turunan. 1413

8/17/2019 TURUNAN. 1413

1/20

TURUNAN

Pengertian

Turunanfungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya

fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian

utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan olehSir Isaac Newton (1642 –

1727). Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai

masalah dalamgeometri danmekanika.

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proseslimit. Untuk keperluan ini

dirancangteorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi,

aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 02. Jika f(x) = x, maka f(x) = 1

!. "turan #angkat $ Jika f(x) = xn, maka f(x) = n % n & 1

. "turan keli#atan konstanta $ (kf) (x) = k. f(x)

. "turan rantai $ ( f o g ) (x) = f (g (x)). g(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g

(x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f g ) (x) = f (x) g (x)

2. ( f & g ) (x) = f (x) & g (x)

!. (fg) (x) = f(x) g(x) g(x) f(x)

. ((f)*g ) (x) = (g(x) f (x)+ f(x) g (x))*((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi

8/17/2019 TURUNAN. 1413

2/20

1. *x ( sin x ) = cos x

2. *x ( cos x ) = & sin x

!. *x ( tan x ) = sec2 x

. *x ( cot x ) = & csc2 x

. *x ( sec x ) = sec x tan x

-. *x ( csc x ) = +csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f+1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Contoh soal :

1. .iketa/ui f(x) aala/ turunan ari f(x) = x! 2x2 -x 12,tentukan

nilai f(x) aala/.Penyelesaian :

f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12

f’(x) = 15x2+ 4x +6

f’(3) = 15 . 32+4 . 3 + 6

= 135 + 12 + 6

= 153

1. urunan #ertama ari f(x) = sin!(!x2 & 2) aala/ f ‘(x) =

Penyelesaian:

f(x) = sin3(3x2 – 2)

f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2)

= 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)

8/17/2019 TURUNAN. 1413

3/20

Soal dan Jawaban Materi Turunan:

1.Diketahui f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...

Penyelesaian :f(x) = 2x 3 +3x-4f’(x) = 2 . 3x 3-1 + 3 . 1x 1-1 -0f’(x) = 6x 2 + 3

2.Diketahui f’(x) aalah turunan ari f(x) = !x3 + 2x2 + "x +12#tentukan nilai f’(x) aalah....

Penyelesaian :f(x) = 5x 3 +2x 2 + 6x + 12f’(x) = 15x 2+ 4x +6f’(3) = 15 . 32 +4 . 3 + 6= 135 + 12 + 6= 153

3.Diketahui fun$si f(x) = 3x4 + 2x3 % x + 2 an f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x). ilai ari f’(1) aalah...Penyelesaian :f (x) = 3x 4 + 2x 3 – x + 2

f’ (x) = 12x 3

+ 6x 2

– 2f’(1) = 12 + 6 + 2= 18 – 2=16

4.Diketahui fun$si f(x) = x! +1x4 +!x2 %3x%1 an f’ aalah turunan&erta'a ari f. ilai f’ (1) aalah....Penyelesaian :f(x) = x 5 +10x 4 +5x 2-3x-10f’(x) = 5x 4 + 40x 3 + 10x-3-10f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 − 10

= 5 + 40 +10 – 3 – 10= 42

!.Turunan &erta'a fun$si f(x) =(3x 2%!)4 aalah f’(x) =....Penyelesaian :

f(x) =(3x 2-5)4

f’(x) = (6x – 5 )4

8/17/2019 TURUNAN. 1413

4/20

".Diketahui f(x) = x" + 12x4 +2x2 – "x + *.Dan f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x). ilai f’(1) aalah....

Penyelesaian: f(x) = x 6 + 12x 4 +2x 2 – 6x + 8 f’(x)= 6x 5 + 48x 3 – 6 + 8

f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8 = 6 + 48 – 6 + 8 = 56

.Turunan &erta'a ari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 aalah f’(x).ilai f’(1)aalah....Penyelesaian: f(x) = 2x 3 + 3x 2 – x + 2 f’(x) = 6x 2 + 6x – 1 + 2 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2

= 6 + 6 – 1 +2 = 13

*.Diketahui f(x) = "x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 an f’(x) aalah turunan&erta'a ari f(x).ilai f’(1) aalah,

Penyelesaian: f(x) = 6x 4 – 2x 3 + 3x 2 – x – 3

f’(x) = 24x 3 – 6x 2 + 6x – 1 – 3 f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3

= 24 – 6 + 6 -1 -3 = 20

-.Diketahui y = 3x4 %2x! – 12x" %!1%3.Tentukan turunannya,Penyelesaian :

y’=12x 4-1 – 2. 5x 5 -1 – 1/2 .6x 6-1 – 5.1x 1-1 - 0 = 12x 3 -10x 4 -3x 5 -5

0.iketa/ui f(x) = (x & 2)2.entukan turunanaPenyelesaian : f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 f(x) = x2 – 4x + 4 f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0 f(x) = 2x &

8/17/2019 TURUNAN. 1413

5/20

11.Jika f(x) = sin2 (2x 3*-), maka nilai f ′(0) = f(x) = sin2 (2x 3*-)

Pembahasan:

f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2)

= 4 sin (2x + π/6)

f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6)

= 4 sin (π/6)

= 4(1/2)

= 2

12. Turunan &erta'a ari f(x) = sin3(3x2 – 2) aalah f‘(x) = ,Penyelesaian:

f(x) = sin3(3x 2 – 2)

f’(x) = sin(3-1)(3x 2 – 2).3.6x.cos (3x 2 – 2)

= 18x sin2(3x 2 – 2) cos (3x 2 – 2)

13. Turunan ari f(x) = aalah f‘(x) = ,

P/0 :f(x) =

= (cos2(3x 2 + 5x))1/3

= cos2/3(3x 2 + 5x)

f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x 2 + 5x).(-sin(3x 2 + 5x)).(6x + 5)

= -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x 2 + 5x) sin(3x 2 + 5x)

14. Turunan &erta'a f(x) = 56s3 x aalah P/0 :f(x) = cos3 x

f’(x) = 3 cos2 x (-sin x)

= -3 cos2 x sin x

= -3/2 cos x (2 cos x sin x)

= -3/2 cos x sin 2x

8/17/2019 TURUNAN. 1413

6/20

1!. Persa'aan $aris sin$$un$ kur7a y = i titik en$an

a8sis 3 aalah, P/0 : y = = (5 + x)1/3

m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1)

y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1)

= 1/3 ((8)2/3 )-1

= 1/3 (4)-1

= 1/12

1". uatu &eker9aan a&at iselesaikan ala' x hari en$an 8iaya(4x – 1" + 2x)ri8u ru&iah &er hari. iaya 'ini'u' &er hari&enyelesaian &eker9aan terse8ut aalah ,

P/0 :Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 160 + 2000/x Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 160 + 2000/x)x

f(x) = 4x 2 – 160x + 2000

" *iy minimm :

f’(x) = 0

f’(x) = 8x – 160

0 = 8x – 160

8x = 160

x = 20 '"i

,%i *iy minimm !#" '"i %&'= (4x – 160 + 2000/x) "i* "!i'

= (4(20) – 160 + 2000/20) "i* "!i'

= (80 – 160 + 100) "i* "!i'

= 20 "i* "!i'

= 20.000

1. uatu &erusahaan 'en$hasilkan &r6uk yan$ a&atiselesaikan ala' x 9a'# en$an 8iaya &er 9a' (4x – * + 12x)

ratus ri8u ru&iah. $ar 8iaya 'ini'u'# 'aka &r6uk terse8ut a&atiselesaikan ala' aktu , 9a'.PEMBAHASAN :

Biy !"oy#$ %&m 1 '"i : 4x – 800 + 120/x

Biy !"oy#$ %&m x '"i : (4x – 800 + 120/x)x

f(x) = 4x 2 – 800x + 120

" *iy minimm :

8/17/2019 TURUNAN. 1413

7/20

f’(x) = 0

f’(x) = 8x – 800

0 = 8x – 800

8x = 800

x = 100 m

14. 5ersamaan gerak suatu #artikel inatakan engan rumus s = f(t)= (s alam meter an t alam etik). 6ece#atan #artikel terse7ut

#aa saat t = 4 aala/ m*et.

PEMBAHASAN :s = f() = = (3 + 1)1/2

= = f’() = 1/2 (3 + 1)-1/2 (3)

f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2

= 3/2 (24 + 1)-1/2

= 3/2 (251/2 )-1

= 3/2 (5)-1

= 3/10

1-. uatu &erusahaan 'e'&r6uksi x 8uah 8aran$. etia& 8aran$yan$ i&r6uksi 'e'8erikan keuntun$an (22!x – x2) ru&iah. u&ayat6tal keuntun$an 'en5a&ai 'aksi'u'# 8anyak 8aran$ yan$ harusi&r6uksi aalah ,P/0 :6euntungan setia# 7arang $ 22x & x2

6euntungan x 7arang $ (22x & x2)x

f(x) = 22x2 & x!

f(x) = 0x & !x2

0 = 0x & !x2

0 = x(0 & !x)

x = 0 atau x = 10

8ai 8umla/ 7arang ang i#rouksi agar untung maksimum aala/ 10

7arang.

2. y =(akar)2x;!

8/17/2019 TURUNAN. 1413

8/20

= !*x:! + 1*x: = !x:+! & x:+ → = +;x:+ x:+ = +;*x: *x: = 2*(!x) + 2*! = (2*!) x:+1 & 2*! → = (+2*!) x:+2 = +2*(!x:2)

21. 1) 2x;2 y % 4y;3 = 4

8/17/2019 TURUNAN. 1413

9/20

23. Tentukan turunan dari f(x) = 2 sin !x

Jawab:

f(x) = ! sin 5x

f '(x) = !(5) cos 5x

f '(x) = 1" cos 5x

24. Turunan dari fun"si f yan" ru#usnya f(x) = x² $%s 2x ada&a' .

a*a,

f(x) = x# cos !x

f '(x) = !x cos !x + x#(–! sin !x)

f '(x) = !x cos !x – !x# sin !x

2!. -iketa'ui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan erta#a fun"si f /( x ) = .

a*a,

f '(x) = sin³ (3 – !x)

f '(x) = 3 $ (–!) sin# (3 – !x) $ cos (3 – !x)

f '(x) = 3 $ (–!) $ % $ ! $ sin (3 – !x) $ sin (3 – !x) $ cos (3 – !x)

f '(x) = –3 $ sin (3 – !x) $ sin !(3 – !x)& ina: sin ! = ! $ sin $ cos

f '(x) = –3 $ sin (3 – !x) $ sin (6 – 4x)

B6nt6h ":

Jia *( x ) = (x# + 6)/√x ,aa * '( x ) = .

Jawab:

8/17/2019 TURUNAN. 1413

10/20

*( x ) = (x# + 6)/√x

*( x ) = x√x + 6/√x

*(x) = x^(3/!) + 6x^(–%)

*(x) = (3/!)x^(%) + 6(–%)x^(–3/!)

*(x) = (3/!)√x – 3/(x√x)

2". ar$a 8eli satu lusin 8uku kitansi aalah C&. !.# ani9ual en$an har$a C&. !.# tia& 8uah. Persentasekeuntun$annya aalah,.

a. 10A c. 1A e. 20A

7. 12A . 1-,-BA

Jawa7 $ e. 20A

Cara → Dntung = /arga 8ual & /arga 7eli

= E#. -0.000,00 & E#. .000,00

= E#. 10.000,00

A Dntung = Dntung

F.G

= E#. 10.000,00 x 100A = 20A

E#. 0.000,00

2. e8uah k6&erasi sek6lah 'e'8eli li'a lusin 8uku sehar$a C&.

1!.#.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

11/20


= E#.1-4.000,00 & E#.10.000,00

= E#. 14.000,00

A Dntung = Dntung

F.G

= E#. 14.000,00 x 100A = 12A

E#. 10.000,00

2*. T6k6 'e'8erikan &6t6n$an har$a 2 &aa setia& &en9ualan

8aran$# untuk &e'8elian se&asan$ se&atu# 0arliana 'e'8ayarke&aa kasir se8esar C&. 4.#. ar$a se&asan$ se&atu ituse8elu' 'ena&at &6t6n$an aalah,

a. E#. 4.000,00 c. E#. 4.000,00 e. E#. B2.000,00

7. E#. !2.000,00 . E#. 0.000,00

Jawa7 $ . E#. 0.000,00

Cara → Farga 7arang 5ersentase

Se7elum iskon x→

100ASesua/ iskon E#. 0.000,00 → 40A

x = 100A

E#. 0.000,00 40A

x = E#. 0.000,00 x 100 = E#. 0.000,

2-. T6k6 8uku sean$ 'e'8erikan isk6n &6t6n$an har$a 1

&aa setia& &en9ualan 8aran$# untuk &e'8elian 8uku 'ate'atika#Eulan 'e'8ayar ke&aa kasir se8esar C&. 31.!#. ar$a 8ukuterse8ut se8elu' 'ena&at &6t6n$an aalah,

a. E#. !.00,00 c. E#. !.000,00 e. E#. !4.000,00

7. E#. !2.00,00 . E#. !-.100,00

Jawa7 $ c. E#. !.000,00

8/17/2019 TURUNAN. 1413

12/20

Cara → Farga 7arang 5ersentase

Se7elum iskon x → 100A

Sesua/ iskon E#. !1.00,00 → ;0A

x = 100A

E#. !1.00,00 ;0A

x = E#. !1.00,00 x 100 = E#. !.000,00

;0

3. ar$a se8uah TF aalah C&. !*".#.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

13/20

2 ( & -00) 2 = E#. 4.400

2 & E#.1.200 2 = E#. 4.400

& E#.4.400 E#.1.200 = E#.10.000

= E#.10.000 = E#. 2.00

32. e8uah k6&erasi 'en9ual 8a9u sehar$a C&. *"4.# setia&lusinnya.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

14/20

terse8ut i9ual sehar$a C&. -.# tia& kil6$ra'nya# 'aka&ersentase keuntun$an yan$ i&er6leh &ea$an$ terse8utaalah,..

a. A 7. B,A c. 4A . 10A e. 12,A

Jawa7 $ e. 12,A


= E#.-B.000,00 & E#.-00.000,00

= E#. B.000,00

A Dntung = Dntung

F.G

= E#. B.000,00 x 100A = 12,A

E#. -00.000,00

34.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

15/20

3". ilai ari 11%(%!)%- x(%2) aalah....

a. +1 c. 1 e. 0

7. +2 . !

Jawa7 $ . !

3. ilai x yan$ 'e'enuhi 3!x %1 = 2 x +3 aalah,

a. 1 7. 2 c. ! . e.

Jawa7 $ e.

Cara → !x +1 = 2Bx !

!x +1 = !! (x !)

x +1 = ! (x !)

x +1 = ! x ;

x +!x

= 1 ;

% = 10

x = 10 =

2

3*. asil ari %- x(%3) x(%4) :" aalah,..

a. +14 7. +1- c. 14 . 2B e. 104

Jawa7 $ a. +14

Cara → +; x(+!) x(+) $-

2B x(+) $- = +104 $- = +14

3-. Diketahui l6$ 2 = a an l6$ 3 = 8# 'aka l6$ 1*G" aalah,.

a. a7 c. 2a7 e. H (!a7)

7. a27 H (a7)

Jawa7 $ e. H (!a7)

Cara → 149- = -.! 9!.2

8/17/2019 TURUNAN. 1413

16/20

= H (!a7)

= H (-!1)

= 14

4. Pernyataan 8erikut 8enar# ke5uali,.

a. am $ an = amn c. 9a. 9a = a e. (a#) = a #.

7. a# a = a# . 9a. 97 = 9a.7

Jawa7 $ a. am $ an = amn

Cara → + 5ili/an 7 sesuai engan #angkat 7ulat #ositif am $ an =

amn.

+ 5ili/an c* sesuai engan sarat 7ilangan irasional aitu,

akar /arus sama.

+ 5ili/an e sesuai engan (am)n = am x n

41. asil ari (23)4 x (23) %! =,..

a. 1- 7. 4 c. . 1*1- e. !2

Jawa7 $ c.

Cara → (2!) = (2x2x2) (2x2x2) (2x2x2) (2x2x2) 2!x = 2 12

(2!)+ = 2!x + = 2 +1

212 x 2+1 = 212+ 1 = 2 +! =

42. ilai x yan$ 'e'enuhi !

3x %2

= 2!

2x +1

aalah,..a. + 7. +! c. +2 . ! e.

Jawa7 $ . !

Cara → !x +2 = 2 2x 1

!x +2 = ( 2x 1 )

8/17/2019 TURUNAN. 1413

17/20

!x +2 = 2 ( 2x 1 )

!x +2 = x 1

!x + x

= 2 1

% = !

43. ilai x ari 3 l6$ 1 = x aalah,.

91;

a. +2 7. +1 c. 1 . 2 e. !

Jawa7 $ 7. +1

Cara → ! log 1 = log ! 1

91; 9!

= log ! $ +!

= +1

44.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

18/20

= log 00 = log 12 = C

c = 12

= !

4". Iarektarisakan ari l6$ 123# 2 aalah,.

a. 2 7. 0002 c. 12! . 12!,0 e. 12!,2

Jawa7 $ a. 2

Cara → log 100 = 2 an log 1000 = !. Gilangan+7ilangan antara 100 sam#ai

1000

akan terletak antara 2 an !. Jai, ineks*karakteristikna 2 st.

4. Jula i8eli en$an har$a C&.1"*.# &er%!k$# ke'uian i9ualhar$a C&.2.1# tia& K k$. Persentase keuntun$an ari har$a&e'8elian aalah,

a. 10A 7. 1A c. 2!A . !0A e. !A

Jawa7 $ c 2A


= E#.210.000,00 & E#.1-4.000,00

= E#. 2.000,00

A Dntung = D

F.G

= E#. 2.000,00 x 100A = 2A

E#. 1-4.000,00

8/17/2019 TURUNAN. 1413

19/20

4*.

8/17/2019 TURUNAN. 1413

20/20

DL"S M"M"I6"

0 : 2 *

7 : 922 0

turunan. 1413

Documents