Download - W1 Linear Programming-2012
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pendahuluan untuk Pemrograman Linier(Formulasi dan klasifikasi kelas masalah)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Minggu ke-1: 3 September 2012
Materi Kuliah Pemrograman Linear
Semester Ganjil 2012-2013
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Pemrograman Linier
DefinitionPemrograman Linier merupakan suatu teknik penyelesaian masalahoptimisasi (meminimumkan atau memaksimumkan) suatu fungsilinier yang juga memenuhi suatu himpunan persamaan linier danatau kendala pertidaksamaan atau batasan.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Sejarah perkembangan ilmu Pemrograman Linier
1 Goerge B. Dantzig sekitar tahun 1947 ketika ia bekerjasebagai penasehat matematika pada United States Air ForceComptroller untuk mengembangkan suatu alat perencanaanmekanis untuk program persediaan logisstik, pelatihan dandeployment time-staged.
2 Meskipun matematikawan dan ekonom Soviet, L.VKontorovich merumuskan dan menyelesaikan suatu masalahsejenis dalam hal organisasi dan perencanaan pada tahun1939, pekerjaan ini tidak diketahui sampai tahun 1959.
3 Dengan demikian konsepsi dari general class of linearprogramming problems dinyatakan sebagai kontribusi dariDantzig.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Terminologi Pemrograman Linier dan Metode Simplex
1 Sejarah istilah Programs. Karena Air Force USA menyebutberbagai rencana dan jadwal dengan istilah Programs, makaartikel pertama dari Dantzig yang dipublikasikan untukmasalah perencanaan dan penjadwalan ini berjudulProgramming in a Linear Structure.
2 Terminologi Linear Programming sebenarnya dinyatakanpertama kali oleh seorang ekonom dan matematikawn T.CKoopmans pada tahun 1948.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Metode Simplex
1 Tahun 1949 George B Dantzig mempublikasikan MetodeSimplex untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier.
2 Setelah dipublikasikannya Metode Simplex berbagaiterdapat kontribusi untuk bidang Pemrograman Linier dalamberbagai cara, termasuk pengembangan secara teoritis, aspekkomputasi, dan eksplorasi dari berbagai aplikasi baru.
3 Metode Simplex untuk Pemrograman Linear dapat diterimakarena
1 Kemampuannya untuk memodelkan masalah-masalahpengambilan keputusan manajemen yang kompleks danpenting.
2 Kapabilitasnya untuk menghasilkan solusi dalam waktu yangcukup beralasan.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Bentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Masalah PL secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk skalar yangdinyatakan dengan menggunakan tanda penjumlahan sebagai berikut.
min
nj=1
cjxj
s.t
nj=1
aijxj bi, i = 1, 2, . . . ,m, (1)
xj 0, j = 1, . . . , n,dimana
Fungsi objektif yang akan diminimumkan z =n
j=1 cjxj .
Koefisien cj ,j = 1, . . . , n dikenal sebagai koefisien biaya.Variabel keputusan (variables, variabel struktur, atau level aktivitas)yang akan ditentukan adalah xj untuk j = 1, . . . , n
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Bentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Pertidaksamaan
nj=1
aijxj bi, i = 1, 2, . . . ,m
merupakan fungsi kendala ke-i (atau batasan, fungsional, strukturalatau kendala teknologi). Koefisien aij , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , ndisebut koefisien teknologi yang membentuk matriks kendala A
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
. (2)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Bentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Vektor kolom dengan komponen ke-i, bi, disebut vektor ruas kananyang merepresentasikan batas yang diperlukan untuk dicapai.
Kendala xj 0, j = 1, . . . , n disebut dengan kendala nonnegatif.Himpunan variabel x1, . . . , xn yang memenuhi semua kendaladisebut titik atau vektor fisibel. Himpunan seluruh titik fisibelmembentuk daerah fisibel atau ruang fisible.
Dengan menggunakan terminologi-terminologi ini, maka PemgrogamanLinier dapat dinyatakan dengan statement berikut: dari seluruh vektoryang fisibel, tentukan satu variabel yang dapat meminimumkanatau memaksimumkan fungsi objektif.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Asumsi-asumsi Masalah Pemrograman Linier
Untuk merepresentasikan masalah optimisasi sebagai suatu pemrogramanlinier, beberapa asumsi yang harus dinyatakan secara eksplisit adalah
1 Proporsionalitas. Variabel xj memberikan kontribusi yangproporsional terhadap fungsi biaya dan fungsi kendala sebesar cjxjdan aijxj .
2 Aditivas. Asumsi ini menjamin bahwa biaya total adalah jumlahdari penjumlahan unit biaya dan total kontribusinya terhadapkendala ke-i adalah jumlah unit kontribusi dari setiap aktivitas.
3 Divisibilitas. Variabel keputusan dapat dinyatakan dalam fraksionalsehingga nilai yang noninteger diijinkan.
4 Deterministik. Koefisien cj , aij , bj diketahui secara deterministik.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Bentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Dalam bentuk matriks:
min cTx
s.t Ax b (3)x 0
dimana
x =
x1x2...xn
, b =b1b2...bm
, c =c1c2...cn
, A =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
...am1 am2 . . . amn
(4)
dan tanda superscript T digunakan untuk mengindikasikantranspose dari vektor kolom c.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Karakteristik dari Masalah Pemrograman Linier
Dalam bentuk standar PL, maka dapat dikarakterisasi bahwa masalah PLmemenuhi kondisi:
1 Fungsi objektif merupakan fungsi minimisasi.
2 Semua fungsi kendala merupakan fungsi kesamaan dengan tanda(=).
3 Semua variabel keputusan bernilai nonnegatif.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Transformasi Fungsi Objektif sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL
Memaksimumkan fungsi f ekivalen dengan meminimumkan negatifdari fungsi f .
max f = min(f). (5)Seperti terlihat pada gambar berikut.
Maka fungsi objektif dapat dinyatakan dalam bentuk meminimumkan
untuk sebarang masalah PL.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Transformasi Variabel sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL
Dalam sebagian besar masalah optimisasi engineering, variabelkeputusan mewakili suatu dimensi fisis, dengan demikian variabel xjharuslah nonnegatif. Namun, suatu variabel mungkin saja tidakdibatasi dengan tanda. Dalam kasus ini, suatu variabel tanpa tanda(mungkin positif, negatif atau nol) dapat ditulis sebagai selisih daridua variabel nonnegatif. Dengan demikian, jika xj tidak dibatasioleh tanda maka
xj = xj xj (6)
dimana xj , xj 0. Hal ini menunjukkan bahwa xj dapat bernilaipositif, negatif atau nol bergantung pada xj apakah lebih besar,lebih kecil atau sama dengan xj .
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Transformasi Fungsi Kendala sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL
Jika fungsi kendala muncul dalam bentuk ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn bk (7)
maka bentuk ini dapat diubah kedalam bentuk kesamaan =dengan menambahkan variabel slack yang bernilai nonnegatif yk.
ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn + yk = bk. (8)
Demikian pula dengan fungsi kendala dengan tanda ,ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn bk (9)
dapat diubah kedalam bentuk kesamaan = dengan mengurangkanvariabel surplus sk.
ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn sk = bk. (10)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Asumsi dimensi dari Masalah PL
Dalam PL dapat dilihat bahwa terdapat m persamaan dan n buahvariabel keputusan. Maka untuk masalah PL diasumsikan bahwam < n. Hal ini disebabkan oleh fakta berikut.
Jika m n, maka akan terdapat m n kelebihan persamaan yangharus dieliminasi.
Jika m n maka dalam kasus ini, tidak ada hal yang menarikkarena hanya ada satu solusi tunggal yang memenuhi masalah PL(1) (dalam kasus ini mungkin tidak ada masalah yang harusdioptimisasi) atau tidak ada solusi, bila fungsi kendala tidakkonsisten.
Jika m < n, ini berhubungan dengan sebuah sistem persamaanlinier (SPL) yang belum ditentukan, dimana jika SPL ini memilikisatu solusi, maka SPL inipun memiliki sejumlah takhinggabanyaknya solusi. Dan masalah PL adalah menentukan satu solusidari solusi-solusi ini yang memenuhi (1) dan meminimumkan f .
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Bentuk Standar dan Kanonik dari Masalah PL
Bentuk Standar PL:
min cTx
s.t Ax = b (11)
x 0.
Bentuk Kanonik
min cTx
s.t Ax b (12)x 0.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Pemodelan dan analisis dari suatu masalah Riset Operasi secara umumdan juga pada masalah Pemrograman Linier secara khusus melibatkanbeberapa tahapan yang harus dilalui, antara lain:
Formulasi masalah melibatkan
1 study lanjut mengenai sistem2 pengumpulan data3 dan identifikasi masalah yang perlu dianalisis bersamaan
dengan kendala sistem, restriksi atau limitasi dan fungsiobjektif.
Konstruksi dari abstraksi atau idealisasi dari masalah melaluipemodelan matematika.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Pencarian solusi.
Pengujian model, analisis dan restrukturisasi.
Implementasi, yaitu model dibuat untuk secara iteratif membantupenentuan proses pengambilan keputusan.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Pemrograman Linier
Perhatikan masalah berikut ini.
max f = 2x1 x2 + 5x3s.t x1 2x2 + x3 8
3x1 2x2 182x1 + x2 2x3 4x3 0.
Nyatakan masalah ini dalam bentuk standar pemrograman linier.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Pemrograman Linier
Perhatikan, karena x1 dan x2 tidak ditentukan tandanya, maka tulis
x1 = x+1 x21
x2 = x+2 x22
dimana x+1 , x21, x
+2 , x
22 0, Sehingga masalah menjadi
max f = 2(x+1 x21) (x+2 x22) + 5x3s.t (x+1 x21) 2(x+2 x22) + x3 8
3(x+1 x21) 2(x+2 x22) 182(x+1 x21) + (x+2 x22) 2x3 4x+1 , x
21, x
+2 , x
22, x3 0.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Pemrograman Linier
Untuk menyatakannya dalam bentuk standar, maka fungsi objektif akandinyatakan dalam minimisasi, fungsi kendala dengan tanda akanditambahi dengan slack variabel yi dan fungsi kendala dengan tanda akan dikurangi dengan surplus variabel si, sehingga masalah dapat ditulismenjadi masalah berikut.
min f = 2(x+1 x21) + (x+2 x22) 5x3s.t (x+1 x21) 2(x+2 x22) + x3 + y1 = 8
3(x+1 x21) 2(x+2 x22) s1 = 182(x+1 x21) + (x+2 x22) 2x3 + y2 = 4x+1 , x
21, x
+2 , x
22, x3 0
y1, s1, y2 0.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Masalah Produksi Kilang Minyak
Sebuah kilang minyak memiliki dua sumber minyak mentah yaitu minyakmentah ringan dengan harga 35 dollar per barel dan minyak mentahberat dengan harga 30 dollar per barel. Kilang minyak ini memproduksigasoline, heating oil (minyak pemanas) dan bahan bakar jet dari minyakmentah dalam jumlah per barel yang disajikan dalam tabel berikut.
Gasoline Heating Oil Jet Fuel
Light crude 0.3 0.2 0.3
Heavy crude 0.3 0.4 0.2
Kilang minyak ini menandatangani kontrak untuk menyediakan 900,000
barel gasoline, 800,000 barel heating oil dan 500,000 jet fuel. Kilang
minyak ini akan menentukan berapa jumlah light dan heavy crude yang
harus dibeli sedemikian sehingga akan meminimumkan biaya.
Formulasikan masalah ini sebagai masalah pemrograman linier.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Langkah Pemodelan Masalah Pemrograman Linier
Tentukan variabel keputusan:
1 x1 = jumlah light crude.2 x2 = jumlah heavy crude.
Tentukan fungsi tujuan. Dalam masalah ini tujuan kita adalahuntuk meminimumkan biaya pembelian light crude dan heavy crude,sehingga dapat diformulasikan sebagai berikut.
f(x1, x2) = 35x1 + 30x2. (13)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Langkah Pemodelan Masalah Pemrograman Linier
Fungsi kendala untuk masalah ini adalah fungsi-fungsi yangdibentuk dari batasan yang diberikan dari kondisi yang ada padakomposisi produk yang akan dibuat yaitu:
1 Untuk produksi gasoline:
0.3x1 + 0.3x2 900.000 (14)2 Untuk produksi heating oil:
0.2x1 + 0.4x2 800.000 (15)3 Untuk produksi jet fuel:
0.3x1 + 0.2x2 500.000. (16)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier
Sehingga model PL untuk masalah diatas dapat ditulis secara lengkapsebagai berikut:
min f(x1, x2) = 35x1 + 30x2
s.t 0.3x1 + 0.3x2 900.0000.2x1 + 0.4x2 800.0000.3x1 + 0.2x2 500.000x1, x2 0.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier dalam bentuk Standar
min f(x1, x2) = 35x1 + 30x2
s.t 0.3x1 + 0.3x2 + y1 = 900.000
0.2x1 + 0.4x2 + y2 = 800.000
0.3x1 + 0.2x2 + y3 = 500.000
x1, x2 0.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier dalam Bentuk Standar Matriks
min
3530000
T
x1x2y1y2y3
s.t
0.3 0.3 1 0 0
0.2 0.4 0 1 0
0.3 0.3 0 0 1
x1x2y1y2y3
=900.000
800.000
500.000
x1x2y1y2y3
00000
.Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Representasi grafis
(penyelesaian dengan bantuan software Mapple)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
Suatu universitas memutuskan untuk tetap membuka perpustakaansepanjang hari dengan jadwal berikut
Waktu Jumlah pekerja minimum yang diperlukan
0-4 4
4-8 8
8-12 10
12-16 9
16-20 14
20-24 3
Jika setiap pekerja bekerja 8 jam perhari, formulasikan masalah ini untuk
menemukan jumlah minimum pekerja yang diperlukan untuk memenuhi
masalah diatas.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pendekatan Enumerasi untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
Untuk memodelkan masalah jumlah karyawan perpustakaan ini, misalkanbahwa
1 Himpunan seluruh karyawan dinyatakan dengan J , dalam hal initerdapat 48 delapan orang karyawan yang siap dipilih untukdiperkerjakan pada setiap shift jam buka perpustakaan.
2 Himpunan jam buka perpustakaan dinyatakan dengan I, dalam halini terdapat 6 shift jam buka perpustakaan.
Dengan demikian dapat didefinisikan
xij =
1 jika karyawan j bekerja pada shift ke-i0 lainnya. (17)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
Selanjutnya perhatikan tabel berikut:
Jam kerja perpustakaan k1 k2 . . . k48 Jumlah Karyawan Minimum
0-4 x1,1 x1,2 . . . x1,48 4
4-8 x2,1 x2,2 . . . x2,48 8
8-12 x3,1 x3,2 . . . x3,48 10
12-16 x4,1 x4,2 . . . x4,48 9
16-20 x5,1 x5,2 . . . x5,48 14
20-24 x6,1 x6,2 . . . x6,48 3
Jumlah Jam Kerja Maksimum 8 8 . . . 8
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
1 Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah karyawan manayang harus bekerja suatu shift, dinotasikan dengan xij .
2 Fungsi objektif yang harus ditentukan adalah berapa jumlahkaryawan minimum yang harus dipekerjakan dalam satu hari, dapatdiformulasikan sebagai
f(x11, . . . , xij , . . . , xmn) =
6i=1
48j=1
xij . (18)
3 Fungsi kendala:
Jumlah jam kerja untuk seorang karyawan maksimum 8 jamperhari (lihat tabel)
6i=1
xi,j 8,j = 1, . . . , 48. (19)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
Jumlah pekerja pada setiap shift (lihat tabel)
Shift 1:48j=1
x1j 4, Shift 2:48j=1
x2j 8 (20)
Shift 3:48j=1
x3j 10, Shift 4:48j=1
x4j 9 (21)
Shift 5:48j=1
x5j 14, Shift 6:48j=1
x6j 3 (22)
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Model LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan
min
6i=1
48j=1
xij , (23)
s.t
6i=1
xi,j 8,j = 1, . . . , 48, (24)
48j=1
x1j 4,48j=1
x2j 8, (25)
48j=1
x3j 10,48j=1
x4j 9, (26)
48j=1
x5j 14,48j=1
x6j 3, (27)
xij {0, 1},i = 1, . . . , 6 j = 1, . . . , 48. (28)Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
-
PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh
Some References
Some references
1 Luenberger, David G. Linear and Nonlinear Programming. 2nded. Reading, MA: Addison Wesley, 1984. ISBN: 0201157942.
2 Bazaraa, Mokhtar S., Hanif D. Sherali, and C. M. Shetty.Linear Programming and Networks Flows: Theory andAlgorithms. New York: John Wiley and Sons, 1990. ISBN:0471636819.
3 Rao, S.S. Optimization: Theory and Applications. WileyEastern Limited.1989 ISBN: 085226 756 8.
Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier
PendahuluanTerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier
Pemodelan Pemrograman Linier dan ContohSome References