Download - Typologio Xwris Theoria Arithmwn
Διανύσματα Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο
τμήμα Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματοςAB
λέγε-
ται μέτρο και συμβολίζεται AB
Η κυρτή γωνία ΑΟΒ ονομάζεται γω-
νία των διανυσμάτων α
και βκαι
συμβολίζεται αβ Ισχύουν
ΟΜ α β
ΒΑ α β
ΑΒ ΟΒ ΟΑ
α β α β α β
Αν 1 1α χ y και 2 2β χ y
τότε
1 2 1 2α β χ χ y y 1 1λα λχ λy
2 21 1α χ y
1α
1
yλχ
1 1
2 2
χ yα β det αβ 0 0χ y
Αν 1 1A χ y και 2 2B χ y τότε
Μέσο του ΑΒ 1 2 1 2χ χ y yM 2 2
2 1 2 1AB χ χ y y
2 22 1 2 1AB χ χ y y
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυ-σμάτων α και β
και το συμβολίζουμε α β
τον πραγματι-
κό αριθμό α β α β συν αβ
Αν α 0 ή β 0 τότε
α β 0 Ισχύουν
α β β α α β α β 0
α β α β α β
α β α β α β αα β α προβ β
22α α
λα β α λβ λ α β α β γ α β α γ
Αν 1 1α χ y και 2 2β χ y
τότε 1 2 1 2α β χ χ y y
και 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2
χ χ y yα βσυν αβα β χ y χ y
Ευθεία
Συντελεστής διεύθυνσης ευθεί-ας που διέρχεται από τα σημεία
Α ΑA χ y και Β ΒΒ χ y με
Α Βχ χ είναι Β Β
Α Α
y yλ
χ χ
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑΑ χ y και
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Α Αy y λ χ χ
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α ΑA χ y και
Β ΒΒ χ y με 1 2χ χ είναι Β ΑΑ Α
Β Α
y yy y χ χ
χ χ
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑA χ y και είναι
κάθετη στον άξονα χ χ Αχ χ Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑA χ y και είναι
παράλληλη στον άξονα χ χ
Αy y Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ y λχ
Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο A 0β και έχει συ-
ντελεστή διεύθυνσης λ y λχ β Εξίσωση της διχοτόμου της 1ης ndash 3ης γωνίας των αξόνων y χ Εξίσωση της διχοτόμου της 2ης ndash 3ης γωνίας των αξόνων y χ
Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα χ χ στο A α 0 και
τον y y στο B 0β χ y 1α β
Αν 1 1 1ε y λ χ β και 2 2 2ε y λ χ β τότε 1 2 1 2ε ε λ λ και 1 2 1 2ε ε λ λ 1 Γενική εξίσωση ευθείας Αχ Βy Γ 0 με Α 0 ήΒ 0
Αν Β 0 τότε η ευθεία έχει εξίσωση Α Γy χΒ Β
Αν Β 0 τότε Α 0 και η ευθεία έχει εξίσωση ΓχΑ
Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ Β Α
και κάθετη στο
διάνυσμα η ΑΒ
Απόσταση του σημείου 0 0Μ χ y από την ευθεία
ε Aχ Βy Γ 0 0 0
2 2
Αχ Βy Γd M ε
Α Β
Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ
ΑΒ ΑΒ
ΑΓ ΑΓ
χ y1 1ΑΒΓ det AB AΓ | |χ y2 2
Κύκλος 2 2 2c χ y ρ εξίσωση κύκλου με
κέντρο Ο 0 0 και ακτίνα ρ
Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με κέντρο Ο 0 0 και ακτίνα ρ
χ ρ συνφ και y ρ ημφ με φ 02π 2
1 1ε χχ yy ρ Εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο
σημείο του 1 1Μ χ y
2 2 20 0c χ χ y y ρ εξίσωση
κύκλου με κέντρο το σημείο 0 0Κ χ y
και ακτίνα ρ
20 1 0 1ε χ χ χ χ y y y y ρ Εξί-
σωση εφαπτομένης του κύκλου στο ση-μείο του 1 1Μ χ y
2 2c χ y Aχ Βy Γ 0 με 2 2A Β 4Γ 0 είναι εξίσωση
κύκλου με κέντρο Α ΒΚ 2 2
και ακτίνα 2 2Α Β 4Γρ
2
Παραβολή Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετού-σα την ευθεία δ των γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευ-θετούσα δ
Άξονας συμμετρίας ο χ χ 2y 2pχ εξίσωση παραβολής
με εστία pΕ 02
και διευθε-
τούσα pδ χ2
1 1yy p χ χ Εξίσωση εφα-
πτομενης της παραβολής στο σημείο της 1 1Μ χ y
Άξονας συμμετρίας ο χ χ 2χ 2py εξίσωση παραβολής
με εστία pΕ 02
και διευθε-
τούσα pδ y2
1 1χχ p y y Εξίσωση εφα-πτομένης της παραβολής στο σημείο της 1 1Μ χ y
Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄
Εστίες πάνω στον χ χ2 2
2 2χ yC 1α β
με
2 2β α γ εξίσωση έλ-
λειψης με εστίες Ε γ 0
Ε γ 0 και μεγάλο άξονα 2α
1 1Μ 2 2
χχ yyε 1α β
εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο
σημείο της 1 1Μ χ y
Παραμετρικές εξισώσεις χ α συνφ y β ημφ φ 02π
Εστίες πάνω στον y y2 2
2 2χ yC 1β α
με 2 2β α γ
εξίσωση έλλειψης με εστίες
Ε 0 γ Ε 0 γ και μεγάλο
άξονα 2α 1 1Μ 2 2
χχ yyε 1β α
εξί-
σωση εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Παραμετρικές εξισώσεις χ β συνφ y α ημφ φ 02π
γε 1α
εκκεντρότητα της έλλειψης
Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα
Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄
Εστίες πάνω στον χ χ2 2
2 2χ yC 1α β
με 2 2β γ α
εξίσωση υπερβολής με εστίες
Ε γ 0 Ε γ 0
1 1Μ 2 2
χχ yyε 1α β
εξίσωση
εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Ασύμπτωτες βy χα
και βy χα
Εστίες πάνω στον y y2 2
2 2y χC 1α β
με 2 2β γ α
εξίσωση υπερβολής με εστίες
Ε 0 γ Ε 0 γ
1 1Μ 2 2
yy χχε 1α β
εξίσωση ε-
φαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Ασύμπτωτες αy χβ
και αy χβ
Εκκεντρότητα υπερβολής γε 1α
Ισοσκελής υπερβολή είναι α β οπότε έχει εξίσωση 2 2 2χ y α και εκκεντρότητα ε 2
Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄
Εστίες πάνω στον χ χ2 2
2 2χ yC 1α β
με
2 2β α γ εξίσωση έλ-
λειψης με εστίες Ε γ 0
Ε γ 0 και μεγάλο άξονα 2α
1 1Μ 2 2
χχ yyε 1α β
εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο
σημείο της 1 1Μ χ y
Παραμετρικές εξισώσεις χ α συνφ y β ημφ φ 02π
Εστίες πάνω στον y y2 2
2 2χ yC 1β α
με 2 2β α γ
εξίσωση έλλειψης με εστίες
Ε 0 γ Ε 0 γ και μεγάλο
άξονα 2α 1 1Μ 2 2
χχ yyε 1β α
εξί-
σωση εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Παραμετρικές εξισώσεις χ β συνφ y α ημφ φ 02π
γε 1α
εκκεντρότητα της έλλειψης
Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα
Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄
Εστίες πάνω στον χ χ2 2
2 2χ yC 1α β
με 2 2β γ α
εξίσωση υπερβολής με εστίες
Ε γ 0 Ε γ 0
1 1Μ 2 2
χχ yyε 1α β
εξίσωση
εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Ασύμπτωτες βy χα
και βy χα
Εστίες πάνω στον y y2 2
2 2y χC 1α β
με 2 2β γ α
εξίσωση υπερβολής με εστίες
Ε 0 γ Ε 0 γ
1 1Μ 2 2
yy χχε 1α β
εξίσωση ε-
φαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y
Ασύμπτωτες αy χβ
και αy χβ
Εκκεντρότητα υπερβολής γε 1α
Ισοσκελής υπερβολή είναι α β οπότε έχει εξίσωση 2 2 2χ y α και εκκεντρότητα ε 2