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Vitor Bastos de Moraes
Engenharia Mecânica
Equação do Calor
RESUMO
O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas cilíndricas oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.
Palavras-chave: calor, Bessel, Laplaciano, cilindro.
INTRODUÇÃO
Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas, matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas. D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.
Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em
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1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.
Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.
APLICAÇÃO
Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, e é escrita:
A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios. É aplicada em matemática financeira por esta razão.
É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.
LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES
Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por
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Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a obtenção da solução.
As coordenadas polares são dadas por
Ou ainda
Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter
Derivando-se novamente
Utilizando novamente a regra da cadeia
Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz
Logo, podemos escrever uxx como
Analogamente se obtém uyy como
Segundo a definição do Laplaciano
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Agora basta resolver as derivadas
Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a
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LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas para as cilíndricas é dada por
Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas fica como
FUNÇÕES DE BESSEL
Equação diferencial de Bessel
As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial
n≥0 (1)
chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por
(2)
A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função de Neumann.
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Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação resultante é
(3)
com solução geral
(4)
A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).
O Método de Frobenius
Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma
(5)
Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se supõe diferente de zero.
Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β (constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar as constantes ck.
Funções de Bessel de primeira espécie
Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como
(6)
Ou
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(7)
onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna
(8)
A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, J n(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J -n(x) n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que
(9)
Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução geral de (1) é
n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)
Funções de Bessel de segunda espécie
Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como
n ≠0,1,2,3,...
(11)
n =0,1,2,3,...
Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):
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(12)
onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.
(13)
Função Geratriz de Jn(x)
A função
(12)
é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.
Fórmulas de Recorrência
Os resultados abaixo valem para todo n:
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Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.
As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo Jn(x).
Funções relacionadas com as funções de Bessel
As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por
(15)
Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem n como
(16)
Se n é inteiro,
(17)
mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.
A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como
n ≠0,1,2,3,... (18)
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n =0,1,2,3,...
Essas funções verificam a equação diferencial
(19)
e a solução geral desta equação é
(20)
ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,
(21)
Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real
e imaginária de , onde
(22)
As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de
, onde
(23)
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Essas funções são úteis em relação à equação
(24)
que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação é
(25)
Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x), Kei (x), respectivamente.
Equações transformáveis na equação de Bessel
A equação:
(26)
onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral
(27)
onde . Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como solução
(28)
Fórmulas assintóticas para funções de Bessel
Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:
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(29)
Zeros das funções de Bessel
Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de J n(x) = 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações análogas valem para Yn(x).
Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie
Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que
(30)
enquanto que
(31)
De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação
(32)
onde R e S são constantes, então
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(33)
o que equivale afirmar que as funções e são ortogonais em (0,1). Notes-se
como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0.
Pode-se dizer também que as funções e são ortogonais em relação à função
densidade (função peso) x.
Séries de funções de Bessel de primeira espécie
Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1 existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma
(34)
onde , , , , , ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e
(35)
Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para
, expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de
(34).
Se S = 0, de modo que , , , , , ... são as raízes de Jn(x) = 0,
(36)
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Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante
(37)
Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.
Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie
Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.
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PROBLEMA PROPOSTO
Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno e raio externo ,é feito com material
condutor com difusividade . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à temperatura
de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é (sendo o raio). Determine a
temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário .
A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função
Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor, o que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo entre os
raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto .
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SOLUÇÃO
Denotemos por a função que determina a temperatura inicial de um ponto
qualquer no instante inicial dentro de . Pela simetria do problema, observa-se
que a temperatura jamais varia com as variáveis ou .
Utilizando a equação do Calor
Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias
Onde as condições de contorno são
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Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante arbitrário pode ser escrita como uma combinação de
Onde é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do
cilindro são 0 C, e é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100 C e independe do tempo t.
Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para homogênea associada.
Pela separação de variáveis
Façamos , em (1)
Então
Que resultam em
Como
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Aplicando-se as condições de contorno para em que ,
obtem-se
Estas equações nos levam à
De (5)
Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:
e
Do fato, de que e utilizando a eq. (7):
Logo, a solução é
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Quanto à solução particular , tem-se a equação
Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as
derivadas são apenas com respeito a . Com isso
Como , tem-se como solução
Aplicando-se as condições de contorno para em que e
Ou que
E a segunda condição
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Portanto
Com as constantes determinadas, pode-se escrever
Para escrever a solução final basta lembrar que
Ou seja, a solução final do problema proposto é
É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para qualquer
instante de tempo . O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a
distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja
Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando dessa forma a irreversibilidade desse processo.
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Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o gráfico foi
traçado com raios interno e externo e o eixo significa .
CONCLUSÃO
Conforme analisado nesta obra, a equação do calor é de suma importância para a Física e a Engenharia. Visto que é ferramenta para solucionar inúmeros problemas.Neste artigo foi exposta a teoria que embasa,a referida equação,como também um exemplo prático.
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AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.
REFERÊNCIAS
1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976
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2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.
3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.
4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.
5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010