-
8/18/2019 Uračunavanje atenuacije kod SPECT tomografije
1/4
XL KONFERENCIJA ZA ETRAN, ZLATIBOR, 3-6. JUNA 1997.
U R A Č U N A V A N J E A T E N U A C I J E K O D S P E C T T O M O G R A F J J E
S A I M P L E M E N T A C I J O M N A I T E R A T I V N E A L G O R I T M E
Vlađan Ljubenov,
Institut za nuklearne nauke Vinča , Beograd
Predrag Marinković,
Elektrotehnički fakultet u Beogradu
Sad r ža j
• Atenuaciju gama fotona u tkivu predstavlja jedan
od najvainijih faktora koji utiču na evaiuaciju tomografskih
podataka kod medicinske vizuelizacije. Način na koji se ona
tretira odražava se na kvaiitet rekonstruisane slike. Rad
prikazuje jedan tretman atenuacije kod 2D SPECT sistema,
implementiran na iterativni algoritam za rekonstrukciju
slike na bazi metoda maksimalne verodostojnosti i njegovu
verifikaciju na digitalnom fantomu.
1. UVOD
Tri najh itnija lakora koji utiču n a kvaiiiei rekonširuisane
slike kod SPECT (Single Photon Emission Computed
Tomography) sistema su apsorpcija gama fotona u tkivu,
Comptonovo rasejanje (čiji se uticaj u izvesnoj meri može
isključiti energetsko-amplitudskom diskriminacijom) i
propagacija šuma iz projekcija. Za uobičajene energije gama
zračenja korišćenili radionuklida (radiofarmaka) i do
polovine početnog broja gama fotona, emitovanih iz
najdubljih oblasti snimanog sloja tkiva pacijenta, može
nestati iz paralelnog snopa u procesima fotoelektiičnog
efekta i Comptonovog rasejanja pre nego Sto napuste
tomografski objekat. Ovakva situacija, bez pravilnog
tretmana atenuacije u procesu medicinske vizuelizacije može
da rezu ltira postavljanjem pogrešne dijagnoze.
Ovaj
r ad tretira problem atenuacije sa ciljem iznalaženja
najpogodnijeg pristupa njegovom rešavanju, uz uporednu
analizu primenljivosti korekcionih postupaka
transformacionih metoda i iterativnih metoda zasnovanih na
stohastičkom prilazu.
1. SPECT SISTEMI
SPECT [1] tomografija predstavlja moćno sredstvo
medicinske vizuelizacije, primenljivo za studije humane
fiziologije organa i tkiva. Problem dobijanja slike fiziološkog
stanja ispitivane sredine svodi se na estimaciju koncentracije
radionuklida unutar organizma na bazi registrovanja gama
fotona detektorima postavljenim izvan ljudskog
tela.
SPECT
pripada klasi jednofotonske emisione lomografije koja,
nažalost, iziskuje kolimisanje na bazi zasenčenja poziciono
osetljivog detektora radi definisanja tomografskih pravaca.
Koiimator drastično smanjuje efikasnost sistema, što se
delimično kompenzuje jednovremenim korišćenjem dve ili
tri gama kamere. Pošto su procesi obuhvaćeni SPECT
problematikom po svojoj prirodi intristično stobastički,
nameće se statistički prilaz estimaciji emisionih gustina.
3 K O R E K C I J A S A A T E N U A C I J U
Najveća teškoća i osnovni problem kod implementacije
rek onstm kci on ih algoritama je eliminacija vrlo velikog
uticaja atenuacije gama zračenja unutar organizma na
projekcije. Problem se može matematički formulisati
atenuadonom Radonovom transformacijom:
Ж 6 ) = 7 Ж ' , в ) е х р .
—«
• f v ( s , r , e ) d ' J r t
D
gde je p s,8) projekcija pod uglom 0 u zarotiranom
pravouglom koordinainom sistemu vezanom za detektor, a p
je koeficijent atenuacije. Dekanove koordinate sistema
vezanog za detektor sOt) i sistema vezanog za objekat х О у ј
su: i • х cos в у sin в , t = - х sin в у cos в . Rešenje ove
integralne jednačine po
funkciji f(x,y)
u zatvorenom obliku
ne egzistira. Zbog toga se pristupa aproksimativnim
načinima rešavanja. U tom smislu razvijeno je više metoda,
koje se prema redosledu korekcionog i rekonstmkcionih
koraka mogu klasifikovaii kao prerekonstrukcione i
postrekonstrukcione. Korekcije mogu biti urađene u jednom
koraku ili iterativno, a u odnosu na distribuciju atenuacije
koja se tretira, klasffikuju se kao metode za korekciju
unifo mn og ili neuniformnog polja atenuacije.
Prerekonstrukcione metode na nivou aproksimacija prvog
reda uzimaju aritmetičku ili geometrijsku sredinu dve
suprotne projekcije kao estimaciju neatenuiranog linijskog
integrala aktivnosti izvora za slučaj jedne specijalne klase
distribucija radionuklida u objektu i uniformne distribucije
atenuacije. Ovakve jednostavne korekcione metode ne mogu
uvek obezbediti zadovoljavajući kvaltei rekonstruisane slike.
U cilju kompenzacije uticaja uniformne atenuacije
razvijeno je nekoliko neiterativnih metoda, koje modifikuju
sliku dobijenu metodom filtriranog inverznog projekiovanja
(EBP - Filtered BackProjection). Medu njima je najpoznatija
neilerativna postrekonstrukciona multiplikaciona Changova
P) metoda. Multiplikacioni korekcioni faktori c, za svaki
piksel slike se izračunavaju preko srednje vrednosti
transmisionih koeficijenata u svim pravcima:
1 W
— Iexp ( - f i - l
e
)
M J.\ '
2)
gde je M broj projekcija, џ koeficijent atenuacije, a
raslojanje od i-tog piksela do ivice objekta
duž pravca
в .
Changova metoda nije egzalctna, centar s like je
prekompenzovan, a periferija podkompenzovana. Razvijene
su varijante Changove metode za slučaj neuniformne
atenuacije, kao i iterativni postupak u kome razlika pravih i
pseudoprojekcija predstavlja korekcioni fakto r.
Metodom Bellinija [3] atenuaciona Radonova integralna
jednačina svodi se na eksponencijalnu Radonovu
3 5 6
-
8/18/2019 Uračunavanje atenuacije kod SPECT tomografije
2/4
transform aciju. U uslovima uniformn e atenuacije, Belliru je
predložio matematički egzaktan metod koji iz izmerenog
sinogiama esiimira korigovanj sinogram, a slika se iz
korigovanih projekcija može rekonstruisati uobičajenim FBP
metodama. Inouve [4] je fonnulisao neiterativni metod za
ocenu Fourierove transformacije idealnog sinograms iz
izmerenog sinograms. Ove metode su tačne u odsustvu
šuma, ali u realnim uslovima one ne obezbeduju
zadovoljavajuću propagaciju šuma kroz proces
'rekonstrukcije slike.
Korekcija SPECT podataka na slabljenje podrazumeva
poznavanje distribucije koeficijenta atenuacije unutar
organizma. U slučajevima kada ova distribucija nije poznata,
mogući su sledeći prilazi; 1) korišćenje usrednjene
uniformne vrednosti koeficijenta atenuacije ili njegove
aproksimativne raspodele za korekcionu proceduru; 2) rade
se odvojeno ili simultano transmisiona CT (Computed
Tomography) i SPECT analiza. Iz CT slike se određuje polje
atenuacije (anatomski podaci), na osnovu čega se vrši
korekcija slike raspodele radionuklida (fiziološki podaci),
koja se dobija iz SPECI podataka; 3) razvoj algoritama koji
daju polje atenuacije na bazi podataka iz osnovnog
energetskog prozora ili iz Comptonovih energetskih prozora
samih SPECT podataka.
4. ML-EM ALGORITAM
Problem kod rekonstrukcije slike je ocena distribucije
nekog fizičkog parametra unutar ispitivanog objekta na
osnovu eksterno izmerenih veličina koje apoksimiraju
linijske integrale (projekcije). Estimacija na bazi metoda
maksimalne verodostojnosti (ML - Maximum Likelihood)
može da se primeni na stohastički model procesa
rekonstrukcije slike. Kod ovakvog prilaza raspoloživi
izmereni podaci se tretiraju kao uzorci iz seta slučajnih
promenljivih, a veza između njihovih funkcija gustina
verovatnoća f traženih raspodela je matematički model
procesa akvizicije tomografskih podataka. Iz ovakvog prilaza
sledi da proizvoljna distribucija fizičkog parametra unutar
objekta može da uzrokuje registrovanje seta izmerenih
podataka, pri čemu svakoj može da se pridruži određena
verovatnoća. Medu svim mogućim slikama uzroka
(distribucija radionuklida), ona sa najvećom verovatnoćom
se uzima za ocenu po kriterijumu maksimalne
verodostojnosti.
Primena neiterativnih estinucionih algoritama na bazi
•metoda maksimalne verodostojnosti (metod singulame
dekompozicije matrica - SVD) u procesu rekonstrukcije
fizio lošk ih slika iz SPECT podataka je u izvesnoj meri
otežana kompleksnošću proračuna i velikim memorijskim
zahtevima, mada su značajna pojednostavljenja i uštede
moguće ako se iskoriste izvesne osobine simetrije u
akvizicionom procesu. A lternativa direktnim (neiterativnim)
tehnikama je razvoj iterativnih metoda, poznatih u
matematičkoj statistici kao EM algoritmi. Naziv potiče od
činjenice da jedan iteiacioni korak čini sekvenca
Expectation-Maximization (EM). Teoretski je pokazano da
ML-EM [5 , [6] algoritmi konvergiraju k a oceni maksimalne
verodostojnosti.
Primenom optimizaciorrag kriterijuma maksimizaciie
funkcije verodostojnosti registrovanja projekcionih podataka,
standardni iteracioni korak algoritma za rekon strukciju slike
može da se izrazi u obliku:
X?
r
У јР Ј
LP
Z P
A
k
iC«>
3)
gde je Л , >
sadržaj i-tog piksela u n-toj iteraciji,
registrov ani intenzitet u /-tom snopu detektora, a P
J:
verovatnoća da te se gama fovon e milovan iz i-tog piksela
naći u /-tom snopu detektora.
ML-EM iekonstruktivni algoritam poseduje niz prednosti u
odnosu na transformacione metode. On omogućava ostvarenje
visokog kontrasta, što je od velikog značaja kod praćenja
vezivanja rad iofa nm aka u malim zonama (lociranje malih
tumora) ili odsustva vezivanja u malim zonama (delovi organa
koji nisu funkcionalni okruženim fiziološki normalnim tkivom.
Dobijene vrednosti u pikselima tomografške slike sloja
cdgc.sraju apsolutnim vrednostima aktivnosti na tim mestima
(apsolutna kvantifikacija). Pruža se mogućnost jednostavnije
implementacije postupka za eliminaciju uticaja slabljenja snopa
zračenja u telu pacijenta nego kod transformacionih metoda
Sadržaji piksela su nenegativne veličine, što nije uvek slučaj kod
transformacionih metoda. Postupak
je
iterativan, pa do izražaja
dolaze sve dobre osobine iterativnih metoda u pogledu greške
numeričkog odsecanja. Algoritam je manje osetljiv na šum.
posebno kod manjeg broja iteracija.
U nedostatake ove metode ubraja se spora konvergencija i,
stoga, potreba za velikim brojan iteracija (i do 1000) da bi se
dobila kvalitetna
slika.
Kriterijumi za
zaustavljanje
iteracija nisu
uvek očigledni i jednostavno odredivi. Količina proračuna je
veoma velika (u odnosu na
2ahtevc
Iransfcrmadonih metoda)
čak i za slike sloja rezolucije 64
х 64 piksela, pa se
nameće
poueba za korišćenjem moćnijih račun ara od PC-ja ukoliko sc
zahteva vizuelizacija sloja u toku intervala vremena re da 1 min.
Matrica sistema je velika (zahtev za velikom RAM memorijom),
ali prilično "prazna", ispunjena u velikoj meri nulama ili
članovima zanemailjivim u odnosu na najveće, što može da sc
iskoristi za skraćenje vremena proračuna. Formiranje matrice
sistema je najsloženiji segment metode, gde bi Monte Carlo
simulacija predstavljala optimalan pristup, jer bi obuhvatila
tretman slabljenjenja, r sej nj odziva detektora. To je ujedno i
najsporiji način, pa se u praksi pribegava i drugim tehnikama
(metod projektora)
Savremeni trendovi upućuju na sve veću primenu ML-EM
metode, mada
ona još
unek nije ušla
u
šira kliničku praksu zbog
neadekvatnosti postojećih rač un ars kih resursa starijih SPECT
sistema. Tehnike paralelnog procesiranja podataka na
savremenim računanma skraćuju vreme proračuna za više
red ov a veličine, što eliminiše glavni ograničavajući faktor
primene ML-EM metode. S dnige strane, razvoj OS-EM
(Orderd Subsets EM) [7] algoritma kao varijante ML-EM
metode omogućava da se na račun neznatnog pogoršanja slike i
nešto nepovoijnijih uslova konvergencije iteracija dobije
višestruko ubrzanje celog postupka.
3 5 7
-
8/18/2019 Uračunavanje atenuacije kod SPECT tomografije
3/4
5. NUMERIČKI EKSPERIMENT NA DIGITALINOM
FANTOMU
U cilju izvođenja numeričkog eksperimenta razvijen je
numerički fortranski kod ADP360 [8J za formiranje
projekcija na bazi metode projektora sa uračunavanjem
atenuacije. Projektovanje sadržaja piksela u snopove (metoda
projektora) urađeno je geometrijskom ocenom pripadnosti
deicva površina piksela psjfdušsr. snopovima. Atcnuacija je
tretirana duž pravca snopa od težišta p ripadajuće površine do
ivice objekta. Primenom ovog programa određene su
komponente matrice odziva (sistemske matrice) Р
ј{
hipotetičkog SPECT sistema. Procesi u kolimatom i
detektoru ovim algoritmom nisu tretiram, već se
podrazumeva stopostotna efikasnost detekcije bez
uračunavanja rasejanja u sistemu.
Rekonstrukcija slike u ovom numeričkom eksperimentu
urađena je metodom konvolutivnog inverznog projektovanja
(CBP - Convolution BackProjection) i ML-EM metodom, za
potrebe čep su razvijeni fortranski kodovi CBP
[9]
i
MLE M[10], Atenuacija kod CBP postupka je tretirana
prerekonstrakcionom korekcionom metodom prvog reda
prema:
(4)
velikom "vrućom" oblašću. Rezolucija fantoma je 32
х 32
piksela (veličina piksela Л .8 cm
N
0.8 cm), a koeficijent
atenuacije iznosi 0.154 cm'
1
(uniformna raspodela), što
odgovara atenuaciji u vodi za energiju gama zračenja iz
izvora " T e . Broj snopova po projekciji je 32 (širina snopa
0.8 cm). Broj projekcija je A/=40 u 360°.
Slika 2. prikazuje sinogram
projekcija, koje
su složene od
vrha (projekcija pod 0°) naniže. Na slikama 3. i 4. nalaze se
vizueli prikazi digitalnog fantoma, rekonstruisam CBP i
ML-EM metodama, respektivno. Relativna raspodela
sadržaja piksela duž pravaca a i b (prikazanih na slikama 3.
i 4.) za razne načine uračunavanja atenuacije data je na
slici 5. Očigledno je da ML -EM metoda kvalitetnije
reprodukuje izgled digitalnog fantoma.
gde je
p
a
(s,
в ) aritmetička srednja vrednost naspramnih
projekcija, a
it s.
dužina tetive.
SI. 2.
Sinogram digitalnog fantoma (40 projekcija u
36 Р ,
prva projekcija na vrhu; broj snopova 32)
SI.
1. Digitalni fantom
Na slici 1. prikazan je digitalni fantom na kome je
urađen numerički eksperiment. Fantom je ovako koncipiran
da bi istakao osnovnu prednost metode - veliki konuast
Struktura bez izvora zračenja ("hladna" struktura) je duboko
postavljena i okružena uniformno distribuiranim izvorom
" T e ("vruća" oblast). U okviru "h ladne" strukture nalazi se
mala "vmća" zona, koju treba detektovati sa dobrim
kontrastom, što je teško jer je mala "vraća" oblast maskirana
SI.
3. Rekonstruisana slika sloja CBP metodom sa
prostornom filtracijom drugog stepena (e* 0.5)
3 5 8
-
8/18/2019 Uračunavanje atenuacije kod SPECT tomografije
4/4
SI. 4. Rekonstruisana slika sloja ML-EM metodom
posle 1000 iteracija)
ML-£M
CBP sa korekcijom prvog reda
Chanoov
m e t o d
CBP bez korekcije
X cm)
SI. 5.
Sadržaj piksela rekonstruisane slike dut pravaca
aib sa prethodnih slika
Z K L J U Č K
Iterativni algoritmi za rekonstrukciju slike kod SPECT
sistema pružaju najviše mogućnosti za uspešnu
implementaciju korekcije na atenuaciju čak i kada je
sistemska matrica
određena metodom projektora. Značajan
prostor za dalje unapređenje korekcionog postupka
predstavlja odredivanje matrice odziva Monte Carlo
simulacijom, što je predmet budućih istraživanja. Time bi
mogli da se u razmatranje uzmu procesi rasejanja kao i
zavisnost prostome rezolucije od
r stoj nj
zvor-detektor.
LITERATURA
[ 1 ] R . J . J a s z c z a k . R . E C o i c m a n . C . B . L i m . " S P E C T ;
S i n g le p h o t o n e m i s s i o n c o m p u t e d t o m o g r a p h y , "
IEEE
Trans. Nucl. Science, vo l . NS-2 7 . pp . 1 137-1 153, 1980.
[ 2 ] L . T . C h a n g , " A m e t h o d f o r a t t e n u a t i o n c o r r c c t i o n i n
r a d i o n u c l i d e c o m p u t e d t o m o g r a p h y , "
IEEE
Trans.
Nucl
Science
v o l . 2 5 , p p . 6 3 8 - 6 4 2 , 1 9 7 8 .
f 3 j S . B e i i i n i , M . P i a c c m i , C . C a j T a r i o . F . R o c c a ,
" C o m p e n s a t i o n o f t i s s u e a b s o r p t i o n i n e m i s s i o n
tomography,"
IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal
Processing, vo l . 27 , pp . 213-218 , 1979 .
[4] T. Inouye, K. Kose, A. Hasegawa, "Image reconstruction
algorithm for single-photon-emission computed
tomography with uniform attenuation," P hys. Med. Biol.,
vol. 34, pp. 299-304, 1989.
[5] L. A. Shepp, Y . Vardi, "Ma ximum likelihood
reconstruction for emission tomography," IEEE Trans.
Med. Int., vol. 1, pp. 113-122, 1982.
[6] K. Lange, R Carson, "EM reconstruction algorithms for
emission and transmission tomography,"
J. Comput.
Assist. Tomog.,
vol. 8, pp. 306-316, 1984.
[7] H. M. Hudson, R. S. Larkin, "Accelerated image
reconstruction using ordered subsets of projection data,"
IEEE Trans. Med. Jm„ vol. 13, pp. 601-609, 1994.
[8] P. M arinković, "Program ADP360 za form iranje
projekcija metodom površina piksela," Programoieka
ETF Beograd,
1996.
[9] P. M arinković, "Program CBP za rekonstrukciju slike na
bazi konvolutivnog inverznog projektovanja,"
Programoteka ETF Beograd,
1996.
[10]P. Marinković, "Program MLEM za rekon strukciju slike
na bazi metode maksimalne verodostojnosti,"
Programoteka ETF Beograd, 1996.
Ab stract - Attenuation of gamma rays within the body has
for some time been recognized as one of the major factors
affecting evaluated tomography data in medicine imaging.
The manner in which it is trated impacts on the accuracy of
the reconstructed image. A treatment of known or estimated
attenuation in 2D SPECT systems, implemented on an
iterative algorithm for image reconstruction, based on the
maximum likelihood method and its verification on digital
phantom are presented in this paper.
T R E A T M E N T O F A T T E N U A T I O N IN S P E C T W I T H
I M P L E M E N T A T I O N O N I T E R A T I V E A L G O R I T H M S
Vladan L jubenov, Predrag M arinković
3 5 9