud se isplatio. Ovladali smo materijom, ali i dokazali sebi samima onu poznatu izreku našeg velikog matematičara i pjesnika, Vladimira Devidea: «Matematika nipošto nije suhoparna, dosadna i bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke uzvraća ljubav onome koji je razumije i voli.»

I na kraju, dobra zabava svima Vama koji ćete se prihvatiti rješavanja zadataka iz ove

zbirke. Karlovac, 01.10.2007. Marina Tevčić

Zbirka zadataka iz Matematike 1 1

1. VEKTORI Primjer 1. Neka su vektori cAB

r= , aBC

r= , bCA

r= stranice trokuta ABC.

a) pomoću vektora c,b,arrr

izrazite vektore težišnica AD , BE, CF b) pokažite da i težišnice mogu biti stranice nekog trokuta

c) pokažite da je AB21ED =

R.

a)

c21bAB

21CAAFCACF

b21aCA

21BCCEBCBE

a21cBC

21ABBDABAD

rr

rr

rr

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

b) treba pokazati da vrijedi 0CFBEAD

r=++

( ) 0023cba

23c

23b

23a

23c

21bb

21aa

21cCFBEAD

rrrrrrrrrrrrrr=⋅=++=++=

++

++

+=++

c) ( ) ( ) AB21c

21c

21ba

21a

21b

21CDECED ==−⋅−=+−=−−=+=

rrrrrr

Primjer 2. Nađite vektor a

r za koji vrijedi 2ax −= , 3ay = i 7a =

r.

R.

2z

2y

2x aaaa ++=

r

( ) 6a361349aa13a327 z2

z2

z2

z22 ±=⇒=−=⇒+=++−=

k6j3i2a,k6j3i2a 21

rrrrrrrr++−=−+−=⇒

2 Zbirka zadataka iz Matematike 1

Primjer 3. Odredite radij-vektor a

r ako se zna da mu je modul 32 i da sa koordinatnim osima zatvara

jednake kuteve. R.

Ako je ar

radij-vektor, a γβα ,, kutevi koje zatvara s koordinatnim osima, tada vrijedi :

aacos,

aa

cos,aacos zyx rrr =γ=β=α .

Radij-vektor možemo napisati u obliku :

kcosajcosaicosakajaiaa zyx

rrrrrrrrrr⋅γ⋅+⋅β⋅+⋅α⋅=⋅+⋅+⋅=

( )kcosjcosicosaarrrrr⋅γ+⋅β+⋅α⋅= .

Za kuteve γβα ,, vrijedi i jednakost : 1coscoscos 222 =γ+β+α

Kako je 33

31cos1cos3 2 ±=±=α⇒=α⋅⇒γ=β=α , pa je

( )k2j2i2k33j

33i

3332a

rrrrrrr++±=

++⋅±=

Primjer 4. Zadana su tri uzastopna vrha )3,2,1(A −= , )1,2,3(B = i )4,4,6(C = paralelograma ABCD. Nađite koordinate vrha D i koordinate sjecišta dijagonala. R.


( ) ( ) ( ) ( )6,0,4Dk6i4kj2i3k4j4i6k3j2i

rrrBCOAADOAODr BCAD

=⇒+=++−++++−=

=−+=+=+==rrrrrrrrrrr

rrrr

( )

( ) ( )

=⇒++=++++−=

=+=−+=+=+==

27,1,

27Sk

27ji

27k4j4i6

21k3j2i

21

r21r

21rr

21rAC

21OAASOAOSr CAACAS

rrrrrrrrr

rrrrrr

Primjer 5. Zadana su točke )3,2,1(A = i )6,7,8(B = . Nađite točku C koja dužinu AB dijeli u omjeru 2:3. R.


( )

( ) ( )

=⇒++=+++++=

=+=−+=+=+==

521,4,

519Ck

521j4i

519k6j7i8

52k3j2i

53

r52r

53rr

52rAB

52OAACOAOCr BAABAC

rrrrrrrrr

rrrrrr

Primjer 6. Nađite skalarni produkt vektora b2a3m

rrr−= i b6a5n

rrr−= , ako je 4a =

r, 6b =r

, a ϕ kut

između vektora ar

i br

, 3π

=ϕ .

R.

( ) ( )3363612

2164281615612

3cos6428415

b12ba28a15b12ba10ba18a15b6a5b2a3nm

22

2222

=⋅+⋅⋅⋅−⋅=⋅+

π⋅⋅⋅−⋅=

=⋅+⋅⋅−⋅=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅=−⋅−=⋅rrrrrrrrrrrrrr

Primjer 7.

Nađite b3arr

− ako je 3a =r

, 2b =r

, a ϕ kut između vektora ar

i br

, 3π

=ϕ .

R.

( ) ( )

2736189293

cos2363

b9cosba6ab9ba6ab3ab3ab3a

22

2222

=+−=⋅+

π⋅⋅⋅−=

=⋅+ϕ⋅⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=−⋅−=−rrrrrrrrrrrrrr

Primjer 8. Odredite parametar λ tako da vektori k2j3i4a

rrrrλ+−λ= i k5ib

rrr+λ−= budu međusobno

okomiti. R.

⇒=⋅⇔⊥ 0babarrrr

( ) ( )

25,00104

052034

212 =λ=λ⇒=λ+λ−

=⋅λ+⋅−+λ−⋅λ


Primjer 9. Odredite površinu trokuta ABC koji ima vrhove ).6,3,3(C),2,4,2(B),2,4,4(A === R.

Označimo :

k4jirrACb

k0j0i2rrABa

AC

ABrrrrrr

rrrrrr

+−−=−==

⋅+⋅+−=−== .

Površina trokuta je ba21P

rr×= .

123.4268P6828ba

k2j82k)8(j0i411002kji

ba

22 ==⇒=+=×

+=⋅+−⋅−⋅=−−

−=×

rr

rrrrr

rrr

rr

Primjer 10. Izračunajte površinu paralelograma određenog vektorima ( )ab2

rr− i ( )b2a3

rr+ ako je 4a =

r,

5b =r

, a ϕ kut između vektora ar

i br

, 4π

=ϕ .

R. Površina paralelograma je nmP

rr×= .

Označimo ab2m

rrr−= , b2a3n

rrr+= , pa je :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ba8ba2ba6ba2aa3bb4ab6

b2aa3ab2b2a3b2b2a3ab2nmrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

×⋅−=×⋅−×⋅−=×⋅−×⋅−×⋅+×⋅=

=×−×−×+×=+×−=×

( ) 137.11328022548sinba8ba8ba8nmP =⋅=⋅⋅⋅=ϕ⋅⋅⋅=×⋅−=×⋅−=×=

vrrrrrrr


Primjer 11. Kolika je duljina visine spuštene iz vrha C trokuta ABC, ako su A=(2,-3,1), B=(-2,1,4), C=(3,1,1). R.

Kako je površina trokuta vAB21P ⋅⋅= , a to daje

AB

ACAB

ABP2v

×=

⋅= .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) j4ik11j31i23rrAC

k3j4i4k14j31i22rrAB

AC

ABrrrrrrr

rrrrrrrr

+=⋅−+⋅++⋅−=−=

++−=⋅−+⋅++⋅−−=−=

( ) ( )

( ) ( )

( )

672.341

553v

41344AB

55320312ACAB

k20j3i12416k)3(j12i041344kji

ACAB

222

222

==⇒

=++−=

=−++−=×

−+−=−−⋅+−⋅−−⋅=−=×rrrrrr

rrr

Primjer 12. Zadani su vrhovi tetraedra A=(1,-2,3), B=(-2,1,2), C=(3,5,-6), D=(4,2,1). Izračunajte volumen tog tetraedra. R.

Volumen tetraedra je ( ) ( ) ADACAB61AD,AC,AB

61V ⋅×== .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k2j4i3k31j22i14rrAD

k9j7i2k36j25i13rrAC

kj3i3k32j21i12rrAB

AD

AC

AB

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

−+=⋅−+⋅++⋅−=−=

−+=⋅−−+⋅++⋅−=−=

−+−=⋅−+⋅++⋅−−=−=


( )

3.206122

V

122243972133

ADACAB

&=−

=⇒

−=−−−−

=⋅×

Primjer 13. Da li su točke A=(1,-1,1), B=(0,2,4), C=(1,3,3), D=(4,0,-3) komplanarne ? R. Točke A, B, C, D bit će komplanarne ako leže u istoj ravnini, a onda su i vektori AD,AC,AB komplanarni, što znači da im mješoviti produkt mora biti jednak 0.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k4ji3k13j10i14rrAD

k2j4i0k13j13i11rrAC

k3j3ik14j12i10rrAB

AD

AC

AB

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

−+=⋅−−+⋅++⋅−=−=

++⋅=⋅−+⋅++⋅−=−=

++−=⋅−+⋅++⋅−=−=

( ) 0413

240331

ADACAB =−

−=⋅×

Dobili smo da je mješoviti produkt ( ) 0ADACAB =⋅× , što znači da su ti vektori komplanarni, a time su i točke A, B, C, D komplanarne. Primjer 14. Odredite parametar t tako da vektori k2j3ia

rrrr++−= , k4j3i2b

rrrr−−= , k6j12itc

rrrr++=

budu komplanarni. Rastavite vektor cr

u smjeru vektora biarr

. R. Treba odrediti t tako da vrijedi : ( ) 0cba =⋅× .

( )

k6j12i3c

3t018t6

18t6612t432

231cba

rrrr++−=⇒

−=⇒=−−⇒

−−=−−−

=⋅×


( )( )( )

ba5c1,54263312213

bac

rrr

rrr

+=⇒=µ=λ⇒

−⋅µ+⋅λ=−⋅µ+⋅λ=⋅µ+−⋅λ=−

⇒µ+λ=

Primjer 15. Nađite skalarnu komponentu projekcije vektora ( )cbad

rrr××= na vektor b

r ako su :

kji2c,kji2b,k2jarrrrrrrrrrr

++=−+=+= . R.

( )

3611

622

62416

)1(12)2()1(4182

bbdd

k2j4i8042210kji

cbad

j4i2)22(k)22(j)11(i112112

kjicb

222b ==++

=−++

−⋅−+⋅+⋅=

⋅=

−+=−

=××=

−=−⋅++⋅−+⋅=−=×

r

rrr

rrr

rrr

rrrr

rrrrr

rrr

rr

r

Primjer 16. Zadan je vektor j6i3a

rrr+= . Odredite vektor b

r u ravnini tako da je ab

rr⊥ i 5b =

r.

R.

⇒

+=

+=

jbibb

j6i3a

yx

rrr

rrr

⇒

=+⇒=

=+⇒=⋅⇒⊥

5bb5b

0b6b30baba2

y2

x

yxr

rrrr

ji2b,ji2b1b,2b5bb

0b6b321yx2

y2

x

yx rrrrrrm +−=−=⇒=±=⇒

=+

=+

Primjer 17. Izračunajte površinu trokuta što ga razapinju vektori abx

rrr−= i cba2y

rrrr−+= ako su

kj2i4c,k3jib,kji2arrrrrrrrrrrr

+−=++=+−= . R.

( ) ( ) k2j2ikji2k3jiabxrrrrrrrrrrrr

++−=+−−++=−=


( ) ( ) ( ) k4jikj2i4k3jikji22cba2y

rrrrrrrrrrrrrrrr++=+−−++++−=−+=

k3j6i6)21(k)24(j)28(i411221kji

yxrrrrrr

rrr

rr−+=−−⋅+−−⋅−−⋅=−=×

29

281)3(66

21yx

21P 222 ==−++=×⋅=

rr

Primjer 18. Odredite parametar k tako da vektor ( ) j2kia

rrr⋅−+−= zatvara s vektorima j5i12b

rrr−−=

i j3i4crrr

−= jednake kuteve. R.

169)2k(1k522

)5()12()2k()1()5()2k()12()1(

babacos

22222 ⋅−+

−=

−+−⋅−+−

−⋅−+−⋅−=

⋅

⋅=α vr

vr

25)2k(1k32

)3(4)2k()1()3()2k(4)1(

cacacos

22222 ⋅−+

−=

−+⋅−+−

−⋅−+⋅−=

⋅⋅

=γ rr

rr

Kako su kutevi α i γ jednaki, γ=α coscos , što daje :

25)2k(1k32

169)2k(1k522

22 ⋅−+

−=

⋅−+

−

5k32

13k522

)2k(15k32

)2k(113k522

22

−=

−⇒

−+⋅

−=

−+⋅

−

( ) ( ) 84k1413k325k522 −=⇒⋅−=⋅−

j8ia6krrr

−−=⇒−= Primjer 19. Nađite kuteve trokuta s vrhovima A=(2,3,-1), B=(2,1,2), C=(3,0,0).


R.

⇒

−−=−=

+−=−=

+−⋅=−=

k2jirrBC

kj3irrAC

k3j2i0rrAB

BC

AC

AB

rrrrr

rrrrr

rrrrr

⇒

=−+−+=

=+−+=

=+−+=

6)2()1(1BC

111)3(1AC

133)2(0AB

222

222

222

⇒

'''0

'''0

'''0

544475246182.0611

2)1(13)1()1(

CBCA

CBCAcos

10463452910.0613

)3()2(2)1(0

BCBA

BCBAcos

561041752617.01113

13)3()2(0

ACAB

ACABcos

=γ⇒=⋅

⋅−+⋅+−⋅−=

⋅

⋅=γ

=β⇒=⋅

−⋅−+⋅−+=

⋅

⋅=β

=α⇒=⋅

⋅+−⋅−+=

⋅

⋅=α

Primjer 20. Točke A=(1,-2,3), B=(4,1,-1), C=(2,0,1) vrhovi su trokuta. Izračunajte duljinu težišnice spuštene iz vrha C. R.

( )

( ) ( ) ( ) j21i

21ki2kji4

21k3j2i

21

rr21r

21rr

21rrAB

21CAACCACC CBAABCA11

rrrrrrrrrr

rrrrrrr

⋅−⋅=+−−+⋅++−⋅=

=−⋅+⋅=−⋅+−=⋅+=+=

22

21

21

21CC

22

1 ==

−+

=⇒


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite parametar λ tako da vektor a

r zatvara s vektorima j12i5b

rrr+= i

j4i3crrr

−= jednake kuteve, ako je ji)1(arrr

++λ= . 2. Zadan je vektor j2i4a

rrr+= . Odredite vektor b

r u ravnini tako da je ab

rr⊥ i 5b =

r.

3. Nađite duljine stranica i kuteve trokuta sa vrhovima : A=(-1,2,3) , B=(2,1,2), C=(0,3,0). 4. Točke A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) i D(2,3,8) su vrhovi piramide. Izračunajte volumen piramide i visinu na bazu ABC. 5. Odredite površinu trokuta što ga zatvaraju vektori b2cp

rrr−= i abq

rrr−= , ako su

kj3i2arrrr

−+= , k2j3brrr

+−= , k2j4icrrrr

+−= . 6. Kolike su duljine dijagonala paralelograma ABCD, ako je b2a5AB

rr+= , b3aAD

rr−= ,

22a =r

, 3b =r

, 4

)b,a( π=∠

rr ?

7. Neka su točke A=(5,-1), B=(-3,0), C=(7,7) vrhovi trokuta. Odredite duljine težišnica trokuta.

8. Dani su vektori aOAr

= i bOBr

= . Vektor cOCr

= je težišnica trokuta OAB. Izrazite vektor a

r kao linearnu kombinaciju vektora b

r i c

r .

9. Odredite veličinu najvećeg kuta trokuta ∆ABC, ako je A(-1,2), B(1,-1), C(6,1). 10. Vektor BD prikažite kao linearnu kombinaciju vektora AB i BC , ako je A(-1,2), B(1,1), C(2,-3), D(-7,-2). 11. Dani su vektori )1,1,1(a =

r , )0,2,1(b −=r

. Nađite takav vektor cr

da bude komplanaran

sa vektorima ar

i br

, okomit na vektor ar

i da bude 14bc =⋅rr

. 12. Zadani su vektori )0,3,1(a −=

r , )1,4,2(b −=

r , )5,4,3(c =

r , )8,19,1(d −−−=

r. Izrazite

vektor dr

kao linearnu kombinaciju vektora ar

, br

i cr

.


13. Odredite duljinu visine vB spuštene iz vrha B u trokutu ABC čiji su vrhovi A(1,-2,8), B(0,0,4) i C(6,2,0 ). 14. Odredite parametar t iz uvjeta da su vektori : k9j3a

rrr+−= , k6j2i)2tln(b

rrrr+−⋅−= ,

k5j2itcrrrr

+−⋅= komplanarni. 15. Vektor ji3a

rrr+= rastavite na komponente u smjeru vektora jib

rrr+−= , j3i2c

rrr+= .

Zadatak riješite analitički i grafički. 16. Točkama P i Q dužina AB podijeljena je na tri jednaka dijela. Ako je A(3,8), prva do nje P(4,13), odredite koordinate točke B. 17. Ako su A(-2,-2) i B(4,1) dva vrha, a S(0,1) sjecište dijagonala paralelograma ABCD, odredite vrhove C i D.

18. Zadani su vektori b17aprrr

+λ= i ba3qrrr

−= , gdje je 2a =r

, 5b =r

, 32)b,a( π

=∠rr

.

Odredite koeficijent λ tako da vektori pr

i qr

budu međusobno okomiti. 19. Odredite površinu trokuta što ga čine vektori b2ap

rrr−= i abq

rrr−= ako su

kj3i2arrrr

−+= , k2j3brrr

+−= . 20. Odredite parametar k tako da vektor a

r zatvara sa vektorima j3i4b

rrr+−= i

j5i12crrr

+= jednake kutove, ako je j)1k(iarrr⋅−+= .

21. Odredite kut i površinu trokuta što ga čine vektori : k12j4i8a

rrrr+−= , k2j6i4b

rrrr++= .

22. Izračunajte površinu paralelograma ABCD ako su poznati vrhovi : A(2,-2,1), B(1,-1,2), C(-2,1,2). 23. Točke )3,2,1(A −= , )1,1,4(B −= , )1,0,2(C = vrhovi su trokuta. Odredite vektor težišnice

1CC i njegov modul. 24. Izračunajte visinu paralelepipeda razapetog vektorima k5j3i2a

rrrr−+= , k4jib

rrrr++−= ,

kji3crrrr

−−= ako mu je osnovica paralelogram razapet vektorima ar

i br

. 25. Izračunajte površinu trokuta što ga čine vektori abx

rrr−= i cba2y

rrrr−+= ako su

kji2arrrr

+−= , k3jibrrrr

++= , kj2i4crrrr

+−= .


R.

1. 7=λ

2. j2ib,j2ib 21

rrrrrr−=+−=

3. ''4'3158,''52'5762,32BC,11CAAB 00 =γ=β=α===

4. 14v,14V ==

5. 202.3P =

6. 35.24d,15d 21 ==

7. 605.9'CC,487.9'BB,408.5'AA ===

8. bc2arrr

−=

9. '531010=β

10. BC2AB5BD ⋅+⋅−=

11. kj5i4crrrr

+−=

12. c2b2adrrrr

−+−=

13. 055.3vB =

14. 3t =

15. c54b

57a

rrr⋅+⋅−=

16. ( )23,6B =

17. ( ) ( )1,4D,4,2C −==

18. 40=λ

19. 81.7P =

20. 9k =

21. 665.53P,''54'23730 ==α

22. 118P =

23. 22CC,j

21i

21CC 11 =⋅−⋅=

rr

24. 726.2v =

25. 5.4P =


2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 2.1. Ravnina Primjer 1. Odredite vektor normale ako su zadane opće jednadžbe ravnina: (1) 05zy2x3 =−+− (2) 0z2y4x =−+ (3) 05zx3 =+− (4) 0z3y =− (5) 4x = R. Opća jednadžba ravnine je 0DCyByAx =+++ , gdje je vektor normale ( )C;B,An =

r, pa je :

(1) ( )1,2,3n −=

r

(2) ( )2,4,1n −=r

(3) ( )1,0,3n −=

r

(4) ( )3,1,0n −=r

(5) ( )0,0,1n =

r

Primjer 2. Odredite jednadžbu ravnine: (1) koja prolazi točkom ( )1,1,2T0 −= i okomita je na vektor k3j2in

rrrr+−=

(2) koja prolazi točkom ( )1,1,2T0 −= i okomita je na os y R. (1) ( )1,1,2T0 −= , k3j2in

rrrr+−=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

03z3y2x01z31y22x1

0zzCyyBxxA 000

=++−⇒

=+⋅+−⋅−−⋅

=−⋅+−⋅+−⋅

(2) ( )1,1,2T0 −= , k0j1i0n

rrrr⋅+⋅+⋅=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1y01y

01z01y12x00zzCyyBxxA 000

=⇒

=−=+⋅+−⋅+−⋅

=−⋅+−⋅+−⋅


Primjer 3. Zadana je jednadžba ravnine 04z2x =+− . Odredite vektor normale i nekoliko točaka te ravnine. R.

( )2,0,1n04z2x −=⇒=+−r

Poznavajući jednadžbu ravnine, možemo odrediti po volji mnogo točaka te ravnine. Dovoljno je uvrstiti dvije koordinate po volji i iz jednadžbe odrediti treću. Npr. točka na osi x : ( )0,0,4T4x0402x0z,0y −=⇒−=⇒=+⋅−⇒==

točka na osi y : ⇒=⇒=+⋅−⇒== 04040200z,0x takva točka ne postoji

točka na osi z : ( )2,0,0T2z04z200y,0x =⇒=⇒=+⋅−⇒==

točka sa zadanim koordinatama, npr. : ( )1,0,2T1z04z220y,2x −=⇒=⇒=+⋅−−⇒=−=

točka sa zadanim koordinatama, npr. :

( )1,4,2T1z04z224y,2x −=⇒=⇒=+⋅−−⇒=−= Primjer 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s ravninom 04z5y2x3 =−+− , a prolazi točkom ( )2,1,2T0 −−= . R. ( )2,1,2T0 −−= , ( )5,2,3n −=

r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

02z5y2x302z51y22x3

0zzCyyBxxA 000

=++−⇒

=+⋅++⋅−−⋅

=−⋅+−⋅+−⋅

Primjer 5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom ( )2,0,1T0 −= , a okomita je na ravnine

04z3y2x...1 =−++π , 05z2yx3...2 =+−+π .


R.

⇒

⊥⇒π⊥π

⊥⇒π⊥π

22

11

nn

nnrr

rr

nr

je kolinearan sa ( )2121 nnnnnrrrrr

×⋅λ=⇒×

( )3,2,1n1 =

r , ( )2,1,3n2 −=

r

k5j11i7213

321kji

nn 21

rrr

rrv

rr⋅−⋅+⋅−=

−=×

( )21 nnnrrr

×⋅λ= , ako uzmemo npr. ( )5,11,7n1 −=⇒−=λr

Uvrštavajući ( )2,0,1T0 −= , ( )5,11,7n −=

r u jednadžbu ravnine, dobivamo:

( ) ( ) ( )

03z5y11x702z50y111x7

=++−⇒

=+⋅+−⋅−−⋅

Primjer 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama ( )3,1,2A −= , ( )2,1,3B = , a paralelna je s vektorom ( )4,1,3a −=

r.

R.

Vektor a

r translatiramo u ravninu. Vrijedi ( )ABan ×⋅λ=

rr.

( )4,1,3a −=

r, ( ) ( )1,2,1zz,yy,xxAB ABABAB −=−−−=

k5ji7121413

kjiABa

rrr

rrv

r⋅+−⋅=

−−=×

( )ABan ×⋅λ=rr

, ako uzmemo npr. ( )5,1,7n1 −=⇒=λr

Ako vektor ( )5,1,7n −=

r i jednu od točaka, npr. ( )3,1,2A −= uvrstimo u jednadžbu ravnine:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

030z5yx703z51y12x7

0zzCyyBxxA 000

=−+−⇒

=−⋅++⋅−−⋅

=−⋅+−⋅+−⋅

Primjer 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama ( )4,1,2A = , ( )2,1,1B −= , ( )2,0,1C −= . R.

A, B, C su tri nekolinearne točke. Vektor normale na ravnine kroz te tri točke možemo zapisati u obliku : ( )ACABn ×⋅λ=

r. Ako uzmemo npr. ACABn1 ×=⇒=λ

r.

k5j4i2213221

kjiACAB

rrr

rrv

⋅−⋅+⋅=−−−−−−=×

Ako vektor ( )5,4,2n −=

r i jednu od točaka, npr. ( )2,0,1C −= uvrstimo u jednadžbu ravnine:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

012z5y4x202z50y41x2

0zzCyyBxxA 000

=+−+⇒

=−⋅−−⋅++⋅

=−⋅+−⋅+−⋅

Primjer 8. Odredite kut koji zatvaraju ravnine: (1) 02zy2x...1 =++−π , 01zy2x...2 =−−+π (2) 01z8y6x2...1 =+−+−π , 01z6y9x3...2 =−++π (3) 02z10y6x2...1 =−−+−π , 04z15y9x3...2 =++−π R. (1) ( ) ( )2121 n,n,

rr∠=ππ∠=ϕ

( )1,2,1n1 −=r

, ( )1,2,1n2 −=r


( ) ( ) 0000

21

21 60120180,12021

121121112211

nnnncos =−=ψ=ϕ⇒−=

++⋅++−⋅+⋅−+⋅

=⋅⋅

=ϕ rr

rr

(2) ( )8,6,2n1 −−=

r , ( )6,9,3n2 =

r

⇒=ϕ⇒=++⋅++

⋅−⋅+⋅−=

⋅⋅

=ϕ 0

21

21 9003681964364

689632nnnncos rr

rr

ravnine su okomite

(3) ( )10,6,2n1 −−=

r , ( )15,9,3n2 −=

r

212

1

2

1

2

1 nIInCC

BB

AA rr

⇒λ===

02121 0,nIInn

32n

32

1510

96

32

=ϕ⇒−=⇒−=λ=−

=−

=− rrrr

Primjer 9. Odredite parametar m tako da ravnine :

04z3y2xm...1 =−+−⋅π , 01z4y5x3...2 =+++π budu okomite. R.

0nnnn 212121 =⋅⇔⊥⇔π⊥πrrrr

( )3,2,mn1 −=

r , ( )4,5,3n2 =

r

⇒=⋅ 0nn 21

rr

32m2m3043523m −=⇒−=⇒=⋅+⋅−⋅

Primjer 10. Odredite udaljenost točke ( )5,2,3T −= od ravnine 07zy3x2 =+−− . R.


Udaljenost točke T od ravnine jednaka je skalarnoj komponenti projekcije vektora AT (gdje je A bilo koja točka ravnine π ) na smjer vektora normale n

r, po apsolutnoj vrijednosti.

nnATATd n r

rr ⋅==

Točka A je bilo koja točka ravnine π , nađemo je tako da dvije koordinate uzmemo po volji, a treću izračunamo iz jednadžbe ravnine. Npr. uzmemo x=0, y=0, uvrstimo u jednadžbu ravnine:

( )7,0,0A7z

07z030207zy3x2

=⇒==+−⋅−⋅

=+−−

( )1,3,2n −−=

r

( ) ( ) ( ) k2j2i3k75j02i03ATrrrrrr⋅−⋅−⋅=⋅−+⋅−−+⋅−=

( ) ( )( ) ( )

1414

14

132

212332n

nAT

nnATATd

222n ==

−+−+

−⋅−−⋅−⋅=

⋅=

⋅== r

r

r

rr

Primjer 11. Odredite udaljenost paralelnih ravnina:

06z2y6x3...1 =−−+π , 014z2y6x3...2 =+−+π . R.

Udaljenost paralelnih ravnina izračunat ćemo tako da izračunamo udaljenost po volji odabrane točke ravnine 2π od ravnine 1π . Neka je 1T bilo koja točka ravnine 1π , a 2T bilo koja točka ravnine 2π .


( )3,0,0T3z06z206030y,0x...T 11 −=⇒−=⇒=−−⋅+⋅⇒==

( )7,0,0T7z014z206030y,0x...T 22 =⇒=⇒=+−⋅+⋅⇒== Vektor ( )10,0,0TT 21 = projiciramo na vektor normale ( )2,6,3n −=

r:

( ) ( )( ) 7

2049

20

263

2106030n

nTTTTd222

21n21 =

−=

−++

−⋅+⋅+⋅=

⋅== r

rr

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom A=(2,1,-1) i paralelna je s vektorima

)3,2,1(a =r

, )2,1,3(b −=r

. 2. Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i točku M=(4,-1,2). 3. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi polovištem dužine AB i okomita je na tu spojnicu, ako su A=(1,2,3) , B=(-1,2,1). 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s vektorom )1,1,2(m −=

r i ima segmente a=3,

b= -2 na osi x i y.

5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem 2

2z1

1y2

1x +=

−=

+ i okomita je na

ravninu 2x-y+3z-5=0. 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(1,0,-2), a okomita je na ravnine : π1 ... 3x+y-2z=0 , π2 ... 2x+4y+6z+3=0. 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama T1=(1,0,5) , T2=(2,3,1), a paralelna je s

pravcem p ... 6z

21y

11x

=−+

=−

.

R. 1. 7x-11y+5z+2=0 2. 2y+z=0 3. x+z-2=0 4. 2x-3y+z-6=0 5. 5x-2y-4z-1=0 6. 7x-11y+5z+3=0 7. 2x-2y-z+3=0


2.2. Pravac Primjer 1. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom ( )3,2,1T −= i :

(1) paralelan je s vektorom k2j3i5arrrr

++−= (2) okomit je na XZ ravninu (3) paralelan je s osi x R.

czz

byy

axx 000 −

=−

=−

, ( )0000 z,y,xT = , ( )c,b,as =r

(1) ( )3,2,1T0 −= , aIIsaIIp

rrr⇒ , as

rr⋅λ= , npr. uzmemo as1

rr=⇒=λ

( )

23z

32y

51x

23z

32y

51x

−=

+=

−−

⇒

−=

−−=

−−

(2) ( )3,2,1T0 −= , jIIsXZp

rr⇒⊥ , js

rr⋅λ= , npr. uzmemo ( )0,1,0js1 ==⇒=λ

rr

( )

03z

12y

01x

03z

12y

01x

−=

+=

−⇒

−=

−−=

−

(3) ( )3,2,1T0 −= , iIIsosixIIp

rr⇒− , is

rr⋅λ= , npr. uzmemo ( )0,0,1is1 ==⇒=λ

rr

( )

03z

02y

11x

03z

02y

11x

−=

+=

−⇒

−=

−−=

−

Primjer 2. Zadana je jednadžba pravca. Odredite vektor smjera i nekoliko točaka tog pravca.

(1) 3z

22y1x =

−+

=−

(2) 3

3z23y

21x +−

=−+

=−

(3) 2zy2

1x3+−==

−


(4) 2

z30

2y1

x3 −=

−=

−

(5)

+λ−==

−λ=

3z0y

23x

R.

( )λ=−=

−=

−czz

byy

axx 000 , ( )0000 z,y,xT = , ( )c,b,as =

r

+⋅λ=

+⋅λ=

+⋅λ=

0

0

0

zczybyxax

(1) ( ) ( ) ( )3,2,1s,0,2,1T

30z

22y

11x

3z

22y1x 0 −=−=⇒

−=

−−−

=−

⇒=−+

=−r

Vektor smjera je ( )3,2,1s −=r

, jedna od točaka je ( )0,2,1T0 −= . Da bi odredili još neke točke ravnine, rješavat ćemo parametarske jednadžbe pravca, birajući po volji vrijednost parametra λ .

λ=−λ−=

+λ=

3z22y

1x

npr. za 0=λ

( )0,2,1T003z

2202y110x

1 −=⇒

=⋅=

−=−⋅−==+=

za 1=λ

( )3,4,2T313z

4212y211x

2 −=⇒

=⋅=

−=−⋅−==+=

za 2=λ

( )6,6,3T623z

6222y312x

3 −=⇒

=⋅=

−=−⋅−==+=

za 1−=λ

( )( )

( )3,0,0T313z

0212y011x

4 −=⇒

−=−⋅=

=−−⋅−==+−=


(2) ( ) ( ) ( )3,2,2s,3,3,1T

33z

23y

21x

33z

23y

21x

0 −−=−=⇒−−

=−−−

=−

⇒+−

=−+

=− r

(3)

−=

=⇒

−−

=−

=−

⇒+−==− 1,1,

32s,2,0,

31T

12z

10y

32

31x

2zy2

1x30

r

Ako je vektor sr

vektor smjera pravca, onda je i vektor ss1

rr⋅λ= također vektor smjera.

Možemo odabrati 3=λ i dobivamo ( )3,3,2s −=r

kao vektor smjera.

(4) ( )

−−==⇒

−

−=

−=

−−

⇒−

=−

=−

32,0,1s,0,2,3T

320z

02y

13x

2z3

02y

1x3

0

r

(5) ( )

( )( ) ( )1,0,3s,3,0,2T

313z000y

2323x

0 −=−=⇒

+λ⋅−=+λ−=+λ⋅==

−+λ⋅=−λ=r

Primjer 3. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama ( )3,1,2T1 −= i ( )5,2,3T2 = . R. Možemo uzeti ( )3,1,2TT 10 −== , ( )2,3,1rrTTs

12 TT21 =−==r

, pa je jednadžba pravca :

23z

31y

12x −

=+

=−

.

Primjer 4. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi ishodištem i paralelan je s pravcem

24z

13y

31x +

=−−

=−

.

R. Paralelni pravci imaju isti vektor smjera, pa je ( )2,1,3s −=

r, ( )0,0,0T0 = . Uvrštavanjem

dobivamo : 2

0z10y

30x −

=−−

=−

, odnosno 2z

1y

3x

=−

= .


Primjer 5.

Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na pravce 1

4z2

1y3

5x...p1−

=+

=−

,

32z

41y

1x...p2

−=

+= i prolazi točkom ( )4,0,1T −= .

R.

( )212121 sssss,sspp,pprrrrrrr

×⋅λ=⇒⊥⊥⇒⊥⊥

k10j8i2341123kji

ss 21

rrr

rrr

rr⋅+⋅−⋅==×

Uzmemo npr. ( )10,8,2s1 −=⇒=λ

r

104z

8y

21x −

=−

=+

⇒

Primjer 6. Odredite kanonski oblik jednadžbe pravca određenog ravninama 013z3y2x...1 =−++π ,

014z4yx3...2 =−++π (pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina). R.


( )212121 nnsns,nsp,p

rrrrrrr×⋅λ=⇒⊥⊥⇒π⊆π⊆

k5j5i5413321kji

nn 21

rrr

rrr

rr⋅−⋅+⋅==×

Uzmemo npr. ( )1,1,1s51

−=⇒=λr

Za jednadžbu pravca potrebna nam je i jedna točka tog pravca, ta točka leži i u ravnini 1π i u ravnini 2π , pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbe ravnina 1π i 2π .

=−++=−++

014z4yx3013z3y2x

dvije jednadžbe sa tri nepoznanice

Jednu od koordinata točke odabrat ćemo po volji, npr. uzmemo 0z = i uvrstimo :

( )0,5,3T5y,3x014yx3013y2x

=⇒==⇒

=−+=−+

1z

15y

13x

−=

−=

−⇒

Primjer 7.

Odredite udaljenost točke ( )1,3,2T −= od pravca 25z

2y

31x

−+

==−

.

R.

( ) ( )T,Tdp,Td ′= , gdje je T′ projekcija točke T na pravac p

( )p,Td je ujedno duljina visine paralelograma razapetog vektorima sr

i TT0


( ) ( )s

sTTp,Tdp,TdsvssTTP

0

0 r

rrrr ×

=⇒⋅=⋅=×=

( ) ( ) ( )4,3,1TT,2,2,3s,5,0,1T25z

2y

31x

00 =−=−=⇒−+

==− r

( )kj2i27k7j14i14223

431kji

sTT0

rrrrrr

rrr

r+⋅−⋅⋅−=⋅−⋅+⋅−=

−=×

( ) ( )( ) 17

172117

37

223

1227s

sTTp,Td

222

2220 ⋅

=⋅

=−++

+−+⋅−=

×= r

r

Primjer 8.

Odredite kut među pravcima 2

3z2

2y1x...p1

+=

−= ,

6z

33y

2x...p2 =

+= .

R. ( ) ( )2121 s,sp,p

rr∠=∠

( ) ( )6,3,2s,2,2,1s 21 ==

rr

0154172120

632221623221

sssscos 0

22222221

21 ′′′=ϕ⇒=++⋅++

⋅+⋅+⋅=

⋅⋅

=ϕ rr

rr

Primjer 9.

Zadani su pravci : 21z

54y

32x...p1 −

−=

+=

−,

05z

13y

2x...p2

+=

−=

λ− .

Odredite parametar λ tako da se pravci 21 p,p sijeku. Nađite : (1) sjecište tih pravaca (2) jednadžbu ravnine koju ti pravci određuju R. Ako se pravci sijeku, onda zadovoljavaju uvjete : a) 21 sis

rr nisu kolinearni 21 sks

rr⋅≠⇔

b) 2121 TT,s,srr

su komplanarni ( ) 0TTss 2121 =⋅×⇔rr


( )1,4,2T1 −= , ( )2,5,3s1 −=r

( )5,3,T2 −λ= , ( )0,1,2s1 =

r

( )6,7,2TT 21 −−λ= Provjeravanje uvjeta : a) ⇒⋅≠ 21 sks

rr21 sisrr

nisu kolinearni

b) ( ) 501020672

012253

0TTss 2121 −=λ⇒=+λ⇒=−−λ

−⇒=⋅×

rr

(1) sjecište tih pravaca Sjecište dvaju pravaca je točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbe jednog i drugog pravca.

+=

−=

+−−

=+

=−

05z

13y

25x

21z

54y

32x

Iz sistema jednadžbi možemo izdvojiti npr. slijedeće jednakosti :

5z,11y,11x03z5y2011y2x

022y3x5−===⇒

=++=+−=−−

( )5,11,11S −=⇒

(2) jednadžba ravnine koju ti pravci određuju

( ) 212121 ssn1.npr,ssnsn,snrrrrrrrrrr

×=⇒=λ×⋅λ=⇒⊥⊥

( )7,4,2nk7j4i2012253

kjiss 21 −−=⇒⋅−⋅−⋅=−=×

rrrr

rrr

rr


Kako pravci leže u ravnini, možemo bilo koju točke jednog od pravaca uvrstiti u jednadžbu ravnine. Uzmemo npr. točku ( )1,4,2T1 −= i dobivamo :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

013z7y4x201z74y42x2

0zzCyyBxxA 000

=−−−⇒=−⋅−+⋅−−⋅

=−⋅+−⋅+−⋅

Primjer 10. Odredite udaljenost paralelnih pravaca :

12z

23y

1x...p1

−=

−= ,

12z

21y

13x...p2

−=

+=

−

R.

Udaljenost paralelnih pravaca najjednostavnije je odrediti tako da se nađe udaljenost točke jednog od pravca do drugog pravca. Tu udaljenost ujedno možemo shvatiti kao visinu paralelograma kojeg razapinju vektori 1s

r i 21TT .

1

211

1211 s

TTsddsTTsP r

rrr ×

=⇒⋅=×=

( )1,2,1s1 =

r, ( )2,3,0T1 = , ( )2,1,3T2 −= , ( )0,4,3TT 21 −=

k10j3i4043121kji

TTs 211

rrr

rrr

r⋅−⋅+⋅=

−=×

( )6305

6125

121

1034s

TTsd

222

222

1

211 ⋅==

++

−++=

×=⇒ r

r


Primjer 11. Odredite udaljenost mimosmjernih pravaca:

21z

1y

11x...p1

−==

+ ,

42z

31y

1x...p2

−=

+=

R.

Vektori 1s

r , 2sr

, 21TT razapinju u prostoru paralelepiped. Duljina visine tog paralelepipeda je udaljenost pravaca 1p i 2p .

( )2,1,1s1 =r

, ( )1,0,1T1 −= , ( )4,3,1s2 =r

, ( )2,1,0T2 −= , ( )1,1,1TT 21 −=

( )21

2121

ss

TTss

BVd rr

rr

×

⋅×==

( ) 2111431211

TTss 2121 =−

=⋅×rr

k2j2i2431211kji

ss 21

rrr

rrr

rr⋅+⋅−⋅−==×

( ) ( ) 33

322

222

2d

222==

+−+−=⇒


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite udaljenost pravca koji prolazi točkama A=(2,-1,-1), B=(6,-8,0) od pravca koji prolazi točkama C=(2,1,2), D=(0,2,-1).

2. Odredite udaljenost točke T=(2,1,-1) od pravca p … 3z

03y

41x

=−

=−−

.

3. Odredite međusobni položaj pravaca. Ako se sijeku, odredite sjecište i kut pod kojim se sijeku. Ako se ne sijeku, odredite udaljenost između njih.

a) p1 ... 2z5

27y

1x

−−

=+

= , p2 ... 6z

3y4

2x

=−−

=

b) p1 ... 31z

1y2

11x −

=−

=−

, p2 ... 3z4

23y

12x

−−

=−

=−

c) p1 … 21z

1y

11x −

=−−

=+

, p2 … 4z2

31y

1x

−−

=+

=

d) p1 … 2z

1y1

1x

=−−

= , p2 … 2

1z1y

11x −

=−−

=−

R.

1. 66d =

2. 5101d =

3.

a) pravci su mimosmjerni, 41

4117d =

b) pravci leže u istoj ravnini, sijeku se u točki

= 2,

35,

34P pod kutem 05490 ′=ϕ

c) pravci su mimosmjerni, 33d =

d) pravci su paralelni, 37d =


2.3. Pravac i ravnina Primjer 1.

Odredite kut pravca

=−+−=

02z2x31x3y

i ravnine 04zyx2 =−++ .

R.

Kut između pravca p i ravnine π , definira se kao kut između pravca i njegove projekcije p' na ravninu π .

nsns

2cossin rr

rr

⋅

⋅=

ϕ−π

=ϕ

Pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina:

( ) ( )2,0,3n,0,1,3n02z2x3

1x3y21 =−=⇒

=−+−= rr

.

( )2121 nnsns,ns

rrrrrrr×⋅λ=⇒⊥⊥

k3j6i2203013kji

nn 21

rrr

rrr

rr⋅+⋅−⋅−=−=× , npr. ( )3,6,2s1 −=⇒−=λ

r

( )1,1,2n04zyx2 =⇒=−++

r

( )14524

66

6497

112362

131622nsns

sin 0

222222′′′=ϕ⇒=

⋅=

++⋅−++

⋅−⋅+⋅=

⋅

⋅=ϕ rr

rr


Primjer 2. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Odredite probodište pravca i ravnine ako ono

postoji. Pravac je zadan jednadžbom 6z

21y

11x...p =

−+

=−

, a ravnina:

(1) 01zy3x2 =−++ (2) 03zy2x2 =+−− (3) 04zy2x2 =−−− R. (1)

( )6,2,1s6z

21y

11x...p −=⇒=

−+

=− r

( )1,3,2n01zy3x2... =⇒=−++πr

Ako je πIIp , onda je ns

rr⊥ , tj. 0ns =⋅

rr.

⇒≠=⋅+⋅−⋅=⋅ 02163221ns

rr pravac i ravnina nisu paralelni

Ako pravac probada ravninu, onda je probodište točka ( )z,y,xP = koja leži i na pravcu i u ravnini :

⇒λ==−+

=−

6z

21y

11x...p

λ=−λ−=

+λ=

6z12y

1x

Za razne parametre λ dobivamo razne točke pravca. Treba odrediti λ tako da dobijemo točku koja ujedno leži i u ravnini, pa zahitjevamo da koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbu ravnine 01zy3x2 =−++ . Uvrštavajući parametarske jednadžbe pravca dobivamo :

( ) ( )122

0161231201zy3x2

=λ⇒=λ=−λ+−λ−⋅++λ⋅

=−++

( )6,3,2P616z

3112y211x

−=⇒

=⋅=−=−⋅−=

=+=⇒

(2)

( ) ( )0,1,1T,6,2,1s6z

21y

11x...p 0 −=−=⇒=

−+

=− r

( )1,2,2n03zy2x2... −−=⇒=+−−πr


( ) ( ) ( ) ⇒=−⋅+−⋅−+⋅=⋅ 0162221nsrr

pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u ravnini Ako pravac leži u ravnini onda je svaka točka tog pravca ujedno točka ravnine. Provjeriti ćemo da li točka ( )0,1,1T0 −= koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :

( )π∉⇒≠=+−−⋅−⋅

=+−−π

0

?

T070301212

03zy2x2...

⇒ pravac je paralelan s ravninom, ali ne leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.

⇒λ==−+

=−

6z

21y

11x...p

λ=−λ−=

+λ=

6z12y

1x

Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :

( ) ( )70

0361221203zy2x2...

−=λ⋅=+λ−−λ−⋅−+λ⋅

=+−−π

⇒ ne postoji parametar λ koji zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da ne postoji točka pravca koja bi ujedno bila i točka ravnine, što dalje povlači da pravac ne leži u ravnini. (3)

( ) ( )0,1,1T,6,2,1s6z

21y

11x...p 0 −=−=⇒=

−+

=− r

( )1,2,2n04zy2x2... −−=⇒=−−−πr

( ) ( ) ( ) ⇒=−⋅+−⋅−+⋅=⋅ 0162221nsrr

pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u ravnini Provjeriti ćemo da li točka ( )0,1,1T0 −= koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :

( )π∈⇒==−−−⋅−⋅

=−−−π

0

?

T000401212

04zy2x2...

⇒ pravac leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.


⇒λ==−+

=−

6z

21y

11x...p

λ=−λ−=

+λ=

6z12y

1x

Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :

( ) ( )00

0461221204zy2x2...

=λ⋅=−λ−−λ−⋅−+λ⋅

=−−−π

⇒ svaki realni broj λ zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da postoji beskonačno mnogo točka koje zadovoljavaju ovu jednadžbu, što dalje znači da svaka točka pravca leži u ravnini odnosno da sam pravac leži u ravnini. ZADACI ZA VJEŽBU

1. Odredite parametar λ tako da se pravci p1 ... λ

=−

=z

3y

2x , p2 ...

1z

25y

31x

=+

=+

sijeku i napišite jednadžbu ravnine u kojoj leže.

2. Odredite parametar λ tako da se pravci p1 … 41z

3y

11x −

=−

=+

,

p2 … 5

z42y2

3x −=

λ+

=−

sijeku, te odredite jednadžbu ravnine koju određuju.

3. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem 11z

21y

11x

−+

=+

=− i točkom M=(2,0,1).

4. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcima :

p1 ... 5

1z3

2y7x

−+−

=+

= , p2 ... 5

2z3

3y7

1x +=

−=

− .

5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(2,-3,2) i presječnicom ravnina : p1 ... 6x+4y+3z+5=0 , p2 ... 2x+y+z-2=0. 6. Nađite probodište pravca i ravnine :

a) 51z

12y

33x

−+

=−−

=+ , x-2y+z-15=0

b) 2

3z3

1y22x −

=−

=−+ , x+2y-2z+6=0

7. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Ako pravac probada ravninu, pronađite probodište.

a) p ... 1

1z2y

1x1 +

==−−

, π ... 05zy2x =++−


b) p ... 1

z11

1y2x −

=+

= , π ... 04z3yx =+++

c) p …

23

z13

1y1x −

=+

= , π … 04zyx2 =−−+

d) p … 1

2z11y

2x −

=−−

=−

, π … 07z3yx =−++

R. 1. 5x-y-13z=0 2. 4=λ , 011z10y13x... =+−−π 3. 5x-3y-z-9=0 4. 17x-13y-16z-10=0 5. 16x+7y+8z-27=0 6. a) p II π b) p ⊆ π 7.

a) pravac probada ravninu u točki

=

23,5,


b) pravac je paralelan sa ravninom, ali ne leži u ravnini

c) pravac probada ravninu u točki

−=

135,

1323,


d) pravac leži u ravnini


3. MATRICE I DETERMINANTE 3.1. Matrice Primjer 1.

Nađite inverznu matricu matrice

=

1235

A .

R. a) pomoću proširene matrice

−

−=⇒

−

−

−

−−

−

5231

A52

311001

~

~52

051

10531~

152

051

510

531

~10

051

12531~

1001

1235

1

b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)

( ) ( )( ) ( )

−

−=

⇒

−

−=

⋅−⋅−⋅−⋅−=

= ++

++

5231

A5321

51312111

AAAA

AT~

2212

2111

2221

1211~

1652315Adet −=−=⋅−⋅=

−

−=

−

−⋅

−=

⋅=⇒ −

5231

5231

11A

Adet1A

T~1

Primjer 2.

Nađite inverznu matricu matrice

=

153230241

A .

R. a) pomoću proširene matrice

~

103

0310

001

5703210241

~103010001

570230241

~100010001

153230241

−−−

−−−


−−−

−−

−−

−−

−

−

−

−

379256267

100010001

~

379

0310

0341

10032103201

~

1373

0310

0341

3100

32103201

~

−−−

−−=⇒

379256267

A 1-

b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) 33041

1A

22021

1A

2682324

1A

71255341

1A

5611321

1A

61041524

1A

95330

1A

661320

1A

71031523

1A

3333

2332

1331

3223

2222

1221

3113

2112

1111

=⋅−=

−=⋅−=

=−=⋅−=

=−−=⋅−=

−=−=⋅−=

=−−=⋅−=

−=⋅−=

=−−=⋅−=

−=−=⋅−=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

( ) ( ) 1926471AaAaAaAdet 131312121111 −=−⋅+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅=

−−−

−=

⇒

−−

−−=

=

379256

267A

322756967

AAAAAAAAA

AT~

333231

232221

131211~


−−−

−−=

−−−

−⋅

−=

⋅=⇒ −

379256267

379256

267

11A

Adet1A

T~1

Primjer 3.

Riješite matričnu jednadžbu

−−

=⋅

− 21

41X

0112

.

R. 1. način

Matrica X mora biti oblika

=

dcba

X .

Iz jednakosti

−−

=

⋅

− 21

41dcba

0112

dobijemo dva sustava jednadžbi:

−=−

=+

1a1ca2

,

−=−

=+

2b4db2

čija su rješenja : 0d,2b,1c,1a ==−== .

Tražena matrica je

−

=0121

X .

2. način Jednakost BXA =⋅ množimo slijeva s 1A − (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :

BAXBAX

BAXAABXA

1

1

11

⋅=

⋅=⋅Ι

⋅=⋅⋅

=⋅

−

−

−−

−=⇒

−

−

−

−

−

2110

A2110

1001

~

~121

10

21001

~1

21

021

210211

~10

021

01211~

1001

0112

1

−

=

−−

⋅

−=⋅= −

0121

2141

2110

BAX 1


Primjer 4.

Riješite matričnu jednadžbu

−

−=

−

⋅68

424231

X .

R. 1. način

Matrica X mora biti oblika

=

dcba

X .

Iz jednakosti

−

−=

−

⋅

68

424231

dcba

dobijemo dva sustava jednadžbi:

=+

−=−

4b4a32b2a

,

−=+

=−

6d4c38d2c

čija su rješenja : 3d,2c,1b,0a −==== .

Tražena matrica je

−

=32

10X .

2. način Jednakost BAX =⋅ množimo s desna s 1A − (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :

1

1

11

ABXABX

ABAAXBAX

−

−

−−

⋅=

⋅=Ι⋅

⋅=⋅⋅

=⋅

−⋅=⇒

−

−

−

1234

101A

101

51

103

52

1001

~101

51

01

1031

~1201

10031

~1001

4231

1

−

=

=

−

⋅=

−⋅

−

−⋅=

−⋅⋅

−

−=⋅= −

3210

3020100

101

1234

6842

101

1234

101

6842

ABX 1


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite inverznu matricu matrice :

(1)

−

−=

3512

A

(2)

−

=0113

A

(3)

=

7241

A

(4)

−

=31

10A

(5)

−=

312211421

A

(6)

−

−−=

210322101

A

(7)

−−−−

=211101111

A

R.

(1)

=−

2513

A 1

(2)

−=−

3110

A 1

(3)

−

−=−

1247

A 1

(4)

=−

0113

A 1


(5)

−−−

−=−

1532117

021A 1

(6)

−−−−

=−

212524211

A 1

(7)

−−−−−−=−

121231

111A 1

2. Riješite matrične jednadžbe :

(1)

−=⋅

− 148

42X

3102

(2)

=⋅

1001

X2513

(3)

−

−=⋅

−

−519128

X7385

(4)

=⋅

−

−0710

X714

35

(5)

−−

=⋅

−132

1114X

3113

(6)

−−

=⋅

− 12

29X

0113

(7)

=⋅

329185

X7241

(8)

=⋅

− 310

25X

1312


R.

(1)

−=

4321

X

(2)

−

−=

3512

X

(3)

−

=2134

X

(4)

=

2513

X

(5)

−−

=52

24X

(6)

−

=13

12X

(7)

=

4121

X

(8)

−

=0113

X

3. Riješite matrične jednadžbe :

(1)

−=

−

−⋅

1321

71435

X

(2)

=

⋅

50150

0050

X

(3)

−

=

−

⋅34

2913

12X

(4)

=

⋅

38413

0113

X


(5)

=

−−

⋅14210

1214

X

(6)

=

−

⋅16612

1232

X

(7)

−

−=

−

−⋅

8463

2121

X

(8)

−=

−−

⋅1114

1022

34X

R.

(1)

=

2513

X

(2)

=

0113

X

(3)

−

=2113

X

(4)

−

=13

14X

(5)

=

0113

X

(6)

−−

=2133

X

(7)

−

=13

41X

(8)

−

=13

21X


3.2. Determinante Primjer 1.

Izračunajte vrijednost determinante :

42734623

23553562

−−−−

−−

R.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 303273

623355

31473423

25551

423463

23561

427462

23521

42734623

23553562

D

4131

2111

−=−

−−−

⋅⋅−+−−−⋅−⋅−+

+−

−−−

⋅⋅−+−

−−−

⋅⋅−=

−−−−

−−

=

++

++

Primjer 2.

Riješite jednadžbu : 01x2x3x

x4x2x5x4x1x=

−+−−+

−+−

R.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

32

6644x044x66

44x663x4x2x2x5x3xx1x2x4x2xx1x4x1x

2x3x4x2x

5x1x3x

x2x4x

1x2xx4x

1x1x2x3x

x4x2x5x4x1x

==⇒=+−⇒

+−=−⋅−−+⋅+⋅−++−⋅−−⋅+⋅+−+⋅−−⋅−⋅−=

=+−−+

⋅−+−−

+⋅+−

−+−

⋅−=−+−

−+−+−

Primjer 3.

Izračunajte vrijednost determinante 24

4

zz1z101z0

D = ako je i1z −= .


R.

1z)1(1)z(zzz1z101z0

D 54

24

4

−=−⋅+−⋅−==

i1z −= ⇒

π=

π−π=−π=ϕ⇒−=

−=ϕ

=+=−=

47

42)1(arctg21

11tg

211i1r

⇒

π

⋅+π

⋅=4

7sini4

7 cos2z

( )( ) ( )

i4422i

2224

43sini

43cos24

438sini

438cos24

4384sini

4384cos24

435sini

435cos24

475sini

475 cos2

47sini

47 cos2z

55

5

⋅+−=

⋅+−⋅=

=

π

⋅+

π

⋅=

π

+π⋅+

π

+π⋅=

=

π+⋅

⋅+π+⋅

⋅=

π

⋅+π

⋅=

=

π

⋅⋅+π

⋅⋅=

π

⋅+π

⋅=

⇒ ( ) ( ) i451i441i11zD 55 ⋅+−=−⋅+−=−−=−= ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte vrijednost determinante :

(1)

1110404420221110

−

−

(2)

5138113242383236

−−−


(3)

82542403

40214311

−−−−

−−−

(4)

dcbadcbadcbadcba

−−−−−−−−−−

(5) aaaaan2anaamam

−−+−+

2. Izračunajte vrijednost parametra λ za kojeg je vrijednost determinante:

120911612

3553291

−−−

λ−−−λ+

jednaka 18.

3. Izračunajte vrijednost determinante

i241000i2131i102101i21

+−−

−−−+

, gdje je i imaginarna

jedinica.

4. Izračunajte vrijednost determinante 0z11zz01z

D4

42= ako je i1z +−= .

5. Izračunajte vrijednost determinante 1zzz1zzz1

2

2

2

za 32sini

32cosz π

⋅+π

= .


6. Riješite jednadžbu :

(1) 011x

32xx11

=−

−−

(2) 011132x94x2

=

(3) 05x1x4x

x2x4x1x3x2x=

+−++−

−−+

R. 1. (1) 0D = (2) 30D −= (3) 266D = (4) abcd8D = (5) anmD ⋅⋅= 2. 2,4 21 −=λ−=λ 3. i75D += 4. i43D +−= 5. 0D = 6. (1) 1x,5x 21 =−= (2) 3x,2x 21 ==

(3) 119x =


3.3. Sustavi linearnih jednadžbi Primjer 1.

Riješite sustav jednadžbi :

=+=−

1y5x26y3x

R. a) Cramerovim pravilom

( ) 1123515231

D =⋅−−⋅=−

=

( ) 3313565136

Dx =⋅−−⋅=−

=

1126111261

Dy −=⋅−⋅==

11111

DD

y,31133

DDx yx −=

−=====⇒

b) Gaussovom metodom

−

−

−

−

−

−1

31001

~1

61031

~116

11031

~16

5231

1y,3x −==⇒ Primjer 2.


=++−=+−=++

7z2y2x32zy2x9z3yx2


( ) ( ) ( )( ) 1332213312121222

2321

32311

12212

2223121312

D

=⋅−−⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−⋅=

=−

⋅+⋅−−

⋅=−=

( ) ( ) ( )( ) 1372223712221229

2722

32712

12212

9227122319

Dx

−=⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅=

=−−

⋅+−⋅−

−⋅=−−=


( ) ( ) ( )( ) 26327133121971222

7321

32311

92712

2273121392

Dy

=⋅−−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅=

=−

⋅+⋅−−⋅=−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3932219327122722

2321

97321

17222

2723221

912Dz

=⋅−−⋅⋅+⋅−−⋅−⋅−−⋅−⋅=

=−

⋅+−

⋅−−−

⋅=−−=

31339

DDz,2

1326

DD

y,11313

DDx zyx ======−=

−==⇒

b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak

−

−

−

−

−

−

321

100010001

~

35

135

16

10051105701

~

5395

135

16

513-0051105701

~

~

135

132

1-80511012-1

~1313

2

1-8015012-1

~792

22331212-1

~72

9

22312-1312

3z,2y,1x ==−=⇒ Primjer 3.


=+=+−=−+

5y2x32zyx

1zy3x2


( ) 02311

10311

30211

2023111132

D =−

⋅−+⋅−−⋅=−

−=


( ) 042512

10512

30211

1025112131

Dx ≠=−

⋅−+⋅−−

⋅=−−

=

⇒≠==⇒ 04Di0D x sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak

−−

13

2

3-503-5011-1

~512

0231-3211-1

~521

02311-11-32

Ako pogledamo drugu i treću jednadžbu: 1z3y53z3y5

−=−−=−

, vidimo da smo naišli na

kontradiktorne jednadžbe, što znači da sustav nema niti jedno rješenje. Primjer 4.


=+−=−+=+−

11zyx43zy3x2

4zy2x


0114132

121D =

−−

−= 0

1111133

124Dx =

−−

−= 0

1114132

141Dy =−=

01114332421

Dz =−

−=

⇒ sustav nema niti jedno rješenje ili sustav ima beskonačno mnogo rješenja Ako zbrojimo prvu i drugu jednadžbu, odnosno drugu i treću jednadžbu, dobijemo istu jednadžbu : 7yx3 =+ , što znači da sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Iz te jednadžbe izrazimo y pomoću x : x37y −= , a onda iz prve jednadžbe izrazimo z pomoću x : ( ) 18x7x372x4y2x4z +−=−⋅+−=+−= .


Sva rješenja sustava su :

⋅−=⋅−=

=

t718zt37y

tx , gdje je t bilo koji broj.


−

−

−

−−

075

718

00073-107101

~

075

4

00073-1012-1

~

~05

4

0003-7012-1

~55

4

3-703-7012-1

~1134

11-41-3212-1

Sustav jednadžbi sveo se na :

⇒

−=⋅−

=⋅+

75z

73y

718z

71x

=

⋅+−=

⋅−=

zz

z73

75y

z71

718x

, gdje je z∈R

Želimo usporediti rezultate s rezultatima dobivenim Cramerovim pravilom :

( ) x37x71873

75yz

73

75y

x718zz18x7z71

718x

−=−⋅+−=→⋅+−=

−=→−=→⋅−=

Odaberemo tx = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:

⋅−=⋅−=

=

t718zt37y

tx, gdje je t∈R


Primjer 5.


=−+=+−=−+

0zyx0z3yx20zy2x3


01111

312123

D ≠=−

−−

= ⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje 0zyx === .

b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i treći redak

~000

21-035-101-11

~000

21-053-01-11

~000

1-2331-21-11

~000

1-1131-21-23

000

100010001

~000

10035-103201

~000

310035-103201

~

⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje 0zyx === . Primjer 6.


=++=++

=++

0z2y3x40z3y4x5

0zy2x3


0234345123

D == ⇒ postoji i netrivijalno rješenje


Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-3) i pribrojimo drugoj jednadžbi, dobijemo :

0yx2 =−− . Istu jednadžbu dobijemo ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-2) i pribrojimo trećoj jednadžbi. Iz te jednadžbe možemo izraziti y pomoću x : x2y −= . Uvrštavanjem u prvu jednadžbu izrazimo z pomoću x : ( ) xx22x3y2x3z =−⋅−−=−−=

Sva rješenja sustava su :

=⋅−=

=

tzt2y

tx , gdje je t bilo koji broj.


000

0002101-01

~000

32

310

21031

321

~000

32

310

34

320

31

321

~000

234345123


⇒

=⋅+=−

0z2y0zx

=⋅−=

=

zzz2y

zx , gdje je z∈R

Odaberemo tx = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:

=⋅−=

=

tzt2y

tx, gdje je t∈R

Primjer 7.

Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :

=+=+

3zx3z-3yx2

R.

−−

−−

−−

−1

31

110

01

~3

33

130

01

~33

13

03

10

~33

11

03

12



⇒

−=−=+

1zy3zx

=+−=−=

zzz1y

z3x , gdje je z∈R

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo tz = , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:

=+−=−=

tzt1y

t3x, gdje je t∈R

Primjer 8.


=+−−

=++−

1xx2xx

2x2x3xx2

4321

4321

R.

−−

−−−

−−

−01

01

35

10

01

~01

01

31

12

01

~21

21

11

32

21

~12

12

11

23

12


⇒

=+

=++

0x3x

1xx5x

32

431

=

=

−=

−−=

44

33

32

431

xxxx

x3xxx51x

, gdje su ∈43 x,x R

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo β=α= 43 x,x , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:

β=

α=α−=

β−α−=

4

3

2

1

xx

3x51x

, gdje su ∈βα , R


Primjer 9.


=+−+

=+−+

=++−

0x3x4x2x0x5x2x4x0x2x2xx3

4321

4321

4321

R.

−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−

000

011

02

0

010

001

~000

013

024

012

001

~

~000

07

3

014

4

07

2

001

~000

77

3

1414

4

77

2

001

~000

253

224

112

341

~000

352

42

2

211

143


⇒

=+−

=+

0xx2x

0xx

432

41

=

=

−=

−=

44

33

432

41

xxxx

xx2xxx

, gdje su ∈43 x,x R

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odabemo β=α= 43 x,x , pa rješenje možemo zapisati u obliku:

β=

α=

β−α=

β−=

4

3

2

1

xx

2xx

, gdje su ∈βα , R

Primjer 10.


( ) ( ) 3:42yx3:8z2x

34

z42

2y33x

41

zy3x2zy2x

=−+−+

=−

−−

+−+

=++−

−+

.

R.


( ) ( )⇒

=−+−+

=−

−−

+−+

=++−

−+

3:42yx3:8z2x

34

z42

2y33x

41

zy3x2zy2x

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )⇒

−+⋅=−+⋅⋅=−⋅−−⋅++⋅−

⋅++−=−+⋅

2yx348z2x3123z432y63x4

1zy3x2zy2x4

⇒ ⇒

−+=−+=+−−+−−

++−=−+

8y4x1224z6x336z31212y612x4

zy3x2z4y8x4⇒

=+−−=++−

=−+

16z6y4x972z3y6x4

0z5y5x6

77649364556

D −=−−

−−

= 064163672550

Dx =−

−= 616

61693724506

Dy −=−−

−=

61616497264056

Dz −=−−

−= ⇒ 877

616z,877616y,0

770x =

−−

==−−

==−

=

Primjer 11. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,-8), B=(-1,0), C=(-2,1). R.

cbxax)x(f 2 ++=

( ) ( )( ) ( )

⇒

=+−⋅+−⋅

=+−⋅+−⋅

−=+⋅+⋅

1c2b2a

0c1b1a

8c1b1a

2

2

2

⇒

=+−=+−−=++

1cb2a40cba

8cba

6124111111

D =−−= 6

121110118

Da −=−−

−= 24

114101181

Db −=−

=

18124011811

Dc −=−−

−= ⇒ 3

618c,4

624b,1

66a −=

−=−=

−=−=

−=

⇒ 3x4x)x(f 2 −−−=


Primjer 12.

U sustavu jednadžbi ( )

=−−=+⋅+λ−

=−+

4zy2x53z2y2x4

2z4yx odredite parametar λ tako da

determinanta sustava bude jednaka -7 i nađite rješenja tog sustava. R.

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1219

5224452142212125

224411

D

+λ−==⋅+λ+−⋅−+⋅−−⋅−−⋅−−⋅+λ−=

=−−

+λ−−

=

⇒ 171219 =λ⇒−=+λ−

⇒

=−−=+−

=−+

4zy2x53z2y3x4

2z4yx

1124

233412

Dx =−−

−−

= 13145

234421

Dy =−

−= 7

425334211

Dz =−−=

⇒ 17

7z,7

137

13y,71

71x −=

−=−=

−=−=

−=

Primjer 13.

Za koju vrijednost parametra λ sustav jednadžbi :

=++−=⋅+++

=++

05z7yx0z6)(λ6y2x

013z5yλx ima i

netrivijalna rješenja ? R. Da bi homogen sustav jednadžbi imao i netrivijalna rješenja, mora mu determinanta biti jednaka nuli.


( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]180177

167213165257656571

662135

D

2 +λ−λ−=

=−⋅−⋅⋅+−⋅+λ−⋅⋅−⋅+λ−⋅⋅λ=

=−

+λλ

=

⇒ 0180177 2 =+λ−λ−

4,745

147317

145040289170180177

21

2,12

=λ−=λ⇒

−=

+−=λ⇒=−λ+λ

mm

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Riješite sustav jednadžbi :

(1)

−=+−−

=−+

=+−

=++

2xxx2xxx2xxx6xxx

421

431

432

321

(2)

=+

−−

+−

−=−+−−

=−+−+

33

3x2

2y4

4z)1(:4)zy2x(:)zy3x2(

34

2yx38z2x

(3)

−=+−−−+

−=−

+−

−+

=++−

−+

4:3)8z2x(:)2yx3(

34

z42

2y3

3x41

zy3x2zy2x


(4)

=−−

=−

+−

=−+

−

3z3y42x

32

2y1

3x21

0z24

1yx

(5)

=++=−+=++

3z6y4x21zyx3

4z3y2x

(6)

−=−+=++

=++

1zy3x3z6y2x4

4z3yx2

2. U sustavu jednadžbi

−=+−=−+

−=+⋅++

1z3yx22z2y3x2

6zy)2k(x odredite parametar k tako da

determinanta sustava bude jednaka 29. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.


−=−⋅++−=−+

=+−

5z4y)1k(x4z3yx4

2zy3x2odredite parametar k tako da determinanta

sustava bude jednaka 2. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.

4. U sustavu jednadžbi :

−=+−−=+−

=−+−

6zy3x1z3yx2

2z2y)1k(x2 odredite parametar k tako da determinanta

sustava bude 29 . Nađite rješenja tog sustava. 5. Riješite sustav jednadžbi :

(1)

=−−=++

=−

0z2y3x0zyx

0yx3


(2)

=+=−+=++

0y2x0zy3x

0zyx

6. Za koju vrijednost parametra k sustav

=++=+−=++

0z10y2x50z4yx

0z2y4kx ima netrivijalna rješenja?

Odredite ta rješenja.


=++⋅=+⋅++−

=++

0z13y5xk0z5y)3k(x

0z10y6x2 odredite parametar k>0 tako da

sustav ima netrivijalna rješenja. Nađite ta rješenja. 8. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,2), B=(2,2) , C=(-1,8) . 9. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(-1,9) , B=(1,1) , C=(2,3) . R. 1. (1) 2xxxx 4321 ==== (2) 8z,8y,0x === (3) 8z,8y,0x ===

(4) 21z,1y,1x =−==

(5) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. (6) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. 2. 5k −= , 1z,2y,1-x === 3. 4k = , 10z,6y,5x === 4. 4k −= , 1z,2y,1-x === 5.

(1) Rtt4z

t3ytx

∈

−===


(2) Rttzty

t2x∈

==

⋅−=

6. 3k =

Rt

tz

t7

10y

t7

18x

∈

=

⋅=

⋅−=

7. 4k =

Rttz

tyt2x

∈

=−=−=

8. 4x3x)x(P 2 +−= 9. 3x4x2)x(P 2 +−=


4. FUNKCIJE 4.1. Funkcije Primjer 1. Odredite područje definicije funkcija : (1) 5xx2x4)x(f 23 −+−=

(2) 2x

x3)x(f−

=

(3) 1x)x(f +=

(4) 2x)x(f 2 +=

(5) 3 1x)x(f +=

(6) 1x)x(f 2 −−=

(7) 9x)x(f 2 −=

(8) x2

1x)x(f+

+−=

(9) x1x1)x(f

−+

=

(10) 4x

x3x2x)x(f23

−−−

=

(11) ( )6x5xlog)x(f 2 +−=

(12)

+

+−=

1x2x3xlog)x(f

2

(13) ( )xxln)x(f −=

(14) ( )x1ln)x(f −=

(15) x1

4 ex51x)x(f +−−+=

(16) 1x21

2)x(f −=

(17) x213)x(f −=

(18) xx

xx

eeee)x(f−

−

−+

=

(19) xsinxcos)x(f 22 −=

(20) 4

x21arccos)x(f −=


R. (1) ( )+∞∞−== ,RD (2) { } ( ) ( )+∞∪∞−==⇒≠⇒≠− ,22,2\RD2x02x (3) [ )+∞−=⇒−≥⇒≥+ ,1D1x01x (4) ( )+∞∞−==⇒∈∀≥+⇒≥ ,RDRx,02x0x 22 (5) ( )+∞∞−== ,RD (6) ∅=⇒−≤⇒≥−⇒≥−− D1x1x01x 222 (7) ( ) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−=⇒≥+⋅−⇒≥− ,33,D03x3x09x2 (8) ( ) ( ) ( ]0,2D2x0x2&0x0x −=⇒−>⇒>+≤⇒≥−

(9) ( ) [ )1,1D0x1&0x1x1

−=⇒≠−

≥

−+

(10) ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ) ( )+∞∪∪−=⇒≠−≥−⋅+⋅⇒≥−− ,44,30,1D04x&03x1xx0x3x2x 23 (11) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∞−=⇒>−⋅−⇒>+− ,32,D03x2x06x5x2

(12) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪−=⇒>

+−⋅−

⇒>+

+− ,21,1D01x

2x1x01x

2x3x2

(13)

∅=⇒

=−=⇒>

=−−=⇒<

=−=⇒=

D.defnije...0ln)xxln()x(f0x

.defnije)...x2ln())x(xln()x(f0x.defnije...0ln)00ln()x(f0x

(14) ( ) ( )( ) ( ) ( ]0,D1x0x1&0x1x10x1ln ∞−=⇒<⇒>−≤⇒≥−⇒≥− (15) ( ) ( ) ( ) [ ) ( ]5,00,1D0x&5x0x5&1x01x ∪−=⇒≠≤⇒≥−−≥⇒≥+

(16)

+∞∪

∞−=

=⇒≠⇒≠⇒≠− ,

21

21,

21\RD

21x1x201x2

(17) ( )+∞∞−== ,RD (18) { }0\RD0x0x21eeee0ee 0x2xxxx =⇒≠⇒≠⇒=≠⇒≠⇒≠− −−


(19)

( )

Zk,k4

,k4

Dk4

xk4

22xsin

22

21xsin1xsin20xsin21

xsin21xsinxsin1xsinxcos)x(f

222

22222

∈

π+

ππ+

π−=⇒π+

π≤≤π+

π−⇒

≤≤−⇒≤⇒≤⇒≥−⇒

−=−−=−=

(20)

−=⇒≤≤−⇒−≥≥⇒

⇒≤−≤−⇒≤−≤−⇒≤−

≤−⇒−

=

25,

23D

25x

23

23x

25

3x254x21414

x2114

x21arccos)x(f

Primjer 2. Ispitajte koje su od danih funkcija parne, koje su neparne, a koje nisu ni parne, ni neparne : (1) 5)x(f =

(2) ( )21x)x(f −=

(3) xsin3xx)x(f 32 +⋅= (4) xcosx)x(f 3 ⋅= (5) x)x(f =

(6) 22 xx1xx1)x(f ++−+−= (7) xx 22)x(f −+=

(8)

+−

=x1x1ln)x(f

R. (1) ⇒==−⇒= )x(f5)x(f5)x(f funkcija je parna (2) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2222 1x1x1x)x(f1x)x(f +=+−=−−=−⇒−= , )x(f)x(f ≠− , )x(f)x(f −≠−

⇒ funkcija nije niti parna niti neparna (3)

( ) ( ) ( ) ( )( ) )x(fxsin3xxxsin3xx

xsin3xxxsin3xx)x(fxsin3xx)x(f3232

323232

−=+⋅−=−⋅−=

=−⋅+−⋅=−+−⋅−=−⇒+⋅=

⇒ funkcija je neparna (4) ( ) ( ) ( ) )x(fxcosxxcosxxcosx)x(fxcosx)x(f 3333 −=⋅−=⋅−=−⋅−=−⇒⋅=

⇒ funkcija je neparna


(5) ⇒==−=−⇒= )x(fxx)x(fx)x(f funkcija je parna

(6) 22 xx1xx1)x(f ++−+−=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) )x(fxx1xx1xx1xx1

xx1xx1xx1xx1)x(f2222

2222

−=++−+−−=+−+++−−=

=+−−++=−+−+−−+−−=−

⇒ funkcija je neparna (7) ( ) ( ) )x(f222222)x(f22)x(f xxxxxxxx =+=+=+=−⇒+= −−−−−−

⇒ funkcija je parna

(8) ( ) ( )x1lnx1lnx1x1ln)x(f +−−=

+−

=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) )x(f

x1x1lnx1lnx1lnx1lnx1ln

x1x1ln

x1x1ln)x(f −=

+−

−=+−−−=−−+=

−+

=

−+−−

=−

⇒ funkcija je neparna Primjer 3. Odredite osnovni period slijedećih funkcija : (1) x3sin)x(f =

(2) 2xcos)x(f =

(3) x6tg)x(f =

(4) 5xctg)x(f =

R.

(1) ( )32T

32xf

32x3sin2x3sinx3sin)x(f π

=⇒

π

+=

π

+⋅=π+==

(2) ( ) ( ) π=⇒π+=

π+⋅=

π+== 4T4xf4x

21cos2

2xcos

2xcos)x(f

(3) ( )6

T6

xf6

x6tgx6tgx6tg)x(f π=⇒

π

+=

π

+⋅=π+==

(4) ( ) ( ) π=⇒π+=

π+⋅=

π+== 5T5xf5x

51ctg

5xctg

5xctg)x(f


Primjer 4. Za zadane funkcije )x(f i )x(g odredite kompozicije ( ) )x(gf o i ( ) )x(fg o :

(1) 3x2)x(f += , 2

3x)x(g −=

(2) x1)x(f = , 2

3x21x)x(g −+−

=

(3) 1xe)x(f −= , ( )1xln21)x(g +⋅−=

(4) 2x)x(f = , x2)x(g = R.

(1) 3x2)x(f += , 2

3x)x(g −=

( ) ( ) x33x32

3x22

3xf)x(gf)x(gf =+−=+

−⋅=

−

==o

( ) ( ) ( ) ( ) x2x2

233x23x2g)x(fg)x(fg ==

−+=+==o

(2) x1)x(f = , 2

3x21x)x(g −+−

=

( ) ( ) 7x33x2

6x41x3x2

3x23x221x

1

23x21x12

3x21xf)x(gf

−−+

=−−−

+=

++⋅−−

=−

+−

=

−

+−

=o

( ) ( )

x323x7

x32x64x1

x32x322x12

x32x12

xx32

xx1

23

x12

1x1

x1g)x(fg

+−−

=+

−−−=

=+

+⋅−−=−

+−

=−+

−

=−+⋅

−=

=o

(3) 1xe)x(f −= , ( )1xln21)x(g +⋅−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ====+−=

+⋅−==

++

++−−+−

11xln11xln11xln

e1ee1xlnf1xln

21f)x(gf)x(gf o

1xe

1e1x

1ee

111xln +⋅

=⋅+

=⋅

=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1eln11eln1eln

21eg)x(fg)x(fg

1x

1x1x1x

+=+−=+⋅−===

−

−−−o


(4) 2x)x(f = , x2)x(g =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx2x22xx 42222f)x(gf)x(gf ======o

( ) ( ) ( ) 2x2 2xg)x(fg)x(fg ===o Primjer 5. Nađite inverznu funkciju funkcije : (1) 3x2)x(f +=

(2) 1x)x(f 3 +=

(3) x22x2)x(f

−−

=

(4) 2x)x(f 2 −= , [ )∞∈ ,0x

(5) 3 3x1)x(f −=

(6) 2xlog)x(f =

(7) )2xlog(1)x(f ++=

(8) x

x

212)x(f+

=

(9) 23)x(f 1x += −

(10) x1e21)x(f −⋅=

R. (1) 3x2)x(f +=

23x)x(f

23y)y(f

23yx

3yx23x2y

11 −=⇒

−=⇒

−=

−=+=

−−

(2) 1x)x(f 3 +=

31313

3

3

1x)x(f1y)y(f1yx

1yx1xy

−=⇒−=⇒−=

−=

+=

−−


(3) x22x2)x(f

−−

=

( )

( )

2x,x22x2)x(f

y22y2)y(f

y22y2x

2y2y2x2y2xyx22x2xyy2

2x2yx2x22x2y

11 −≠++

=⇒++

=⇒++

=

+=+⋅+=+−=−−=⋅−

−−

=

−−

(4) 2x)x(f 2 −= , [ )∞∈ ,0x

2x,2x)x(f2y)y(f

2yx

2yx2xy

11

2

2

−≥+=⇒+=⇒

+=

+=

−=

−−

(5) 3 3x1)x(f −=

3 313 313 3

33

33

3 3

x1)x(fy1)y(fy1x

y1xx1yx1y

−=⇒−=⇒−=

−=

−=

−=

−−

(6) 2xlog)x(f =

x1y1y

y

10

102)x(f102)y(f102x2x10

2xlogy

⋅=⇒⋅=⇒⋅=

=

=

−−

(7) )2xlog(1)x(f ++=

210)x(f210)y(f210x2x10

)2x(log1y)2x(log1y

1x11y11y

1y10

10

−=⇒−=⇒−=

+=

+=−

++=

−−−−−

−


(8) x

x

212)x(f+

=

( )

−

=⇒

−

=⇒

−

=

−=

=−⋅

=⋅+

=+⋅+

=

−−

x1xlog)x(f

y1ylog)y(f

y1ylogx

y1y2

yy1222yy2)21(y

212y

21

21

2

x

x

xx

xx

x

x

(9) 23)x(f 1x += −

( )( )( )

( ) ( )2xlog1)x(f2ylog1)y(f

2ylog1x2ylog1x

2ylog3log2y323y

31

31

3

3

31x

3

1x

1x

−+=⇒−+=⇒

−+=

−=−

−=

−=

+=

−−

−

−

−

(10) x1e21)x(f −⋅=

( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )x2ln21)x(fy2ln21)y(f

y2ln21xy2ln1x

x1y2ln

elogy2log

ey2

ey2

e21y

11

2

2

x1e

2e

x12

x1

x1

⋅−=⇒⋅−=⇒

⋅−=−=

−=

=

=

=

⋅=

−−

−

−

−

−

Primjer 6. Odredite )x(f ako je : (1) 3x4)1x2(f 2 −=−

(2) 2x1x

xf =

+


R. (1) 3x4)1x2(f 2 −=−

( )

2x2x)x(f

2u2u34

1u2u432

1u43x4)u(f

21ux

1ux21x2u

2

222

2

−+=⇒

−+=−++⋅

=−

+

=−=⇒

+=

+=−=

(2) 2x1x

xf =

+

( )( )

222

x1x)x(f

u1ux)u(f

u1ux

u1uxx1xu

1xxu

−=⇒

−

==⇒

−=

−=−⋅=+⋅

+=

Primjer 7. Pretvorite u eksplicitni oblik )x(fy = implicitno zadane funkcije :

(1) 1ylogxlog =+

(2) xexy = R. (1) 1ylogxlog =+

( )( )

x10y

xy101yxlog

1yxlog

110

=⇒

=

=⋅

=⋅

(2) xexy =

xxlnyxlnxy

xlneln xy

=⇒=

=


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite područje definicije funkcija :

(1)

−

−+

−= 1

1xx2log

x11)x(f

21

(2) 2xxxx69

xlogf(x) 2

2

2 −−+++

=

(3) )1x2xln()x(f 2 +−=

(4) 3 2

2

x91x)x(f

−

+=

(5) 4x)xx2(log)x(f 2

21 +−=

(6) 32

2

xx1x1)x(f −−

+−

=

(7) x311x2log)x(f

−−

=

(8) 4

xx5log)x(f2−

=

(9) 2

32

xx44

xlog3x2x)x(f

+++−−=

(10) 1x1)x(f −−= (11) xlog)x(f

21=

(12) 1x

x3)x9log(

5x)x(f−

+−+

=

(13) 2x1xx3)x(f

2

+−

+−=

(14) x21

2 ex16x3)x(f +−−−=


(15) 3xx21log)x(f

21 +

−=

2. Zadane su funkcije 1xe)x(f −= , )1xln(21)x(g +⋅−= . Odredite kompoziciju ( )( )xgf o .

3. Ako su 3x2)x(f 2 −⋅= i 2x4)x(g +⋅−= , odredite )x)(ff( o , )x)(gg( o , )x)(gf( o ,

)x)(fg( o .

4. Ako su 3x21)x(f 2 −⋅= i

41x

23)x(g +⋅= , odredite ( ) )x(gf o , ( ) )x(fg o , ( ) )x(ff o ,

( ) )x(gg o .

5. Ako su 2x43)x(f −= i

32x

23)x(g −⋅= , odredite ( ) )x(ff o , ( ) )x(gg o , ( ) )x(gf o ,

( ) )x(fg o . 6. Ako su 2x)x(f −= i 3xx)x(g 2 +−= , odredite sva rješenja jednadžbe ( ) ( ) )x(fg)x(gf oo = . 7. Odredite sva rješenja jednadžbe ( )( ) ( )( )xfgxgf oo = ako su 1x2)x(f −= i

1xx2)x(g 2 +−= .

8. Zadane su funkcije 1x3x21)x(f 2 +−⋅= i 3x2)x(g −= . Koliki je zbroj recipročnih

vrijednosti korijena jednadžbe ( ) 0)x(fg =o . 9. Odredite inverznu funkciju funkcije : (1) )1x(log1)x(f 2 +−= (2) )xlog()x(f π+−=

(3) 1)3x(log21)x(f 2 ++⋅−=

(4) xlogxlog)x(f 33 −=


(5) 2x1

2)x(f−

=

(6) x45x2

01.0)x(f−

=

(7) xcos1xcos2)x(f

+−

=

(8) xsin1xsin1)x(f

+−

=

10. Ako je 1x

x2x3

x2f+

=

+ , odredite inverznu funkciju )x(f 1− .

11. Ako je x1

1x2xf =

− , odredite inverznu funkciju )x(f 1− .

12. Dokažite da su funkcije 123)x(f x11 +⋅= − i

−=

1x6log)x(f 22 inverzne.

13. Dokažite da su funkcije 22

221

)x(f 1x

xx

++

=+

i )5x2(log21)x(g 2 −⋅−= inverzne.

14. Dokažite da je funkcija )1x(log2)x(g 2 +−= inverzna funkcija funkcije

124)x(f x −⋅= − .

15. Odredite )x(f ako je 7x2

3x1f

+=

. Koliko je )2(f − ?

16. Odredite )x(f ako je 3x4)1x2(f 2 −=− . Koliki je

23f ?

17. Ako je x1

1x1f

−=

, koliko je

+ x11f ?


18. Odredite )x(f ako je 1x1x

2x1x3f

−+

=

+−

.

19. Zadana je funkcija 22

21x

21x)x(f

++

−= . Za koji x je 1)x(f = ?

20. Ako je xcos22

xsin3)x(f ⋅−

π

−⋅= , dokažite da je xcos5)x(f ⋅=−π .

R. 1. (1) ( )1,D −∞−= (2) ( ) ]( [ )+∞∪−−∪−∞−= ,21,33,D (3) ]( [ )+∞∪∞−= ,20,D (4) { }3,3\RD −= (5) ( )2,0D = (6) RD =

(7)

=

52,

31D

(8) [ ]4,1D = (9) ( ) ]( [ )+∞∪−−∪−∞−= ,31,22,D (10) [ ]2,0D = (11) ( ]1,0D = (12) [ ) ( ) ( )9,88,11,5D ∪∪−= (13) [ ) ( ]3,22,3D −∪−−= (14) [ ) ( ]3,00,4D ∪−=

(15)

−=

21,

32D


2. ( )( )1xe

1xgf+⋅

=o

3. 15x24x8)x)(ff( 24 +−=o , 6x16)x)(gg( −=o , 5x32x32)x)(gf( 2 +−=o ,

14x8)x)(fg( 2 +−=o

4. 3295x

83x

89)x)(gf( 2 −+=o ,

417x

43)x)(fg( 2 −=o ,

23x

23x

81)x)(ff( 24 +−=o ,

85x

49)x)(gg( +=o

5. 163x

23x)x)(ff( 24 ++−=o ,

35x

49)x)(gg( −=o ,

3611x2x

49)x)(gf( 2 ++−=o ,

2411x

23)x)(fg( 2 +−=o

6. 2x =

7. 23x,

21x 21 ==

8. 6x1

x1

21

−=+

9. (1) ( ) 12xf x11 −= −− (2) ( ) π−= −− x1 10xf (3) ( ) 34xf x11 −= −− (4) ( ) x1 3xf −− = (5) ( ) 2xlog2xf

21

1 +⋅=−

(6) ( ) ( )xlog125xf 1

+⋅=−


(7) ( )

+−

=−

x1x2arccosxf 1

(8) ( )

+−

=−

x1x1arcsinxf 1

10. ( )x2

x2xf 1

+=−

11. ( )x2

1xf 1

−=−

15. 21)2(f,

x72x3)x(f =−

+=

16. ( )4

1323f,2x2xxf 2 =

−+=

17. ( )x1xf 1 −=−

18. ( )2x34xxf−+

=

19. 21x m=


4.2. Limes niza realnih brojeva Primjer 1. Napišite nekoliko prvih članova niza : (a) ( )nn 1a −=

(b) n1an =

(c)

−

=

neparan...n,n11

paran...n,n1

an

(d)

π

⋅=2

nsinan

R. (a) -1,1,-1,1,-1,1,....

(b) ...,n1,...,

41,

31,

21,1

(c) ...,98,

81,

76,

61,

54,

41,

32,

21,0

(d) 1,0,-1,0,1,0,-1,0,.... Primjer 2. Odredite prvih pet članova niza. Da li je niz konvergentan ili divergentan ?

(a) ( )n111a n

n +−+=

(b) 1n21n3an +

+=

(c)

+

−=

neparan...n,n11

paran...n,n11

an


R. (a)

( )

( )

( )

( )

( )51

5111a

412

4111a

31

3111a

212

2111a

11111a

55

44

33

22

11

=+−+=

=+−+=

=+−+=

=+−+=

=+−+=

Niz je divergentan i ima dvije točke gomilanja : 0 ... za neparne n ... 0n1lim

n=

∞→

2 ... za parne n ... 2n12lim

n=

+

∞→

(b)

1151

1116

152153a

941

913

142143a

731

710

132133a

521

57

122123a

311

34

112113a

5

4

3

2

1

==+⋅+⋅

=

==+⋅+⋅

=

==+⋅+⋅

=

==+⋅+⋅

=

==+⋅+⋅

=

Niz je konvergentan, 23

0203

n1lim2lim

n1lim3lim

n12

n13

lim1n21n3lim

nn

nn

nn=

++

=+

+=

+

+=

++

∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→ .

(c)

511

511a

43

411a

311

311a

21

211a

2111a

5

4

3

2

1

=+=

=−=

=+=

=−=

=+=


Niz je konvergentan i teži prema 1 : za neparne n ... 101n1lim1lim

n11lim

nnn=+=+=

+

∞→∞→∞→

za parne n ... 101n1lim1lim

n11lim

nnn=−=−=

−

∞→∞→∞→

Primjer 3. Odredite limes niza :

(a) ( )

2

2

n n21nlim +

∞→

(b) ( ) ( ) ( )

3n n3n2n1nlim +⋅+⋅+

∞→

(c) ( )n1nlim

n−+

∞→

(d) 1nn2

2nn3lim 23

2

n +−+−

∞→

(e) ( )( )n1nn10lim 2

n−+⋅⋅

∞→

(f) n5

n n11lim

+

∞→

R. (a)

( ) ( )

( )2101

21

n1lim1lim

21

n11lim

21

n1nlim

21

n1nlim

21

n1nlim

21

n21nlim

22

nn

2

n

2lim

n

2

n2

2

n2

2

n

n

=+⋅=

+⋅=

+⋅=

=

+

⋅=

+

⋅=+

⋅=

∞∞

=+

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→

∞→

(b)

( ) ( ) ( )

1111n31lim

n21lim

n11lim

n31

n21

n11lim

n3n

n2n

n1nlim

n3n2n1nlim

nnnn

n3n

=⋅⋅=

+⋅

+⋅

+=

+⋅

+⋅

+=

=

+⋅

+⋅

+

=

∞∞

=+⋅+⋅+

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→


(c)

( ) ( ) ( ) ( )

0n1n

1lim

n1nn1nlim

n1nn1nn1nlimn1nlim

n

nnn

=++

=

=++−+

=++++

⋅−+=∞−∞=−+

∞→

∞→∞→∞→

(d)

020

n1

n12lim

n2

n1

n3lim

n1

n12

n2

n1

n3

lim

n1

nn

nn2

n2

nn

nn3

lim1nn2

2nn3lim

3n

32n

3

32

n

33

2

3

3

333

2

n23

2

n==

+−

+−

=+−

+−=

+−

+−=

∞∞

=+−+−

∞→

∞→

∞→∞→∞→

(e)

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

52

1011

110

1n11

1lim10

nn

n1

nn

nn

lim10n1n

nlim10

n1nn1nnlim10

n1nn1nn1nnlim10

n1nnlim10n1nn10lim

2

n

22

2n2n

2

22

n2

22

n

2

n

2

n

==+

⋅=

=++

⋅=

++

⋅=++

⋅=

=++

−+⋅⋅=

++

++⋅−+⋅⋅=

=−+⋅⋅=−+⋅⋅

∞→∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→

(f) 5

5n

n

n5

ne

n11lim

n11lim =

+=

+

∞→∞→

ZADACI ZA VJEŽBU Odredite limes niza :

(1) ( ) ( )

( )3

22

n n1n21nn1nna

−⋅−−⋅+−

=

(2) n1nn1nan

++−+

=


(3)

2n

2

2

n 1n2na

++

=

(4) 2n1nan

++

=

(5) n

n

n 352132a

⋅−+⋅

=

(6) 2n1nan

++

=

R.

(1) 21

−

(2) 1− (3) e (4) 1

(5) 52

−

(6) 1 4.3. Neprekidnost i limes funkcija Primjer 1. Izračunajte :

(a) 2

3

x x21x6x4lim

−−

∞→

(b) 1x1x3lim 2x +

−∞→

(c) 1x1xlim 2

3

x +−

∞→

(d)

+

−−∞→ 2x3

x4x9

xlim2

2

3

x

(e) 2x3xlim

2

x ++

∞→


(f) 2x3xlim

2

x ++

−∞→

(g) 1xx

xlim2x ++∞→

(h) 1xx

xlim2x ++−∞→

R.

(a) 22004

2x1

x64

lim

xx2

x1

xx6

xx4

limx21

x6x4lim

3

2

x

3

3

3

33

3

x3

3

x−=

−−

=−

−=

−

−=

∞∞

=−−

∞→∞→∞→

(b) 010

0100

x11

x1

x3

lim

x1

xx

x1

xx3

lim1x1x3lim

2

2

x

22

2

22

x2x==

+−

=+

−=

+

−=

∞∞

=+−

∞→∞→∞→

(c) +∞==+−

=+

−=

+

−=

∞∞

=+−

∞→∞→∞→ 01

0001

x1

x1

x11

lim

x1

xx

x1

xx

lim1x1xlim

3

3

x

33

2

33

3

x2

3

x

(d) ( )( )

=

+−

−=∞−∞=

+

−− ∞→∞→ 2x3

x2x3

xlim2x3

x4x9

xlim2

22

3

x

2

2

3

x

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

−∞=−

=−+−

=−

+−=

−

+−

=

∞∞

=−+−

=

=

+⋅−

+−=

+⋅−−⋅−

=

+

−+⋅−

=

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

02

0002

x4

x9

x22

lim

x4

xx9

xx2

xx2

lim4x9x2x2lim

2x32x3x2x2lim

2x32x32x3xxlim

2x3x

2x32x3xlim

3

x

33

2

3

2

3

3

x2

23

x

23

x

23

x

23

x

(e) 111

0101

x21

x31

lim

x2

xx

x3

xx

lim2x3xlim

2

x

22

2

x

2

x==

++

=+

+=

+

+=

∞∞

=++

∞→∞→∞→

(f) 11

10101

t21

t31

lim

t2

tt

t3

tt

lim2t3tlim

txt

x

2x3xlim

2

t

22

2

t

2

t

2

x−=

−=

+−+

=+−

+=

+−

+=

+−+

=+∞→−=−∞→

=++

∞→∞→∞→−∞→


(g) 21

111

0111

x111

1lim

x1

xx

xx

xx

lim1xx

xlim

2

x

22

2x2x=

+=

++=

++=

++

=

∞∞

=++ ∞→∞→∞→

(h)

−∞=−

=+−

−=

++−−

=++−

−=

=

++−

−

=++−

−=

+∞→−=−∞→

=++

∞→

∞→∞→−∞→

01

111

0111

t111

1lim

t1

tt

tt

tt

lim1tt

tlimt

xtx

1xxxlim

2

t

22

2t2t2x

Primjer 2. Izračunajte :

(a) 8x6x3lim 32x +

+−→

(b) 4x4x

8xlim 2

3

2x +−−

→

(c) 49x

3x2lim 27x −−−

→

(d) 1x

2xxlim 3

2

1x +−−

−→

(e) 1x1xlim

31x −−

→

R. (a)

( ) ( )( ) ( )

41

123

4443

4x2x3lim

4x2x2x2x3lim

2x2x3lim

00

8x6x3lim 22x22x332x32x

==++

=

=+−

==+−⋅+

+⋅=

++⋅

=

=

++

−→−→−→−→


(b) ( )

( ) ( )( ) 2x

4x2xlim2x

4x2x2xlim2x2xlim

00

4x4x8xlim

2

2x2

2

2x2

33

2x2

3

2x −++

=−

++⋅−=

−−

=

=

+−−

→→→→

⇒

+∞=+

=−+

=−

++

−∞=−

=−−

=−

++

+→

−→

012

20212

2x4x2xlim

012

20212

2x4x2xlim

2

02x

2

02x

(c)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 561

22141

3x27x1lim

3x27x7xx7lim

3x27x7x3x4lim

3x27x7x3x2lim

3x23x2

7x3x2lim

7x3x2lim

00

49x3x2lim

7x7x

7x

22

7x

227x227x27x

−=+⋅

−=

−+⋅+−

=−+⋅+⋅−

−=

=−+⋅+⋅−

+−=

−+⋅+⋅−−−

=

=−+−+

⋅−−−

=−−−

=

=

−−−

→→

→→

→→→

(d) ( ) ( )

( ) ( ) 1111

211xx

2xlim1xx1x

2x1xlim00

1x2xxlim 21x21x3

2

1x−=

++−−

=+−

−=

+−⋅+−⋅+

=

=

+−−

−→−→−→

(e)

( ) ( )( ) ( )

23

11111

1t1ttlim

1t1t1tt1tlim

1t1tlim

1t1tlim

1t1x

tx

00

1x1xlim

2

1t

2

1t2

3

1t3 6

6

1t

6

31x

=+++

=+++

=

=+⋅−++⋅−

=−−

=−

−=

→→=

=

=

−

−

→

→→→→


(a) x

x4sinlim0x→

(b)

→

5xsin

3xsin

lim0x

(c) x

tgxlim0x→


(d) 20x xxcos1lim −

→

(e) 22x

x3sinlim0x −+→

R.

(a) 4414x4

x4sinlim00

xx4sinlim

0x40x=⋅=⋅=

=

→→

(b) 35

x35xlim

5x3x

lim

5xlim

5x

5xsin

lim

3xlim

3x

3xsin

lim

5x

5x

5xsin

3x

3x

3xsin

lim

5xsin

3xsin

lim0x0x

0x05x

0x03x

0x0x=

⋅⋅

==

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

→→

→→

→→

→→

(c) 1111

xcos1lim

xxsinlim

xcosxsin

x1lim

00

xtgxlim

0x0x0x0x=⋅=⋅=⋅=

=

→→→→

(d)

( )

( )

21

1111

xcos11lim

xxsinlim

xcos11lim

xxsinlim

xcos1xxsinlim

xcos1xxcos1lim

xcos1xcos1

xxcos1lim

00

xxcos1lim

0x

2

0x0x2

2

0x2

2

0x

2

2

0x20x20x

=+

⋅=

=+

⋅

=

+⋅=

+⋅=

=+⋅

−=

++

⋅−

=

=

−

→→→→→

→→→

(e)

( )

( )( )

( ) ( ) 26223122x3limx3

x3sinlim22x3x3

x3sinlim

x22xx3sinlim

22x22xx3sinlim

22x22x

22xx3sinlim

00

22xx3sinlim

0x0x30x

0x0x

0x0x

=⋅⋅=++⋅⋅=++⋅⋅=

=++⋅

=−+

++⋅=

=++++

⋅−+

=

=

−+

→→→

→→

→→



(a) x

x x51lim

−

∞→

(b)

2x

2

2

x 1x1xlim

−+

∞→

(c) x

0xxsin1lim +

→

R. (a)

( ) ( ) ( ) ( ) 5)5lim(

t1

0t

)5(t1

0tt5

0t

x

xet1limt1limt1lim

t5x

0tx

x5t

1x51lim

0t −−

→

−⋅

→

−

→

∞

∞→=

+=+=+=

−=

→∞→

−=

==

−

→

(b)

( )

22

2z

zz

z2

z

1z2

z

1z2

z

1z2

z

t

t

t

t

t

t

2x

2

2

x

e1e1z11lim

z11lim

z11lim

z11

z11lim

z11lim

z221lim

1z2tzt

z21t

1t21lim

1t2

1t1tlim

1t1tlim

tx

tx1

1x1xlim

2

=⋅=⋅

+=

+⋅

+=

=

+⋅

+=

+=

+=

+=∞→∞→=−

=

=

−+=

−+

−−

=

−+

=∞→∞→

===

−+

∞→∞→∞→

∞→

+

∞→

+

∞→

∞→∞→∞→

∞

∞→

(c)

( ) ( ) ( )

( ) eexsin1lim

xsin1lim0xsin

0xxsin1lim1xsin1lim

1xxsinlim

xsin1

0xsin

xxsin

xsin1

0xsin0x

x1

0x

x

0x

0x

==

+=

=

+=

→→

=+==+

→

→→→

∞

→

→


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte :

(1) 3x2x

1xlim 21x −+−

→

(2) 1x5x6

1x8lim 2

3

21x +−

−→

(3) 8x

2x3xlim 3

2

2x −+−

→

(4) 2xx

8xlim 2

3

2x −++

−→

2. Izračunajte :

(1) ( )x2xx4lim 2

x−+

∞→

(2) )xxx(lim 2

x−+

∞→

(3) ( )1xxxlim 2

x+−−

∞→

(4) ( )3x7x1x2xlim 22

x+−−−−

∞→

3. Izračunajte :

(1)

−−

−→ 31x x13

x11lim

(2)

+−

−−→ x31

x96lim 23x

4. Izračunajte :

(1) 2x

3x21lim4x −

−+→

(2) 13x4

x2xlim1x −−

−−→


5. Izračunajte :

(1) 215x

1xlim41x −+

−→

(2) 2x226x3lim

3

1x −+−

→

(3) 1xx1lim

4

3

1x −−

→

6. Izračunajte :

(1) 20x xxsinx11lim ⋅+−

→

(2) x

xsin1xsin1lim0x

+−−→

(3) 416x

x2sinlim0x −+→

(4) xsinxx2cos1lim

0x ⋅−

→

(5) x2sin

tgxlimx π→

(6) xsinx2xsinxlim

x ++

∞→

(7) 31x x1)1xsin(lim

++

−→

7. Izračunajte :

(1) 2x

x x3xlim

+

∞→

(2) 1x

x 2x23x2lim

+

∞→

++

(3) 1x

x 1x2xlim

+

∞→

++


(4) ( )ctgx

0xtgx1lim +

→

R. 1.

(1) 41

(2) 6

(3) 121

(4) 4− 2.

(1) 41

(2) 21

(3) 21

(4) 25

3. (1) 1−

(2) 61

4.

(1) 34

(2) 43

5. (1) 32

(2) 541

−

(3) 34

−

6.

(1) 21

−


(2) 1− (3) 16 (4) 2

(5) 21

(6) 21

(7) 31

7. (1) ee (2) e (3) e (4) e


5. DIFERENCIJALNI RAČUN 5.1. Derivacije nekih osnovnih funkcija Primjer 1. Po definiciji derivacije dokažite : (1) ( ) 0xfC)x(f =′⇒=

(2) ( ) x2xfx)x(f 2 =′⇒=

(3) ( ) 23 x3xfx)x(f =′⇒=

(4) ( ) 1nn xnxfx)x(f −⋅=′⇒=

(5) ( ) 2x1xf

x1)x(f −=′⇒=

(6) ( )x2

1xfx)x(f =′⇒=

(7) ( ) xcosxfxsin)x(f =′⇒=

(8) ( ) xsinxfxcos)x(f −=′⇒=

(9) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=

R. (1) ( ) 0xfC)x(f =′⇒=

0xCClim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x0x=

∆−

=∆

−∆+=′

→∆→∆

(2) ( ) x2xfx)x(f 2 =′⇒=

( ) ( ) x2xx2limx

xx2xlim

xx)x(xx2xlim

xx)xx(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x0x

222

0x

22

0x0x

=∆+=∆

∆+⋅∆=

=∆

−∆+∆⋅⋅+=

∆−∆+

=∆

−∆+=′

→∆→∆

→∆→∆→∆

(3) ( ) 23 x3xfx)x(f =′⇒=

( ) ( ) 222

0x

22

0x

33223

0x

33

0x0x

x3)x(xx3x3limx

)x(xx3x3xlim

xx)x()x(x3xx3xlim

xx)xx(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

=∆+∆⋅+=∆

∆+∆⋅+⋅∆=

=∆

−∆+∆⋅+∆⋅+=

∆−∆+

=∆

−∆+=′

→∆→∆

→∆→∆→∆


(4) ( ) 1nn xnxfx)x(f −⋅=′⇒= koristeći binomnu formulu dobivamo :

( ) ( ) ( ) ( ) nn1n22n1nn

nn

xxxxn...xx21

1nnxxnx

x)xx()x(f)xx(f

−∆+∆⋅⋅++∆⋅⋅⋅−⋅

+∆⋅⋅+=

=−∆+=−∆+

−−−

( ) ( ) ( ) ( ) 1n2n2n1n xxxn...xx

211nnxn

x)x(f)xx(f −−−− ∆+∆⋅⋅++∆⋅⋅

⋅−⋅

+⋅=∆

−∆+⇒

1n

0xxn

x)x(f)xx(flim)x(f −

→∆⋅=

∆−∆+

=′⇒

(5) ( ) 2x1xf

x1)x(f −=′⇒=

( )( ) ( )

( ) 20x

0x0x0x0x

x1

xxx1lim

xxxxxlim

xxxxxxxlim

xx1

xx1

limx

)x(f)xx(flim)x(f

−=∆+⋅

−=

=⋅∆+⋅∆

∆−=

⋅∆+⋅∆∆+−

=∆

−∆+=

∆−∆+

=′

→∆

→∆→∆→∆→∆

(6) ( )x2

1xfx)x(f =′⇒=

( )( ) ( ) x2

1xxxx

xlimxxxx

xxxlim

xxxxxx

xxxxlim

xxxxlim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x0x

0x0x0x

=+∆+⋅∆

∆=

+∆+⋅∆−∆+

=

=+∆++∆+

⋅∆

−∆+=

∆−∆+

=∆

−∆+=′

→∆→∆

→∆→∆→∆

(7) ( ) xcosxfxsin)x(f =′⇒=

( ) ( )

xcosxcos12xxcoslim

2x2xsin

lim2xxcos

2x2xsin

lim

x2xsin

2xxcos2

limx

2xxxsin

2xxxcos2

lim

xxsin)xxsin(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x02x0x

0x0x

0x0x

=⋅=

∆

+⋅

∆

∆

=

∆

+⋅∆

∆

=

=∆

∆⋅

∆

+⋅=

∆

−∆+

⋅

+∆+

⋅=

=∆

−∆+=

∆−∆+

=′

→∆→∆→∆

→∆→∆

→∆→∆


(8) ( ) xsinxfxcos)x(f −=′⇒=

( ) ( )

xsinxsin12xxsinlim

2x2xsin

lim2xxsin

2x2xsin

lim

x2xsin

2xxsin2

limx

2xxxsin

2xxxsin2

lim

xxcos)xxcos(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x02x0x

0x0x

0x0x

−=⋅−=

∆

+⋅

∆

∆

−=

∆

+⋅∆

∆

−=

=∆

∆⋅

∆

+⋅−=

∆

−∆+

⋅

+∆+

⋅−=

=∆

−∆+=

∆−∆+

=′

→∆→∆→∆

→∆→∆

→∆→∆

(9) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=

( )

alnaeln

1alna

)1t(limln

1alna

)1tln(lim

1alna)1tln(

1limalna)1tln(

t1

1limalna

)1tln(tlimalna

aln)1tln(

tlima0t0x

)1tln(alnxln/1tat1a

x1alima

x1aalim

xaalim

x)x(f)xx(flim)x(f

xx

t1

0t

x

t1

0t

x

t10t

x

0t

x

0t

x

0t

x

xx

x

0x

xxx

0x

xxx

0x0x

⋅=⋅⋅=

+

⋅⋅=

=

+

⋅⋅=

+

⋅⋅=

+⋅⋅⋅=

=

+

⋅⋅=

+⋅=

→⇒→∆

+=⋅∆+=⇒=−

=

=∆−

⋅=∆

−⋅=

∆−

=∆

−∆+=′

→

→

→→

→→

∆∆

∆

→∆

∆

→∆

∆+

→∆→∆

Specijalno, ( ) xxx eelnexfe)x(f =⋅=′⇒= Primjer 2. Po definiciji derivacije funkcije nađite derivacije slijedecih funkcija : (1) 6x4x)x(f 2 +−=

(2) x35)x(f −=

(3) 2x1)x(f −=

(4) x5cos)x(f =


R. (1) 6x4x)x(f 2 +−=

( ) ( )

( )

( ) 4x24xx2limx

4xx2xlimx

6x4x6x4x4)x(xx2xlim

x6x4x6)xx(4)xx(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x

0x

222

0x

22

0x0x

−=−∆+=

=∆

−∆+⋅∆=

∆−+−+∆⋅−−∆+∆⋅⋅+

=

=∆

+−−+∆+⋅−∆+=

∆−∆+

=′

→∆

→∆→∆

→∆→∆

(2) x35)x(f −=

( )=

∆−−∆+⋅−

=∆

−∆+=′

→∆→∆ xx35xx35

limx

)x(f)xx(flim)x(f0x0x

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) x3523

x35xx353lim

x35xx35xx3lim

x35xx35xx35xx35lim

x35xx35x35xx35

xx35xx35

lim

0x

0x0x

0x

−⋅−

=−+∆+⋅−

−=

=−+∆+⋅−⋅∆

∆⋅−=

−+∆+⋅−⋅∆−−∆+⋅−

=

=−+∆+⋅−

−+∆+⋅−⋅

∆−−∆+⋅−

=

→∆

→∆→∆

→∆

(3) 2x1)x(f −=

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) 22220x220x

22

222

0x22

22

0x

22

2222

0x

22

0x0x

x1x

x12x2

x1xx1

xx2limx1xx1x

xx2xlim

x1xx1x

x1xxx2x1limx1xx1x

x1xx1lim

x1xx1

x1xx1x

x1xx1lim

xx1xx1

limx

)x(f)xx(flim)x(f

−

−=

−

−=

−+∆+−

∆−−=

−+∆+−⋅∆

∆−−⋅∆=

=

−+∆+−⋅∆

+−∆−∆⋅−−=

−+∆+−⋅∆

−−∆+−=

=−+∆+−

−+∆+−⋅

∆−−∆+−

=

=∆

−−∆+−=

∆−∆+

=′

→∆→∆

→∆→∆

→∆

→∆→∆

(4) x5cos)x(f =

( )

( ) ( )=

∆

∆⋅⋅

∆⋅+⋅−

=∆

−∆+⋅

⋅

+∆+⋅

⋅−=

=∆

−∆+⋅=

∆−∆+

=′

→∆→∆

→∆→∆

x

x25sinx

25x5sin2

limx

2x5xx5sin

2x5xx5sin2

lim

xx5cos)xx(5coslim

x)x(f)xx(flim)x(f

0x0x

0x0x


( ) x5sin51x5sin5

x25

x25sin

limx25x5sinlim5

25

x25

x25sin

x25x5sin2lim

0x250x0x

⋅−=⋅⋅−=

=

∆⋅

∆⋅

⋅

∆⋅+−=

⋅∆⋅

∆⋅

⋅

∆⋅+⋅−=

→∆⋅→∆→∆

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Po definiciji derivacije nađite derivaciju funkcije :

(1) x2

2)x(f =

(2) 3x21)x(f −=

(3) 2x3)x(f 3 −=

(4) x41

2)x(f−

=

(5) 2x3x4)x(f 2 +−−=

(6) ( )23x2)x(f −=

R.

(1) x2x

1)x(f −=′

(2) 3

2

x21x3)x(f

−

−=′

(3) 2x32

x9)x(f3

2

−=′

(4) ( )3x41

4)x(f−

=′

(5) 3x8)x(f −−=′ (6) 12x8)x(f −=′


5.2. Osnovna pravila deriviranja Primjer 1. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite :

(1) ( )xcos

1xftgx)x(f 2=′⇒=

(2) ( )xsin

1xfctgx)x(f 2−=′⇒=

R.

(1) ( )xcos

1xftgx)x(f 2=′⇒=

( ) ( )( )

( )

xcos1

xcosxsinxcos

xcosxsinxsinxcosxcos

xcosxcosxsinxcosxsin

xcosxsin)x(f

22

22

22

=+

=

=−⋅−⋅

=′⋅−⋅′

=′

=′

(2) ( )xsin

1xfctgx)x(f 2−=′⇒=

( ) ( )( )

( )

( )xsin

1xsin

xcosxsinxsin

xcosxsin

xsinxcosxcosxsinxsin

xsinxsinxcosxsinxcos

xsinxcos)x(f

22

22

2

22

22

−=+−

=−−

=

=⋅−⋅−

=′⋅−⋅′

=′

=′

Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, nađite derivacije funkcija :

(1) x1xx5)x(f 3 23 −+=

(2) xcosxsinxcosxsin)x(f

−+

=

(3) ( ) xx e1x23)x(f ⋅−+⋅=

(4) x

4

ex)x(f =

R.

(1) ( ) 232111

32

133 23

x1

x1

32x15x1x

32x35

x1xx5)x(f +⋅+=⋅−−⋅+⋅⋅=

′

−+=′ −−−−


(2)

( ) ( ) ( ) ( )( )

=−

′−⋅+−−⋅′+=

′

−+

=′2xcosxsin

xcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin)x(f

( ) ( ) ( ) ( )( )

=−

+⋅+−−⋅−= 2xcosxsin

xsinxcosxcosxsinxcosxsinxsinxcos

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )22

2

22

2

22

2

22

xcosxsin2

xcosxsin12

xcosxsinxcosxsin2

xcosxsinxcos2xsin2

xcosxsinxcosxsinxcosxsin

−−

=−⋅−

=

=−

+⋅−=

−⋅−⋅−

=−

+−−−=

(3) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxxx ex2ln23e1xe12ln23e1x23)x(f ⋅+⋅⋅=⋅−+⋅+⋅⋅=′

⋅−+⋅=′

(4) ( ) ( )( )

( ) ( )x

3

x2

x3

x2

x4x3

2x

x4x4

x

4

ex4x

ex4ex

eexex4

eexex

ex)x(f −⋅

=−⋅⋅

=⋅−⋅

=′

⋅−⋅′

=′

=′

5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije Primjer 1.

Po definiciji derivacije dokažite : ( )x1xfxln)x(f =′⇒=

R.

( ) ( )

x11

x1eln

x1

u1limlnx1u1lnlim

x1

0u0xxxu

xx1lnlim

x1

xx1ln

xx

x1lim

xx1ln

x1lim

xxxln

x1lim

xx

xxlnlim

x)xln()xxln(lim

x)x(f)xx(flim)x(f

u1

0uu1

0u

xx

0x

0x0x0x

0x0x0x

=⋅=⋅=

=

+⋅=+⋅=

→⇒→∆

∆=

=

∆+⋅=

=

∆+⋅

∆⋅=

∆+⋅

∆=

∆+

⋅∆

=

=∆

∆+

=∆

−∆+=

∆−∆+

=′

→→

∆

→∆

→∆→∆→∆

→∆→∆→∆

Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite :

(1) ( )xaln

1xfxlog)x(f a ⋅=′⇒=


(2) ( ) xx exfe)x(f =′⇒= (3) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=

(4) ( )2x1

1xfxarcsin)x(f−

=′⇒=

(5) ( )2x1

1xfxarccos)x(f−

−=′⇒=

(6) ( ) 2x11xfarctgx)x(f+

=′⇒=

(7) ( ) 2x11xfarcctgx)x(f+

−=′⇒=

R.

(1) ( )xaln

1xfxlog)x(f a ⋅=′⇒=

Iz alnxlnxloga = slijedi :

( ) ( )xaln

1x1

aln1xln

aln1

alnxlnxloga ⋅

=⋅=′⋅=′

=′

(2) ( ) xx exfe)x(f =′⇒=

ylnxey x =⇔= ( )( )

xx ey

y11

yln

1e ===′=′

⇒

(3) ( ) alnaxfa)x(f xx ⋅=′⇒=

alnxx eay ⋅== ( ) ( ) ( ) alnaalnealnxeea xalnxalnxalnxx ⋅=⋅=′⋅⋅=′

=′

⇒ ⋅⋅⋅

(4) ( )2x1

1xfxarcsin)x(f−

=′⇒=

ysinxxarcsiny =⇔=

( )( ) 22 x1

1ysin1

1ycos

1

ysin

1xarcsin−

=−

==′=′

π

≤≤π

−≤≤−2

y2

,1x1

(5) ( )2x1

1xfxarccos)x(f−

−=′⇒=

ycosxxarccosy =⇔=

( )( ) 22 x1

1ycos1

1ysin

1

ycos

1xarccos−

−=−

−=−

=′=′ ( )π≤≤≤≤− y0,1x1


(6) ( ) 2x11xfarctgx)x(f+

=′⇒=

tgyxarctgxy =⇔=

( )( ) 22

2

2x1

1ytg1

1ycos

ycos11

tgy

1arctgx+

=+

===′=′

(7) ( ) 2x11xfarcctgx)x(f+

−=′⇒=

ctgyxarcctgxy =⇔=

( )( ) 22

2

2x1

1yctg1

1ysin

ysin1

1

ctgy

1arcctgx+

−=+

−=−=−

=′=′

Primjer 3. Nađite derivacije složenih funkcija :

(1) ( )x2sin)x(f 3=

(2) ( )x2x3sin)x(f 4 +=

(3) ( )( )x2x3sinln)x(f 4 +=

(4) ( )( )x2x3sinln)x(f 4 +=

(5) ( )xsinln)x(f =

(6) xe)x(f −=

(7) ( )x2arctg)x(f =

(8) xcos4)x(f =

(9) α−= tgtgx)x(f

(10) ( ) ( )arctgxlnxlnarctg)x(f +=

R. (1)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2cosx2sin62x2cosx2sin3x2sin)x(f 223 ⋅⋅=⋅⋅⋅=′

=′ (2)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2x3cos2x122x12x2x3cosx2x3sin)x(f 43344 +⋅+=+⋅+=′

+=′


(3)

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x2x3ctg2x12

2x12x2x3cosx2x3sin

1x2x3sinln)x(f

43

344

4

+⋅+=

=+⋅+⋅+

=′

+=′

(4)

( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x2x3sinln

x2x3ctg1x62x12x2x3cosx2x3sin

1x2x3sinln

121

x2x3sinln)x(f

4

4334

44

4

+

+⋅+=+⋅+⋅

+⋅

+⋅=

=′

+=′

(5)

( )( ) ctgx21

xsinxcos

21xcos

xsin1

21

xsin1xsinln)x(f ⋅=⋅=⋅⋅⋅=

′=′

(6)

( ) ( ) xxx e)1(ee)x(f −−− −=−⋅=′

=′ (7)

( )( )( ) 22 x41

22x21

1x2arctg)x(f+

=⋅+

=′=′

(8)

( ) ( ) xsin44lnxsin4ln44)x(f xcosxcosxcos ⋅⋅−=−⋅⋅=′

=′ (9)

( )xcos

1tgx1

21tgtgx)x(f 2⋅⋅=

′α−=′

(10)

( ) ( )( ) 22 x11

arctgx1

x1

xln11arctgxlnxlnarctg)x(f

+⋅+⋅

+=′+=′


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite derivacije funkcija :

(1) 33 2 xxb

xa)x(f

⋅−=

(2) xcosx)x(f 2 ⋅=

(3) ( )

2xarctgxx1)x(f

2 −⋅+=

(4) xlogxlnxlogaln)x(f a ⋅−⋅=

(5) ( )ctgxln)x(f =

(6) ( )xsinln)x(f =

(7) ( )1xxln)x(f 2 ++=

(8) ( ) 2xx21xarcsin

21x)x(f −⋅+⋅

−=

2. Zadana je funkcija 1x

1x)x(f−−

= . Dokažite da je njena derivacija ( )1xx4

1(x)f+⋅

=′ .

3. Zadana je funkcija x1x1xxln)x(f

2

2

−+

++= . Dokažite da je njena derivacija

1x2)x(f2 +

=′ .

4. Ako je 2

2

e x1x1log)x(f 2

+−

= dokažite da je 1x

x)x(f 4 −=′ .

5. Ako je xtgxxtg31)x(F 3 +−= , )xsin(ln)x(f = , pokažite da je )1(f)

4(F ′=π′ .

6. Zadana je funkcija ctgxtgxctgxtgx)x(f

+−

= . Dokažite da je njena 1. derivacija x2sin2)x(f ⋅=′ .

7. Zadana je funkcija x2sinxsin2x2sinxsin2)x(f

−+

= . Dokažite da je njena derivacija

( )2cosx-12sinx-(x)f =′ .

8. Dokažite da je derivacija funkcije x2cos1x2cos1)x(f

−+

= jednaka xsin

xcos2)x(f 3

⋅−=′ .

9. Zadana je funkcija xsin

xcosxsinf(x) 2

44 −= . Dokažite da je njena derivacija

xsinctgx2(x)f 2

⋅=′ .


R. 1.

(1) 323 2 xx3

b4xx3

a2)x(f⋅⋅

+⋅⋅

−=′

(2) xsinxxcosx2)x(f 2 ⋅−⋅=′ (3) arctgxx)x(f ⋅=′

(4) ( )xlog21x1)x(f −⋅=′

(5) xcosxsin

1)x(f⋅

−=′

(6) ctgx21)x(f ⋅=′

(7) 1x

1)x(f2 +

=′

(8) ( )xarcsin)x(f =′ 5.4. Logaritamsko deriviranje Primjer 1. Nađite derivacije funkcija : (1) xx)x(f =

(2) ( )xxln)x(f =

(3) ( ) xsinx xcosx)x(f +=

(4) ( ) ( )3 23 1x2x

3x)x(f+⋅+

+=

R. (1) xx)x(f =

xxy = Funkciju prvo logaritmiramo :

xlnxyln ⋅= Deriviranjem jednadžbe po x, smatrajući da je y funkcija od x, dobivamo :

( )( ) ( )1xlnx)x(f1xlnxy

1xlnyy

y/x1xxln1y

y1

xx +⋅=′⇒+⋅=′

+⋅=′

⋅⋅+⋅=′⋅


(2) ( )xxln)x(f =

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅=′⇒

+⋅=′

+⋅=′

⋅⋅⋅+⋅=′⋅

⋅=

=

xln1xlnlnxln)x(f

xln1xlnlnxlny

xln1xlnlnyy

y/x1

xln1xxlnln1y

y1

xlnlnxyln

xlny

xx

x

(3) ( ) xsinx xcosx)x(f += )x(v)x(u)x(f)x(v)x(u)x(f ′+′=′⇒+=

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅=′

+⋅⋅⋅=′

⋅⋅+⋅⋅=′⋅

⋅=

=

1xln21

xxx

xxxln

xx

21xu

xxxln

xx

21uu

u/x1xxln

x1

21u

u1

xlnxuln

xu

xx

x

( )( )

( ) ( )

( )

−⋅⋅=′

⋅−⋅⋅+⋅=′⋅

⋅=

=

xcosxsinxcoslnxcosvv

v/xsinxcos

1xsinxcoslnxcosvv1

xcoslnxsinvln

xcosv

2

xsin

( ) ( )

−⋅⋅=′

xcosxsinxcoslnxcosxcosv

2xsin

( ) ( )

−⋅⋅+

+⋅⋅⋅=′+′=′⇒

xcosxsinxcoslnxcosxcos1xln

21

xxx)x(v)x(u)x(f

2xsinx


(4) ( ) ( )3 23 1x2x

3x)x(f+⋅+

+=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+⋅−

+⋅−

+⋅⋅

+⋅+

+=′⇒

+⋅−

+⋅−

+⋅⋅=′

⋅+

⋅−+

⋅−+

⋅=′⋅

+⋅−+⋅−+⋅=

+⋅+

+=

1x1

32

2x1

23

3x1

21

1x2x

3x)x(f

1x1

32

2x1

23

3x1

21yy

y/1x

132

2x1

23

3x1

21y

y1

1xln322xln

233xln

21yln

1x2x

3xy

3 23

3 23

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) tgxxsin1x2 3xx)x(f ++= +

(2) x x)x(f =

(3) 2xx)x(f =

(4) x

x11)x(f

+=

(5) ( )xarctgx)x(f =

(6) xx2 xx)x(f += . R.

(1) xcos

33lnx

xsinxlnxcosxx

1x2xln2x)x(f 2

tgxxsin1x2 ⋅

+

+⋅⋅+

+

+⋅=′ +

(2) ( )xln1x)x(f2

x1

−⋅=′−

(3) ( )xlnx2xx)x(f2x ⋅+⋅=′

(4)

+

−

+⋅

+=′

x11

x11ln

x11)x(f

x

(5) ( ) ( ) ( )

⋅+

+⋅=′arctgxx1

xarctgxlnarctgx)x(f 2x

(6) ( ) x22

x2 xxxln

x1x2xln2)x(f ⋅

−+⋅+=′


5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije implicitno zadanih funkcija : (1) 3x4yyx2x 223 +=++ (2) yxey += (3) yx yx = R. (1)

4yy2yx2yx22x33x4yyx2x

22

223

=′⋅+′⋅+⋅⋅+

+=++

( )

y2x2xy4x34y

xy4x34y2x2y

2

2

22

+−−

=′

−−=+⋅′

(2)

yxey +=

( )

1yx1

1e1y

11eyy1ye

y

y

y

−+=

−=′

=−⋅′

′+=′⋅

(3)

( )

1yln1xlny

1ylny1xln

yy1yylny

x1xxln1

ylnyxlnxyx yx

++

=′

+⋅′=+

′⋅⋅+⋅′=⋅+⋅

⋅=⋅

=

Primjer 2. Nađite )x(y′ u točki ( )1,0T = funkcije 1xy eey +=⋅ . R.


1xyy

1xy

eyeyey1

eey+

+

=′⋅⋅+⋅′⋅

=⋅

( )

( )21

e2e

e1eeTy

eyeey

eeyey

11

10

yy

1x

1xyy

==⋅+

=′

⋅+=′

=⋅+⋅′

+

+

+

Ako se traži samo vrijednost derivacije u nekoj točki, možemo koordinate točke uvrstiti odmah u nesređeni oblik.

( )

21

e2ey

eeeyeye1ey

1y,0x/eyeyey1

eey

1011

1xyy

1xy

==′

=+⋅′=′⋅⋅+⋅′

===′⋅⋅+⋅′⋅

=⋅

+

+

+

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) x2yxy2x 22 =−+ u točki T=(2,4)

(2) ( )22 yxlnxyarctg +=

(3) 1by

ax

2

2

2

2

=+

(4) 3 23 23 2 ayx =+

(5) xy2yx −=++

(6) eyxex 2y =⋅+⋅ (7) 0ysinxycosy2cos =⋅+− R.

(1) yx

yx1y−−−

=′ , 25y

T=′

(2) yxyxy

−+

=′

(3) yx

aby 2

2

⋅−=′


(4)

−=′ 3

yxy

(5) xy2xxy2y

y+

+−=′

(6) 2y

y

xexxy2ey+⋅

+−=′

(7) ycosxysiny2sin2

ysiny⋅−−⋅

=′

5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije parametarski zadanih funkcija : (1)

−=

−=

t23ty

1tx3

2

(2)

=

= −

t2

t

ey

ex

R. (1)

−=

−=

t23ty

1tx3

2

2t23t3

dtdy

t2dtdx

22

−=−=

=

t22t

dtdxdtdy

dxdy)x(y

2 −===′

−=′

−=⇒

t22ty

1tx2

2

(2)

=

= −

t2

t

ey

ex


2edtdy

)1(edtdx

t2

t

⋅=

−⋅= −

t3t

t2

e2ee2

dtdxdtdy

dxdy)x(y ⋅−=

−===′

−

⋅−=′

=⇒

−

t3

t

e2y

ex

Primjer 2.

Nađite )0x(y =′ za funkciju :

=

⋅=

ttlny

tlntx

R.

1t0tln,0t0tlnt0x =⇒=≠⇒=⋅⇒=

22 ttln1

t

1tlntt1

dtdy

1tlnt1ttln1

dtdx

−=

⋅−⋅=

+=⋅+⋅=

( )1tlnttln1

1tlnt

tln1

dtdxdtdy

dxdy)x(y 2

2

+⋅−

=+

−

===′

( )

+⋅−

=′

⋅=

⇒

1tlnttln1y

tlntx

2

( ) ( ) ( ) 1101

0111ln1

1ln11t,0xy 2 =+⋅

−=

+⋅−

===′

Primjer 3.

Nađite )0x(y =′ za funkciju :

⋅=

⋅=

tsinbytcosax

R.

2t0tcos,0a0tcosa0x π=⇒=≠⇒=⋅⇒=

( )

tcosbdtdy

tsinatsinadtdx

⋅=

⋅−=−⋅=


ctgtab

tsinatcosb

dtdxdtdy

dxdy)x(y ⋅−=

⋅−⋅

===′

⋅−=′

⋅=⇒

ctgtaby

tcosax

00ab

2ctg

ab

2t,0xy =⋅−=

π⋅−=

π

==′

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1)

−=

−=

1t5y4tx

(2)

( )

−=

+=

arctgttyt1lnx 2

(3)

( )( )

−⋅=

−⋅=

tcos1ay

tsintax

(4)

=

=

tgtytcos

1x

R. (1)

=′−=

5y4tx

(2)

( )

=′

+=

2ty

t1lnx 2

(3)

( )

−=′

−⋅=

tcos1tsiny

tsintax


(4)

=′

=

tsin1y

tcos1x

5.7. Derivacije višeg reda Primjer 1. Za zadane funkcije odredite drugu derivaciju :

(1)

−+

=x1x1ln)x(f

(2) xsinxcosxsinxcos)x(f

+−

=

(3) xx

x2x2

eeee)x(f−

−

+−

=

R.

(1)

−+

=x1x1ln)x(f

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 22

22

x11

x1x11

x12

x1x1

21

x1x1x1

x1x1

21

x1x1

x11x1x11

x1x1

121

x1x1

1)x(f

−=

−⋅+=

−⋅

+−

⋅=

=−

++−⋅

+−

⋅⋅+−

=−

−⋅+−−⋅⋅

−+

⋅⋅

−+

=′

( )( )

( )2222 x1x2x2

x111)x(f

−=−⋅

−⋅−=′′

(2) xsinxcosxsinxcos)x(f

+−

=


( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )22

22

2

22

2

2222

2

xsinxcos2

xsinxcosxcosxsin2

xsinxcosxcos2xsin2

xsinxcosxcosxsinxsinxcosxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin

xsinxcosxcosxsinxsinxcosxsinxcosxcosxsin)x(f

+−

=++⋅−

=+

⋅−⋅−=

=+

⋅+−−⋅+⋅−−−⋅−=

=+

+−⋅−−+⋅−−=′

( )( ) ( )

( )33 xsinxcosxsinxcos4xcosxsin

xsinxcos22)x(f

+−⋅

=+−⋅+−

⋅−=′′

(3) xx

x2x2

eeee)x(f−

−

+−

=

( ) ( ) ( ) ( ) xx

xx

xxxx

xx

2x2x

xx

x2x2

eeee

eeeeeeee

eeee)x(f −

−

−−

−

−

−

−

−=+

−⋅+=

+−

=+−

=

( ) xxxx eee1e)x(f −− +=⋅−−=′

xx ee)x(f −−=′′

Primjer 2. Odredite y ′′ u točki A=(0,1) za funkciju 1yxyx 44 =+− . R.

/1yxyx 44 ′=+− 0yy4yxyx4 33 =′⋅+′⋅−−

( )( )

41y

0y14y01041,0A/0yy4yxyx4

A

33

33

=′⇒

=′⋅⋅+′⋅−−⋅

==′⋅+′⋅−−

/0yy4yxyx4 33 ′=′⋅+′⋅−−

0yy4yyy34yxy1yx34 322 =′′⋅+′⋅′⋅⋅+′′⋅−′⋅−′−⋅

( ) ( ) 0y4xyyy12y2x12 3222 =+−⋅′′+′⋅+′−

( )3

222

y4xyy12y2x12y

−′⋅+′−

=′′


161

41612

21

14041112

412012

y 3

222

A−=

−

+−=

⋅−

⋅⋅+⋅−⋅

=′′⇒

Primjer 3. Odredite )x(y ′′ za funkciju arctgyxy += . R.

yy1

11y

/arctgyxy

2′⋅

++=′

′+=

1y1

11y 2 =

+

−⋅′

1y1

1y1y 2

2

=

+

−+⋅′

2

2

yy1y +

=′

/1y1y 2

′+=′

( )5

2

2

2

33

3

yy12

yy1

y2y

y2y

yy)2(y+⋅

−=+

⋅−=′⋅−=′′

′⋅−=′′ −

Primjer 4.

Nađite )x(y ′′′ za funkciju :

=

= −

3

t

tyex

R.

t2t

2

et3et3

dtdxdtdy

dxdy)t(yy ⋅−=

−===′=′

−

( ) t22t22t2t

t2t

et6t3et3et6e

et3et23

dtdxdtyd

dxyd)t(yy ⋅+=⋅+⋅=

−⋅−⋅⋅−

=

′

=′

=′′=′′−

,


( ) ( ) ( ) t32t

t22t2

e6t18t6e

e2t6t3e6t23

dtdxdtyd

dxyd)t(yy ⋅++−=

−⋅⋅++⋅+⋅

=

′′

=′′

=′′′=′′′−

Primjer 5.

Nađite )x(y ′′ u točki 2

t π= za funkciju :

( )( )

−⋅=

−⋅=

tcos1ay

tsintax

R.

( ) tcos1tsin

tcos1atsina

dtdxdtdy

dxdy)t(yy

−=

−⋅⋅

===′=′

( )( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

( ) a1

01a1

2cos1a

12

ty

tcos1a1

tcos1atcos1

tcos1a1tcos

tcos1atsintcostcos

tcos1atcos1

tsintsintcos1tcos

dtdxdtyd

dxyd)t(yy

22

233

3

222

−=−⋅−

=

π−⋅

−=

π=′′⇒

−⋅−

=−⋅−−

=−⋅

−=

=−⋅

+−=

−⋅−

⋅−−⋅

=

′

=′

=′′=′′

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Dokažite da je druga derivacija funkcije 3xx2

1x)x(f 2

2

−+−

= jednaka ( )33x2

4)x(f+−

=′′ .

2. Nađite treću derivaciju funkcije xx

x2x2

eeee)x(f−

−

+−

= .

3. Nađite treću derivaciju funkcije

−+

=x1x1ln)x(f .

4. Zadana je funkcija ( )1xxln)x(f 2 ++= . Nađite njenu 2. derivaciju (x)f ′′ .


5. Nađite drugu derivacija funkcije xsinxcosxsinxcos)x(f

−+

= .

6. Nađite drugu derivaciju funkcije

−+

=1x3sin1x3sinln)x(f .

7. Nađite derivaciju 2

2

dxyd

parametarski zadane funkcije 3

2

tbytax⋅=

⋅= .

8. Zadana je funkcija tsineytcosex

t

t

⋅=

⋅= . Izračunajte 2

2

dxyd

u T(t=0).

9. Nađite više derivacije funkcija : (1)

( )( )

⋅−⋅=

⋅+⋅=

tcosttsinay

tsinttcosax 2. derivaciju

(2)

−=

=

2t1y

tarcsinx 2. derivaciju

(3)

=

=

tgtytcos

1x 3. derivaciju

(4)

=

=

tarcsinyex t

2. derivaciju

(5)

( )

−=

+=

arctgttyt1lnx 2

2. derivaciju

R.

2. xx ee)x(f −−−=′′′

3. ( )32

2

x1

2x6(x)f−

+=′′′

4. ( )32 1x

x-(x)f+

=′′


5. ( )( )3sinx-cosx

cosxsinx4(x)f +⋅=′′

6. ( )x3osc9-(x)f 2=′′

7. ta4

b3dx

yd22

2

=

8. 2dx

yd

0t2

2

=

=

9. (1)

( )

⋅⋅=′′

⋅+⋅=

tcosta1y

tsinttcosax

3

(2)

−−=′′

=

2t1y

tarcsinx

(3)

⋅=′′′

=

tsintcos3y

tcos1x

5

4

(4)

( )

−⋅−⋅

−+=′′

=

22t2

2

t

t1t1e1tty

ex

(5)

( )

+=′′

+=

t4t1y

t1lnx2

2


5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju Primjer 1.

Nađite jednadžbu tangente i normale u točki s apscisom 1x −= na krivulju 2x1x4y +−= .

R.

( ) ( )( )

( )5,1T51411141y

x1x4y1x 22 −=⇒=+=

−+−⋅−=−⇒+−=⇒−=

( )

( ) ( )224

124y

x24x24y

/x1x4y

31x

33

2

−=+−=−

−−=′

−−=⋅−+−=′

′+−=

−=

−

jednadžba tangente :

( ) ( )000 xxxfyy −⋅′=− ( )( )

3x2y2x25y

1x25y

+−=⇒

−−=−−−⋅−=−

jednadžba normale :

( ) ( )00

0 xxxf1yy −⋅′

−=−

( )( )

211x

21y

21x

215y

1x2

15y

+⋅=⇒

+⋅=−

−−⋅−

−=−

Primjer 2. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju 0y2cosycosysinx2 =+−⋅ u točki

π

=2

,1T .

R. /0y2cosycosysinx2 ′=+−⋅

( ) ( ) 0y2y2sinyysinyycosxysinx2 2 =′⋅⋅−+′⋅−−′⋅⋅+⋅ ( )

π′⋅−=⋅−+⋅⋅′2

,12 y/ysinx2y2sin2ysinycosxy

π⋅⋅−=

π

⋅⋅−

π+

π⋅⋅′

2sin12

22sin2

2sin

2cos1y 2


( )2y21y

11202101y

2,1

2

−=′⇒−=⋅′

⋅⋅−=⋅−+⋅⋅′

π


( )

24x2y

2x22

y

1x22

y

+π+⋅−=⇒

+⋅−=π

−

−⋅−=π

−


( )1x2

12

y −⋅−

−=π

−

21x

21y

21x

21

2y

−π+⋅=⇒

−⋅=π

−

Primjer 3.

Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju :

⋅=⋅=

tsintytcostx

za vrijednost parametra

2t π= .

R.

π

=⇒

π=⋅

π=

π⋅

π=

=⋅π

=π

⋅π

=⇒

π=

⋅=⋅=

2,0T

21

22sin

2y

0022

cos2

x

2t

tsintytcostx

( )

tcosttsintcosttsin1dtdy

tsinttcostsinttcos1dtdx

⋅+=⋅+⋅=

⋅−=−⋅+⋅=

tsinttcostcosttsin

dtdxdtdy

dxdy)t(yy

⋅−⋅+

===′=′

π−=

π−

=⋅

π−

⋅π

+=

π⋅

π−

π

π⋅

π+

π

=

π′ 2

2

1

12

0

02

1

2sin

22cos

2cos

22sin

2y



( )

2x2y

x22

y

0x22

y

π+⋅

π−=⇒

⋅π

−=π

−

−⋅π

−=π

−


( )0x2

12

y −⋅

π−

−=π

−

2x

2y

x22

y

π+⋅

π=⇒

⋅π

=π

−

Primjer 4. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju exyey =+ u točki s apscisom x=0. R.

( )1,0T1yey0e0xexye yy =⇒=⇒=⋅+⇒=⇒=+

( )

xeyy

yxey0yxy1ye

/exye

y

y

y

y

+−=′

−=+⋅′

=′⋅+⋅+′⋅

′=+

( ) e1

0e1y 11,0

−=+

−=′


( )

1xe1y

xe11y

0xe11y

+⋅−=⇒

⋅−=−

−⋅−=−


( )0x

e1

11y −⋅−

−=−


xe1y ⋅=− 1xey +⋅=⇒

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Napišite jednadžbu tangente i normale na krivulju 4xy −= u točki sa ordinatom 1.

2. Napišite jednadžbu tangente na krivulju xsin

1f(x) = u njenoj točki s apscisom 2

x0π

= .

3. Napišite jednadžbu tangente na krivulju 1x22

3siny −

−

π= u točki sa apscisom

4x0

π= .

4. Napišite jednadžbu zajedničke tangente krivulja xsiny = i 3x31xy ⋅+= .

5. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju 2

1xarcsiny −= u sjecištu sa x-osi.

6. U kojoj točki tangenta na krivulju 1ey x2 += , paralelna s pravcem 1x2y −= , dira tu krivulju ? Napišite jednadžbu tangente. 7. Napišite jednadžbe tangente i normale na krivulju )1xln(e)x(f x +⋅= u točki krivulje s apscisom x=0. 8. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju

2x4ey −= u sjecištu sa pravcem y=1 . 9. Odredite jednadžbe tangente i normale na krivulju 01xy2yx 33 =−−+ u točki T=(1,0) . 10. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju 24yxxy 233 =−+− u točki T=(1,3). 11. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju ( ) 32 xx2y =−⋅ u točki T=(1,1) . 12. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju yxey −= u sjecištu sa x-osi. 13. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulju 4xy3ex y22 =+⋅ u točki gdje krivulja siječe x-os.

14. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju

⋅=⋅=

tsintytcostx

u točki 2

t π= .


15. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulje :

(1)

−

=2

1xarcsiny u sjecištu krivulje s x-osi

(2)

−=

=

2t1y

tarcsinx za 1t =

(3) 7yxyx 33 =−−⋅ u točki T=(1,2)

R.

1. 9x2yn,23x

21yt +−=−= KK

2. 1yt =K

3. 12

x2yt −π

−=K

4. xyt =K

5. 2x2yn,21x

21yt +−=−= KK

6. ( ) 2x2yt,2,0T +== K

7. xyn,xyt −== KK

8. 21x

41yn,9x4yt,

21x

41yn,9x4yt 2211 +=+−=+−=+= KKKK

9. 32x

32yn,

23x

23yt +−=−= KK

10. 29x26yn,2677x

261yt +−=+= KK

11. 23x

21yn,1x2yt +−=−= KK

12. 2x2yn,21x

21yt +−=−= KK

13. 7x27yn,

74x

72yt,1x

21yn,4x2yt 2211 −=+−=−−=+= KKKK

14. 2

x2

yn,2

x2yt π+

π=

π+

π−= KK

15.

(1) 21x

21yt −⋅=L , 2x2yn +⋅−=L


(2) 2

xyt π+−=L ,

2xyn π−=L

(3) 1123x

111yt +⋅−=L , 9x11yn −⋅=L

5.9. Diferencijal funkcije Primjer 1. Nađite diferencijale funkcija : (1) ( )2xearcctgy =

(2) 2x3y −−=

(3) 222 ayxy2x =−+

R. (1) ( )2xearcctgy =

( ) dxe1

ex2dxx2ee1

1dx)x(ydy 2

22

2 x2

xx

2x⋅

+

⋅−=⋅⋅⋅

+

−=⋅′=

(2)

2x3y −−=

( ) dx3x3ln2dxx23ln3dx)x(ydy22 xx ⋅⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅−=⋅′= −−

(3) 222 ayxy2x =−+

( )

dxxyyxdy

xyyxy

0yyxyx0yy2yx2y2x2

⋅−+

=⇒−+

=′

=′⋅−++=′⋅−′⋅++

Primjer 2. Nađite diferencijale 2. reda za funkcije : (1)

2x3y −−= (2) 222 ayxy2x =−+ R. (1)

2x3y −−=

dx3x3ln2dy2x ⋅⋅⋅⋅= −


( ) ( ) ( )2x22 dx3x3ln2dx)x(yyd2

⋅′

⋅⋅⋅=⋅′′= −

( )( ) ( )2xx2 dxx23ln3x3ln233ln2yd22

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= −−

( )( ) ( )222x2 dx3lnx43ln23yd2

⋅⋅−⋅⋅= − (2) 222 ayxy2x =−+

dxxyyxdy ⋅

−+

=

( ) ( )222 dxxyyxdx)x(yyd ⋅′

−+

=⋅′′=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )222 dx

xy1yyxxyy1yd ⋅

−−′⋅+−−⋅′+

=

( )( )

( )( )

( )( )22

22

22

22

2 dxxyxy

xy2x2xy2y2

dxxy

xyyxx2y2

dxxy

yx2y2yd ⋅−−

−−−

=⋅−

−+

⋅−=⋅

−

′⋅−=

( )( )

( )( )

( )23

22

3

222 dx

xya2dx

xyyxy2x2yd ⋅

−⋅−

=⋅−

−+⋅−=

Primjer 3. Nađite diferencijale 4. reda za funkcije : (1) xsiny 2= (2) xlnxy ⋅= R. (1) xsiny 2=

( ) dxx2sindxxcosxsin2dxxsindx)x(ydy 2 ⋅=⋅⋅⋅=⋅′

=⋅′=

( ) ( ) ( ) ( )22222 dxx2cos2dx2x2cosdxx2sindx)x(yyd ⋅⋅=⋅⋅=⋅′=⋅′′=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )33333 dxx2sin4dx2x2sin2dxx2cos2dx)x(yyd ⋅⋅−=⋅⋅−⋅=⋅′⋅=⋅′′′=

( ) ( ) ( ) ( )4444)4(4 dxx2cos8dx2x2cos4dxx2sin4dx)x(yyd ⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅′⋅−=⋅= (2) xlnxy ⋅=

( ) ( ) dx1xlndxx1xxln1dxxlnxdx)x(ydy ⋅+=⋅

⋅+⋅=⋅′⋅=⋅′=

( ) ( ) ( ) ( )2222 dxx1dx1xlndx)x(yyd ⋅=⋅′+=⋅′′=

( ) ( ) ( )32333 dx

x1dx

x1dx)x(yyd ⋅−=⋅′

=⋅′′′=

( ) ( ) ( )434

24)4(4 dx

x2dx

x1dx)x(yyd ⋅=⋅

′

−=⋅=


5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije Primjer 1. Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost :

(1) 2.0e , za 0x = i 2.0x =∆

(2) ( )8.0ln , za 1x = i 2.0x −=∆

(3) 3 26 , za 27x = i 1x −=∆

(4) ( )046ctg , za 045x = i 01x =∆

R. (1) 2.0e , za 0x = i 2.0x =∆

( )

2.1e2.12.0112.0eeexeeeexf,e)x(f

2.0002.00

xxxx

xx

≅⇒=⋅+=⋅+≅

∆⋅+≅

=′=

+

∆+

(2) ( )8.0ln , za 1x = i 2.0x −=∆

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2.08.0ln2.02.0102.0111ln2.01ln

xx1xlnxxln

x1xf,xln)x(f

−≅⇒−=−⋅+=−⋅+≅−

∆⋅+≅∆+

=′=

(3) 3 26 , za 27x = i 1x −=∆

( )

( ) 962963.226962963.291

3131

271

3127127

xx1

31xxx

x1

31xf,x)x(f

33 2

33

3 2

33

3 2

3

≅⇒=⋅−=−⋅⋅+≅−

∆⋅⋅+≅∆+

⋅=′=

(4) ( )046ctg , za 045x = i 01x =∆

( )

( )

( ) xxsin

1ctgxxxctg

rad180

1x

xsin1xf,ctgx)x(f

2

0

2

∆⋅−≅∆+

π==∆

−=′=


( ) ( ) ( )

( ) 965093.046ctg

901

180

22

1118045sin

145ctg145ctg

0

202000

≅⇒

π−=

π⋅

−=

π⋅−≅+

ZADACI ZA VJEŽBU Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost : (1) 17 , za 16x = i 1x =∆ (2) ( )2.1ln , za 1x = i 2.0x =∆

(3) 5 31 , za 32x = i 1x −=∆ (4) ( )044tg , za 045x = i 01x −=∆ (5) ( )029cos , za 030x = i 01x −=∆ (6) ( )029sin , za 030x = i 01x −=∆ R. (1) 4.125 (2) 0.2 (3) 1.9875 (4) 0.965093 (5) 0.874752 (6) 0.485 5.11. Taylorova formula Primjer 1. Funkciju 3xx2)x(f 3 +−= razvijte po potencijama binoma (x-1). R. Razvoj po potencijama binoma (x-1) podrazumijeva razvoj u okolini točke 1x0 = .

3xx2)x(f 3 +−= 4312)1(f =+−=⇒ 1x6)x(f 2 −=′ 516)1(f =−=′⇒

x12)x(f =′′ 12)1(f =′′⇒ 12)x(f =′′′ 12)1(f =′′′⇒

0)x(f )4( = 0)1(R0)1(f 3)4( =⇒=⇒


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x(R1x!31f1x

!21f1x

!11f1f)x(f 3

32 +−⋅′′′

+−⋅′′

+−⋅′

+=

( ) ( ) ( )32 1x!3

121x!2

121x!1

54)x(f −⋅+−⋅+−⋅+=

( ) ( ) ( )32 1x21x61x54)x(f −⋅+−⋅+−⋅+=⇒

Primjer 2. Funkciju ( )1xln)x(f += aproksimirajte polinomom 3. stupnja u okolini točke 0x0 = . Izračunajte ln(1.2) pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.

)1xln()x(f += 01ln)10ln()0(f ==+=⇒

1x1)x(f+

=′ 110

1)0(f =+

=′⇒

( )21x1)x(f+

−=′′ ( )

110

1)0(f 2 −=+

−=′′⇒

( )31x2)x(f+

=′′′ ( )

210

2)0(f 3 =+

=′′′⇒

( )4)4(

1x6)x(f+

−= ( ) 44

4)4(

3 x!4

1x6

x!4

)x(f)x(R ⋅+⋅ϑ

−=⋅

⋅ϑ=⇒ , 10 <ϑ<

( ) ( ) ( ) ( ) )x(Rx!30fx

!20fx

!10f0f)x(f 3

32 +⋅′′′

+⋅′′

+⋅′

+=

( ) 32 x!3

2x!21x

!110)x(f ⋅+⋅

−+⋅+≅

32 x31x

21x)x(f ⋅+⋅−≅⇒

)2.1ln()12.0ln()2.0(f)1xln()x(f =+=⇒+=

( ) ( ) 182666.02.0312.0

212.0)2.0(f 32 =⋅+⋅−≅⇒

( )44

34

)4(

3 2.0!4

)12.0(6

)2.0(Rx!4

)x(f)x(R ⋅+⋅ϑ−

=⇒⋅⋅ϑ

=

( )

0004.0)2.0(R

10,)12.0(

0004.0)12.0(4321

2.06)2.0(R

3

44

4

3

<⇒

<ϑ<+⋅ϑ

=+⋅ϑ⋅⋅⋅⋅

⋅=


Primjer 3. Funkciju xe)x(f = aproksimirajte polinomom 4. stupnja u okolini točke 0x0 = . Izračunajte e1 = e pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.

x)5()4( e)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(f ===′′′=′′=′= 1e)0(f)0(f)0(f)0(f)0(f)0(f 0)5()4( ====′′′=′′=′=⇒

)x(Rx!4

1x!3

1x!2

1x!111)x(f 4

432 +⋅+⋅+⋅+⋅+=

708333.2e708333.21!4

11!3

11!2

11!111)1(f 432 ≅⇒=⋅+⋅+⋅+⋅+≅⇒

10,!5

e)1(Rx!5

ex!5

)x(f)x(R 45

x5

)5(

4 <ϑ<=⇒⋅=⋅⋅ϑ

=ϑ⋅ϑ

022652.0)1(R008333.0!5

e)1(R!5

144 <<⇒<<⇒

Primjer 4. Funkciju xsin)x(f = aproksimirajte polinomom 10. stupnja u okolini točke 0x0 = . R.

xsin)x(f = 00sin)0(f ==⇒ xcos)x(f =′ 10cos)0(f ==′⇒ xsin)x(f −=′′ 00sin)0(f =−=′′⇒ xcos)x(f −=′′′ 10cos)0(f −=−=′′′⇒

xsin)x(f )4( = 00sin)0(f )4( ==⇒ xcos)x(f )5( = 10cos)0(f )5( ==⇒ xsin)x(f )6( −= 00sin)0(f )6( =−=⇒ xcos)x(f )7( −= 10cos)0(f )7( −=−=⇒

xsin)x(f )8( = 00sin)0(f )8( ==⇒ xcos)x(f )9( = 10cos)0(f )9( ==⇒

xsin)x(f )10( −= 00sin)0(f )10( =−=⇒

1098765432 x!10

0x!9

1x!8

0x!71x

!60x

!51x

!40x

!31x

!20x

!110)x(f ⋅+⋅+⋅+⋅

−+⋅+⋅+⋅+⋅

−+⋅+⋅+≅

!9x

!7x

!5x

!3xx)x(f

9753

+−+−≅⇒


ZADACI ZA VJEŽBU Aproksimirajte funkciju f(x) u okolini točke 0x polinomom : (1) 3 1x)x(f += , 0x0= , polinomom 2. stupnja (2) 3 x1)x(f −= , 0x0= , polinomom 4. stupnja (3) xcos)x(f = , 0x0= , polinomom 6. stupnja (4) x)x(f = , 16x0= , polinomom 2. stupnja R.

(1) 2x91x

311)x(f ⋅−⋅+≈

(2) 432 x24310x

815x

91x

311)x(f ⋅−⋅−⋅−⋅−≈

(3) !6

x!4

x!2

x1)x(f642

−+−≈

(4) ( ) ( )216x512

116x814)x(f −⋅−−⋅+≈

5.12. L'Hospital-ovo pravilo Primjer 1. Izračunajte :

(1)

+−−−

→ 3x4x9x3x2lim 2

2

3x

(2)

++∞→ 4x3x

elim 2

x

x

(3) ( )

−−

−→ 3x2x

8xlnlim 2

2

3x

R.

(1) 29

4323322

4x23x22lim

00

3x4x9x3x2lim

3x2

2

3x=

−⋅−⋅⋅

=

−⋅−⋅⋅

=

=

+−−−

→→


(2) ∞=∞

=

=

∞∞

=

+⋅

=

∞∞

=

++ ∞→∞→∞→ 22

elim3x2

elim4x3x

elimx

x

x

x2

x

x

(3) ( )( ) ( ) 2

32x28x

x2lim2x2

8xx2

lim00

3x2x8xlnlim 23x

2

3x2

2

3x=

−⋅−

=

−⋅−⋅

=

=

−−

−→→→


(1) ( )( )ctgxxcos1lim0x

⋅−→

(2) ( )xlnxlim 2

00x⋅

+→

(3) ( )( )tgxx2lim2

x⋅−π

π→

R. (1)

( )( ) ( ) =

=

=

−=

−

=∞⋅=⋅−→→→→

xcos1

xsinlim00

tgxxcos1lim

ctgx1

xcos1lim0ctgxxcos1lim

2

0x0x0x0x

( ) 0100cos0sinxcosxsinlim 22

0x=⋅=⋅=⋅=

→

(2)

( ) ( )( ) 02

xlim

x2

x1

lim

x1xlnlim0xlnxlim

2

00x

3

00x

2

00x

2

00x=

−

=

−=

∞∞−

=

=∞−⋅=⋅+→+→+→+→

(3)

( )( ) ( )

( ) 2122

sin2xsin2lim

xsin12lim

00

ctgxx2lim

00

tgx1

x2lim0tgxx2lim

22

2x

22x

2x

2x

2x

=⋅=π

⋅=⋅=

=

−

−=

=

−π=

=

−π

=∞⋅=⋅−π

π→

π→

π→

π→

π→



(1)

−

−→ xln1

1xxlim

1x

(2)

⋅

π−⋅

∞→x

2arctgxxlim

x

R. (1)

( ) ( )( ) ( )

21

2010

21ln11ln

2xln1xlnlim

11xln1xlnlim

1x1xxln1

x1xxln1

lim00

1xxlnxxlnxlim

x1xxlnx

xlnlim

x1xxln

xlnlim

x11xxln1

1x1xxln1

lim00

xln1x1xxlnxlim

xln1

1xxlim

1x1x

1x1x1x1x

1x1x1x

=++

=++

=

++

=

+++

=

=

+⋅+⋅

⋅+⋅=

=

−+⋅⋅

=

−+⋅=

−+

=

=

⋅−+⋅

−⋅+⋅=

=

⋅−

−−⋅=∞−∞=

−

−

→→

→→→→

→→→

(2)

( ) ( ) =

=

π−

=⋅∞=

π

−⋅=∞−∞=

⋅

π−⋅

∞→∞→∞→ 00

x1

2arctgx

lim02

arctgxxlimx2

arctgxxlimxxx

1x2x2lim

x1xlim

x1x1

1

limx2

2

x

2

2

x−=

⋅⋅−

=

∞∞

−=

+−

=

−

+=∞→∞→∞→

Primjer 4. Izračunajte : (1) ( )x

0xxsinlim

→

(2) ( )x1

x

x21lim +

∞→

(3)

−

→

x11

1xxlim


R. (1) ( )x

0xxsinlim

→

( ))xln(sinxyln

xsiny x

⋅==

( ) ( ) ( )( )

010

xcosxsinxxcosx2lim

00

xsinxcosxlim

x1

xcosxsin

1

lim

x1

)xln(sinlim0)xln(sinxlimylnlim

2

0x

2

0x

2

0x0x0x0x

==

⋅+⋅−=

=

⋅−=

=

−

⋅=

∞∞−

=

=∞−⋅=⋅=

→→

→→→→

( ) ( ) 1xsinlim1ylim1ey0ylog0ylnlim x

0x0x

0e0x

=⇒=⇒==⇒=⇒=→→→

(2) ( )x1

x

x21lim +

∞→

( )( )x

x1

x

21lnx1yln

21y

+⋅=

+=

( ) ( ) ( ) ( )=

⋅⋅+=

∞∞

=

+=∞⋅=

+⋅=

∞→∞→∞→∞→ 1

2ln221

1

limx

21lnlim021lnx1limylnlim

xx

x

x

x

x

xx

2ln2ln2

2ln22lnlim2122lnlim x

x

xx

x

x=

⋅⋅⋅

=

∞∞

=

+⋅

=∞→∞→

( ) ( ) 221lim2ylim2y2logylog2lnylnlim x1

x

xxeex=+⇒=⇒=⇒=⇒=

∞→∞→∞→

(3)

−

→

x11

1xxlim

xlnx1

1yln

xy x11

⋅−

=

= −

( ) ( ) 11

11

x1

lim00

x1xlnlim0xln

x11limylnlim

1x1x1x1x−=

−=

−=

=

−=⋅∞=

⋅

−=

→→→→

( )e1xlim

e1ylim

e1ey1ylog1ylnlim x1

1

1x1x

1e1x

=

⇒=⇒==⇒−=⇒−= −

→→

−

→


ZADACI ZA VJEŽBU Izračunajte :

(1)

−

→ 20x xxcos1lim

(2) ( )

+

−→ 1xln

eelimax2ax

0x

(3) ( ) tgxx2lim2

x⋅−π

π→

(4) ( ) xlnarctgx2limx

⋅⋅−π∞→

(5)

⋅π

−π

→ xcos2ctgxxlim

2x

(6)

−

→ xsin1

x1lim

0x

(7) ( )x

0xxlim

→

(8) ( ) x1

1xxlnlim −

→

(9) ( )tgx

2x

xsinlimπ

→

(10) ( ) xln1

0xctgxlim

→

R.

(1) 21

(2) a−

(3) 2

(4) 0

(5) 1−

(6) 0

(7) 1

(8) 1

(9) 1

(10) e1


5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije Primjer 1. Odredite intervale monotonosti za funkcije : (1) 5x4xy 2 ++= (2) x9x6xy 23 ++=

(3) ( ) 11xy 3 2 −−= R. (1) 5x4xy 2 ++=

R=fD 4x2)x(y +=′

( )( )

+∞−

−∞−⇒

−>⇒>+⇒>′

−<⇒<+⇒<′

rastef,2intervaluu

padaf2,intervaluu2x04x20)x(y2x04x20)x(y

(2) x9x6xy 23 ++=

R=fD ( ) ( )3x1x39x12x3)x(y 2 +⋅+⋅=++=′

( )( ) ( )

+∞−∪−∞−

−−⇒

+∞<<−−<<−∞⇒>′

−<<−⇒<′

rastef,13,intervaluu

padaf1,3intervaluux1&3x0)x(y

1x30)x(y

(3) ( ) 11xy 3 2 −−= R=fD

3 1x32)x(y−⋅

=′

{ }1Df \R=′ Derivacija funkcije različita je od nule u cijelom području definicije, ali u točki x=1 ne postoji.

⇒

+∞<<⇒>′

<<−∞⇒<′

x10)x(y1x0)x(y ( )

( )

+∞

∞−

rastef,1intervaluu

padaf1,intervaluu

Primjer 2. Odredite ekstreme funkcija :

(1) 23

x3xy +=

(2) ( )41xy +=


(3) ( )3 24x1y −−=

(4) ( )3 22 1xy −= R.

(1) 23

x3xy +=

R=fD x2x)x(y 2 +=′

2x2)x(y +=′′ Nužni uvjet (N.U.) : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

2x,0x0x2x 212 −==⇒=+

Dovoljni uvjet (D.U.) : ( ) 0xy 0 ≠′′ , tj. :

( ) ⇒>′′ 0xy 0 funkcija u 0x postiže minimum

( ) ⇒<′′ 0xy 0 funkcija u 0x postiže maksimum

( ) ⇒>=+⋅=′′ 022020y za 0x1 = funkcija postiže minimum 0)0(yymin == ( ) ( ) ⇒<−=+−⋅=−′′ 022222y za 2x2 −= funkcija postiže maksimum

34)2(yymax =−=

(2) ( )41xy +=

R=fD

( )31x4)x(y +⋅=′

( )21x12)x(y +⋅=′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

( ) 1x01x4 03 −=⇒=+⋅

D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′ , odnosno ( ) 0xy 0

)n( ≠ , gdje je n paran broj

( ) ( ) ( ) 011121y1x12)x(y 22 =+−⋅=−′′⇒+⋅=′′

( ) ( ) 01124)1(y1x24)x(y =+−⋅=−′′′⇒+⋅=′′′ ⇒>=−⇒= 024)1(y24)x(y )4()4( 1x0 −= funkcija postiže minimum

0)1(yymin =−= Dovoljan uvjet možemo ispitati i tako da provjerimo da li prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x . Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0h4h41h14h1yhxy 333

0 <−=−⋅=+−−⋅=−−′=−′

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0h4h41h14h1yhxy 3330 >=⋅=++−⋅=+−′=+′


Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : 0xodlijevo0)x(y <′ i

0xoddesno0)x(y >′ , što znači da funkcija u točki 0x postiže minimum

0)1(yymin =−= .

(3) ( )3 24x1y −−= R=fD

3 4x32)x(y−⋅

−=′

{ }4Df \R=′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji ( )0xy′ ne postoji za 4x0 = jer prva derivacija ima prekid u točki 4x0 = .

D.U.: prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( )( )

0h3

24h43

2h4yhxy330 >−⋅

−=

−−⋅−=−′=−′

( ) ( )( )

0h3

24h43

2h4yhxy330 <⋅−

=−+⋅

−=+′=+′

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : 0xodlijevo0)x(y >′ i

0xoddesno0)x(y <′ , što znači da funkcija u točki 0x postiže maksimum

1)4(yymax == .

(4) ( )3 22 1xy −= R=fD

3 2 1x3x4)x(y−⋅

=′

{ }1,1Df −=′ \R N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

0x01x3

x4013 2=⇒=

−⋅

( )0xy′ ne postoji za 1x02 −= i 1x03 = . D.U.: prva derivacija y′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :


( ) ( ) ( )( )

01h3

h4

1h03

h04h0yhxy3 23 20 >

−⋅

−=

−−⋅

−=−′=−′

( ) ( ) ( )( )

01h3

h4

1h03

h04h0yhxy3 23 20 <

−⋅=

−+⋅

+=+′=+′

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x01 = i to: 01xodlijevo0)x(y >′ i

01xoddesno0)x(y <′ , što znači da funkcija u točki 01x postiže maksimum

1)0(yymax == .

( ) ( ) ( )( )

01h13

h14h1yhxy3 20 <

−−−⋅

−−=−−′=−′

( ) ( ) ( )( )

01h13

h14h1yhxy3 20 >

−+−⋅

+−=+−′=+′

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 1x02 −= i to : 02xodlijevo0)x(y <′ i


0)1(yymin =−= .

( ) ( ) ( )( )

01h13

h14h1yhxy3 20 <

−−⋅

−=−′=−′

( ) ( ) ( )( )

01h13

h14h1yhxy3 20 >

−+⋅

+=+′=+′

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke 1x03 = i to : 03xodlijevo0)x(y <′ i


0)1(yymin == . Primjer 3. Kako od komada žice duljine L načiniti pravokutnik maksimalne ploštine? R.

maxxx2Lx

2LxyxP

x2LyLy2x2

2 →−⋅=

−⋅=⋅=

−=⇒=+

x22L)x(P −=′


N.U.:

( )4Ly,

4Lx0x2

2LxP 00 ==⇒=−=′

D.U.:

( ) ⇒<−=′′ 02xP 0 za 4Lx0 = funkcija postiže maksimum

16L

4L

4LyxP

2

00max =⋅=⋅= .

Od komada žice duljine L pravokutnik najveće ploštine je zapravo kvadrat sa stranicom

duljine 4L

.

Primjer 4. Na osi parabole x4y2 = dana je točka A udaljena 3 jedinice od tjemena u pozitivnom smjeru osi x. Nađite apscisu točke na paraboli koja je najbliža točki A. R.

( ) ( ) minx4x3yx3d 2222 →+−=+−=

( ) ( ) ( )( ) 2)x(d

2x241x32)x(d2

2

=″

−=+−⋅−⋅=′

N.U.:

( ) 214y,1x02x2)x(d 002 =⋅==⇒=−=′

D.U.:

( ) 02)x(d 02 >=″

Za 1x0 = funkcija postiže minimum ( ) ( ) 81413d 22

min =⋅+−= . Točka T=(1,2) na paraboli

najbliža je točki A , a udaljenost točke T do točke A je 8dmin = .


ZADACI ZA VJEŽBU 1.Odredite intervale monotonosti za funkcije : (1) ( ) ( )22 2x1xy +⋅−=

(2) 2x2xy −⋅=

(3) 2xx3y

2

+−

=

(4) 1x1xy 2

2

+−

=

(5) 3x1xy +

=

2. Odredite ekstreme funkcija : (1) ( ) ( )22 2x1xy +⋅−=

(2) 1x1xy 2

2

+−

=

(3) 2xx4x2xy 2

2

−++−

=

(4) 1x

xy2

−=

(5) 2x4

x43y −−=

(6) 2xxexy −⋅=

(7) 2x2xy −⋅=

(8) 2

xxy42 −

=

(9) 1x

1x2xy 2

2

++−

=

(10) 2xx3y

2

+−

=

R. 1.

(1) ( ) ( ) ↑+∞∪

−↓

−∪∞ f...,1

212,-,f...1,

21,-2-

(2) [ ) ( ] ( ) ↑↓+∪−− f...1,1-,f...2,11,2 (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ↑−−∪−↓+∞−∪∞ f...1,223,-,f...,1,-3- (4) ( ) ( ) ↑+∞↓∞ f...,0,f...,0-

(5) ( ) ↑

∞↓+∞∪

f...

23,--,f...,0,0

23-


2.

(1) ( ) ( )

−==−=

1681,

21T,0,1T,0,2T maxminmin 21

(2) ( )1,0Tmin −=

(3) ( )2,0T,32,4T maxmin −=

=

(4) ( ) ( )0,0T,4,2T maxmin == (5) ( )4,2Tmax −=

(6) ( )1,1T,e2

1,21T max4 3min =

⋅−−=

(7) ( ) ( )1,1T,1,1T maxmin =−−=

(8) ( )

=

−==

81,

22T,

81,

22T,0,0T

21 maxmaxmin

(9) ( ) ( )2,1T,0,1T maxmin −== (10) ( ) ( )2,1T,6,3T maxmin −=−= 5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije Primjer 1. Odredite točke infleksije, te intervale konveksnosti i konkavnosti za funkcije : (1) x9x6xy 23 ++=

(2) 3 2xy +=

(3) 3x

1y−

=

(4) xexy ⋅= R. (1) x9x6xy 23 ++=

R=fD

12x6)x(y9x12x3)x(y 2

+=′′++=′

N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

2x012x6)x(y 0 −=⇒=+=′′ D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( ) 0h612h26h2yhxy 0 <⋅−=+−−⋅=−−′′=−′′ ( ) ( ) ( ) 0h612h26h2yhxy 0 >⋅=++−⋅=+−′′=+′′


Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.

( ) ( ) ( ) ( ) 2292622y 23 −=−⋅+−⋅+−=−

Točka ( )2,2 −−=Ι je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konveksan. (2) 3 2xy +=

R=fD

( )

( )3 5

3 2

2x9

2)x(y

2x3

1)x(y

+⋅−=′′

+⋅=′

{ }2DD ff −== ′′′ \R N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

( ){ }2x,0

2x9

2)x(y3 5

−∈∀≠+⋅

−=′′ \R

Druga derivacija nije definirana u točki 2x0 −= , pa je to apscisa moguće točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( )( )( ) ( )

0h9

2

h9

2

2h29

2h2yhxy3 53 53 50 >⋅

=−⋅

−=+−−⋅

−=−−′′=−′′

( ) ( )( )( )

0h9

2

2h29

2h2yhxy3 53 50 <⋅

−=++−⋅

−=+−′′=+′′

Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy >′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy <′′ desno od 0x , što znači da je 0x apscisa točke infleksije.

( ) 0222y 3 =+−=−

Točka ( )0,2−=Ι je točka infleksije.


Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konveksan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konkavan

(3) 3x

1y−

=

{ }3Df \R=

( )

( )3

2

3x2)x(y

3x1)x(y

−=′′

−−=′

{ }3DD ff \R== ′′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

( ){ }3x,0

3x2)x(y 3 \R∈∀≠−

=′′

Druga derivacija nije definirana u točki 3x0 = , no kako ni sama funkcija nije definirana u toj točki, nema točke infleksije. Da bi odredili intervale konveksnosti, konkavnosti promatramo ponašanje druge derivacije u okolini točke 3x0 = . Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( )( )( ) ( )

0h2

h2

3h32h3yhxy 3330 <−=

−=

−−=−′′=−′′

( ) ( )( )( )

0h2

3h32h3yhxy 330 >=−+

=+′′=+′′

Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke 0x i to : ( ) 0xy <′′ lijevo od točke 0x , a ( ) 0xy >′′ desno od 0x .

Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )3,∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞,3 graf funkcije je konveksan. (4) xexy ⋅=

( )( ) x

x

ex2)x(yex1)x(y⋅+=′′

⋅+=′

R=== ′′′ fff DDD


N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

( ) 2x0ex2)x(y 0x −=⇒=⋅+=′′

D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo : ( ) ( ) ( )( ) 0eheh22h2yhxy h2h2

0 <⋅−=⋅−−+=−−′′=−′′ −−−−

( ) ( ) ( )( ) 0eheh22h2yhxy h2h20 >⋅=⋅+−+=+−′′=+′′ +−+−


( ) ( ) 2e22y −⋅−=−

Točka

−−=Ι 2e

2,2 je točka infleksije.

Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu ( )2,−∞− graf funkcije je konkavan, u intervalu ( )+∞− ,2 graf funkcije je konveksan. ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite intervale konveksnosti, konkavnosti za funkcije :

(1) x1

ey−

=

(2) 2xx3y

2

+−

=

2. Odredite točke infleksije za funkcije :

(1) 2x2xy −⋅=

(2) x1

ey−

=

(3) 2

xxy42 −

=

(4) 1x1xy 2

2

+−

=

(5) 2

3

x1xy +

=

(6) 1x

1x2xy 2

2

++−

=


R. 1.

(1) ( ) konveksan...,21,konkavan...

21,00,

+∞

∪∞−

(2) ( ) ( ) konveksan...,2,konkavan...2, +∞−−∞− 2.

(1) ( )0,0=Ι

(2)

=Ι 2e

1,21

(3)

=Ι

−=Ι

725,

66,

725,

66

21

(4)

=Ι

−−=Ι

21,

33,

21,

33

21

(5) ( )0,1−=Ι

(6) ( )1,0=Ι 5.15. Asimptote Primjer 1. Odredite asimptote krivulje :

(1) 3x

3x6xy2

−+−

=

(2) 1x

1xy2

2

−

+=

R.

(1) 3x

3x6xy2

−+−

=

{ }3Df \R= Pravac 3x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :

−∞=−

=+−

=−

+−→ 0

60

31893x

3x6xlim2

3x


Pravac 3xy −= je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :

122lim

3x26x2lim

x3x3x6xlim

x3x

3x6x

limxx2

2

x

2

x==

∞∞

=−−

=

∞∞

=−

+−=−

+−

±∞→±∞→±∞→±∞→

( ) 313lim

3x3x3lim

3x3xx3x6xlimx1

3x3x6xlim

xx

2

x

2

x−=

−=

−+−

=

−

−⋅−+−=

⋅−

−+−

±∞→±∞→±∞→±∞→

(2) 1x

1xy2

2

−

+=

[ ] ( ) ( )+∞∪−∞−== ,11,1,1-Df \R Pravac 1x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :

+∞==−+

=−

+→ 0

211

111x

1xlim2

2

1x

Pravac 1x −= je vertikalna asimptota jer vrijedi :

+∞==−+

=−

+−→ 0

211

111x

1xlim2

2

1x

Pravac xy = je desna kosa asimptota :

1

x11xx

x11x

lim1xx

1xlimx

1x1x

lim

2

22

x2

2

x

2

2

x=

−⋅⋅

+⋅

=−⋅

+=−

+

+∞→+∞→+∞→


( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )03

x23lim

x2x3lim

1xx1x1xx1x3lim

1xx1x1x1xx1xlim

1xx1x1xx1x

1x1xx1xlim

1x1xx1xlimx1

1x1xlim

x3

2

x2222

2

x

222

2222

x22

22

2

22

x

2

22

x2

2

x

=∞

===−⋅+−+−⋅

+=

=−⋅++⋅−

−⋅−+=

−⋅++

−⋅++⋅

−

−⋅−+=

=−

−⋅−+=

⋅−

−

+

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

+∞→+∞→

Pravac xy −= je lijeva kosa asimptota :

1

x11xx

x11x

lim1xx

1xlimx

1x1x

lim

2

22

x2

2

x

2

2

x−=

−⋅⋅

+⋅

=−⋅

+=−

+

−∞→−∞→−∞→

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )03

x23lim

x2x3lim

1xx1x1xx1x3lim

1xx1x1x1xx1xlim

1xx1x1xx1x

1x1xx1xlim

1x1xx1xlimx1

1x1xlim

x3

2

x2222

2

x

222

2222

x22

22

2

22

x

2

22

x2

2

x

=∞

=−

=−

=−⋅−−+−⋅

+=

=−⋅−+⋅−

−⋅−+=

−⋅−+

−⋅−+⋅

−

−⋅++=

=−

−⋅++=

⋅+

−

+

−∞→−∞→−∞→

−∞→−∞→

−∞→−∞→


ZADACI ZA VJEŽBU Odredite asimptote krivulje :

(1) x1

ey =

(2) 2

2

x93x2xy

−−−

=

(3) 2xx3y

2

+−

=

(4) 2

3

x1x2y +

=

(5) 2xx4x2xy 2

2

−++−

=

(6) 1x

xy2

−=

(7) x2

6xxy2

−−−

=

(8) ( )2

3

1x2xy+⋅

=

R.

(1) 1y,0x ==

(2) 1y,3x −=−=

(3) 2xy,2x +−=−=

(4) x2y,0x ==

(5) 1y,1x,2x ==−=

(6) 1xy,1x +==

(7) 1xy,2x −−==

(8) 1x21y,1x −=−=


5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije Primjer 1.

Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju ( )2

3

1xxy−

= .

R. 1. područje definicije

{ }1Df \R= 2. sjecišta s koordinatnim osima :

x-osi (y=0)... ( )

( )0,0T0x1x

x0 2

3

=⇒=⇒−

=

y-osi (x=0)... ( )

( )0,0T0y010

0y0x 2

3

=⇒=⇒=−

=⇒=

3. asimptote Pravac 1x = je vertikalna asimptota jer vrijedi :

( ) ( )∞==

−=

−→ 01

111

1xxlim 2

3

2

3

1x

Pravac 2xy += je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :

( )( )

122lim

x2x2lim

1x2xxlim

1xxxlim

x1x

x

limxx2

2

x2

3

x

2

3

x===

∞∞

=+−

=−⋅

=−±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→

( )( )

( )2

x2x4lim

1x2xxx2lim

1x1xxxlimx1

1xxlim

x2

2

x2

23

x2

3

x==

+−

−=

−−⋅−

=

⋅−

− ±∞→±∞→±∞→±∞→

4. ekstremi

( )( )32

1x3xx)x(y

−

−⋅=′

( )41xx6)x(y−

=′′

{ }1DD ff \R== ′′′

N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

( )( )

3x,0x01x

3xx213

2

==⇒=−

−⋅


( )0xy′ ne postoji za 1x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada

kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′

( )( )

⇒=−⋅

=′′ 010060y 4 u 0x1 = funkcija ne postiže ekstrem

( )( )

⇒>=−⋅

=′′ 01618

13363y 4 za 3x2 = funkcija postiže minimum

427ymin =

Točka

=

427,3Tmin je točka minimuma.

5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

01h

3hh1h0

3h0h0h0yhxy 3

2

3

2

1 >−−−−⋅

=−−

−−⋅−=−′=−′

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

01h

3hh1h0

3h0h0h0yhxy 3

2

3

2

1 >−−⋅

=−+

−+⋅+=+′=+′

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )

0h2

hh31h3

3h3h3h3yhxy 3

2

3

2

2 <−

−⋅−=

−−−−⋅−

=−′=−′

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

0h2

hh31h3

3h3h3h3yhxy 3

2

3

2

2 >+

⋅+=

−+−+⋅+

=+′=+′

Intervali monotonosti : u intervalu ( ) ( )+∞∪∞− ,31, f raste u intervalu ( )3,1 f pada 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

( )0x0

1xx6)x(y 04 =⇒=−

=′′

( )0xy ′′ ne postoji za 1x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke 0x Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

01hh6

1h0h06h0yhxy 440 <

−−−

=−−−⋅

=−′′=−′′

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

01hh6

1h0h06h0yhxy 440 >

−=

−++⋅

=+′′=+′′



( )( )

010

00y 2

3

=−

=

Točka ( )0,0=Ι je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu ( )0,∞− graf funkcije je konkavan, a u intervalu ( ) ( )+∞∪ ,11,0 graf funkcije je konveksan.

Primjer 2. Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju arctgxxy ⋅= . R. 1. područje definicije

R=fD 2. sjecišta s koordinatnim osima : x-osi (y=0)... ( )0,0T0xarctgxx0 =⇒=⇒⋅= y-osi (x=0)... ( )0,0T0y00arctg0y0x =⇒=⇒=⋅=⇒=


3. asimptote

Pravac 1x2

y −⋅π

= je desna kosa asimptota :

2arctgxlim

xarctgxxlim

xx

π==

⋅+∞→+∞→

( ) ( )

1x2x2lim

x1xlim

x1x1

1

lim

00

x1

2arctgx

lim02

arctgxxlimx2

arctgxxlim

x2

2

x

2

2

x

xxx

−=−

=+−

=−

+=

=

=

π

−=⋅∞=

π

−⋅=∞−∞=

⋅

π−⋅

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

Pravac 1x2

y −⋅π

−= je lijeva kosa asimptota :

2arctgxlim

xarctgxxlim

xx

π−==

⋅−∞→−∞→

( ) ( )

1x2x2lim

x1xlim

x1x1

1

lim

00

x1

2arctgx

lim02

arctgxxlimx2

arctgxxlim

x2

2

x

2

2

x

xxx

−=−

=+−

=−

+=

=

=

π

+=⋅∞=

π

+⋅=∞−∞=

⋅

π+⋅

−∞→−∞→−∞→

−∞→−∞→−∞→

4. ekstremi

2x1xarctgx)x(y+

+=′

( )22x12)x(y

+=′′

R== ′′′ ff DD N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

( ) 0x0x1

xx1arctgxx1

xarctgx 02

2

2 =⇒=+

++⋅=

++

D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′

( )( )

⇒>=+

=′′ 020120y 22

za 0x0 = funkcija postiže minimum 0ymin =


Točka ( )0,0Tmin = je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 0h1hharctg

h01h0h0arctgh0yhxy 220 <

+−

+−=−+−

+−=−′=−′

( ) ( ) ( ) ( )( )

0h1

harctghh01

h0h0arctgh0yhxy 220 >+

+=+++

++=+′=+′

Intervali monotonosti : u intervalu ( )0,∞− f pada u intervalu ( )+∞,0 f raste 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

( )⇒∈∀≠

+=′′ Rx,0

x12)x(y 22

funkcija nema točke infleksije

⇒∈∀>′′ Rx,0)x(y graf funkcije je konveksan


Primjer 3.

Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju x1

exy ⋅= . R. 1. područje definicije

{ }0Df \R= 2. sjecišta s koordinatnim osima :

x-osi (y=0)... 0xex0 x1

=⇒⋅= , no { }0Df \R= , što znači da funkcija ne siječe x-os y-osi (x=0)... { }0Df \R= , što znači da funkcija ne siječe y-os 3. asimptote Pravac 0x = je vertikalna asimptota, jer vrijedi :

( ) ∞===

=

−

⋅−=

∞∞

=

=∞⋅=

⋅ ∞

→→→→eeelim

x1

x1e

lim

x1

elim0exlim 01

x1

0x

2

2x1

0x

x1

0xx1

0x

Pravac 1xy += je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna, jer vrijedi :

1eelimxexlim 0x

1

x

x1

x===

⋅±∞→±∞→

1eelim

x1

x1e

lim

x1

1elim1exlimx1exlim 0x

1

x

2

2x1

x

x1

xx1

xx1

x===

−

⋅−=

−

=

−⋅=

⋅−⋅

±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→

4. ekstremi

x1

ex

1x)x(y ⋅−

=′

3

x1

xe)x(y =′′

{ }0DD ff \R== ′′′ N.U. : ( ) 0xy 0 =′ ili ( )0xy′ ne postoji

1x0ex

1x0

x1

=⇒=⋅−


( )0xy′ ne postoji za 0x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada

kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: ( ) 0xy 0 ≠′′

( ) ⇒>==′′ 0e1e1y 3

1

za 1x0 = funkcija postiže minimum eymin =

Točka ( )e,1Tmin = je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( ) ( )( ) 0e

h1he

h01h0h0y h

1h0

1

>⋅−−−

=⋅−−−

=−′ −−

( ) ( )( ) 0e

h1he

h01h0h0y h

1h0

1

<⋅−

=⋅+

−+=+′ +

( ) ( )( ) 0e

h1he

h11h1h1y h1

1h1

1

<⋅−−

=⋅−−−

=−′ −−

( ) ( )( ) 0e

h1he

h11h1h1y h1

1h1

1

>⋅+

=⋅+

−+=+′ ++

Intervali monotonosti : u intervalu ( ) ( )+∞∪∞− ,10, f raste u intervalu ( )1,0 f pada 6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : ( ) 0xy 0 =′′ ili ( )0xy ′′ ne postoji

f3

x1

Dx,0xe)x(y ∈∀≠=′′

( )0xy ′′ ne postoji za 0x0 = , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke infleksije. Funkcija nema točke infleksije. Odaberemo h, 0<h<1 i promatramo :

( )( ) ( )

0h

eh0

eh0y 3

h1

3

h01

<−

=−

=−′′−−

( )( )

0he

h0eh0y 3

h1

3

h01

>=+

=+′′+


Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu ( )0,∞− graf funkcije je konkavan, a u intervalu ( )+∞,0 graf funkcije je konveksan.


ZADACI ZA VJEŽBU Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkcije :

(1) 2x

xy2

−=

(2) 2

3

x1xy +

=

(3) 2x

6xxy2

−−−

=

(4) 3 3x1y −=

(5) 2xxexy −⋅=

R. (1)

(2)


(3)

(4)

(5)


5.17. Zakrivljenost krivulje Primjer 1.

Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje 1x

1)x(y−

= u točki ( )1,2T = .

R.

1x1)x(y−

=

( ) ( )1

121)2(y

1x1)x(y 22 −=

−−

=′⇒−−

=′

( ) ( )2

122)2(y

1x2)x(y 33 =

−=′′⇒

−=′′

( )( )( )( ) ( )( ) 2

22

122

222

11

2

xy1

xyk33232

====−+

=′+

′′=

22

2

22

1k1R ====

Primjer 2. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje xln)x(y = u sjecištu s x-osi. R. Sjecište s x-osi :

1xxlny

0y=⇒

==

xln)x(y =

111)1(y

x1)x(y ==′⇒=′

11

1)1(yx

1)x(y 22 −=−

=′′⇒−

=′′

( )( )( )( ) ( ) 4

2221

21

11

1

xy1

xyk33232

−=−

=−

=+

−=

′+

′′=

222

4

42

1k1R ====


Primjer 3.

Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti parametarski zadane krivulje

⋅=

=t

t

ety

ex u

točki 0t = . R.

ttt ex,exex ==⇒= &&& 1e)0(x,1e)0(x 00 ==== &&&

tttttttt ete2eteey,eteyety ⋅+⋅=⋅++=⋅+=⇒⋅= &&&

2e0e2)1(y,1e0e)0(y 0000 =⋅+⋅==⋅+= &&&

( ) ( ) 42

221

21

11

1121

yx

xyyxk3322322

===+

⋅−⋅=

+

⋅−⋅=

&&

&&&&&&

222

4

42

1k1R ====

Primjer 4. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje 3yxyx 22 =++ u točki ( )1,1T = . R.

3yxyx 22 =++

0yy2yy2yxyy20yy2yxyx2

=′′⋅⋅+′⋅′⋅+′′⋅+′+′+=′⋅⋅+′⋅++⋅

( )

1y3y3

0y12y11121y,1x/0yy2yxyx2

)1,1(T −=′⇒

−=′=′⋅⋅+′⋅++⋅

===′⋅⋅+′⋅++⋅

=

( )

( ) ( ) ( ) ( )

32y

2y30y12112y1112

1y,1x/0yy2yy2yxyy2

)1,1(T −=′′⇒

−=′′=′′⋅⋅+−⋅−⋅+′′⋅+−+−+

===′′⋅⋅+′⋅′⋅+′′⋅+′+′+

=


( )( )( )( ) ( )( ) 6

223

12232

232

11

32

xy1

xyk33232

−=−=−

=−

=−+

−=

′+

′′=

232

6

62

1k1R ====

ZADACI ZA VJEŽBU Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulja :

(1)

+=

x11arctgy u sjecištu s pravcem 1x −=

(2) exyey =+ u točki ( )1,0T =

(3)

⋅=

+=t

t

ety

etx u točki ( )0,1T =

(4)

⋅=

⋅=

tsinbytcosax

u točkama 0t1 = , 2

t 2π

=

(5)

−=

+=

1tty

2tt2x

u točki ( )2,1T =

R.

(1) 22k −= , 2R =

(2) ( )32 1e

ek+

= , ( )

e1e

R32 +

=

(3) 25

53k = , 3

55R =

(4) ⇒= 0t1 2bak −= ,

abR

2

=

⇒π

=2

t2 2abk −= ,

baR

2

=

(5) 24

1717R =


6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 6.1. Metoda sekante (regula falsi) Primjer 1. Metodom sekante na intervalu [ ]1,0 nađite realni korijen jednadžbe 01x3x3 =−+ s točnošću na bar tri decimale. R. Stavimo ax0 = i bx1 = , zatim računamo niz ( ) ,...4,3,2n,xn = po formuli :

( ) ( ) ( )nnk

nkn1n xf

xfxfxxxx ⋅

−−

−=+ ,

gdje je kx ona prethodna aproksimacija, za koju je ( ) ( ) 0xfxf kn <⋅ . Definiramo : ( ) 1x3xxf 3 −+= Odaberemo : 0x0 = , 1x1 = Izračunamo : ( ) 10f −= , ( ) 31f = Računamo daljne aproksimacije :

( ) ( ) ( ) ( ) 25.0313

011xfxfxf

xxxx 112

1212 =⋅

−−−

−=⋅−−

−=

( ) 234.025.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 304.0234.0234.0325.0125.0xf

xfxfxxxx 2

21

2123 =−⋅

−−−

−=⋅−−

−=

( ) 06.0304.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 318.006.006.03

304.01304.0xfxfxf

xxxx 3

31

3134 =−⋅

−−−

−=⋅−−

−=

( ) 014.0318.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 321.0014.0014.03

318.01318.0xfxfxf

xxxx 441

4145 =−⋅

−−−

−=⋅−−

−=

( ) 004.0321.0f −= ( ) ( ) 1xx025.0f1f 1k ==⇒<⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 322.0004.0004.03

321.01321.0xfxfxf

xxxx 5

51

5156 =−⋅

−−−

−=⋅−−

−=

( ) 0006.0322.0f −=

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )

Ako navedeni algoritam programiramo u nekom od programskih jezika, računalo će koristiti veći broj znamenaka, pa ako dobro odaberemo početni interval, već nakon nekoliko koraka doći ćemo do točnog (približnog) rezultata.

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -1.00000 1.00000 3.00000 0.25000 -0.23438 2 0.25000 -0.23438 1.00000 3.00000 0.30435 -0.05877 3 0.30435 -0.05877 1.00000 3.00000 0.31771 -0.01479 4 0.31771 -0.01479 1.00000 3.00000 0.32106 -0.00372 5 0.32106 -0.00372 1.00000 3.00000 0.32190 -0.00094 6 0.32190 -0.00094 1.00000 3.00000 0.32211 -0.00024 7 0.32211 -0.00024 1.00000 3.00000 0.32217 -5.94774e-5


Primjer 2. Metodom sekante nađite realne korijene sljedećih jednadžbi : (1) 05x2x3 =−− (2) 02xx5 =−− (3) 01xx3 =+− R. (1) 5x2x)x(f 3 −−= na [ ]3,2

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 -1.00000 3.00000 16.00000 2.05882 -0.39080 2 2.05882 -0.39080 3.00000 16.00000 2.08126 -0.14720 3 2.08126 -0.14720 3.00000 16.00000 2.08964 -0.05468 4 2.08964 -0.05468 3.00000 16.00000 2.09274 -0.02020 5 2.09274 -0.02020 3.00000 16.00000 2.09388 -0.00745 6 2.09388 -0.00745 3.00000 16.00000 2.09431 -0.00275 7 2.09431 -0.00275 3.00000 16.00000 2.09446 -0.00101 8 2.09446 -0.00101 3.00000 16.00000 2.09452 -0.00037 9 2.09452 -0.00037 3.00000 16.00000 2.09454 -0.00014 10 2.09454 -0.00014 3.00000 16.00000 2.09455 -5.05686e-5

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )


(2) 2xx)x(f 5 −−= na [ ]2,1

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 1.00000 -2.00000 2.00000 28.00000 1.06667 -1.68583 2 1.06667 -1.68583 2.00000 28.00000 1.11967 -1.35993 3 1.11967 -1.35993 2.00000 28.00000 1.16045 -1.05607 4 1.16045 -1.05607 2.00000 28.00000 1.19096 -0.79496 5 1.19096 -0.79496 2.00000 28.00000 1.21330 -0.58404 6 1.21330 -0.58404 2.00000 28.00000 1.22937 -0.42127 7 1.22937 -0.42127 2.00000 28.00000 1.24079 -0.29979 8 1.24079 -0.29979 2.00000 28.00000 1.24883 -0.21127 9 1.24883 -0.21127 2.00000 28.00000 1.25446 -0.14786

10 1.25446 -0.14786 2.00000 28.00000 1.25838 -0.10298 11 1.25838 -0.10298 2.00000 28.00000 1.26109 -0.07148 12 1.26109 -0.07148 2.00000 28.00000 1.26298 -0.0495 13 1.26298 -0.04950 2.00000 28.00000 1.26428 -0.03422 14 1.26428 -0.03422 2.00000 28.00000 1.26517 -0.02363 15 1.26517 -0.02363 2.00000 28.00000 1.26579 -0.01630 16 1.26579 -0.01630 2.00000 28.00000 1.26622 -0.01124 17 1.26622 -0.01124 2.00000 28.00000 1.26652 -0.00775 18 1.26652 -0.00775 2.00000 28.00000 1.26672 -0.00534 19 1.26672 -0.00534 2.00000 28.00000 1.26686 -0.00368 20 1.26686 -0.00368 2.00000 28.00000 1.26696 -0.00254 21 1.26696 -0.00254 2.00000 28.00000 1.26702 -0.00175 22 1.26702 -0.00175 2.00000 28.00000 1.26707 -0.0012 23 1.26707 -0.00120 2.00000 28.00000 1.26710 -0.00083 24 1.26710 -0.00083 2.00000 28.00000 1.26712 -0.00057 25 1.26712 -0.00057 2.00000 28.00000 1.267146 -0.00039 26 1.267146 -0.00039 2.00000 28.00000 1.267153 -0.00019 27 1.267153 -0.00019 2.00000 28.00000 1.267157 -0.00013 28 1.267157 -0.00013 2.00000 28.00000 1.267161 -8.85003e-5

3 2 1 0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

f x( )


(3) 1xx)x(f 3 +−= na [ ]1,2 −−

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 -1.00000 1.00000 -2.00000 -5.00000 -1.16667 0.57870 2 -1.16667 0.57870 -2.00000 -5.00000 -1.25311 0.28536 3 -1.25311 0.28536 -2.00000 -5.00000 -1.29344 0.12954 4 -1.29344 0.12954 -2.00000 -5.00000 -1.31128 0.05659 5 -1.31128 0.05659 -2.00000 -5.00000 -1.31899 0.02430 6 -1.31899 0.02430 -2.00000 -5.00000 -1.32228 0.01036 7 -1.32228 0.01036 -2.00000 -5.00000 -1.32368 0.00440 8 -1.32368 0.00440 -2.00000 -5.00000 -1.32428 0.00187 9 -1.32428 0.00187 -2.00000 -5.00000 -1.32453 0.00079 10 -1.32453 0.00079 -2.00000 -5.00000 -1.32464 0.00034 11 -1.32464 0.00034 -2.00000 -5.00000 -1.32468 0.00014 12 -1.32468 0.00014 -2.00000 -5.00000 -1.32470 6.0475e-5

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )


6.2. Metoda tangente (Newtonova metoda) Primjer 1. Metodom tangente nađite realni korijen jednadžbe 05x3x3 =−− s točnošću 0.001. R. Izaberemo [ ]b,ax1 ∈ , i računamo niz ( ) ,...4,3,2n,xn = po formuli :

( )( )n

nn1n xf

xfxx′

−=+ , ,...3,2,1n =

Definiramo : 5x3x)x(f 3 −−= Odaberemo : 3x1 = Izračunamo : 3x3)x(f 2 −=′ Računamo aproksimacije :

( )( ) 46.2

24133

32759273

xfxfxx

1

112 =−=

−−−

−=′

−=

( )( ) 295.2165.046.2

316.18538.789.1446.2

xfxfxx

2

223 =−=

−−−

−=′

−=

( )( ) 279.2016.0295.2

3801.155885.6088.12295.2

xfxf

xx3

334 =−=

−−−

−=′

−=

( )( ) 279.2

582.120279.2

3582.155837.6837.11279.2

xfxfxx

4

445 =−=

−−−

−=′

−=

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )


Računajući s većim brojem znamenaka, dobivamo :

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 13.00000 24.00000 -0.54167 2.45833 2 2.45833 2.48170 15.13021 -0.16402 2.29431 3 2.29431 0.19400 12.79158 -0.01517 2.27914 4 2.27914 0.00158 12.58350 -0.00013 2.27902 5 2.27902 1.07752e-7 12.58178 -8.56413e-9 2.27902

Primjer 2. Metodom tangente nađite rješenja jednadžbi :

(1) x1tgx = na intervalu [ ]ππ− ,

(2) 2xxsin = (3) x42x = (4) x3x e4e −−= (5) 2x x1e2.0 −=⋅

(6) x1xlog =

(7) 4x2xln −= R.

(1) x1tgx)x(f −=

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -π 0.31831 1.10132 -0.28903 -3.43062 2 -3.43062 -0.00586 1.17339 0.00499 -3.42562 3 -3.42562 -7.39415e-6 1.17044 6.31743e-6 -3.42562

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π -0.31831 1.10132 0.28903 3.43062 2 3.43062 0.00586 1.17339 -0.00499 3.42562 3 3.42562 7.39415e-6 1.17044 -6.31743e-6 3.42562

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -0.10000 9.89967 101.01007 -0.09801 -0.19801 2 -0.19801 4.84970 26.54612 -0.18269 -0.38070 3 -0.38070 2.22655 8.06008 -0.27624 -0.65694 4 -0.65694 0.75100 3.91189 -0.19198 -0.84892 5 -0.84892 0.04212 3.67777 -0.01145 -0.86037 6 -0.86037 -0.00014 3.70215 3.65517e-5 -0.86033


i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.10000 -9.89967 101.01007 0.09801 0.19801 2 0.19801 -4.84970 26.54612 0.18269 0.38070 3 0.38070 -2.22655 8.06008 0.27624 0.65694 4 0.65694 -0.75100 3.91189 0.19198 0.84892 5 0.84892 -0.04212 3.67777 0.01145 0.86037 6 0.86037 0.00014 3.70215 -3.65517e-5 0.86033

tgx)x(f1 = , x1)x(f2 =

6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

6.28

4.71

3.14

1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

f1 x( )

f2 x( )

(2) 2xxsin)x(f −=

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.10000 0.08983 0.79500 -0.11300 -0.01300 2 -0.01300 -0.01317 1.02591 0.01283 -0.00016 3 -0.00016 -0.00016 1.00033 0.00016 -2.68703e-8 4 -2.68703e-8 -2.68703e-8 1.00000 2.68703e-8 0.00000

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π -9.86960 -7.28319 -1.35512 1.78647 2 1.78647 -2.21465 -3.78695 -0.58481 1.20166 3 1.20166 -0.51135 -2.04251 -0.25035 0.95131 4 0.95131 -0.09081 -1.32200 -0.06869 0.88262 5 0.88262 -0.00661 -1.13010 -0.00585 0.87677


xsin)x(f1 = , 2

2 x)x(f =

6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

6.28

4.71

3.14

1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

f1 x( )

f2 x( )

(3) x42)x(f x −=

x1 2)x(f = , x4)x(f2 =

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f1 x( )

f2 x( )


i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 1.00000 -3.30685 0.30240 0.30240 2 0.30240 0.02359 -3.14521 0.00750 0.30990 3 0.30990 1.66896e-5 -3.14076 5.31388e-6 0.30991

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 -4.00000 1.54518 2.58870 5.58870 2 5.58870 25.76970 29.35736 -0.87779 4.71091 3 4.71091 7.34568 14.15304 -0.51902 4.19189 4 4.19189 1.50857 8.66804 -0.17404 4.01785 5 4.01785 0.12779 7.22842 -0.01768 4.00017 6 4.00017 0.00121 7.09167 -0.00017 4.00000 7 4.00000 1.12152e-7 7.09036 -1.58176e-8 4.00000

(4) 4ee)x(f x3x −+= −

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -1.00000 16.45342 -59.88873 0.27473 -0.72527 2 -0.72527 5.29343 -25.94351 0.20404 -0.52123 3 -0.52123 1.37020 -13.73546 0.09976 -0.42147 4 -0.42147 0.19712 -9.96704 0.01978 -0.40170 5 -0.40170 0.00624 -9.34198 0.00067 -0.40103 6 -0.40103 6.84517e-6 -9.32150 7.34342e-7 -0.40103

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 1.00000 -1.23193 2.56892 0.47955 1.47955 2 1.47955 0.40279 4.35554 -0.09248 1.38707 3 1.38707 0.01871 3.95636 -0.00473 1.38235 4 1.38235 4.62699e-5 3.93680 -1.17532e-5 1.38233

x1 e)x(f = , x3

2 e4)x(f −−=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

f1 x( )

f2 x( )


(5) 2x x1e2.0)x(f +−⋅=

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 -0.80000 0.200000 4.00000 4.00000 2 4.00000 25.91963 18.91963 -1.36999 2.63001 3 2.63001 8.96177 8.03482 -1.08176 1.54825 4 1.54825 2.33773 4.03715 -0.57905 0.96920 5 0.96920 0.46651 2.46556 -0.18921 0.77999 6 0.77999 0.04467 1.99626 -0.02238 0.75761 7 0.75761 0.00061 1.94186 -0.00031 0.75730 8 0.75730 1.19376e-7 1.94110 -6.14994e-8 0.75730

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 -2.00000 3.02707 -3.97293 0.76192 -1.23808 2 -1.23808 0.59082 -2.41817 0.24433 -0.99375 3 -0.99375 0.06158 -1.91346 0.03218 -0.96157 4 -0.96157 0.00107 -1.84668 0.00058 -0.96099 5 -0.96099 3.51403e-7 -1.84547 1.90413e-7 -0.96099

x

1 e2.0)x(f ⋅= , 22 x1)x(f −=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

f1 x( )

f2 x( )

(6) x1xlog)x(f −=

i xi f(xi) f'4(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 1.00000 -1.00000 1.43429 0.69721 1.69721 2 1.69721 -0.35947 0.60305 0.59609 2.29329 3 2.29329 -0.07559 0.37952 0.19919 2.49248 4 2.49248 -0.00458 0.33521 0.01365 2.50613 5 2.50613 -1.84574e-5 0.33251 5.55094-5 2.50618


xlog)x(f1 = , x1)x(f2 =

0 1 2 3 4 5 6 7 8

4

3

2

1

1

2

3

4

f1 x( )

f2 x( )

(7) 4x2xln)x(f +−=

xln)x(f1 = , 4x2)x(f2 −=

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

f1 x( )

f2 x( )


i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00100 -2.90976 998.00000 0.00292 0.00392 2 0.00392 -1.55062 253.38959 0.00612 0.01004 3 0.01004 -0.62174 97.65021 0.00637 0.01640 4 0.01640 -0.14315 58.96789 0.00243 0.01883 5 0.01883 -0.00998 51.10761 0.00020 0.01902 6 0.01902 -5.34007e-5 50.56253 1.05613e-6 0.01903

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 2.00000 0.69315 -1.50000 0.46210 2.46210 2 2.46210 -0.02318 -1.59384 -0.01454 2.44755 3 2.44755 -1.75186e-5 -1.59143 -1.10081e-5 2.44754

Primjer 3. Metodom sekante i tangente nađite korijene jednadžbi : (1) 01x3x3 =−+ (2) 05x3x3 =−− (3) 0xe x =−− (4) 010xlnx =−⋅ (5) 0x4xcos =− (6) 02xxsin =+− R. (1) 1x3x)x(f 3 −+= (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -1.00000 1.00000 3.00000 0.25000 -0.23438 2 0.25000 -0.23438 1.00000 3.00000 0.30435 -0.05877 3 0.30435 -0.05877 1.00000 3.00000 0.31771 -0.01479 4 0.31771 -0.01479 1.00000 3.00000 0.32106 -0.00372 5 0.32106 -0.00372 1.00000 3.00000 0.32190 -0.00094 6 0.32190 -0.00094 1.00000 3.00000 0.32211 -0.00024 7 0.32211 -0.00024 1.00000 3.00000 0.32217 -5.94774e-5

(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 -1.00000 3.00000 0.33333 0.33333 2 0.33333 0.03704 3.33333 -0.01111 0.32222 3 0.32222 0.00012 3.31148 -3.68672e-5 0.32219 4 0.32219 1.31383e-9 3.31141 -3.9676e-10 0.32219


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

f x( )

(2) 5x3x)x(f 3 −−= (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 -5.00000 3.00000 13.00000 0.83333 -6.92130 2 0.83333 -6.92130 3.00000 13.00000 1.58610 -5.76811 3 1.58610 -5.76811 3.00000 13.00000 2.02064 -2.81164 4 2.02064 -2.81164 3.00000 13.00000 2.19479 -1.01180 5 2.19479 -1.01180 3.00000 13.00000 2.25294 -0.32351 6 2.25294 -0.32351 3.00000 13.00000 2.27108 -0.09948 7 2.27108 -0.09948 3.00000 13.00000 2.27661 -0.03023 8 2.27661 -0.03023 3.00000 13.00000 2.27829 -0.00915 9 2.27829 -0.00915 3.00000 13.00000 2.27880 -0.00277 10 2.27880 -0.00277 3.00000 13.00000 2.27895 -0.00084 11 2.27895 -0.00084 3.00000 13.00000 2.27900 -0.00025 12 2.27900 -0.00025 3.00000 13.00000 2.27901 -7.63713e-5

(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 3.00000 13.00000 24.00000 -0.54167 2.45833 2 2.45833 2.48170 15.13021 -0.16402 2.29431 3 2.29431 0.19400 12.79158 -0.01517 2.27914 4 2.27914 0.00158 12.58350 -0.00013 2.27902 5 2.27902 1.07752e-7 12.58178 -8.56413e-9 2.27902


10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )

(3) xe)x(f x −= − (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 -1.86466 0.00000 1.00000 0.69816 -0.20066 2 0.69816 -0.20066 0.00000 1.00000 0.58148 -0.02241 3 0.58148 -0.02241 0.00000 1.00000 0.56873 -0.00249 4 0.56873 -0.00249 0.00000 1.00000 0.56732 -0.00028 5 0.56732 -0.00028 0.00000 1.00000 0.56716 -3.08386e-5

x

1 e)x(f −= , x)x(f2 =

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

f1 x( )

f2 x( )


(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 0.00000 1.00000 -2.00000 0.50000 0.50000 2 0.50000 0.10653 -1.60653 0.06631 0.56631 3 0.56631 0.00130 -1.56762 0.00083 0.56714 4 0.56714 1.9648e-7 -1.56714 1.25375e-7 0.56714

(4) 10xlnx)x(f −⋅= (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 5.00000 -1.95281 6.00000 0.75056 5.72236 -0.01802 2 5.72236 -0.01802 6.00000 0.75056 5.72887 -0.00015 3 5.72887 -0.00015 6.00000 0.75056 5.72893 -1.27614e-6

(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 5.00000 -1.95281 2.60944 0.74836 5.74836 2 5.74836 0.05340 2.74892 -0.01943 5.72894 3 5.72894 3.2864e-5 2.74553 -1.197e-5 5.72893

xlnx)x(f 1 ⋅= , 10)x(f2 =

4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

4

2

2

4

6

8

10

12

14

16

f1 x( )

f2 x( )


(5) x4xcos)x(f −= (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 0.00000 1.00000 1.00000 -3.45970 0.22423 0.07804 2 0.22423 0.07804 1.00000 -3.45970 0.24134 0.00564 3 0.24134 0.00564 1.00000 -3.45970 0.24258 0.00041 4 0.24258 0.00041 1.00000 -3.45970 0.24267 2.90962e-5

(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π/2 -6.28319 -5.00000 -1.25664 0.31416 2 0.31416 -0.30558 -4.30902 -0.07092 0.24324 3 0.24324 -0.00241 -4.24085 -0.00057 0.24267 4 0.24267 -1.56579e-7 -4.24030 -3.69264e-8 0.24267

xcos)x(f1 = , x4)x(f2 =

6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

6.28

4.71

3.14

1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

f1 x( )

f2 x( )

(6) 2xxsin)x(f +−= (a) metoda sekante :

i xi f(xi) xk f(xk) xi+1 f(xi+1) 1 2.00000 0.90930 4.00000 -2.75680 2.49606 0.10557 2 2.49606 0.10557 4.00000 -2.75680 2.55153 0.00489 3 2.55153 0.00489 4.00000 -2.75680 2.55409 0.00019 4 2.55409 0.00019 4.00000 -2.75680 2.55419 7.50926e-6


(b) metoda tangente

i xi f(xi) f'(xi) hi=-f(xi) / f'(xi) xi+1= xi+ hi 1 π/2 1.42920 -1.00000 1.42920 3.00000 2 3.00000 -0.85888 -1.98999 -0.43160 2.56840 3 2.56840 -0.02608 -1.84017 -0.01417 2.55423 4 2.55423 -5.48779e-5 -1.83240 -2.99486e-5 2.55420

xsin)x(f1 = , 2x)x(f2 −=

6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

6.28

4.71

3.14

1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

f1 x( )

f2 x( )


7. LITERATURA 1. T. Bradić i drugi : Matematika za tehnološke fakultete

(Element , Zagreb, 1998.) 2. J.N. Bronstein, K.A. Semendjajev : Matematički priručnik

(Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.) 3. B. Dakić, N. Elezović: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred

prirodoslovnih gimnazija (Element, Zagreb, 2003.)

4. B. Dakić, N. Elezović: Priručnik za nastavnike uz udžbenik Matematike 4 (Element, Zagreb, 2004.)

5. B. Dakić : Zbirka zadataka iz matematika s pismenih ispita - 4 (Element, Zagreb, 1999.)

6. B.P.Demidovič : Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize (Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.)

7. P. Javor : Matematička analiza 1 (Element, Zagreb, 1995.)

8. P. Javor : Matematička analiza – Zbirka zadataka (Školska knjiga, Zagreb, 1994.)

9. P. Javor : Matematička analiza 2 (Element, Zagreb, 2003.)

10. V.P. Minorski : Zbirka zadataka iz više matematike (Tehnička knjiga, Zagreb, 1987.)

11. Ž. Pauše : Matematički priručnik 1 (Školska knjiga, Zagreb, 2003.)

12. Ž. Pauše : Matematički priručnik 2 (Školska knjiga, Zagreb, 2004.)

13. D. Perše : Matematika I (Veleučilište u Karlovcu, Karlovac, 2004.)

tevcic zbirk

Documents