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ELEMENTOS DE MATEMTICA
LGEBRA DE BOOLE UNIDADDIDCTICA
7
TECNICATURA EN INFORMTICA APLICADA
AL DISEO MULTIMEDIA Y DE SITIOS WEB
Lic. MARA ELINA DAZ LOZANO
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UNIDAD DIDCTICA 7 LGEBRA DE BOOLE
LGEBRA DE BOOLE UNIDADDIDCTICA
7NDICE
PRESENTACIN.................................................................................................................................... 2OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 21raSESIN DE ESTUDIO....................................................................................................................... 3
Definicin de lgebra de Boole ........................................................................................................... 3Actividades........................................................................................................................................... 42daSESIN DE ESTUDIO ...................................................................................................................... 5
lgebra de Boole binaria ..................................................................................................................... 5Actividades........................................................................................................................................... 7Soluciones de la segunda sesin de estudio ...................................................................................... 8
3raSESIN DE ESTUDIO....................................................................................................................... 9Uso de la leyes booleanas para verificar equivalencias...................................................................... 9Simplificacin de expresiones booleanas.......................................................................................... 10Actividades......................................................................................................................................... 11Soluciones de la tercera sesin de estudio....................................................................................... 12
4ta
SESIN DE ESTUDIO..................................................................................................................... 13Circuitos lgicos................................................................................................................................. 13Actividades......................................................................................................................................... 14Soluciones de la cuarta sesin de estudio ........................................................................................ 15
5taSESIN DE ESTUDIO..................................................................................................................... 16Simplificacin de circuitos lgicos ..................................................................................................... 16Actividades......................................................................................................................................... 17Soluciones de la quinta sesin de estudio ........................................................................................ 18
ELEMENTOS DE MATEMTICA. Mara Elina Daz Lozano Pgina 1
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UNIDAD DIDCTICA 7 LGEBRA DE BOOLE
PRESENTACIN
En esta unidad realizars una introduccin a una estructura algebraica denominada lgebrade Boole, en
honor a su creador, el matemtico George Boole.El conjunto de smbo os y reglas que componen el lgebra booleana, constituye la base sobre la que se
funda la arquitectura y el funcionamiento de las computadoras. Sus propiedades gobiernan el diseo de
los circuitos, posibilitando la reduccin del hardware al propo cionar leyes que permiten su
simplificacin.
l
r
Los temas que estudiars son los elementos bsicos de la estructura algebraica y una primera
aproximacin a sus aplicaciones a la configuracin de circuitos lgicos.
Esta Unidad contiene el material que te permitir conocer los conceptos, te brindar ejemplos y te
propondr Actividades de refuerzo y ejercitacin, las cuales, como siempre, estarn sealadas con
o bien con , para indicar el medio que puedes utilizar para realizarlas.El tiempo recomendado para el estudio de esta Unidad es de 1 semana.
OBJETIVOS
- Conocer las leyes del lgebra de Boole.- Relacionar propiedades de Boole con sumas y productos de variables binarias.- Calcular valores de expresiones booleanas binarias.- Construir tablas de expresiones binarias.- Interpretar renglones de tablas.- Determinar equivalencias de expresiones.- Simplificar expresiones booleanas.- Asociar compuertas lgicas a operaciones.- Representar expresiones booleanas por circuitos lgicos.- Expresar circuitos lgicos por medio de expresiones booleanas.- Simplificar circuitos de compuertas.
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1raSESIN DE ESTUDIO
Esta Sesin est destinada a que conozcas las operaciones y propiedades que definen el lgebra de
Boole. Algunas de ellas te resultarn familiares en su forma, puesto que son similares a las de losnmeros reales. Otras te sern desconocidas tanto en su expresin simblica como en su denominacin.
Es importante que las estudies con detalle y recuerdes sus nombres par poder utilizarlas
posteriormente.
Definicin de lgebra de BooleUnlgebra de Boole esun conjunto B en el que estn definidas dos operaciones, llamadas suma yproducto, que tienen las siguientes propiedades:Cualesquiera sean los elementos a, b, c... de B, se verifica que:
- a + b = b+ a y a . b = b . a (conmutativas)
- (a + b) + c = a +(b + c) y (a . b) . c = a .(b . c) (asociativas)
- a.(b + c)= (a . b)+(a . c) y a +(b . c)= (a + b).(a + c) (distributivas ,cada una con
respecto a la otra)- Existen en B dos elementos 0y 1tales que
a + 0= 0+ a = a y a . 1= 1. a = a (neutros)
- Para cada elementoa
de B, existe en Botro elemento a llamado complemento deatal que
a + a = 1 y a .a = 0 (complemento)
Otras propiedades de las operaciones de Boole, las cuales se deducen de las anteriores, son las
siguientes:
- a + a = a y a . a = a (idempotencia)
- a + 1 = 1 y a. 0 = 0 (identidad)
- a + ( a . b) = a y a . ( a + b) = a (absorcin)
- = a (doble complemento)
=a
- ba + = a .b y ba . =a +b (De Morgan)
- a +a . b = a + b y a .(a + b) = a . b (sin nombre)
a) Los elementos a, b, c,... de Bse denominan variablesbooleanas.
b) Por economa de notacin, muchas veces se omite el smbolo que representa al producto; se
escribe aben lugar de a.b.Tambin se sobreentiende, como en el caso de las operaciones
usuales, que el producto tiene prioridad sobre la suma; por ejemplo, ab+c indica que primero
se calcula aby luego se suma c.
c) Las propiedades se aplican igualmente si en lugar de variables a, b, etc. se tiene una
combinacin de ellas. Por ejemplo, la ley de complemento a + a = 1, vlida para toda
variable a, indica que la suma de cualquier elemento de Bcon su complemento es igual a 1,
lo cual implica que si cy dson elementos de B, tambin lo es dc y, por ello, tambin se
verifica que 1)( dcdc
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d) Si se analizan las leyes de Boole, se ver que las de la derecha se obtienen de las de la
izquierda intercambiando las operaciones + y . y los smbolos 0 y 1 . Esta propiedad esllamada dualidad.
e) Muchas de las propiedades o leyes mencionadas se deducen de otras anteriores.
Ejemplo. Deduciendo una de las leyes sin nombre.
Probar, utilizando otras leyes, que a . ( a + b ) = a . bSolucin
Comenzamos por el primer miembro y tratamos de expresarlo en la forma del segundo, indicando encada paso la propiedad utilizada
a . (a + b ) = a . a + a . b = 0 + a . b = a . b
distributiva complemento neutro
Tal como te recomend al inicio, a los fines de abordar con xito los temas siguientes, resultar
importante que recuerdes tanto la expresin simblica como el nombre de cada una de las propiedadesenumeradas. Adems de su repaso, la siguiente Actividad te servir para ello.
Actividades
El Ejercicio se puede resolver de manera interactiva desde tu PC. Para ello DESCARGAR Y DESCOMPRIMIR ELARCHIVO: U7_S1_Actividad.rarPara reforzar la teora DESCARGAR Y DESCOMPRIMIR EL ARCHIVO: U7_S1_Animacion.rar
Con este ejercicio termina la Primera Sesin de Estudio.
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2daSESIN DE ESTUDIO
El tema de esta Sesin de Estudio es el lgebra de Boole binaria. Cuando las variables booleanas slo
toman dos valores, se dice que son variables booleanas binarias. Dichos valores se representan con lossmbolos 0 y 1; en otras palabras, el conjunto B tiene slo dos elementos: B = {0 , 1}.
El lgebra de Boole binaria es la base del diseo de las computadoras, por ello, en adelante todo se
expresar en el marco de la misma.
lgebra de Boole binar iaLas leyes del lgebra de Boole permiten deducir los resultados de sumas y productos cuando loselementos de B son 0y 1. Por ejemplo, puesto que la ley del neutro indica que a + 0 = a cualquierasea el valor de a, se tiene:
Para a= 0 , 0 + 0 = 0
Para a= 1 , 1 + 0 = 1 (*)
La ley conmutativa a + b = b + a, que vale cualesquiera sean los valores de a y de b, permite
asegurar que 0 + 1 = 1 + 0; pero como (*) dice que 1 + 0 = 1, se infiere que tambin 0 + 1 = 1.
Finalmente, la ley de idempotencia expresa que, cualquiera sea a, se verifica que a + a= a ;
luego, cuando a= 1 , se tiene que 1 + 1 = 1.
En sntesis, se obtuvo:0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 1En forma anloga, se pueden obtener a partir de las propiedades de Boole, los resultados relativos alproducto:0 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 0
1 . 1 = 1Adems, se tiene que 01 y 10
Expresiones booleanas
Una expresin booleana es cualquier combinacin de operaciones y variables booleanas(complementadas o no).
Por ejemplo, a + a (b + c) ; a b + abc ; )( bacba son expresiones booleanas. Para cada
asignacin de valores dados a las variables que las componen, las expresiones booleanas asumen obien el valor 0, o bien el valor 1.
Ejemplo . Calculando el valor de una expresin booleana
Calcular el valor que asume la expresin booleana )( bacba
para a = 0; b = 0 y c = 1.
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Solucin
Reemplazando los valores de a, by cen la expresin dada, se tiene:
11.1)01(1)1.01(0)0.01(00 .
Por tanto, la expresin )( bacba ++ asume el valor1 cuandoa = 0; b= 0 y c= 1.
Tablas de valores
El nmero de renglones de la tabla es 2
n
, siendo n la cantidad de variables que aparecen en laexpresin.Cada variable encabeza una columna.La asignacin de valores posibles (0 o 1) se realiza de manera anloga a la de las tablas de lgicaproposicional.Tambin de forma similar, se encabezan las columnas subsiguientes con las partes dela expresin.
El siguiente ejemplo ilustra cmo elaborar la tabla
Para visualizar los valores que asume una expresin booleana para cada asignacin de valores de susvariables, se construye una tabla, con un procedimiento similar al empleado para construir las tablas de
verdad de frmulas lgicas.
Ejemplo. Valores de una expresin booleana
Realizar la tabla de valores de la expresin )( bacba
Solucin
a b c a+b ba
b ba bac )( bacba
0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 1 1 0 1 10 1 0 1 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 1 0
Observar que el valor 1 obtenido en el segundo rengln coincide con el resultado del ltimo ejemplo
dado para a = 0; b = 0 y c = 1.
Expresiones booleanas equivalentes
Dos expresiones booleanas se dicen equivalentes cuando asumen los mismos valores en cada unade las posibles asignaciones de valores de sus variables.Cuando dos expresiones son equivalentes, se las vincula con un signo =.
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Ejemplo. Verificando equivalencia mediante el uso de tablas
Mostrar que las dos expresiones siguientes son equivalentes:
a . (a + b ) ; a . bSolucin
Se obtienen, en una misma tabla, los valores de cada una de las expresiones:
a b ba . a ba + )( baa +
0 0 0 1 1 00 1 0 1 1 01 0 0 0 0 01 1 1 0 1 1
Como se puede ver en las columnas sombreadas, ambas expresiones asumen los mismos valorespara idntica asignacin de valores a sus variables. Ello significa que las expresiones son
equivalentes. Ello se expresa escribiendo a . (a + b ) = a . b
ActividadesEjercicio 1
Calcular los valores de las siguientes expresiones booleanas para a = 0; b = 1 y c = 0.
i) cbacbacbacbacba
ii) )(.)( cbabaa
Ejercicio 2Utilizando tablas, mostrar que los siguientes son pares de expresiones equivalentes
i) )( baababa ; ba
ii) acabcabc
; c
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Soluciones de la segunda sesin de estudio
Solucin Sesin 2 Ejercicio 1 i)
Reemplazando en la expresin cbacbacbacbacba
los valores a=0; b=1 y c=0, se
tiene: 0.1.00.1.00.1.00.1.00.1.0 = 0.0.11.1.10.1.10.0.00.1.0 =
= 101000
Solucin Sesin 2 Ejercicio 1 ii )
Reemplazando en la expresin )(.)( cbabaa
:
)010).(10(0
= )000).(00(0 = 00.00
Solucin Sesin 2 Ejercicio 2 i)
a b ba . ba . a b ba . baa . ba . ( baa . ) ba . ba . ( baa . ) ba
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 10 1 0 1 1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0
Solucin Sesin 2 Ejercicio 2 ii )
a b c a b c abc ac abc abcabc ac
0 0 0 1 1 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0
Finaliza la Segunda Sesin de Estudio
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3raSESIN DE ESTUDIO
Uso de la leyes booleanas para verificar equivalenciasEn general, el procedimiento consiste en la aplicacin sucesiva de propiedades. Se selecciona una delas frmulas (la que involucra ms operaciones) y, mediante el uso de propiedades, se la modifica
hasta obtener la segunda.
Ejemplo. Verificando la equivalencia por medio de leyes booleanas
Mostrar que las expresiones bababa y ba son equivalentes
Solucin
bababa
= babaa
)( = bab
1 = bab
= abb
= ab
distributiva complemento neutro conmutativa sin nombre
Puesto que, por la ley conmutativa, ab = ba , se verifica que bababa y ba
son equivalentes.Nota. El procedimiento para verificar equivalencias por medio de leyes booleanas no es nico: pormedio de otras leyes u otros modos de aplicacin de las mismas, puede llegarse al mismo resultado.Por ejemplo:
bababa = )( bbaba = 1.aba = aba = baa = ba
distributiva complemento neutro conmutativa sin nombre
En la Sesin precedente aprendiste cmo analizar la equivalencia de dos exp esiones booleanas utilizando tablas.r
En esta Tercera Sesin de Estudio conocers otra forma de hacerlo. El procedimiento consiste en laaplicacin de propiedades o leyes booleanas a una de las expresiones para llegar a la otra.
Posteriormente, en esta misma sesin, conocers cmo simplificar expresiones mediante el uso de lasleyes booleanas.
Tal como se ve, se llega al mismo resultado por otro camino: la ley distributiva se aplica a otrostrminos de la expresin inicial, la ley conmutativa esta vez es la de la suma, etc.
Observacin
Todas las expresiones que aparecen en la anterior secuencia de igualdades, son equivalentes (pues
son obtenidas unas de otras por la aplicacin de leyes). Esto es: bababa y
)( bbaba son equivalentes; bababa y aba son equivalentes, etc.
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Simplificacin de expresiones booleanas
Ejemplo
Simplificar: cbacbacbacbacba
Solucin
asociativa distributiva
cbacbacbacbacba
= cbacbacbacbacba
)()( =
cbaccbabbca
)()( = cbabaca
11 = cbabaca
= )( cbbaca =
complemento neutro distributiva sin nombre
)( cbaca = cabaca = bacaca = bacaa )( = bac1 = bac
distributiva conmutativa distributiva complemento neutro
Ejemplo
Simplificar bcbaba )(.)(
Solucin
bcbaba )(.)( = bcbaba ))((.)( = bba = ba
asociativa absorcin(*) idempotencia
Como pudiste apreciar, tanto el mtodo de tablas como el que consiste en la aplicacin de leyes
booleanas permiten verificar la equivalencia de dos expresiones dadas. El primero es ms automtico,
pero slo sirve para el fin de verificacin. El segundo, en cambio, permite obtener, a partir de una
expresin dada, otras expresiones equivalentes.
As, las leyes y propiedades del lgebra de Boole permiten convertir expresiones complejas en otrasequivalentes ms sencillas. El proceso se denomina simplificacin. Los ejemplos siguientes ilustran la
forma de desarrollarlo.
(*) Recordar que la ley de absorcin indica que xcxx )( ; en este caso se tom bax
Ejemplo
Simplificar bababa__
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Solucin
De Morgan De Morgan doble complemento distributiva
bababa__
= )(.)(__
bababa
= )(.)(__
bababa
= )(.)( bababa =
)( bbbaabaaba
= baabba = baaab )( = bab 1. = bab = ab
complemento distributiva complemento neutro sin
nombre
Te propongo algunas actividades de e ercitacin. En todos los casos, debes comparar tus respuestas con lasj
soluciones. Si no hubiera coincidencia, utiliza tablas de valores, a fin de determinar si la falta de
coincidencia es slo formal o si, por el contrario, existe alguna aplicacin errnea de las propiedades.
Recuerda que siempre puede consultar en el Foro las dudas que surgen a medida que avanzas en el estudio.s
Actividades
Ejercicio 1
Mediante la aplicacin de leyes booleanas, mostrar que las siguientes son pares deexpresiones equivalentes.
a) )( baababa
; ba
b) acabcabc ; c
Ejercicio 2
Simplificar las siguientes expresiones booleanasa) )(. cbab
b) cbaba
c) (a.b + b) .a .b
d) cabcab__
)(
e) )()( caabacbaba
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Soluciones de la tercera sesin de estudio
Solucin Sesin 3 Ejercicio 1 a)
ba . ba . ( baa . ) = ba . babaaba .....
= ba . + 0 + 0 = ba
distributiva complemento neutro y De Morgan
Solucin Sesin 3 Ejercicio 1 b)
abc abc ac = acbbac )( = )( aacacac +=+ = c
distributiva complemento y neutro distributiva complemento y neutro
Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 a)
)(. cbab = b + a b+ a c = b + a c
Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 b)
cabba = c0 = c
Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 c)
(a.b + b) .a b = a.b a b + b .a b = 0 +a b = a b
Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 d)
cabcab__
)( = )(__
cacab = ))((__
cacab = )(__
acab = )1(_
cb = 1.b =b
Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 e)
)()( caabacbaba ++++ = )()( cabacbaba ++++ = cbaabacbaba ++++ )( =
cbabacbaba ++++ )( = )1()( cbacbaba ++++ = 1.)( bacbaba +++ = bacbaba +++ )( =
bacbaba ++ )( = bacbbaaba ++ = baba ++ 0 = baba + = )( bba + = 1.a = a
Finaliza con este ejercicio, la Tercera Sesin de Estudio
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4taSESIN DE ESTUDIO
Circuitos lgicos
Compuertas lgicas bsicas
Las compuertas lgicas se corresponden con diversas operaciones booleanas. Se las representa condistintos smbolos, de acuerdo al tipo de operacin que realizan.
Compuerta AND
entradas salida
Compuerta OR
entradas salida
Compuerta NOT
entrada a salida
Ejemplos de circuitos lg icosLos circuitos lgicos son combinaciones de compuertas lgicas. Por ejemplo, son circuitos lgicos lossiguientes:
En este circuito, la primera compuerta es una compuerta AND. Tiene como entradas las variables ayb, y como salida su producto a.b. A su vez, dicho producto es una de las entradas de la compuertaOR que le sigue. La otra entrada es la variable c. La salida de dicha compuerta es la suma de sus dos
entradas. Por tanto, la salida final es la expresin booleana a.b+c.El siguiente es un circuito de 4 compuertas, con tres variables de entrada y cuya salida es la
expresin cbba +
a . b + ca
b
a . b
c
entradas
salida
La arquitectura de los sistemas digitales tiene como unidades estructurales ciertos elementos llamados
compuertas lgicas. A una combinacin de compuertas lgicas se la denomina circuito lgico.Las compuertas lgicas funcionan como operadores booleanos: admiten como entrada variables binarias (de valor
cero o uno) y producen como salida el resultado de alguna operacin booleana. De all que el lgebra de Booleest en la base de los circuitos electrnicos y esta aplicacin es la que conocers en esta Sesin de Estudio.
a + b
a . b
cbba + a b+b ca . b
b . c
a
b
a
b
ab
a
c
Como se ve, cada circuito tiene asociada una expresin booleana. Recprocamente, para cadaexpresin booleana se puede construir un circuito lgico que es la representacin de dicha expresin.
Animacin interactiva. DESCOMPRIMIR EL ARCHIVO: U7_S4_Animacion.rar
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Ejemplo
Representar la expresin cba+ mediante un circuito lgico.
Solucin
La expresin indica que las variables de entrada son tres: a, b, c.A la compuerta que realiza la suma (OR), ingresan como entradas el complemento de ay el producto
bc. Por tanto, previas a OR, deben aparecer las compuertas NOT y AND.a
cba +
b . c
a
bc
Ejemplo
Representar la expresin bababa ++ mediante un circuito lgico.
Solucin
a
ba
ba
b
bababa ++
ba
b
a
Actividades
Ejercicio 1
Encontrar la expresin de salida del circuito siguiente:
a
b
c
Ejercicio 2
Representar mediante un circuito la expresin )( cba +
Ejercicio 3
Representar mediante un circuito la expresin cbacbacba
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Soluciones de la cuarta sesin de estudio
Solucin Sesin 4 Ejercicio 1
a
b
c
a
c bca
cab
cabbca +
Solucin Sesin 4 Ejercicio 2
a
c
)cb(a + b
cb+
b
Solucin Sesin 4 Ejercicio 3
a
c
cba
cba
a b
c cba
cbacbacba ++ b
Finaliza con este ejercicio, la Cuarta Sesin de Estudio
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5taSESIN DE ESTUDIO
Esta Sesin est destinada a la simplificacin de circuitos lgicos. Simplificar un circuito significa hallar
otro con una cantidad menor de compuertas cuyos valores de salida sean iguales a los del primero, paraiguales valores de entrada de las variables intervinientes.
Los circuitos de compuertas pueden simplificarse utilizando las propiedades del lgebra booleana y ello
es lo que veremos a continuacin.
Simplificacin de circuitos lgicosEl procedimiento consiste, simplemente, en simplificar la expresin de salida del circuito dado yrepresentar mediante un nuevo circuito, la expresin simplificada.
Ejemplo. Un circuito simplificado
Obtener una simplificacin del circuito dado en el ltimo ejemplo.Solucin
La expresin de salida del circuito es bababa
Simplificando esta expresin, se obtiene:
bababa = babaa )( = bab = ab
La expresin simplificada debe ser la salida del nuevo circuito. Resulta entonces:
ab
a + b
Como se puede apreciar, se ha pasado de un circuito de 6 compuertas a otro equivalente pero queconsta de slo 1 compuerta.
Ejemplo. Simplificando un circuito
Representar mediante un circuito la expresin )(.)( cbabaa
y obtener luego el circuito
simplificado.
a
b
)).(( cbabaa ++++ ba +
cba ++
)).(( cbaba +++
b
c
A continuacin, se simplifica la expresin de salida )(.)( cbabaa
)(.)( cbabaa = )( baa = ba
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Se representa ahora el circuito simplificado
b
a ba
b
Actividades
Ejercicio 1
Dada la expresin booleana )(.)(_
baba
a) Representarla mediante un circuito de compuertas.
b) Simplificar la expresin dada
c) Representar el circuito simplificado.
Ejercicio 2
Dada la expresin booleana abcaba ++
a) Representarla mediante un circuito de compuertas.
b) Simplificar la expresin dada
c) Representar el circuito simplificado.
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Soluciones de la quinta sesin de estudio
Solucin Sesin 5 Ejercicio 1 a)
a
b
a
)ba(.)ba(_
++ )ba()ba( ++
ba +
ba +
Solucin Sesin 5 Ejercicio 1 b)
)(.)(_
baba = )()(_
baba = baba = baa )( = b
Solucin Sesin 5 Ejercicio 1 c))
b b
Solucin Sesin 5 Ejercicio 2 a)
a
b
c
ba
a
ba abcaba ++
bca
Solucin Sesin 5 Ejercicio 2 b)
abcaba ++ = caba = cbaa
= cba
= cab
Solucin Sesin 5 Ejercicio 2 c)
a
bc
ba ba cab
Con este ejercicio, finalizaste la Quinta Sesin de la Unidad y con ella, llegaste al final del material de
estudio de Elementos de Matemtica.
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