u7 algebra de boole

5/21/2018 U7 Algebra de Boole

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ELEMENTOS DE MATEMTICA

LGEBRA DE BOOLE UNIDADDIDCTICA

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TECNICATURA EN INFORMTICA APLICADA

AL DISEO MULTIMEDIA Y DE SITIOS WEB

Lic. MARA ELINA DAZ LOZANO


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UNIDAD DIDCTICA 7 LGEBRA DE BOOLE

LGEBRA DE BOOLE UNIDADDIDCTICA

7NDICE

PRESENTACIN.................................................................................................................................... 2OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 21raSESIN DE ESTUDIO....................................................................................................................... 3

Definicin de lgebra de Boole ........................................................................................................... 3Actividades........................................................................................................................................... 42daSESIN DE ESTUDIO ...................................................................................................................... 5

lgebra de Boole binaria ..................................................................................................................... 5Actividades........................................................................................................................................... 7Soluciones de la segunda sesin de estudio ...................................................................................... 8

3raSESIN DE ESTUDIO....................................................................................................................... 9Uso de la leyes booleanas para verificar equivalencias...................................................................... 9Simplificacin de expresiones booleanas.......................................................................................... 10Actividades......................................................................................................................................... 11Soluciones de la tercera sesin de estudio....................................................................................... 12

4ta

SESIN DE ESTUDIO..................................................................................................................... 13Circuitos lgicos................................................................................................................................. 13Actividades......................................................................................................................................... 14Soluciones de la cuarta sesin de estudio ........................................................................................ 15

5taSESIN DE ESTUDIO..................................................................................................................... 16Simplificacin de circuitos lgicos ..................................................................................................... 16Actividades......................................................................................................................................... 17Soluciones de la quinta sesin de estudio ........................................................................................ 18

ELEMENTOS DE MATEMTICA. Mara Elina Daz Lozano Pgina 1


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PRESENTACIN

En esta unidad realizars una introduccin a una estructura algebraica denominada lgebrade Boole, en

honor a su creador, el matemtico George Boole.El conjunto de smbo os y reglas que componen el lgebra booleana, constituye la base sobre la que se

funda la arquitectura y el funcionamiento de las computadoras. Sus propiedades gobiernan el diseo de

los circuitos, posibilitando la reduccin del hardware al propo cionar leyes que permiten su

simplificacin.

l

r

Los temas que estudiars son los elementos bsicos de la estructura algebraica y una primera

aproximacin a sus aplicaciones a la configuracin de circuitos lgicos.

Esta Unidad contiene el material que te permitir conocer los conceptos, te brindar ejemplos y te

propondr Actividades de refuerzo y ejercitacin, las cuales, como siempre, estarn sealadas con

o bien con , para indicar el medio que puedes utilizar para realizarlas.El tiempo recomendado para el estudio de esta Unidad es de 1 semana.

OBJETIVOS

- Conocer las leyes del lgebra de Boole.- Relacionar propiedades de Boole con sumas y productos de variables binarias.- Calcular valores de expresiones booleanas binarias.- Construir tablas de expresiones binarias.- Interpretar renglones de tablas.- Determinar equivalencias de expresiones.- Simplificar expresiones booleanas.- Asociar compuertas lgicas a operaciones.- Representar expresiones booleanas por circuitos lgicos.- Expresar circuitos lgicos por medio de expresiones booleanas.- Simplificar circuitos de compuertas.



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1raSESIN DE ESTUDIO

Esta Sesin est destinada a que conozcas las operaciones y propiedades que definen el lgebra de

Boole. Algunas de ellas te resultarn familiares en su forma, puesto que son similares a las de losnmeros reales. Otras te sern desconocidas tanto en su expresin simblica como en su denominacin.

Es importante que las estudies con detalle y recuerdes sus nombres par poder utilizarlas

posteriormente.

Definicin de lgebra de BooleUnlgebra de Boole esun conjunto B en el que estn definidas dos operaciones, llamadas suma yproducto, que tienen las siguientes propiedades:Cualesquiera sean los elementos a, b, c... de B, se verifica que:

- a + b = b+ a y a . b = b . a (conmutativas)

- (a + b) + c = a +(b + c) y (a . b) . c = a .(b . c) (asociativas)

- a.(b + c)= (a . b)+(a . c) y a +(b . c)= (a + b).(a + c) (distributivas ,cada una con

respecto a la otra)- Existen en B dos elementos 0y 1tales que

a + 0= 0+ a = a y a . 1= 1. a = a (neutros)

- Para cada elementoa

de B, existe en Botro elemento a llamado complemento deatal que

a + a = 1 y a .a = 0 (complemento)

Otras propiedades de las operaciones de Boole, las cuales se deducen de las anteriores, son las

siguientes:

- a + a = a y a . a = a (idempotencia)

- a + 1 = 1 y a. 0 = 0 (identidad)

- a + ( a . b) = a y a . ( a + b) = a (absorcin)

- = a (doble complemento)

=a

- ba + = a .b y ba . =a +b (De Morgan)

- a +a . b = a + b y a .(a + b) = a . b (sin nombre)

a) Los elementos a, b, c,... de Bse denominan variablesbooleanas.

b) Por economa de notacin, muchas veces se omite el smbolo que representa al producto; se

escribe aben lugar de a.b.Tambin se sobreentiende, como en el caso de las operaciones

usuales, que el producto tiene prioridad sobre la suma; por ejemplo, ab+c indica que primero

se calcula aby luego se suma c.

c) Las propiedades se aplican igualmente si en lugar de variables a, b, etc. se tiene una

combinacin de ellas. Por ejemplo, la ley de complemento a + a = 1, vlida para toda

variable a, indica que la suma de cualquier elemento de Bcon su complemento es igual a 1,

lo cual implica que si cy dson elementos de B, tambin lo es dc y, por ello, tambin se

verifica que 1)( dcdc



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d) Si se analizan las leyes de Boole, se ver que las de la derecha se obtienen de las de la

izquierda intercambiando las operaciones + y . y los smbolos 0 y 1 . Esta propiedad esllamada dualidad.

e) Muchas de las propiedades o leyes mencionadas se deducen de otras anteriores.

Ejemplo. Deduciendo una de las leyes sin nombre.

Probar, utilizando otras leyes, que a . ( a + b ) = a . bSolucin

Comenzamos por el primer miembro y tratamos de expresarlo en la forma del segundo, indicando encada paso la propiedad utilizada

a . (a + b ) = a . a + a . b = 0 + a . b = a . b

distributiva complemento neutro

Tal como te recomend al inicio, a los fines de abordar con xito los temas siguientes, resultar

importante que recuerdes tanto la expresin simblica como el nombre de cada una de las propiedadesenumeradas. Adems de su repaso, la siguiente Actividad te servir para ello.

Actividades

El Ejercicio se puede resolver de manera interactiva desde tu PC. Para ello DESCARGAR Y DESCOMPRIMIR ELARCHIVO: U7_S1_Actividad.rarPara reforzar la teora DESCARGAR Y DESCOMPRIMIR EL ARCHIVO: U7_S1_Animacion.rar

Con este ejercicio termina la Primera Sesin de Estudio.



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2daSESIN DE ESTUDIO

El tema de esta Sesin de Estudio es el lgebra de Boole binaria. Cuando las variables booleanas slo

toman dos valores, se dice que son variables booleanas binarias. Dichos valores se representan con lossmbolos 0 y 1; en otras palabras, el conjunto B tiene slo dos elementos: B = {0 , 1}.

El lgebra de Boole binaria es la base del diseo de las computadoras, por ello, en adelante todo se

expresar en el marco de la misma.

lgebra de Boole binar iaLas leyes del lgebra de Boole permiten deducir los resultados de sumas y productos cuando loselementos de B son 0y 1. Por ejemplo, puesto que la ley del neutro indica que a + 0 = a cualquierasea el valor de a, se tiene:

Para a= 0 , 0 + 0 = 0

Para a= 1 , 1 + 0 = 1 (*)

La ley conmutativa a + b = b + a, que vale cualesquiera sean los valores de a y de b, permite

asegurar que 0 + 1 = 1 + 0; pero como (*) dice que 1 + 0 = 1, se infiere que tambin 0 + 1 = 1.

Finalmente, la ley de idempotencia expresa que, cualquiera sea a, se verifica que a + a= a ;

luego, cuando a= 1 , se tiene que 1 + 1 = 1.

En sntesis, se obtuvo:0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 1En forma anloga, se pueden obtener a partir de las propiedades de Boole, los resultados relativos alproducto:0 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 0

1 . 1 = 1Adems, se tiene que 01 y 10

Expresiones booleanas

Una expresin booleana es cualquier combinacin de operaciones y variables booleanas(complementadas o no).

Por ejemplo, a + a (b + c) ; a b + abc ; )( bacba son expresiones booleanas. Para cada

asignacin de valores dados a las variables que las componen, las expresiones booleanas asumen obien el valor 0, o bien el valor 1.

Ejemplo . Calculando el valor de una expresin booleana

Calcular el valor que asume la expresin booleana )( bacba

para a = 0; b = 0 y c = 1.



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Solucin

Reemplazando los valores de a, by cen la expresin dada, se tiene:

11.1)01(1)1.01(0)0.01(00 .

Por tanto, la expresin )( bacba ++ asume el valor1 cuandoa = 0; b= 0 y c= 1.

Tablas de valores

El nmero de renglones de la tabla es 2

n

, siendo n la cantidad de variables que aparecen en laexpresin.Cada variable encabeza una columna.La asignacin de valores posibles (0 o 1) se realiza de manera anloga a la de las tablas de lgicaproposicional.Tambin de forma similar, se encabezan las columnas subsiguientes con las partes dela expresin.

El siguiente ejemplo ilustra cmo elaborar la tabla

Para visualizar los valores que asume una expresin booleana para cada asignacin de valores de susvariables, se construye una tabla, con un procedimiento similar al empleado para construir las tablas de

verdad de frmulas lgicas.

Ejemplo. Valores de una expresin booleana

Realizar la tabla de valores de la expresin )( bacba

Solucin

a b c a+b ba

b ba bac )( bacba

0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 1 1 0 1 10 1 0 1 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 1 0

Observar que el valor 1 obtenido en el segundo rengln coincide con el resultado del ltimo ejemplo

dado para a = 0; b = 0 y c = 1.

Expresiones booleanas equivalentes

Dos expresiones booleanas se dicen equivalentes cuando asumen los mismos valores en cada unade las posibles asignaciones de valores de sus variables.Cuando dos expresiones son equivalentes, se las vincula con un signo =.



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Ejemplo. Verificando equivalencia mediante el uso de tablas

Mostrar que las dos expresiones siguientes son equivalentes:

a . (a + b ) ; a . bSolucin

Se obtienen, en una misma tabla, los valores de cada una de las expresiones:

a b ba . a ba + )( baa +

0 0 0 1 1 00 1 0 1 1 01 0 0 0 0 01 1 1 0 1 1

Como se puede ver en las columnas sombreadas, ambas expresiones asumen los mismos valorespara idntica asignacin de valores a sus variables. Ello significa que las expresiones son

equivalentes. Ello se expresa escribiendo a . (a + b ) = a . b

ActividadesEjercicio 1

Calcular los valores de las siguientes expresiones booleanas para a = 0; b = 1 y c = 0.

i) cbacbacbacbacba

ii) )(.)( cbabaa

Ejercicio 2Utilizando tablas, mostrar que los siguientes son pares de expresiones equivalentes

i) )( baababa ; ba

ii) acabcabc

; c



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Soluciones de la segunda sesin de estudio

Solucin Sesin 2 Ejercicio 1 i)

Reemplazando en la expresin cbacbacbacbacba

los valores a=0; b=1 y c=0, se

tiene: 0.1.00.1.00.1.00.1.00.1.0 = 0.0.11.1.10.1.10.0.00.1.0 =

= 101000

Solucin Sesin 2 Ejercicio 1 ii )

Reemplazando en la expresin )(.)( cbabaa

:

)010).(10(0

= )000).(00(0 = 00.00

Solucin Sesin 2 Ejercicio 2 i)

a b ba . ba . a b ba . baa . ba . ( baa . ) ba . ba . ( baa . ) ba

0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 10 1 0 1 1 0 0 1 0 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Solucin Sesin 2 Ejercicio 2 ii )

a b c a b c abc ac abc abcabc ac

0 0 0 1 1 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Finaliza la Segunda Sesin de Estudio



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3raSESIN DE ESTUDIO

Uso de la leyes booleanas para verificar equivalenciasEn general, el procedimiento consiste en la aplicacin sucesiva de propiedades. Se selecciona una delas frmulas (la que involucra ms operaciones) y, mediante el uso de propiedades, se la modifica

hasta obtener la segunda.

Ejemplo. Verificando la equivalencia por medio de leyes booleanas

Mostrar que las expresiones bababa y ba son equivalentes

Solucin

bababa

= babaa

)( = bab

1 = bab

= abb

= ab

distributiva complemento neutro conmutativa sin nombre

Puesto que, por la ley conmutativa, ab = ba , se verifica que bababa y ba

son equivalentes.Nota. El procedimiento para verificar equivalencias por medio de leyes booleanas no es nico: pormedio de otras leyes u otros modos de aplicacin de las mismas, puede llegarse al mismo resultado.Por ejemplo:

bababa = )( bbaba = 1.aba = aba = baa = ba

distributiva complemento neutro conmutativa sin nombre

En la Sesin precedente aprendiste cmo analizar la equivalencia de dos exp esiones booleanas utilizando tablas.r

En esta Tercera Sesin de Estudio conocers otra forma de hacerlo. El procedimiento consiste en laaplicacin de propiedades o leyes booleanas a una de las expresiones para llegar a la otra.

Posteriormente, en esta misma sesin, conocers cmo simplificar expresiones mediante el uso de lasleyes booleanas.

Tal como se ve, se llega al mismo resultado por otro camino: la ley distributiva se aplica a otrostrminos de la expresin inicial, la ley conmutativa esta vez es la de la suma, etc.

Observacin

Todas las expresiones que aparecen en la anterior secuencia de igualdades, son equivalentes (pues

son obtenidas unas de otras por la aplicacin de leyes). Esto es: bababa y

)( bbaba son equivalentes; bababa y aba son equivalentes, etc.



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Simplificacin de expresiones booleanas

Ejemplo

Simplificar: cbacbacbacbacba

Solucin

asociativa distributiva

cbacbacbacbacba

= cbacbacbacbacba

)()( =

cbaccbabbca

)()( = cbabaca

11 = cbabaca

= )( cbbaca =

complemento neutro distributiva sin nombre

)( cbaca = cabaca = bacaca = bacaa )( = bac1 = bac

distributiva conmutativa distributiva complemento neutro

Ejemplo

Simplificar bcbaba )(.)(

Solucin

bcbaba )(.)( = bcbaba ))((.)( = bba = ba

asociativa absorcin(*) idempotencia

Como pudiste apreciar, tanto el mtodo de tablas como el que consiste en la aplicacin de leyes

booleanas permiten verificar la equivalencia de dos expresiones dadas. El primero es ms automtico,

pero slo sirve para el fin de verificacin. El segundo, en cambio, permite obtener, a partir de una

expresin dada, otras expresiones equivalentes.

As, las leyes y propiedades del lgebra de Boole permiten convertir expresiones complejas en otrasequivalentes ms sencillas. El proceso se denomina simplificacin. Los ejemplos siguientes ilustran la

forma de desarrollarlo.

(*) Recordar que la ley de absorcin indica que xcxx )( ; en este caso se tom bax

Ejemplo

Simplificar bababa__



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Solucin

De Morgan De Morgan doble complemento distributiva

bababa__

= )(.)(__

bababa

= )(.)(__

bababa

= )(.)( bababa =

)( bbbaabaaba

= baabba = baaab )( = bab 1. = bab = ab

complemento distributiva complemento neutro sin

nombre

Te propongo algunas actividades de e ercitacin. En todos los casos, debes comparar tus respuestas con lasj

soluciones. Si no hubiera coincidencia, utiliza tablas de valores, a fin de determinar si la falta de

coincidencia es slo formal o si, por el contrario, existe alguna aplicacin errnea de las propiedades.

Recuerda que siempre puede consultar en el Foro las dudas que surgen a medida que avanzas en el estudio.s

Actividades

Ejercicio 1

Mediante la aplicacin de leyes booleanas, mostrar que las siguientes son pares deexpresiones equivalentes.

a) )( baababa

; ba

b) acabcabc ; c

Ejercicio 2

Simplificar las siguientes expresiones booleanasa) )(. cbab

b) cbaba

c) (a.b + b) .a .b

d) cabcab__

)(

e) )()( caabacbaba



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Soluciones de la tercera sesin de estudio

Solucin Sesin 3 Ejercicio 1 a)

ba . ba . ( baa . ) = ba . babaaba .....

= ba . + 0 + 0 = ba

distributiva complemento neutro y De Morgan

Solucin Sesin 3 Ejercicio 1 b)

abc abc ac = acbbac )( = )( aacacac +=+ = c

distributiva complemento y neutro distributiva complemento y neutro


)(. cbab = b + a b+ a c = b + a c


cabba = c0 = c

Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 c)

(a.b + b) .a b = a.b a b + b .a b = 0 +a b = a b

Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 d)

cabcab__

)( = )(__

cacab = ))((__

cacab = )(__

acab = )1(_

cb = 1.b =b

Solucin Sesin 3 Ejercicio 2 e)

)()( caabacbaba ++++ = )()( cabacbaba ++++ = cbaabacbaba ++++ )( =

cbabacbaba ++++ )( = )1()( cbacbaba ++++ = 1.)( bacbaba +++ = bacbaba +++ )( =

bacbaba ++ )( = bacbbaaba ++ = baba ++ 0 = baba + = )( bba + = 1.a = a

Finaliza con este ejercicio, la Tercera Sesin de Estudio



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4taSESIN DE ESTUDIO

Circuitos lgicos

Compuertas lgicas bsicas

Las compuertas lgicas se corresponden con diversas operaciones booleanas. Se las representa condistintos smbolos, de acuerdo al tipo de operacin que realizan.

Compuerta AND

entradas salida

Compuerta OR

entradas salida

Compuerta NOT

entrada a salida

Ejemplos de circuitos lg icosLos circuitos lgicos son combinaciones de compuertas lgicas. Por ejemplo, son circuitos lgicos lossiguientes:

En este circuito, la primera compuerta es una compuerta AND. Tiene como entradas las variables ayb, y como salida su producto a.b. A su vez, dicho producto es una de las entradas de la compuertaOR que le sigue. La otra entrada es la variable c. La salida de dicha compuerta es la suma de sus dos

entradas. Por tanto, la salida final es la expresin booleana a.b+c.El siguiente es un circuito de 4 compuertas, con tres variables de entrada y cuya salida es la

expresin cbba +

a . b + ca

b

a . b

c

entradas

salida

La arquitectura de los sistemas digitales tiene como unidades estructurales ciertos elementos llamados

compuertas lgicas. A una combinacin de compuertas lgicas se la denomina circuito lgico.Las compuertas lgicas funcionan como operadores booleanos: admiten como entrada variables binarias (de valor

cero o uno) y producen como salida el resultado de alguna operacin booleana. De all que el lgebra de Booleest en la base de los circuitos electrnicos y esta aplicacin es la que conocers en esta Sesin de Estudio.

a + b

a . b

cbba + a b+b ca . b

b . c

a

b

a

b

ab

a

c

Como se ve, cada circuito tiene asociada una expresin booleana. Recprocamente, para cadaexpresin booleana se puede construir un circuito lgico que es la representacin de dicha expresin.

Animacin interactiva. DESCOMPRIMIR EL ARCHIVO: U7_S4_Animacion.rar



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Ejemplo

Representar la expresin cba+ mediante un circuito lgico.

Solucin

La expresin indica que las variables de entrada son tres: a, b, c.A la compuerta que realiza la suma (OR), ingresan como entradas el complemento de ay el producto

bc. Por tanto, previas a OR, deben aparecer las compuertas NOT y AND.a

cba +

b . c

a

bc

Ejemplo

Representar la expresin bababa ++ mediante un circuito lgico.

Solucin

a

ba

ba

b

bababa ++

ba

b

a

Actividades

Ejercicio 1

Encontrar la expresin de salida del circuito siguiente:

a

b

c

Ejercicio 2

Representar mediante un circuito la expresin )( cba +

Ejercicio 3

Representar mediante un circuito la expresin cbacbacba



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Soluciones de la cuarta sesin de estudio

Solucin Sesin 4 Ejercicio 1

a

b

c

a

c bca

cab

cabbca +


a

c

)cb(a + b

cb+

b


a

c

cba

cba

a b

c cba

cbacbacba ++ b

Finaliza con este ejercicio, la Cuarta Sesin de Estudio



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5taSESIN DE ESTUDIO

Esta Sesin est destinada a la simplificacin de circuitos lgicos. Simplificar un circuito significa hallar

otro con una cantidad menor de compuertas cuyos valores de salida sean iguales a los del primero, paraiguales valores de entrada de las variables intervinientes.

Los circuitos de compuertas pueden simplificarse utilizando las propiedades del lgebra booleana y ello

es lo que veremos a continuacin.

Simplificacin de circuitos lgicosEl procedimiento consiste, simplemente, en simplificar la expresin de salida del circuito dado yrepresentar mediante un nuevo circuito, la expresin simplificada.

Ejemplo. Un circuito simplificado

Obtener una simplificacin del circuito dado en el ltimo ejemplo.Solucin

La expresin de salida del circuito es bababa

Simplificando esta expresin, se obtiene:

bababa = babaa )( = bab = ab

La expresin simplificada debe ser la salida del nuevo circuito. Resulta entonces:

ab

a + b

Como se puede apreciar, se ha pasado de un circuito de 6 compuertas a otro equivalente pero queconsta de slo 1 compuerta.

Ejemplo. Simplificando un circuito

Representar mediante un circuito la expresin )(.)( cbabaa

y obtener luego el circuito

simplificado.

a

b

)).(( cbabaa ++++ ba +

cba ++

)).(( cbaba +++

b

c

A continuacin, se simplifica la expresin de salida )(.)( cbabaa

)(.)( cbabaa = )( baa = ba



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Se representa ahora el circuito simplificado

b

a ba

b

Actividades

Ejercicio 1

Dada la expresin booleana )(.)(_

baba

a) Representarla mediante un circuito de compuertas.

b) Simplificar la expresin dada

c) Representar el circuito simplificado.

Ejercicio 2

Dada la expresin booleana abcaba ++

a) Representarla mediante un circuito de compuertas.

b) Simplificar la expresin dada

c) Representar el circuito simplificado.



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Soluciones de la quinta sesin de estudio


a

b

a

)ba(.)ba(_

++ )ba()ba( ++

ba +

ba +


)(.)(_

baba = )()(_

baba = baba = baa )( = b

Solucin Sesin 5 Ejercicio 1 c))

b b


a

b

c

ba

a

ba abcaba ++

bca


abcaba ++ = caba = cbaa

= cba

= cab

Solucin Sesin 5 Ejercicio 2 c)

a

bc

ba ba cab

Con este ejercicio, finalizaste la Quinta Sesin de la Unidad y con ella, llegaste al final del material de

estudio de Elementos de Matemtica.


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