Διανύσματα Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο

τμήμα Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματοςAB

λέγε-

ται μέτρο και συμβολίζεται AB

Η κυρτή γωνία ΑΟΒ ονομάζεται γω-

νία των διανυσμάτων α

και βκαι

συμβολίζεται αβ Ισχύουν

ΟΜ α β

ΒΑ α β

ΑΒ ΟΒ ΟΑ

α β α β α β

Αν 1 1α χ y και 2 2β χ y

τότε

1 2 1 2α β χ χ y y 1 1λα λχ λy

2 21 1α χ y

1α

1

yλχ

1 1

2 2

χ yα β det αβ 0 0χ y

Αν 1 1A χ y και 2 2B χ y τότε

Μέσο του ΑΒ 1 2 1 2χ χ y yM 2 2

2 1 2 1AB χ χ y y

2 22 1 2 1AB χ χ y y

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυ-σμάτων α και β

και το συμβολίζουμε α β

τον πραγματι-

κό αριθμό α β α β συν αβ

Αν α 0 ή β 0 τότε

α β 0 Ισχύουν

α β β α α β α β 0

α β α β α β

α β α β α β αα β α προβ β

22α α

λα β α λβ λ α β α β γ α β α γ

Αν 1 1α χ y και 2 2β χ y

τότε 1 2 1 2α β χ χ y y

και 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2

χ χ y yα βσυν αβα β χ y χ y

Ευθεία

Συντελεστής διεύθυνσης ευθεί-ας που διέρχεται από τα σημεία

Α ΑA χ y και Β ΒΒ χ y με

Α Βχ χ είναι Β Β

Α Α

y yλ

χ χ

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑΑ χ y και

έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Α Αy y λ χ χ

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α ΑA χ y και

Β ΒΒ χ y με 1 2χ χ είναι Β ΑΑ Α

Β Α

y yy y χ χ

χ χ

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑA χ y και είναι

κάθετη στον άξονα χ χ Αχ χ Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α ΑA χ y και είναι

παράλληλη στον άξονα χ χ

Αy y Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ y λχ

Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο A 0β και έχει συ-

ντελεστή διεύθυνσης λ y λχ β Εξίσωση της διχοτόμου της 1ης ndash 3ης γωνίας των αξόνων y χ Εξίσωση της διχοτόμου της 2ης ndash 3ης γωνίας των αξόνων y χ

Εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα χ χ στο A α 0 και

τον y y στο B 0β χ y 1α β

Αν 1 1 1ε y λ χ β και 2 2 2ε y λ χ β τότε 1 2 1 2ε ε λ λ και 1 2 1 2ε ε λ λ 1 Γενική εξίσωση ευθείας Αχ Βy Γ 0 με Α 0 ήΒ 0

Αν Β 0 τότε η ευθεία έχει εξίσωση Α Γy χΒ Β

Αν Β 0 τότε Α 0 και η ευθεία έχει εξίσωση ΓχΑ

Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ Β Α

και κάθετη στο

διάνυσμα η ΑΒ

Απόσταση του σημείου 0 0Μ χ y από την ευθεία

ε Aχ Βy Γ 0 0 0

2 2

Αχ Βy Γd M ε

Α Β

Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

ΑΒ ΑΒ

ΑΓ ΑΓ

χ y1 1ΑΒΓ det AB AΓ | |χ y2 2

Κύκλος 2 2 2c χ y ρ εξίσωση κύκλου με

κέντρο Ο 0 0 και ακτίνα ρ

Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου με κέντρο Ο 0 0 και ακτίνα ρ

χ ρ συνφ και y ρ ημφ με φ 02π 2

1 1ε χχ yy ρ Εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο

σημείο του 1 1Μ χ y

2 2 20 0c χ χ y y ρ εξίσωση

κύκλου με κέντρο το σημείο 0 0Κ χ y

και ακτίνα ρ

20 1 0 1ε χ χ χ χ y y y y ρ Εξί-

σωση εφαπτομένης του κύκλου στο ση-μείο του 1 1Μ χ y

2 2c χ y Aχ Βy Γ 0 με 2 2A Β 4Γ 0 είναι εξίσωση

κύκλου με κέντρο Α ΒΚ 2 2

και ακτίνα 2 2Α Β 4Γρ

2

Παραβολή Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετού-σα την ευθεία δ των γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευ-θετούσα δ

Άξονας συμμετρίας ο χ χ 2y 2pχ εξίσωση παραβολής

με εστία pΕ 02

και διευθε-

τούσα pδ χ2

1 1yy p χ χ Εξίσωση εφα-

πτομενης της παραβολής στο σημείο της 1 1Μ χ y

Άξονας συμμετρίας ο χ χ 2χ 2py εξίσωση παραβολής

με εστία pΕ 02

και διευθε-

τούσα pδ y2

1 1χχ p y y Εξίσωση εφα-πτομένης της παραβολής στο σημείο της 1 1Μ χ y

Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄

Εστίες πάνω στον χ χ2 2

2 2χ yC 1α β

με

2 2β α γ εξίσωση έλ-

λειψης με εστίες Ε γ 0

Ε γ 0 και μεγάλο άξονα 2α

1 1Μ 2 2

χχ yyε 1α β

εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο

σημείο της 1 1Μ χ y

Παραμετρικές εξισώσεις χ α συνφ y β ημφ φ 02π

Εστίες πάνω στον y y2 2

2 2χ yC 1β α

με 2 2β α γ

εξίσωση έλλειψης με εστίες

Ε 0 γ Ε 0 γ και μεγάλο

άξονα 2α 1 1Μ 2 2

χχ yyε 1β α

εξί-

σωση εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Παραμετρικές εξισώσεις χ β συνφ y α ημφ φ 02π

γε 1α

εκκεντρότητα της έλλειψης

Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα

Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄

Εστίες πάνω στον χ χ2 2

2 2χ yC 1α β

με 2 2β γ α

εξίσωση υπερβολής με εστίες

Ε γ 0 Ε γ 0

1 1Μ 2 2

χχ yyε 1α β

εξίσωση

εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Ασύμπτωτες βy χα

και βy χα

Εστίες πάνω στον y y2 2

2 2y χC 1α β

με 2 2β γ α

εξίσωση υπερβολής με εστίες

Ε 0 γ Ε 0 γ

1 1Μ 2 2

yy χχε 1α β

εξίσωση ε-

φαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Ασύμπτωτες αy χβ

και αy χβ

Εκκεντρότητα υπερβολής γε 1α

Ισοσκελής υπερβολή είναι α β οπότε έχει εξίσωση 2 2 2χ y α και εκκεντρότητα ε 2

Έλλειψη Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ΄

Εστίες πάνω στον χ χ2 2

2 2χ yC 1α β

με

2 2β α γ εξίσωση έλ-

λειψης με εστίες Ε γ 0

Ε γ 0 και μεγάλο άξονα 2α

1 1Μ 2 2

χχ yyε 1α β

εξίσωση εφαπτομένης της έλλειψης στο

σημείο της 1 1Μ χ y

Παραμετρικές εξισώσεις χ α συνφ y β ημφ φ 02π

Εστίες πάνω στον y y2 2

2 2χ yC 1β α

με 2 2β α γ

εξίσωση έλλειψης με εστίες

Ε 0 γ Ε 0 γ και μεγάλο

άξονα 2α 1 1Μ 2 2

χχ yyε 1β α

εξί-

σωση εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Παραμετρικές εξισώσεις χ β συνφ y α ημφ φ 02π

γε 1α

εκκεντρότητα της έλλειψης

Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα

Υπερβολή Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες Ε και Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του ΕΕ΄

Εστίες πάνω στον χ χ2 2

2 2χ yC 1α β

με 2 2β γ α

εξίσωση υπερβολής με εστίες

Ε γ 0 Ε γ 0

1 1Μ 2 2

χχ yyε 1α β

εξίσωση

εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Ασύμπτωτες βy χα

και βy χα

Εστίες πάνω στον y y2 2

2 2y χC 1α β

με 2 2β γ α

εξίσωση υπερβολής με εστίες

Ε 0 γ Ε 0 γ

1 1Μ 2 2

yy χχε 1α β

εξίσωση ε-

φαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της 1 1Μ χ y

Ασύμπτωτες αy χβ

και αy χβ

Εκκεντρότητα υπερβολής γε 1α

Ισοσκελής υπερβολή είναι α β οπότε έχει εξίσωση 2 2 2χ y α και εκκεντρότητα ε 2