Download - Türev 06
![Page 1: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/1.jpg)
TürevTanım:f:[a,b] R bir fonksiyon ve x0Є(a,b) olsun. Lim
limitine (varsa) f
fonksiyonunun x0 noktasına türevi denir ve f’(x0) ile gösterilir.Bu limitin olması için:
Lim x x-
0 x x+0
Olması gerekir.bu eşitliğin solundaki limite f fonksiyonunun x=x0 daki soldan türevi, aşağıdaki limite ise f fonksiyonunun sağdan türevi denir.
0
0)()(
xx
xfxf
−−
0000 :)()(lim:)()( xxxfxfxxxfxf −−=−−
![Page 2: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/2.jpg)
Türev en basit şekliyle bir eğrinin eğimi olarak anlatılabilir.
Polinom - yani tamsayılardan oluşan denklemlerin türevlerinin bulunması çok kolaydır. Peki neden derslerde tahtalar dolusu işlemler yapılıyor, bunu açıklayalım.
Türev çok basit bir işlem olmasına rağmen, derslerde tam da türevin karmaşık olduğu noktalar işlenir - fonksiyonun tanımsız olduğu noktada türevinin incelenmesi gibi.
Tahtalar dolusu yapılan işlemler ise değişik türlerdeki fonksiyonların türevlerinin bulunmasıdır. Fonksiyon çeşitleri o kadar fazladır ki bunların türevlerini bulmak da çok zor olacaktır.
![Page 3: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/3.jpg)
Not:f`(x+0)ile f`(x-
0)varsa ve
f`(x+0)=f`(x-
0) ise f`(x0) vardır ve
f`(x0)=f`(x+0)=f`(x-
0)dir.
Örnek:f(x)=x2+x fonksiyonunu x=2 noktasındaki türevini bulunuz?
Çözüm:
F`(2)=lim f(x)-f(2):x-2=lim x2+x-6:x-2
İse lim (x+3)=5 olur
![Page 4: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/4.jpg)
Örnek: f(x)=(x-3).Ix-3I ise f fonksiyonunun x=3 noktasındaki türevini bulunuz?
Çözüm:
f(3)=lim f(x)-f(3):x-3=lim Ix-3I=0 olur x 3
![Page 5: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Türevin Geometrik Anlamı:
f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir.
f'(x) = lim(x-->x0) [f(x)-f(x0)]/[x-x0]bu bize y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevini verir. bu ne demektir, bizim fonksiyonumuzun gösterdiği eğrinin o noktada (eğer bir limit varsa) eğimi f'(x)'dir
ayrica f(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h] seklinde alternatif tanimi da bulunur
![Page 6: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Teğet değme noktasında dik olan doğruyanormal denir.mteğet.mnormal=-1 dir.
![Page 7: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Örnek:f(x)=x2 eğrisinin x=1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz.
Çözüm:
mt= f‘(1)=lim f(x)-f(1):x-1
=lim x2-1:x-1=lim (x-1).(x+1):x-1
=lim (x+1)=2 olur.
Örnek:f:R R f(x)=Ix-2I fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm: f‘(2+)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1
f‘(2-)=lim f(x)-f(2):x-2=lim (x-2)-0:x-2=1
f‘(2+) eşit değildir f‘(2-) olduğundan x=2 noktasında fonksiyon sürekli halde türevi yoktur.bu noktaya kırılma noktası denir.
![Page 8: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/8.jpg)
İşaret fonksiyonun türevi:
y=sgnf(x)fonksiyonun türevi varsa sıfırdır.
Örnek:f(x)=sgn(x-5) fonksiyonunun x=5,x=-8 için türevini bulunuz.
Çözüm:
x=5 için f fonksiyonu süreksiz olduğundan f‘(5) yoktur.
5>x ise x-5<0 ve f(x =sgn(x-5)=-1 dir
Buradan f‘(x)=0ve f‘(-8)=0 olur.
![Page 9: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/9.jpg)
Türev alma kuralları:Fonksiyonların türevlerini türev tanımına göre bulmanın uzun işlemler olduğun gördük.türevleri daha kolay bulmak için :
1.Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.cЄR ise (c)`=0 dır.
2.n Є R için (axn)`=naxn-1
3.toplamın türevi:
[f(x)+g(x)-h(x)]` = f‘(x)+ g‘(x)- h`(x)
bir toplamın türevi,terimlerin türevleri toplamına eşittir.
4.Çarpımın türevi:
[f(x).g(x)] `=f`(x).g(x)+g`(x).f`(x)
![Page 10: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/10.jpg)
5. [f n(x)]`=n.f n-1 (x).f`(x)
6.Bölümün türevi:
[f(x):g(x)]`=f`(x).g(x)-g`(x).f(x):g2(x)
7. ( ) `=1:2
8. ` =u`(x):2x x
)(xu )(xu
![Page 11: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Örnek: f(x)=x.g(x),g(2)=4 ve g’(2)=3 olduğuna göre f’(2)=?
Çözüm:
F(x)=x.g(x) ise f’(x)=1.g(x)+g’(x).x ve f’(2)=g(2)+g’(2).2=4+6=10 dur.
Uyarı: f fonksiyonu x=-1 de süreksiz olduğundan türevi yoktur.Bu nedenle f’ fonksiyonu x=-1 de tanımsızdır.
![Page 12: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Mutlak değer fonksiyonunun türevi:y=|g(x)| fonksiyonunu parçalı biçimde yazdıktan sonra her dalın ayrı ayrı türevi alınır.g(x)=O için türev ayrıca araştırılır.
y=|g(x)|={g(x),g(x)≥0 –g(x),g(x)<0
y’={g’(x),g(x)>0 ise -g’(x),g(x)<0 ise
![Page 13: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Örnek: f:R R , f(x)=|5-x|+2 olduğuna göre f(2)+f’(7)’nin değeri nedir?
Çözüm: x>5 için 5-x<0 ise |5-x|=-5+x ve f(x)=-5+x+2=x-3 dir.Buradan f’(x)=1 ve f’(7)=1 bulunur.
Diğer taraftan f(2)=|5-2|+2=5 ve f(2)+f’(7)=
5+1=6 olur.
Uyarı:x=a için türevsiz olan bir fonksiyonu başka bir fonksiyonla çarpımı türevli olabilir.
![Page 14: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuramı):) y=f( u)
u=g(x) ise y=f[g(x)]=(fog)(x) dir.
dy:dx=dy:du.du:dx=f’(u).g’(u)
Yani (fog)’(x)=f’[g(x)].g’(x)’dir.
Eğer,
y=f(u),u=g(t),t=h(x) olsaydı;
dy:dx=dy:du.du:dt.dt:dx olurdu.
![Page 15: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/15.jpg)
Örnek:f( x)=g(x3+2),g’(10)=6 ise f’(2) değerini bulunuz.
Çözüm: f’(x)=g’(x3+2).(x3+2)’
f’(x)=g’(x3+2).3x2 olur.Burada x=2 yazalım.
f’(2)=g’(10).12=6.12=72 bulunur.
![Page 16: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/16.jpg)
Ters fonksiyonun türevi:A⊂R,B⊂R ve f:A B fonksiyonu birebir örten olsun.f fonksiyonu x0∈A noktasında türevli ve f’(x0)≠0 ise
f-1:B A fonksiyonu da x0ın f altında olan y0noktasında türevlidir ve
(f-1)’(y0)=1/f’(x0)dır.
![Page 17: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/17.jpg)
Örnek:f:[2,+∞) [3,+∞),f(x)=x2-4x+7 olduğuna göre f-1fonksiyonunun y1=4 noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm: f,bire bir ve örten olduğundan tersi bir fonksiyondur.Bu ters fonksiyonu bulmadan da türevini bulabiliriz.Görüntüsü 4 olan elemanı bulmak için,
![Page 18: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/18.jpg)
y= f (u)
U = u(x) olmak üzere
1. F(x) = sin u f ’ (x) = cos u
2. F(x) = cos u f ’ (x) = -sin u
3. F(x) = tan u f ’ (x) =(1+tan2u).u ‘ =u ‘ / cos2u = u’ sec2u
4. F(x)=cotan u f ’(x) = - (1+cotan2u).u=-u’ / sin2u = u’ cosec2u
ÖRNEK: y=sinx y’ = cosx.1
y=sin(x2+x) y’ = cos(x2+x).(2x+1)
y=sin(sin x)= y’ = cos(sin2x).cos x
![Page 19: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/19.jpg)
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
1. F(x)=y=arcsinx fonksiyonu
f:[-1,1] [-π/2 , π/2], ve arcsinx dir. (f(x) ark sinx diye okunur ve sinüsü x olan yayın ölçüsü y’dir denir.
f(x) =arcsinx ⇔ x=siny dir.
f(x) =arcsinx f ‘ (x)=1/ √1-x2 dir.
2. F(x) =arccosx fonksiyonu
f(x)=arccosx ⇔ x =cosy
f(x) =arccosx f ‘ (x)=-1/ √1-x2 dir.
3.f(x)=arctanx fonksiyonu
f(x) =arctanx ⇔ x=tany dir.
![Page 20: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/20.jpg)
f(x) =arc tanx f ‘ (x)=1/ 1+x2 dir.
4. 3.f(x)=arccotanx fonksiyonu
f(x) =arccotanx ⇔ x=cotany dir.
f(x) =arc cotanx f ‘ (x)=-1/ 1+x2 dir. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1. (ln x)’ = 1/x, (ln f(x))’ = f ’(x) / f(x)
2. 2. (logax)’ = (1/In a).(1/x), (log a f(x))’ = (1/In a) .
[f’(x)/f(x)]
ÖRNEK: y = ln (x2+5) olduğuna göre, dy/dx türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
dy/dx (ln (x2+5))’ = (x2+5) / (x2+5) = 2x / (x2+5)
![Page 21: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/21.jpg)
ÖRNEK:
f(x) = log10(x2+1) olduğuna göre f ’(x) türevini
hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (log10(x2+1))’ = (1 /In 10) [(x2+1)’ /(x2+1)]
= log10 e 2x / x2+1
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1. (ex)’ = ex, (e f(x) )’ = e f(x) .(f(x))’
2. (ax)’ = ax . ln a , (a f(x) )’ = a f(x) . f ’(x) . ln a
ÖRNEK:
f(x) = e tan x olduğuna göre f ’(π) değerini hesaplayınız.
![Page 22: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/22.jpg)
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (e tan x )’ = (tan x)’ . e tan x = (1+tan2x) . e tan x
olduğundan
f ’(π) = (1+tan2π) . e tan π = (1+02) . e0 = 1.1 = 1’dir
ÖRNEK:
a)(3 x)’, (32x+1 )’ türevlerini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
a) (3x)’ = 3x . ln3
b) (32x+1 )’ = (2x+1)’ . 32x+1 . ln 3 = 2 . 32x+1 .ln3
![Page 23: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/23.jpg)
YÜKSEK SIRADAN TÜREVLER (ARDIŞIK TÜREVLER)
f : A → R , x→y = f(x) fonksiyonunun
1. türevi, y’ = f ’(x)
2. türevi, y” = (f ’(x))’ = f ”(x)
3. türevi, y’” = (f ”(x))’ = f ’”(x)
4. türevi, y(4) = (f ’”(x))’ = f (4) (x)
...........................................................
n. türevi, y(n) = (f ( n-1) (x))’ = f ( n) (x)
ÖRNEK:
f(x) = 2x3 – x2 + 5x – 8 olduğuna göre f ”(x) türevini hesaplayınız
![Page 24: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/24.jpg)
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (2x3 – x2 + 5x – 8)’ = 6x2 – 2x + 5
f ”(x) = (6x2 – 2x + 5)’ = 12x –2
KAPALI OLARAK TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x,y) = 0 kapalı ifadesinden y = g(x) denklemi ile bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa, bu şekilde tanımlanan fonksiyona, kapalı olarak tanımlı fonksiyon denir.
f(x,y) = 0 eşitliğinden dy/dx türevi hesaplanırken x değişken, y de x’in görüntüsü olarak düşünülür. Her terimin x değişkenine göre türevi hesaplanarak yx’= dy/dx
bulunur.
![Page 25: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/25.jpg)
ÖRNEK:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesi veriliyor. y’= dy/dx türevini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
x3y2 – xy3 – 5x + y + 2 = 0 kapalı ifadesinin her teriminin x’e göre türevi hesaplanarak,
(3x2y2 + x3 .2y.y’) – (y3 + x.3y2y’) – 5 + y’ +0 = 0
y’ = (-3x2y2 + y3 + 5) / (2x3 y – 3xy2 +1) bulunur.
PARAMETRELİ İFADELERİN TÜREVİ
x = f(t) ve y = g(t) ile verilen f ve g fonksiyonlarının ortak değişkeni (parametre) t olduğuna göre,
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) dir.
![Page 26: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/26.jpg)
Bu türev ifadesi y’x = y’t / x’t biçiminde de yazılır.
TÜREVİN LİMİT HESABINA UYGULANMASI (L’HOSPİTAL KURALI)
limx→ X0 f(x)/g(x) limitinde 0/0 ya da ∞/ ∞
belirsizliği varsa, genellikle limx→ X0 f ’(x)/g(x) dir.
(L’Hospital Kuralı)
ÖRNEK:
limx→2 (x2 + x – 6) / (x5 – 32) limitini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
0/0 belirsizliği var. ⇒ limx→2 (x2 + x – 6)’ / (x5 – 32)’ =
limx→2 (2x + 1) / 5x4 = (2 . 2 + 1) / (5 . 24) = 1/16
![Page 27: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/27.jpg)
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
x0 noktasındaki türevi f fonksiyonunun A=(x0,f(x0))
noktasındaki teğetinin eğimi
m= tan α = f ’(x0) dır.
A=(x0,f(x0)) noktasındaki teğetin denklemi:
y-f(x0)=f ’(x0).(x-x0) olur.
Teğete A=(x0,f(x0)) değme noktasında dik olan doğruya f
fonksiyonunun A noktasındaki normali denir. Buna göre A=(x0,f(x0)) noktasındaki normalin eğimi –1/ f ’(x0) ve
normalin denklemi y-f(x0) = [-1 / f ’(x0)] (x-x0) olur.
![Page 28: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/28.jpg)
ÖRNEK:f(x) = -x2+x+6 ile tanımlı f fonksiyonunun apsisi x0=2 olan
teğetinin ve normalinin denklemini yazınız.ÇÖZÜM:f fonksiyonunun grafiğine ait ve apsisi x0=2 olan noktanın ordinatı,y0 = f(x0) = f(2) = -(2)2+2+6 = 4’tür.
Öyleyse teğetin değme noktası (2,4)= noktasıdır.f ’(x) =-2x + 1 olduğundan teğetin eğimi; m = f ’(x0) = f
’(2) = -2.2+1 = -3’tür.Bir noktası ve eğimi bilinen teğetin denklemi,y- f(x0) = f ’(x0).(x-x0) ⇒ y – 4 = -3(x – 2) ⇒ y = -3x + 10
olur.Normalin eğimi –1/f ’(x0) = 1/-3 = 1/3 olduğundan,
normalin denklemi; y – 4 = 1/3 (x – 2) ⇒ 1/3 x + 10 /3 olur.
![Page 29: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/29.jpg)
ARTAN YADA AZALAN FONKSİYONLAR
TANIM:
A ⊂ B olmak üzere f : A→R fonksiyonunda
1) ∀ x1, x2 ∈ [a,b] için x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ise f
fonksiyonu [a,b] aralığında artan fonksiyondur.
2) ∀ x1, x2 ∈ [b,c] için x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ise f
fonksiyonu [b,c] aralığında azalan fonksiyondur.
3) ∀ x ∈ [c,d] için f(x) = k (sabit) ise f fonksiyonu [c,d] aralığında sabit fonksiyondur.
TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) , (b,c) , (c,d) arlıklarında türevli olduğuna göre,
![Page 30: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/30.jpg)
1. ∀ x ∈ (a,b) için f ’(x) > 0 ⇔ f , (a,b) aralığında artan
2. ∀ x ∈ (b,c) için f ’(x) < 0 ⇔ f , (b,c) aralığında azalan
3. ∀ x ∈ (c,d) için f ’(x) = 0 ⇔ f , (c,d) aralığında sabit
ÖRNEK:
f(x) = -x3 + 12x ile tanımlı f : R → R fonksiyonunun artan yada azalan olduğu aralıkları belirtiniz.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = -3x2 + 12 olduğundan f ’(x) = 0 ⇒ -3x2 + 12 = 0
x = -2 V x = 2
x - ∞ -2 2 +∞
f ’ - + -
f azalan artan azalan
![Page 31: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/31.jpg)
f ’ türev fonksiyonunun işaret durumu yukarıdaki tabloda gösterilmiştir.
(-∞ , -2) aralığında f ’ < 0 olduğundan, f fonksiyonu azalandır.
(-2 , 2) aralığında f ’ > 0 olduğundan f fonksiyonu artandır.
(2 , +∞) aralığında f ’ < 0 olduğundan f fonksiyonu azalandır.
TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI
TANIM:
f : [a,b] → R fonksiyonunda,
1) x1 ∈ (a,b) ; f(x1) < f(x) olacak biçimde en az bir ε
pozitif gerçel sayısı varsa, (x1, f(x1)) noktası f
fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır. f(x1) değeri,
![Page 32: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/32.jpg)
f fonksiyonunun bir yerel minimum değeridir.
2) x2 ∈ (a,b) ; f(x2) > f(x) olacak biçimde en az bir ε
pozitif gerçel sayısı varsa, (x2, f(x2)) noktası f
fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır. f(x2)
değeri, f fonksiyonunun bir yerel maksimum değeridir.
Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına, yerel ekstremum noktaları denir.
TEOREM:
f fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x0 ∈ (a,b) olmak
üzere x0 noktasında bir yerel ekstremum değeri varsa f ’(x0)
= 0’dır.
![Page 33: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/33.jpg)
BİRİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ
1. a∈A ve f ’(a) = 0 olmak üzere:
∀ x ∈ (a-ε,a) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (a-ε,a) aralığında artandır.
∀ x ∈ (a,a+ε) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (a,a+ε) aralığında azalandır.
a noktasında fonksiyonun yerel maksimumu vardır.
2. b∈A ve f ’(b) = 0 olmak üzere:
∀ x ∈ (b-ε,b) için f ’(x) < 0 ise f fonksiyonu (b-ε,b) aralığında azalandır.
∀ x ∈ (b,b+ε) için f ’(x) > 0 ise f fonksiyonu (b,b+ε) aralığında artandır.
![Page 34: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/34.jpg)
b noktasında fonksiyonun yerel minimumu vardır.
ÖRNEK:
f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f: R→R fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
f ’(x) = (x3 + 3x2 –1)’ = 3x2 + 6x
f ’(x) = 0 ⇒ 3x2 + 6x = 0
⇒ x = -2 V x = 0
buna göre f ’(-2) = 0 ve f ’(0) = 0 dır.
f ’(x) = 3x2 + 6x birinci türev ifadesinin işareti aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
![Page 35: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/35.jpg)
x -∞ -2 0 +∞
f ’(x)=3x2 + 6 + - +
artan azalan artan
f ’(-2)=3 f(0)= -1
f fonksiyonu (-∞ , -2) aralığında artan, (-2 , 0) aralığında azalan, (0,+∞) aralığında artandır.
x = -2 için fonksiyon yerel maksimum değerini alır.
Yerel maksimum değeri f(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 – 1 = 3’tür. x = 0 için fonksiyon yerel minimum değerini alır. Yerel minimum değeri f(0) = 03+3.02 – 1 = -1’dir.
İKİNCİ TÜREVLE YEREL EKSTREMUMUN BELİRTİLMESİ
f: A→R fonksiyonu A kümesinde 1. ve 2. sıradan türevi olan bir fonksiyon olsun. a, b∈A olmak üzere:
![Page 36: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/36.jpg)
1. f ’(a) = 0 ve f ”(a) < 0 ise a noktasında f fonksiyonunun yerel maksimumu vardır.
2. f ’(b) = 0 ve f ”(b) > 0 ise b noktasında f fonksiyonunun yerel minimumu vardır.
Örneğin, yukarıdaki örnekteki f(x) = x3 + 3x2 – 1 ile tanımlı f fonksiyonunda:
f ’(x) = 3x2 + 6xf ”(x) = 6x + 6f ’(x) = 3x2 + 6x = 0 ⇒ x = -2 V x = 0’dır.
f ’(-2) = 0 ve f ”(-2) = 6.(-2) + 6 < 0 olduğundan, x = -2 noktasında fonksiyonun yerel maksimumu;
f ’(0) = 0 ve f ”(0) = 6.0 + 6 = 6 < 0 olduğundan x = 0 noktasında fonksiyonun yerel minimumu olduğuna dikkat ediniz.
![Page 37: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/37.jpg)
ÖRNEK:
f(x) = (x2 – mx – 3) / (x+2) ile tanımlı f fonksiyonunun x = 1 için yerel minimumu olduğuna göre, m’nin değeri nedir?
ÇÖZÜM:
x = -1 için f fonksiyonunun yerel minimumu olduğuna göre f ’(-1) = 0 olmalıdır.
f ’(x) = [(2x-m)(x+2)-1 . (x2-mx-3)] / (x+2)2 olduğundan
f ’(1) = [(2.1-m)(1+2) - (1-m.1-3)] / (1+2)2 = 0
⇒ (2-m) . 3 – (-m – 2) = 0
⇒ m = 4 olur.
![Page 38: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/38.jpg)
FONKSİYONLARIN DEĞİŞİMLERİNİN İNCELENMESİ VE GRAFİKLERİN ÇİZİMİ
GRAFİK ÇİZİMİNDE YAPILACAK İŞLEMLER:
1. Eğer fonksiyonun tanım kümesi belirtilmemişse, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme belirtilir.
2. Fonksiyonun türevi hesaplanır. Türevin işaretine göre, fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklar ve ekstremum noktaları belirtilir.
3. x→ -∞ ve x→ +∞ için fonksiyonun limiti bulunur.
4. Grafiğin X ve Y eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
5. Asimptotlar (varsa) bulunur.
6. Değişim tablosu düzenlenir.
![Page 39: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/39.jpg)
7. Değişim tablosunda özetlenen bilgiler, koordinat sisteminde değerlendirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.
ÖRNEK:
y = f(x) = [3x – 1] / [x + 2 ] ile tanımlı f: A→R fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM:
Tanım kümesi ve düşey asimptot:
x + 2 = 0 ⇒ x = -2 olduğundan, fonksiyon x = -2 için tanımsızdır. Tanım kümesi A=R – {-2} dir.
x = -2 doğrusu düşey asimptottur.
Türev: f ’(x) = [3.(x+2) – 1.(3x-1)] / (x + 2)2 = 7 / (x+2)2
> 0 ’ dır.
![Page 40: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/40.jpg)
ÖRNEKLER
x, x<2 isef(x) = 2, x=2 ise x0=2
4-x, x>2 isevarsa x0 noktasındaki türevini bulunuz. Bu noktada f(x) sürekli midir?
olur.
olur.olduğundan türevlenemez.Şimdi ise sürekliliğini araştıralımx=2 noktasındaki limitine bakalım
olduğundan fonksiyon x0=2
noktasında süreklidir.
=−−
−→ 2
)2()(lim
2 x
fxfx
12
2lim
2=
−−
−→ x
xx
=−−
+→ 2
)2()(lim
2 x
fxfx
12
24lim
2−=
−−−
+→ x
xx
==−=
===
++
−−
→→
→→
)2(2)4(lim)(lim
)2(2lim)(lim
22
22
fxxf
fxxf
xx
xx
![Page 41: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/41.jpg)
SORU 2:
f(x)= [|x|] varsa x0 noktalarındaki türevlerini bulunuz. Bu noktalarda f(x) sürekli midir. x0=2 ,
x0=2 noktasındaki türevine bakalım.
şimdi bu limitin varlığını araştıralım
0 ve -1
olduğundan x0=2 noktasında türevlenemez.Şimdi ise x0= noktasındaki türevine bakalım.
olur
x0=2 noktasındaki sürekliliğini araştıralım
olduğundan sürekli değildir. x0= 3 / 2 noktasındaki
2
30 =x
=−−
→ 2
)2()(lim
2 x
fxfx
=−
−→ 2
2|][|lim
2 x
xx
=−
−→ 2
2|][|lim
2 x
xx
=−
−−→ 2
2|][|lim
2 x
xx
=−
−
→
23
)23
()(lim
2
3x
fxf
x
)2
3('0
23
1|][|lim
2
3f
x
x
x
⇒=−
−
→
=+→
)(lim2
xfx
2|][|lim2
=+→x
x=
−→)(lim
2xfve
x1|][|lim
2=
−→x
x
![Page 42: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/42.jpg)
Sürekliliği= ve
f(3/2)=[|3/2|] = 1 olduğundan x0=3/2 noktasında süreklidir.SORU 3:x= y+ arccoty y′ türevini bulunuz?ÇÖZÜM:1-y′=y’/1+y2
1-y′+y2-y2y′=-y′′
y’ = -(1+y2) / y2
y′=1+y-2
SORU 4:exy-x2+y3=0 eşitliğinden y′ türevinin x=0 değerini bulunuz?ÇÖZÜM : exy-x2+y3=0 eşitliğindeny3=x2+exy
f(x)=y diyelimy′=f′(x) olur. x=0 y=-1
)(lim
2
3xf
x−
→
1|][|lim
2
3=
−→
xx
1|][|lim)(lim
2
3
2
3==
++→→
xxfxx
![Page 43: Türev 06](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042816/55944ec51a28ab396f8b47ae/html5/thumbnails/43.jpg)
f(0)=-13y2.y′=2x-(exy)′ (exy)′ = y.exy
3y2.y′=2x-y.exy
y′= (2x-yxy) / 3y2 x=0 y=-1 içiny′= 0 + 1.e0(-1)
y′= 1 / 3SORU 5: