GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 17 – CENTRIČNO ZATEZANJE
Odrediti potrebnu površinu armature i oblikovati poprečni presek, pravougaonog oblika, centrično zategnutog elementa. Podaci za proračun:
NG,k = -400 kN C25/30 XD1
NQ,k = -500 kN B500 B
C25/30 fcd = 0.85⋅25/1.5= 14.2MPa = 1.42 kN/cm2
B500 B fyd = 500/1.15 = 435 MPa = 43.5 kN/cm2
Treba ?
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 17 – CENTRIČNO ZATEZANJE
Granična sila ZATEZANJA:
NEd = 1.35·(-400) + 1.5·(-500) = -1290kN
Proračun površine armature:
Usvojeno: 15 Ø16 (30.15 cm2)
2
1
129029.7
43.5
Eds
yd
NA cm
f= = =
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
b ≥ 2cnom + 2Øs + m×Ø + (m-1)×aH
h ≥ 2cnom + 2Øs + n×Ø + (n-1)×aV
XD1 => cnom = 35 +10 = 45 mm
Pretp. => Øs = 8 mm
Zadatak 17 – CENTRIČNO ZATEZANJE
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
b ≥ 2cnom + 2Øs + m×Ø + (m-1)×aH
h ≥ 2cnom + 2Øs + n×Ø + (n-1)×aV
Zadatak 17 – CENTRIČNO ZATEZANJE
b ≥ 2×4.5 + 2×0.8 + 5×1.6 + (5-1)×5.0 = 38.6 cm ⇒ b = 40 cmd ≥ 2×4.5 + 2×0.8 + 3×1.6 + (3-1)×3.0 = 21.4 cm ⇒ d = 25 cm
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
ULS – MALI EKSCENTRICITET, SILA ZATEZANJA
8
yd
Ed
sssf
NAAA =+= 21
21
21
cc
ec
f
NA
yd
Ed
s ++
=21
12
cc
ec
f
NA
yd
Ed
s +−
=
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 9
Dimenzionisati pravougaoni poprečni presek zadatihdimenzija, opterećen silom zatezanja i momentomsavijanja u fazi malog ekscentriciteta.
Podaci za proračun:NG,k = -400 kN MG,k = 10 kNm b = 40 cmNQ,k = -500 kN h = 25 cm
B500 B fyd = 500/1.15 = 435 MPa = 43.5 kN/cm2
Zadatak 18 – EKSCENTRIČNO ZATEZANJE
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 10
213.5 101.05
1290
Ed
Ed
Me cm
N
×= = =
pretp. d1 = d2 = 6 cm
c1 = c2 = h/2 – d1 = 25/2 – 6 = 6.5 cm
NEd = 1.35·(-400) + 1.5·(-500) = -1290kN
MEd = 1.35·10 = 13.5 kNm
Zadatak 18 – EKSCENTRIČNO ZATEZANJE
2
1 2
129029.7
43.5
Eds s s
yd
NA A A cm
f= + = = =
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 11
≈ 9Ø16d1 = 8 cm
c1 = 25/2 – 8= 4.5 cm
≈ 6Ø16d2 = 6 cm
c2 = 25/2 – 6 = 6.5 cm
221
1 2
6.5 1.0529.7 17.2
6.5 6.5
Eds
yd
N c eA cm
f c c
+ += = ⋅ =+ +
212
1 2
6.5 1.0529.7 12.5
6.5 6.5
Eds
yd
N c eA cm
f c c
− −= = ⋅ =+ +
Zadatak 18 – EKSCENTRIČNO ZATEZANJE
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 12
≈ 10Ø16d1 = 8.25 cm
c1 = 25/2 – 8.25= 4.25 cm
≈ 5Ø16d2 = 6 cm
c2 = 25/2 – 6 = 6.5 cm
221
1 2
6.5 1.0529.7 20.4
4.5 6.5
Eds
yd
N c eA cm
f c c
+ += = ⋅ =+ +
212
1 2
4.5 1.0529.7 9.3
4.5 6.5
Eds
yd
N c eA cm
f c c
− −= = ⋅ =+ +
Zadatak 18 – EKSCENTRIČNO ZATEZANJE
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 13
dI = cnom + Øs + Ø/2
aI = 4.5 + 0.8 + 1.6/2 = 6.1 cm
usv. dI = 6 cm
dII = dI + aV + 2×Ø/2
dII = 6 + 3.0 + 2×1.6/2=10.6 cm
usv. dII = 10.5 cm
a1 = (5×6 + 5×10.5)/10
d1 = 8.25 cm
Zadatak 18 – EKSCENTRIČNO ZATEZANJE
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Centrični pritisak
15
· ·Rd Ed c cd s sN N A f A σ= = +
Nu
d
εa = 2‰b
Aa1
εb = 2‰
Gb
σb = fB
Aa2
σ a = σ v
h
0 :NΣ =
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 19 – CENTRIČNI PRITISAK
Odrediti potrebnu površinu armature i dimenzije poprečnog preseka, pravougaonog oblika, centrično pritisnutog elementa. Podaci za proračun:
NG,k = 600 kN C25/30 XC3
NQ,k = 800 kN B500 B b = 35 cm
C25/30 fcd = 0.85⋅25/1.5= 14.2MPa = 1.42 kN/cm2
B500 B fyd = 500/1.15 = 435 MPa = 43.5 kN/cm2
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 19 – CENTRIČNI PRITISAK
Granična sila PRITISKA:
NEd = 1.35·600 + 1.5·800 = 2010 kN
Uslov ravnoteže normalnih sila:
Minimalni geometrijski koeficijent armiranja:
ρl,min = 0.3% => ω = 0.3·43.5/1.42 = 9.19%
· · 1 · · 1 · · 1yds s s s s
Ed c cd c cd c cd
c cd c cd yd yd
fA AN A f A f A f
A f A f f f
σ σ σω
= + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅
=
· ·Rd Ed c cd s sN N A f A σ= = +
2
,
1
20101305
401.42 1 0.09191
43.5
Edc pot
scd
yd
NA cm
ff
σω= = =
⋅ + ⋅ +
ωωωω
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 19 – CENTRIČNI PRITISAK
Sračunavanje potrebne površine armature:
Maksimalno rastojanje poprečne armature (EC2):
hpot = Ac,pot/b = 1305/35 = 37.3 cm => usv. h = 40 cm
2
2 2
2
20100.15 0.15 6.93
43.5
max 0.003 0.003 40 35 4.2 6.93
4 1.13 4.4812 4
Ed
yd
s c
Ncm
f
A A cm cm
cmØ
⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ =
=
( ) ( ), max
min20 20
min min
1.2 24
min , min 2, 35 4
40 40
cl t
Ø cm
b h b h cm
cm c
s
m
cm
= = =
=
⋅=
8 Ø12 (8.96 cm2)
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 19 – CENTRIČNI PRITISAK
Maksimalno rastojanje poprečne armature (EN1992-1-1/NA):
( ) ( )m
x
n
,
i
ma
1212 1.2 14.4
min , min , 35
30 30
min min 14.4cl t
Ø cm
b h b h cm
cm
cm
m
s
c
⋅ = = = =
=
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1
Zadatak 19 – CENTRIČNI PRITISAK
Usvojena podužna armatura: 8 Ø12 (8.96 cm2)
Usvojena poprečna armatura: Ø6/12.5
max 15 cm
5
5
35
40
15
12
.512
.5
1 3Ø12
1 2Ø12
5
515
1 3Ø12
4 UØ6/12.5
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 21
KOMBINACIJE OPTEREĆENJA
Promenljivo dejstvoKorisno opterećenje Sneg na krovu Vetar
Karakteristična vrednost, Qk Qk,es Qk,n Fk,w
Vrednost za kombinaciju, za granično stanje nosivosti,
ψ0·Qk 0.7·Qk,es 0.5·Qk,n 0.6·Fk,w
Promenljiva dejstva na stambene zgrade
• Dominantno promenljivo dejstvo: KORISNO
• Dominantno promenljivo dejstvo: SNEG
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 22
KOMBINACIJE OPTERECENJA
Promenljivo dejstvoKorisno opterećenje Sneg na krovu Vetar
Karakteristična vrednost, Qk Qk,es Qk,n Fk,w
Vrednost za kombinaciju, za granično stanje nosivosti,
ψ0·Qk 0.7·Qk,es 0.5·Qk,n 0.6·Fk,w
Promenljiva dejstva na stambene zgrade
• Dominantno promenljivo dejstvo: VETAR
• Koeficijent “povoljnog” dejstva stalnog opterećenja: γGj,inf=1,0
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 23
Odrediti potrebnu površinu armature za stub poznatih
dimenzija, pravougaonog poprečnog preseka, koji je opterećen
momentima savijanja usled stalnog (MG) i opterećenja vetrom
(Mw) . Podaci za proračun:
MG = 100 kNm
Mw = ±200 kNm
b = 25 cm
h = 65 cm
C25/30
B500B
Zadatak 20 – KOMBINOVANJE OPTEREĆENJA
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 24
a. zategnuta spoljašnja ivica stuba
MEd = 1.35×100 + 1.5×200 = 435 kNm
pretp. d1 = 7 cm
d = 65 - 7 = 58 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
657.1
42.125
10435
58
2=
××
=k
%673.48‰321.2/5.3/ 11 =⇒= ωεε sc
2
1 04.235.43
42.1
100
5825673.48 cmAs =×××=
usvojeno: 5Ø25 (24.55 cm2)
εs1<2.5‰, ali
εs1> εyd (=fyd/Es)
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 25
b. zategnuta unutrašnja ivica stuba
MEd = 1.0×(-100) + 1.5×200 = 200 kNm
pretp. d1 = 5 cm
d = 65 - 5 = 60 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
528.2
42.125
10200
60
2=
××
=k
%982.16‰18.13/5.3/ 11 =⇒= ωεε sc
2
1 31.85.43
42.1
100
6025982.16 cmAs =×××=
usvojeno: 2Ø25 (9.82 cm2)
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 26
Odrediti potrebnu površinu armature za stub poznatih
dimenzija, pravougaonog poprečnog preseka, opterećen
zadatim uticajima. Podaci za proračun:
MG = 100 kNm
NG = 500 kN
Mw = ±200 kNm
b = 25 cm
h = 65 cm
C25/30
B500 B
Zadatak 21 – KOMBINOVANJE OPTEREĆENJA
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 27
a. zategnuta spoljašnja ivica stuba
MEd = 1.35×100 + 1.5×200 = 435 kNm
NEd = 1.35×500 = 675 kN
pretp. d1 = 7 cm
d = 65 - 7 = 58 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
Ng=500
kNmMEds 1.60707.02
65.0675435 =
−×+=
‰5.2402.1
42.125
101.607
581
2<⇒=
××
= sk ε
Kako je εεεεs1 < 2.5‰, presek se OBOSTRANO ARMIRA.
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 28
( )2
2
22 8.75.43558
109.1795. cmAcmdpretp s =
×−×=⇒=
2
1 63.148.75.43
675
5.43
42.1
100
5825222.47 cmAs =+−×××=
usvojeno εεεεs1,lim = 2.5‰ ⇒⇒⇒⇒ klim = 1.672, ωωωωRd,lim= 47.222%
kNmM 2.4271042.125672.1
58 2
2
limRd, =×××
= −
kNmM 9.1792.4271.607 =−=∆
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 29
b. zategnuta unutrašnja ivica stuba
MEd = 1.0×(-100) + 1.5×200 = 200 kNm
NEd = 1.0×500 = 500 kN
pretp. d1 = 5 cm
d = 65 - 5 = 60 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
Ng=500
%646.31
‰435.5/5.3/946.1
42.125
105.337
60
1
1
2 ==
⇒=
××
=ω
εε sck
2
1 0.45.43
500
5.43
42.1
100
6025646.31 cmAs =−×××=
kNmMEds 5.33705.02
65.0500200 =
−×+=
“povoljno” dejstvo stalnog opterećenja
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 30
19.03 6.64
6.44
19.03 6.64
POTREBNO:
2
., 63.14: cmAspolja potrs =
2
., 8.70.4
8.7.max: cmAunutra potrs =
=
usvojeno: 5Ø20 (15.7 cm2)
usvojeno: 3Ø20 (9.42 cm2)
14.63 7.8
4.0
14.63 7.8
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 31
Dimenzionisati stub poznatih dimenzija, pravougaonog
poprečnog preseka, opterećen zadatim uticajima. Opterećenja
q i w su povremena i NE MORAJU delovati istovremeno.
Podaci za proračun:
MG = 100 kNm
NQ = 500 kN
Mw = ±200 kNm
b = 25 cm
h = 65 cm
C25/30
B500B
Zadatak 22 – KOMBINOVANJE OPTEREĆENJA
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 32
a. zategnuta spoljašnja ivica stuba
a.1 MINIMALNA sila pritiska
MEd = 1.35×100 + 1.5×200 = 435 kNm
NEd = 0
pretp. d1 = 7 cm ⇒ d = 65 - 7 = 58 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
657.1
42.125
10435
58
2=
××
=k
%673.48‰321.2/5.3/ 11 =⇒= ωεε sc
2
1 04.235.43
42.1
100
5825673.48 cmAs =×××=
usvojeno: 5Ø25 (24.55 cm2)
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 33
a. zategnuta spoljašnja ivica stuba
a.2 MAKSIMALNA sila pritiska
a.2.1 dominantno promenljivo – VETAR
MEd = 1.35×100 + 1.5×200 = 435 kNm
NEd = 1.5×0.7×500 = 525 kN
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
Np=500
kNmMEds 9.56807.02
65.0525435 =
−×+=
‰5.2449.1
42.125
109.568
581
2<⇒=
××
= sk ε
Kako je εεεεs1 < 2.5‰, presek se OBOSTRANO ARMIRA.
h
Nq=500
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 34
( )2
2
22 15.65.43558
107.1415. cmAcmdpretp s =
×−×=⇒=
2
1 4.1615.65.43
525
5.43
42.1
100
5825222.47 cmAs =+−×××=
usvojeno εεεεs1,lim = 2.5‰ ⇒⇒⇒⇒ klim = 1.672, ωωωωRd,lim= 47.222%
kNmM 2.4271042.125672.1
58 2
2
limRd, =×××
= −
kNmM 7.1412.4279.568 =−=∆
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 35
27.70
7.8517.74
27.70 7.85
POTREBNO:
2
., 04.2340.16
04.23.max: cmAspolja potrs =
=
2
., 15.615.6
0.max: cmAunutra potrs =
=
6.1516.40
14.63
23.04 6.15
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 36
a. zategnuta spoljašnja ivica stuba
a.2 MAKSIMALNA sila pritiska
a.2.2 dominantno promenljivo – KORISNO
MEd = 1.35×100 + 1.5×0.6×200 = 315 kNm
NEd = 1.5×500 = 750 kN
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
Np=500
kNmMEds 3.50607.02
65.0750315 =
−×+=
‰5.2536.1
42.125
103.506
581
2<⇒=
××
= sk ε
Kako je εεεεs1 < 2.5‰, presek se OBOSTRANO ARMIRA.
h
Nq=500
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 37
( )2
2
22 43.35.43558
101.795. cmAcmdpretp s =
×−×=⇒=
2
1 54.843.35.43
750
5.43
42.1
100
5825222.47 cmAs =+−×××=
usvojeno εεεεs1,lim = 2.5‰ ⇒⇒⇒⇒ klim = 1.672, ωωωωRd,lim= 47.222%
kNmM 2.4271042.125672.1
58 2
2
limRd, =×××
= −
kNmM 1.792.4273.506 =−=∆
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 38
b. zategnuta unutrašnja ivica stuba
b.1 MINIMALNA sila pritiska
MEd = 1.0×(-100) + 1.5×200 = 200 kNm
NEd = 0
(videti primer 1b)
pretp. d1 = 5 cm ⇒ d = 65 - 5 = 60 cm
C25/30 ⇒ fcd = 14.2 MPa
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
528.2
42.125
10200
60
2=
××
=k %982.16‰18.13/5.3/ 11 =⇒= ωεε sc
2
1 31.85.43
42.1
100
6025982.16 cmAs =×××=
usvojeno:
2Ø25 (9.82 cm2)
h
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 39
%391.32
‰247.5/5.3/926.1
42.125
104.344
60 1
2 ==
⇒=
××
=ω
εε sck
b =
25
d = 65
Mg=100
Mw=200
Np=500
2
1 79.35.43
525
5.43
42.1
100
6025391.32 cmAa =−×××=
kNmMEds 4.44305.02
65.0525200 =
−×+=
b. zategnuta spoljašnja ivica stuba
b.2 MAKSIMALNA sila pritiska
dominantno promenljivo – VETAR
MEd = 1.0×(-100) + 1.5×200 = 200 kNm
NEd = 1.5×0.7×500 = 525 kN
h
Nq=500
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 40
11.80
2.99
11.80
POTREBNO:
0: ., =potrsAspolja
2
., 31.879.3
31.8.max: cmAunutra potrs =
=
8.31
8.31
3.79
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 41
27.70 7.85
11.80
27.70 11.80
POTREBNO:
2
., 04.230
04.23.max: cmAspolja potrs =
=
2
., 31.831.8
15.6.max: cmAunutra potrs =
=
5Ø25 (24.55 cm2)
2Ø25 (9.82 cm2)
23.04 6.15
8.31
23.04 8.31
GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 42
MEd=1.35*100+1.5*200=435 kNmNEd = 0
⇒ As1= 24.8 cm As2= 0.3 cm2
MEd=1.35*100+1.5*200=435 kNmNEd= 1.5*0.7*800= 840 kN⇒ As1= 14.3 cm2 As2= 9.14 cm2
MEd=1.35*100+ 1.5*0.6*200=315 kNmNEd= 1.5*800= 1200 kN⇒ As1= 4.7 cm2 As2= 7.8 cm2
MEd=1.0*(-100)+1.5*200=200 kNmNEd = 0 ⇒ As2= 9.77 cm2
NQ=800 kN
MG=500 kNm
MW=±200 kNm
Zadatak 23 – KOMBINOVANJE OPTEREĆENJA
As1 As2