Download - TURUNAN. 1413
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
1/20
TURUNAN
Pengertian
Turunanfungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya
fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian
utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan olehSir Isaac Newton (1642 –
1727). Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai
masalah dalamgeometri danmekanika.
Aturan menentukan turunan fungsi
Turunan dapat ditentukan tanpa proseslimit. Untuk keperluan ini
dirancangteorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi,
aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.
Turunan dasar
Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :
1. f(x), maka f'(x) = 02. Jika f(x) = x, maka f(x) = 1
!. "turan #angkat $ Jika f(x) = xn, maka f(x) = n % n & 1
. "turan keli#atan konstanta $ (kf) (x) = k. f(x)
. "turan rantai $ ( f o g ) (x) = f (g (x)). g(x))
Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g
(x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :
1. ( f g ) (x) = f (x) g (x)
2. ( f & g ) (x) = f (x) & g (x)
!. (fg) (x) = f(x) g(x) g(x) f(x)
. ((f)*g ) (x) = (g(x) f (x)+ f(x) g (x))*((g(x)2)
Turunan fungsi trigonometri
http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
2/20
1. *x ( sin x ) = cos x
2. *x ( cos x ) = & sin x
!. *x ( tan x ) = sec2 x
. *x ( cot x ) = & csc2 x
. *x ( sec x ) = sec x tan x
-. *x ( csc x ) = +csc x cot x
Turunan fungsi invers
(f+1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)
Contoh soal :
1. .iketa/ui f(x) aala/ turunan ari f(x) = x! 2x2 -x 12,tentukan
nilai f(x) aala/.Penyelesaian :
f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12
f’(x) = 15x2+ 4x +6
f’(3) = 15 . 32+4 . 3 + 6
= 135 + 12 + 6
= 153
1. urunan #ertama ari f(x) = sin!(!x2 & 2) aala/ f ‘(x) =
Penyelesaian:
f(x) = sin3(3x2 – 2)
f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2)
= 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
3/20
Soal dan Jawaban Materi Turunan:
1.Diketahui f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...
Penyelesaian :f(x) = 2x 3 +3x-4f’(x) = 2 . 3x 3-1 + 3 . 1x 1-1 -0f’(x) = 6x 2 + 3
2.Diketahui f’(x) aalah turunan ari f(x) = !x3 + 2x2 + "x +12#tentukan nilai f’(x) aalah....
Penyelesaian :f(x) = 5x 3 +2x 2 + 6x + 12f’(x) = 15x 2+ 4x +6f’(3) = 15 . 32 +4 . 3 + 6= 135 + 12 + 6= 153
3.Diketahui fun$si f(x) = 3x4 + 2x3 % x + 2 an f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x). ilai ari f’(1) aalah...Penyelesaian :f (x) = 3x 4 + 2x 3 – x + 2
f’ (x) = 12x 3
+ 6x 2
– 2f’(1) = 12 + 6 + 2= 18 – 2=16
4.Diketahui fun$si f(x) = x! +1x4 +!x2 %3x%1 an f’ aalah turunan&erta'a ari f. ilai f’ (1) aalah....Penyelesaian :f(x) = x 5 +10x 4 +5x 2-3x-10f’(x) = 5x 4 + 40x 3 + 10x-3-10f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 − 10
= 5 + 40 +10 – 3 – 10= 42
!.Turunan &erta'a fun$si f(x) =(3x 2%!)4 aalah f’(x) =....Penyelesaian :
f(x) =(3x 2-5)4
f’(x) = (6x – 5 )4
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
4/20
".Diketahui f(x) = x" + 12x4 +2x2 – "x + *.Dan f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x). ilai f’(1) aalah....
Penyelesaian: f(x) = x 6 + 12x 4 +2x 2 – 6x + 8 f’(x)= 6x 5 + 48x 3 – 6 + 8
f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8 = 6 + 48 – 6 + 8 = 56
.Turunan &erta'a ari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 aalah f’(x).ilai f’(1)aalah....Penyelesaian: f(x) = 2x 3 + 3x 2 – x + 2 f’(x) = 6x 2 + 6x – 1 + 2 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2
= 6 + 6 – 1 +2 = 13
*.Diketahui f(x) = "x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 an f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x).ilai f’(1) aalah,
Penyelesaian: f(x) = 6x 4 – 2x 3 + 3x 2 – x – 3
f’(x) = 24x 3 – 6x 2 + 6x – 1 – 3 f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3
= 24 – 6 + 6 -1 -3 = 20
-.Diketahui y = 3x4 %2x! – 12x" %!1%3.Tentukan turunannya,Penyelesaian :
y’=12x 4-1 – 2. 5x 5 -1 – 1/2 .6x 6-1 – 5.1x 1-1 - 0 = 12x 3 -10x 4 -3x 5 -5
0.iketa/ui f(x) = (x & 2)2.entukan turunanaPenyelesaian : f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 f(x) = x2 – 4x + 4 f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0 f(x) = 2x &
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
5/20
11.Jika f(x) = sin2 (2x 3*-), maka nilai f ′(0) = f(x) = sin2 (2x 3*-)
Pembahasan:
f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2)
= 4 sin (2x + π/6)
f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6)
= 4 sin (π/6)
= 4(1/2)
= 2
12. Turunan &erta'a ari f(x) = sin3(3x2 – 2) aalah f‘(x) = ,Penyelesaian:
f(x) = sin3(3x 2 – 2)
f’(x) = sin(3-1)(3x 2 – 2).3.6x.cos (3x 2 – 2)
= 18x sin2(3x 2 – 2) cos (3x 2 – 2)
13. Turunan ari f(x) = aalah f‘(x) = ,
P/0 :f(x) =
= (cos2(3x 2 + 5x))1/3
= cos2/3(3x 2 + 5x)
f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x 2 + 5x).(-sin(3x 2 + 5x)).(6x + 5)
= -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x 2 + 5x) sin(3x 2 + 5x)
14. Turunan &erta'a f(x) = 56s3 x aalah P/0 :f(x) = cos3 x
f’(x) = 3 cos2 x (-sin x)
= -3 cos2 x sin x
= -3/2 cos x (2 cos x sin x)
= -3/2 cos x sin 2x
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
6/20
1!. Persa'aan $aris sin$$un$ kur7a y = i titik en$an
a8sis 3 aalah, P/0 : y = = (5 + x)1/3
m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1)
y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1)
= 1/3 ((8)2/3 )-1
= 1/3 (4)-1
= 1/12
1". uatu &eker9aan a&at iselesaikan ala' x hari en$an 8iaya(4x – 1" + 2x)ri8u ru&iah &er hari. iaya 'ini'u' &er hari&enyelesaian &eker9aan terse8ut aalah ,
P/0 :Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 160 + 2000/x Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 160 + 2000/x)x
f(x) = 4x 2 – 160x + 2000
" *iy minimm :
f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 160
0 = 8x – 160
8x = 160
x = 20 '"i
,%i *iy minimm !#" '"i %&'= (4x – 160 + 2000/x) "i* "!i'
= (4(20) – 160 + 2000/20) "i* "!i'
= (80 – 160 + 100) "i* "!i'
= 20 "i* "!i'
= 20.000
1. uatu &erusahaan 'en$hasilkan &r6uk yan$ a&atiselesaikan ala' x 9a'# en$an 8iaya &er 9a' (4x – * + 12x)
ratus ri8u ru&iah. $ar 8iaya 'ini'u'# 'aka &r6uk terse8ut a&atiselesaikan ala' aktu , 9a'.PEMBAHASAN :
Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 800 + 120/x
Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 800 + 120/x)x
f(x) = 4x 2 – 800x + 120
" *iy minimm :
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
7/20
f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 800
0 = 8x – 800
8x = 800
x = 100 m
14. 5ersamaan gerak suatu #artikel inatakan engan rumus s = f(t)= (s alam meter an t alam etik). 6ece#atan #artikel terse7ut
#aa saat t = 4 aala/ m*et.
PEMBAHASAN :s = f() = = (3 + 1)1/2
= = f’() = 1/2 (3 + 1)-1/2 (3)
f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2
= 3/2 (24 + 1)-1/2
= 3/2 (251/2 )-1
= 3/2 (5)-1
= 3/10
1-. uatu &erusahaan 'e'&r6uksi x 8uah 8aran$. etia& 8aran$yan$ i&r6uksi 'e'8erikan keuntun$an (22!x – x2) ru&iah. u&ayat6tal keuntun$an 'en5a&ai 'aksi'u'# 8anyak 8aran$ yan$ harusi&r6uksi aalah ,P/0 :6euntungan setia# 7arang $ 22x & x2
6euntungan x 7arang $ (22x & x2)x
f(x) = 22x2 & x!
f(x) = 0x & !x2
0 = 0x & !x2
0 = x(0 & !x)
x = 0 atau x = 10
8ai 8umla/ 7arang ang i#rouksi agar untung maksimum aala/ 10
7arang.
2. y =(akar)2x;!
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
8/20
= !*x:! + 1*x: = !x:+! & x:+ → = +;x:+ x:+ = +;*x: *x: = 2*(!x) + 2*! = (2*!) x:+1 & 2*! → = (+2*!) x:+2 = +2*(!x:2)
21. 1) 2x;2 y % 4y;3 = 4
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
9/20
23. Tentukan turunan dari f(x) = 2 sin !x
Jawab:
f(x) = ! sin 5x
f '(x) = !(5) cos 5x
f '(x) = 1" cos 5x
24. Turunan dari fun"si f yan" ru#usnya f(x) = x² $%s 2x ada&a' .
a*a,
f(x) = x# cos !x
f '(x) = !x cos !x + x#(–! sin !x)
f '(x) = !x cos !x – !x# sin !x
2!. -iketa'ui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan erta#a fun"si f /( x ) = .
a*a,
f '(x) = sin³ (3 – !x)
f '(x) = 3 $ (–!) sin# (3 – !x) $ cos (3 – !x)
f '(x) = 3 $ (–!) $ % $ ! $ sin (3 – !x) $ sin (3 – !x) $ cos (3 – !x)
f '(x) = –3 $ sin (3 – !x) $ sin !(3 – !x)& ina: sin ! = ! $ sin $ cos
f '(x) = –3 $ sin (3 – !x) $ sin (6 – 4x)
B6nt6h ":
Jia *( x ) = (x# + 6)/√x ,aa * '( x ) = .
Jawab:
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
10/20
*( x ) = (x# + 6)/√x
*( x ) = x√x + 6/√x
*(x) = x^(3/!) + 6x^(–%)
*(x) = (3/!)x^(%) + 6(–%)x^(–3/!)
*(x) = (3/!)√x – 3/(x√x)
2". ar$a 8eli satu lusin 8uku kitansi aalah C&. !.# ani9ual en$an har$a C&. !.# tia& 8uah. Persentasekeuntun$annya aalah,.
a. 10A c. 1A e. 20A
7. 12A . 1-,-BA
Jawa7 $ e. 20A
Cara → Dntung = /arga 8ual & /arga 7eli
= E#. -0.000,00 & E#. .000,00
= E#. 10.000,00
A Dntung = Dntung
F.G
= E#. 10.000,00 x 100A = 20A
E#. 0.000,00
2. e8uah k6&erasi sek6lah 'e'8eli li'a lusin 8uku sehar$a C&.
1!.#.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
11/20
Cara → Dntung = /arga 8ual & /arga 7eli
= E#.1-4.000,00 & E#.10.000,00
= E#. 14.000,00
A Dntung = Dntung
F.G
= E#. 14.000,00 x 100A = 12A
E#. 10.000,00
2*. T6k6 'e'8erikan &6t6n$an har$a 2 &aa setia& &en9ualan
8aran$# untuk &e'8elian se&asan$ se&atu# 0arliana 'e'8ayarke&aa kasir se8esar C&. 4.#. ar$a se&asan$ se&atu ituse8elu' 'ena&at &6t6n$an aalah,
a. E#. 4.000,00 c. E#. 4.000,00 e. E#. B2.000,00
7. E#. !2.000,00 . E#. 0.000,00
Jawa7 $ . E#. 0.000,00
Cara → Farga 7arang 5ersentase
Se7elum iskon x→
100ASesua/ iskon E#. 0.000,00 → 40A
x = 100A
E#. 0.000,00 40A
x = E#. 0.000,00 x 100 = E#. 0.000,
2-. T6k6 8uku sean$ 'e'8erikan isk6n &6t6n$an har$a 1
&aa setia& &en9ualan 8aran$# untuk &e'8elian 8uku 'ate'atika#Eulan 'e'8ayar ke&aa kasir se8esar C&. 31.!#. ar$a 8ukuterse8ut se8elu' 'ena&at &6t6n$an aalah,
a. E#. !.00,00 c. E#. !.000,00 e. E#. !4.000,00
7. E#. !2.00,00 . E#. !-.100,00
Jawa7 $ c. E#. !.000,00
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
12/20
Cara → Farga 7arang 5ersentase
Se7elum iskon x → 100A
Sesua/ iskon E#. !1.00,00 → ;0A
x = 100A
E#. !1.00,00 ;0A
x = E#. !1.00,00 x 100 = E#. !.000,00
;0
3. ar$a se8uah TF aalah C&. !*".#.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
13/20
2 ( & -00) 2 = E#. 4.400
2 & E#.1.200 2 = E#. 4.400
& E#.4.400 E#.1.200 = E#.10.000
= E#.10.000 = E#. 2.00
32. e8uah k6&erasi 'en9ual 8a9u sehar$a C&. *"4.# setia&lusinnya.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
14/20
terse8ut i9ual sehar$a C&. -.# tia& kil6$ra'nya# 'aka&ersentase keuntun$an yan$ i&er6leh &ea$an$ terse8utaalah,..
a. A 7. B,A c. 4A . 10A e. 12,A
Jawa7 $ e. 12,A
Cara → Dntung = /arga 8ual & /arga 7eli
= E#.-B.000,00 & E#.-00.000,00
= E#. B.000,00
A Dntung = Dntung
F.G
= E#. B.000,00 x 100A = 12,A
E#. -00.000,00
34.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
15/20
3". ilai ari 11%(%!)%- x(%2) aalah....
a. +1 c. 1 e. 0
7. +2 . !
Jawa7 $ . !
3. ilai x yan$ 'e'enuhi 3!x %1 = 2 x +3 aalah,
a. 1 7. 2 c. ! . e.
Jawa7 $ e.
Cara → !x +1 = 2Bx !
!x +1 = !! (x !)
x +1 = ! (x !)
x +1 = ! x ;
x +!x
= 1 ;
% = 10
x = 10 =
2
3*. asil ari %- x(%3) x(%4) :" aalah,..
a. +14 7. +1- c. 14 . 2B e. 104
Jawa7 $ a. +14
Cara → +; x(+!) x(+) $-
2B x(+) $- = +104 $- = +14
3-. Diketahui l6$ 2 = a an l6$ 3 = 8# 'aka l6$ 1*G" aalah,.
a. a7 c. 2a7 e. H (!a7)
7. a27 H (a7)
Jawa7 $ e. H (!a7)
Cara → 149- = -.! 9!.2
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
16/20
= H (!a7)
= H (-!1)
= 14
4. Pernyataan 8erikut 8enar# ke5uali,.
a. am $ an = amn c. 9a. 9a = a e. (a#) = a #.
7. a# a = a# . 9a. 97 = 9a.7
Jawa7 $ a. am $ an = amn
Cara → + 5ili/an 7 sesuai engan #angkat 7ulat #ositif am $ an =
amn.
+ 5ili/an c* sesuai engan sarat 7ilangan irasional aitu,
akar /arus sama.
+ 5ili/an e sesuai engan (am)n = am x n
41. asil ari (23)4 x (23) %! =,..
a. 1- 7. 4 c. . 1*1- e. !2
Jawa7 $ c.
Cara → (2!) = (2x2x2) (2x2x2) (2x2x2) (2x2x2) 2!x = 2 12
(2!)+ = 2!x + = 2 +1
212 x 2+1 = 212+ 1 = 2 +! =
42. ilai x yan$ 'e'enuhi !
3x %2
= 2!
2x +1
aalah,..a. + 7. +! c. +2 . ! e.
Jawa7 $ . !
Cara → !x +2 = 2 2x 1
!x +2 = ( 2x 1 )
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
17/20
!x +2 = 2 ( 2x 1 )
!x +2 = x 1
!x + x
= 2 1
% = !
43. ilai x ari 3 l6$ 1 = x aalah,.
91;
a. +2 7. +1 c. 1 . 2 e. !
Jawa7 $ 7. +1
Cara → ! log 1 = log ! 1
91; 9!
= log ! $ +!
= +1
44.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
18/20
= log 00 = log 12 = C
c = 12
= !
4". Iarektarisakan ari l6$ 123# 2 aalah,.
a. 2 7. 0002 c. 12! . 12!,0 e. 12!,2
Jawa7 $ a. 2
Cara → log 100 = 2 an log 1000 = !. Gilangan+7ilangan antara 100 sam#ai
1000
akan terletak antara 2 an !. Jai, ineks*karakteristikna 2 st.
4. Jula i8eli en$an har$a C&.1"*.# &er%!k$# ke'uian i9ualhar$a C&.2.1# tia& K k$. Persentase keuntun$an ari har$a&e'8elian aalah,
a. 10A 7. 1A c. 2!A . !0A e. !A
Jawa7 $ c 2A
Cara → Dntung = /arga 8ual & /arga 7eli
= E#.210.000,00 & E#.1-4.000,00
= E#. 2.000,00
A Dntung = D
F.G
= E#. 2.000,00 x 100A = 2A
E#. 1-4.000,00
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
19/20
4*.
-
8/17/2019 TURUNAN. 1413
20/20
DL"S M"M"I6"
0 : 2 *
7 : 922 0