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Institute de Technologie du Cambodge
Formation de Physique pour d’ingénieurCourse: Vibration Mécanique
Date: 29 août -03 septembre 2016Salle: F-106
1. Rappel système de coordonnées
1.1. Définition: Coordonnées cartésiennes
1. Rappel système de coordonnées
1.1. Définition: Coordonnées cylindrique
1. Rappel système de coordonnées 1.1. Définition: Coordonnées sphérique
1. Rappel système de coordonnées 1.2. Vecteur unitaire
��𝒙
��𝒚
��𝒛
��𝝆
��𝝓
��𝒛
��𝝓
��𝜽��𝒓
1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume
x y zdOP dxu dyu dzu
. . .ds dx dy dx dz dy dz d dxdydz
zdOP d u d u dzu
. . .ds d d d dz d dz . .d d d dz
1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume
sinrdOP dru rd u r d u
2 sin . . .d r dr d d
2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d
1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume
sinrdOP dru rd u r d u
2 sin . . .d r dr d d
2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d
2. Éléments cinétiques des système matériels 2.1 Masse d'un système matériel
• Distribution discontinue de masse: • Distribution continue de masse:
i. Distribution volumique de masse: ii. Distribution surfacique de masse: iii. Distribution linéique de masse:
2.2 Centre de masse d'un système matériel• Définition de centre de masse:
i. Distribution discontinue de masse: ii. Distribution continue de masse :
3. Moment d’inertie 3.1 Définition
• Moment d’inertie de masse par rapport à l’axe : • Moment d’inertie d’un système discontinue de masse , par rapport à
l’axe : • Moment d’inertie d’un système continue de masse , par rapport à l’axe
:
)
𝑟
3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie
22
22 2 2
2 2 2
0A
; OA ; ( ) ( ) ( )
2 2 2
e [c:
.
]v
i
xx yy zz xy xz yz O
xx xy xz
xy yy yz
xz yz
I r dm u OA dm
xu y u OA z y z x x y
z
I I I I I I I u I u
I I I
I I I I
I I
:
zzI
)
0Nous obtenons: .[ ] I u I u
3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie
𝑟
0
2 2
2 2
[ ] : ' '
( ) : le moment d'inertie par rapport à axe (Ox)
( ) : le moment d'in
Avec
ertie p
:
ar rapport
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
xx
yy
I I I
I I I I Matrice d inertie ou opérateur d inertie
I I I
I y z dm
I x z dm
2 2
à axe (Oy)
= ( ) : le moment d'inertie par rapport à (Oz)
, , : le produit d'inertie
zz
xy xz yz
I x y dm
I xydm I xzdm I yzdm
13
La matrice d’inertie dépend de l’origrne des axes du triedre choisi. Etudions l’influence d’une translation des axes de triedre initial Oxyz et le nouveau triedre O’x’y’z’ . En désignant par a, b, c les cordonnées de O’
3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner
' ' '
' ' '
' ' '
2 2' '
On pose : ; ' et OO' OO' '
.( ) 2 ' 2xx x x
x x a x x ax aOA y O A y b OA O A y b y y b
z cz z c z z c
I I M b c b y dm c
' '
2 2' ' ' '
2 2' ' ' '
' . ' '
.( ) 2 ' 2 ' et . ' '
.( ) 2 ' 2 ' . ' '
xy x y
yy y y xz x z
zz z z yz y z
z dm I I M ab a y dm b x dm
I I M a c a x dm c z dm I I M ac a z dm c x dm
I I M a b a x dm b y dm I I M bc b z dm c y dm
14
2 2' ' ' '
2 2' ' ' '
2 2' '
' 0
Si ' ' , d'autre part: 0 ' 0
' 0
.( ) .
.( ) et .
.( )
C
C
C
xx x x xy x y C C
yy y y xz x z
zz z z
x dmx aO C OO OC y b CAdm y dm
z c z dm
I I M b c I I M x y
I I M a c I I M x
I I M a b
' ' .C C
yz y z C C
zI I M y z
3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner
15
Le moment d'inertie d'un solide par rapport à une droite est égal à la somme du moment d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide concentrée au centre de masse C (Md2)et du moment d'inertie du solide par rapport à la droite parallèle passant par C (IC).
2 CI I md
2 2Par exemple: .( )xx Cx C CI I m y z
3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner
16
4. Quantité de mouvement• Pour un point matériel: la quantité mouvement du point A par
rapport à référentiel s’écrit:
/AP m
v• Pour un système matériel: la quantité mouvement d’un système
par rapport à référentiel s’écrit :
i ii
P m
v
( ) AmP dm
v
i. Système de masse discontinue
ii. Système de masse continue
( ) ( ) ( )( )A m Cm m
dOA d ddm P dm OAdm mOC mdt dt d
Pt
v v
17
5. Moment cinétique • Pour un point matériel: le moment cinétique en point O de
du point A s’écrit:
/O AOA m v
• Pour un système matériel: le moment cinétique en point O de d’un système matériel s’écrit :
O i i ii
OA m v
( )O AmOA dm
vii. Système de masse continue
i. Système de masse discontinue
18
• Si O’ est un autre point fixe de , on a une relation simple entre les moments cinétiques en O et O’
( ) ( )
( ) ( )
' '( )
' '
' '
'
' '
'
' '
v v
v v
v
v
O m m
m m
O
O C
O
O O
m
OA dm OO O A dm
OO dm O A dm
OO dm OO P
OO P OO M
Si O’ C
O C COC M v
5. Moment cinétique
19
6.1 Définition: Le référentiel du centre de masse associé à * est le référentiel en translation par rapport à et tel que:
***
**/
* *
0
0 0
ASRR
dCA dP P v dm dm CAdmdt dt
P
CComme v
Le centre de masse C est fixe dans *
6. Référentiel du centre de masse
6.2 Quantité dans * :
20
*
*
* * *
*
*
*
( ) ( ( ))
( )
( )
( ) ( ( ))
( )
,
C A A C
A C
C A
C A A C
A C
CA dm CA dm
CA dm CAdm
CA dm
CA dm CA dm
CA dm CAdm
car CA
C
Dans : v v +v
v v
Dans : v
Dans : v v +v
v v
* *
0
C A
dm
CA dm
C (m)Donc: = v
6. Référentiel du centre de masse
6.3 Moment cinétique dans *
21
*/
O A
A A
OA dm
OA OC CA
(m)
C
v
Avec: v = v + v et
*
(
* *
( ( ( (
*
*
( ) ( )
: ,
O A Cm
A C Am m m m
C
O C
OC CA dm
OC dm OC dm CA dm CAdm
OC m
Donc OC m car
)
C) ) ) )
C
C C C
v v
v v v v
v
v
6. Référentiel du centre de masse
6.4 Théorème de Koenig
22
7. Moment cinétique d’un solide en rotation
( )(m)
v O OA dm
Pour mouvement rotation:
C C
O OI
I
v OA
8. Torseur dynamique
• Torseur dynamique est défini par :
( )
( )
:
:
)
Cv
O v
m
OA
D ad a résultante dynamique (quantité d'accélération)
N a d momnent de la résultante dynamique
(moment de la quantité d'accélération
23
OO
D
N
D
9. Torseur cinétique • Torseur cinétique est défini par :
( )
( )
:Cv
O v
OO
P
m
OA
Ap v d v Résultante cinétique
v d : Moment cinétique
P
24
10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique
( ) ( )( (C O
C A Av vm m OA OA
t t t t
dv ddP da v et )d a )d
d d d d
O OO Ot t t
d PddPD et N Dd d d
ou
25
• En le point O est fixe dans R
• En le point O’ est mobile dans R
''( ) ( ) ( )
' ' ( )
(OA A A O Av v v
O O Av
t tm
d d O'A v )d O'A a d v v v dd d
N v v d
10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique
26
• En le point O’ est mobile dans R
''( ) ( ) ( )
' ' ( )
(OA A A O Av v v
O O Av
t tm
d d O'A v )d O'A a d v v v dd d
N v v d
'' '
ddPD et N v Pd d
OO Ot t
i) Si O’ C :d
Nd
CC t
ii) Si O’ est fixe : ''
dN
dO
O t
11. Principe Fondamental de la Dynamique
• Enoncée: Le mouvement d’un système matériel (S) par rapport à un référentiel satisfait à l’équation torsorielle:
Oex O
Ft
d P
d
27
,
,
:
:
:
ex
ex OO ex
ex
O ex
FF
M
F
M
la torseur force des forcesextérieur
la résultante des forces extérieur
le momenten Odes forces extérieur
Cas de O’ C ,
,O
ex O exFt t
ddP et Md d
, ','
'','
OO ex O ex exO
OO exO
Ft t
t
d dM OO' P M OO'd d
dv P M
d
,d
v P 0 Md
CC exC t
28
12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.1Théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique:
Si autre point O’ est mobile dans , il vient:
Soit:
29
12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.2 Théorèmes de la somme dynamique et du moment dynamique :
,ex O exex C OOF m F
D a et N M
',' O ex exO F
N +OO' D M +OO'
',' O ex exO F
N M puisque D
En un point quelconque, mobile ou non, le moment dynamique est égal au moment des forces extérieur.
,
,
:
:
Pour le point
Pour le point
dω M N
d
dω M
d
OO exO OO O
CC exC C C
I It
I It
O
C
30
12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.3 Cas particulaire d’un solide est en rotation
31
13. Energie cinétique13.1 Définition
L’énergie cinétique d’un system matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère fixe R est défini par:
13.2 Théoreme Koënig à l’énergie cinétique
ù
2
O est l'énrgie cinétique de dans le référentiel du centre de masse
12
c
C c
d
cE m
E
v E
S
32
14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Travail et puissance d’une force
33
14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Théorème de l’énergie cinétique
• : Puissance fournie au système par les forces intérieures ; • : puissance fournie au système par les forces extérieures.
2
2
0
02
0
1Si
1 1 1 E (v ) d v OA d OA v d 2 2
E = .
21 =
1= .
22
2
S S c
Ac A S S Av v v
U
S
ssu u II u
34
15. Energie cinétique d’un solide indéformable
15.1 Cas de solide (S) a un point fixe O dans
Dans le référentiel du centre de masse, l’énergie cinétique s’écrit:
2
2
1 1 1 E = v + = P v
1 1 1 1 E v d v CA d
2
CA v d2 2 2 2
Comme
2 2
Ac A S S A C
c C C S C
Sv v v
C
S
C
CM
35
15. Energie cinétique d’un solide indéformable
15.2 Cas de solide (S) n’a pas un point fixe dans
• Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de coordonnées qui représentent la position de m moins le nombre de liaisons• Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée coordonnée généralisée• Considérons le cas particulier d’une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, surune courbe plane contenue dans le plan xOy.
- Soit la résultante de toutes les forces agissant sur la particule. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
- Soitle travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal :
36
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
- Le déplacement infinitésimal peut s’écrire en fonction de la variation q de la coordonnée généralisée q :
- Dans ce cas le travail peut se mettre la forme :- q-composante de la force:
- En tenant compte de la relation fondamentale de la dynamique, cette expression peut également s’écrire : -
37
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
38
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
39
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
40
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
41
16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule
42
16. Méthode de Lagrange 16.2 Cas des systèmes conservatifs
43
16. Méthode de Lagrange 16.2 Cas des systèmes conservatifs
44
16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
• Equation de Lagrange
45
16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
• Fonction dissipation
46
16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
• Fonction dissipation
47
16. Méthode de Lagrange 16.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps
48
16. Méthode de Lagrange 16.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps
49
16. Méthode de Lagrange 16.5 Système à plusieurs degrés de liberté
50
17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté• Systèmes à un seul degré de liberté
• Systèmes à deux degré de liberté
51
17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté
• Systèmes à trois degré de liberté
52
17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté
• Systèmes à multi degré de liberté
53
17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté
En général, un système vibrant est constitué :• élément de ressort: stocker l'énergie potentielle, • élément de masse ou de l'inertie: stocker l'énergie cinétique, et • élément d’amortissement: l'énergie est peu à peu perdu,
54
17. Oscillations libres17.2 Elémentaires de système de vibration
55
• équivalente raideur de ressort
17. Oscillations libres17.3 élément de ressort
56
• équivalente masse-exemple:
322 1 3 1
1 1
llx = x and x = xl l
eq 1x = x
2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 3 3 eq eq2 2 2 2m x m x m x m x
2 232
eq 1 2 31 1
llm m m ml l
17. Oscillations libres17.4 élément de de masse
57
• L'amortissement visqueux:Sur la base de fluide visqueux s'écoulant à travers l'orifice ou fente. La force d'amortissement vitesse relative entre les extrémités
• Coulomb (frottement sec) d'amortissement:
Basé sur le frottement entre les surfaces non lubrifiéesLa force d'amortissement est constante et opposée à la direction de déplacement
17. Oscillations libres17.5 élément d’amortissement
58
L'équation différentielle de mouvement est :
20 0x x
0 00
2 est la ,et T la pulsation propre période propre
Solution générale : cos( )x A t
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système translation
Une masse fixée à l'extrémité de l'arbre est un système simple torsion. La masse de l'arbre est considéré comme faible par rapport à la masse du disque et est donc négligée.
59
Le couple qui produit torsion est donnée par :Mt= kt , kt est raideur de torsion Par le théorème du moment cinétique:
0G tI k
0 0 00
0
cos( ) sin( ) ,solution: (t)=
avec t
G
t t
kI
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système torsion
60
• L'équation différentielle du mouvement:
La force d'amortissement visqueux est proportionnelle à la vitesse de de la masse et
agissant dans le direction opposée à la vitesse de la masse et peut être exprimé comme
où c est la constante d'amortissement ou le coefficient d'amortissement visqueux
L'équation différentielle du mouvement:
2 20 02 0 , avec = et
2c kx x xm m
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux
𝑇𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒{ 𝜆= 𝑐2𝑚
[ 𝑠− 1 ] :𝐹𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑′ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑚𝑒𝑛𝑡 .
ξ= 𝜆𝜔0
(𝑠𝑎𝑛𝑠𝑢𝑛𝑖𝑡 ) :𝑅𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 𝑑 ′𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
61
• Solutions générale 20
2 20
2 20
2 0
L'équation caractéristique: 2 0
'=
x x x
r r
0
2 2 20
(i) si ' < 0 < (0 1) : faiblement amorti
Poson La solution s'écrit:
( ) cos( )
ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )
t
t
x t ae t
x t e t B t
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux
62
1 2
0
1 2 0
1 2
0
2 20
1 2
(ii) si ' 0 ( 1) : amortissement critique
La solution s'écrit: ( ) (C +C t)
(iii) si ' > 0 > ( >1): fortement amorti
Posons
La solution s'écrit: ( )
t
r t r
r r
x t e
x t C e C e
2 2 2 20 0
1 2t tt te C e C e
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux
• Solutions générale
63
17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux
• Graph
n
2
d
2
Overdamped ( 1) Underdamped ( 1)
Underdamped ( 0 )
Criticallydamped ( 1)
• Décrément logarithmiqueDéfinition : C’est le logarithme du rapport de 2 amplitudes successives des oscillations amorties.
64
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10
t1t2
x1
x2
d
17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux
Décrément logarithmique
65
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10
t1 t2
x1
x2
d
1
2
1
1
t0 11
2 1 1t2 0 2
2 1 1t
1t
2
1
2
X e cos( t )x 2, Laisser t t tx X e cos( t )
cos( t ) cos( 2 t ) cos( t )
x eet ex e
xlnx
66
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Time [s]
Am
plitu
de [m
]
x1
x2
Xm+1
j3 m1 1 2
m 1 2 3 4 m 1 j 1
m m1 1
m 1 m 1
xx xx x x .... , mais ex x x x x x
x x1e e , Donc: lnx m x
Exemple(4)
67
Trouver la réponse du système représenté à la droite si le bloc est tiré vers le bas par 15 cm etreste sous forme libérée
Ré.:
Vibration libres amorties avec amortissement Coulomb
68
Case 1. Case 2.
69
70
71
72
73
82
Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)
La constante de temps
Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que
La pseudo-période
Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′
ou
83
Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)
La constante de temps
Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que
La pseudo-période
Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′
ou
Graphique
84
Aspects énergétiques
85
Il va y avoir obligatoirement par la présence de la force de frottement qui est une force à travail non conservatif et résistant, une diminution de l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique amorti. Pour étudier cela, nous allons nous limiter à l'étude du cas où nous avons des oscillations donc au régime pseudo-périodique. Dans ce cas nous avons vu que l'élongation et la vitesse ont les expressions suivantes en fonction du temps :
Nous allons en déduire les expressions respectives en fonction du temps de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie mécanique.
Energie cinétique
86
Cas d'un amortissement très faible
87
Lorsque l'action de la force de frottement est très faible, nous
savons que λ ω≪ 0 donc que Il s'en suit que T′ T≃ 0 et ω′ ω≃ 0. Nous pouvons donc recalculer l'énergie mécanique de l'oscillateur dans cette situation en simplifiant son expression en tenant compte de l'amortissement très faible.
88
89
L'oscillateur harmonique en régime forcé
90
Ceci rend très important l'étude de l'excitation sinusoïdale,la force dans ce cas, prend la forme suivante :
Equation du mouvement :
L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)
91
Résolution de l'équation différentielle
x(t) = xH(t) + xP (t)• xH(t) : la solution générale de l'équation différentielle sans second membre (appelée aussi équation homogène), et une deuxième xP (t), qui est une solution particulière de l'équation complète.• xH(t) = e-t ×(C.sin(’t)+D.cos(’t)): régime transitoire xP (t)= A.cos( t +) : régime forcé ou régime permanent
L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)
92
Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes
Nous pouvons montrer en mathématiques que si une solution xP (t) en cosinus, comme celle qui est écrite précédemment, est une solution particulière de l'équation différentielle d'intérêt alors une solution en Asin(Ωt + ϕ) est aussi une solution particulière possible de l'équation différentielle avec un second membre changé en F/msin(Ωt). Donc un nombre complexe, de la forme suivante A×(cos(Ωt+ϕ)+i sin(Ωt+ϕ)), sera lui solution de l'équation différentielle suivante :
L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)
93
Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes
Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude
94
Nous avons :
Pour que cette dérivée soit nulle, il sut donc que:
2 2 2 2 20
0
ou 2 0 2 r
(pulsation de résonance)
Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude
95
Nous l'appellerons la condition de résonance en amplitude.
00 2r
Si nous définissons cette grandeur en fonction de Q et ω0, nous obtenons
La condition de résonance devient
avec on appelle le facteur de qualité
Notion de résonance en amplitude du mouvement
Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude
96
Caractérisation physique de la résonance en amplitudeNous pouvons maintenant calculer la valeur de l'amplitude lorsque la pulsation de l'excitateur est effectivement égale à la pulsation de résonance:
Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude
97
Caractérisation physique de la résonance en amplitude (suite)Ensuite, en sortant de la racine 2λ, nous obtenons
98
Résonance en vitesse
99
Détermination de la vitesse
Nous allons aussi calculer la vitesse de l'oscillateur en régime forcé. A partir de l'expression complexe de l'amplitude xP(t), il est très simple de calculer une expression complexe de la vitesse, en effet nous avons obtenu :
Résonance en vitesse
100
Détermination de la vitesse (suite)
Résonance en vitesse
101
Phénomène de résonance en vitesse
L'amplitude maximale de la vitesse obtenue à la résonance est :
Impédance mécanique
102
Sous l'effet d'une cause excitatrice, la force excitatrice, l'effet produit est le mouvement de l'oscillateur à la vitesse V P (t), nous appelons impédance mécanique d'un oscillateur, le rapport cause sur effet, donc le rapport de l'amplitude complexe de la force excitatrice
Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique
103
Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateur
La puissance instantanée absorbée par l'oscillateur et fournie par l'excitateur est donc :
Nous pouvons obtenir l'expression de cette puissance instantanée en remplaçant Fexc(t) par
Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique
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Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateurNous calculons alors la moyenne de P(t) sur une période T de l'excitateur :
Bilan énergétique
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Nous pouvons étudier différemment cet aspect en passant par le théorème de l'énergie cinétique :
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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.1 Oscillateur linéaire
Un système oscillant à un degré de liberté est habituellement repéré à l’aide d’une coordonnéegénéralisée q qui est l’écart par rapport à la position d’équilibre stable. Le mouvement vibratoireest dit linéaire s’il est régi par une équation différentielle harmonique de la forme :
Cette équation est appelée équation différentielle de l’oscillateur harmonique simple.
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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.2 Energie cinétique
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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.3 Energie potentielle