s
śro1
E
)BHB,L(ωBqw ⋅⋅=
−+⋅⋅=
2
12
1
1
s
śrśr
s
śro2
E
)Bz,BL(ω)Bz,BL(ω
E
)Bz,BL(ωBqw
on
n
i si
iśriśr
*s
śro1 w
E
)Bz,BL(ω)Bz,BL(ωBq
E
)B,BL(ωBq(*)w =
−⋅⋅=
∞⋅⋅= ∑
=
−
1
1
W.Brząkała: FUNDAMENTOWANIE II (St.magisterskie) – ćw. projektowe w czwartym tygodniu
1. Wybór sprężystego modelu podłoża
H – łączna grubość wszystkich warstw gruntowych pomiędzy poziomem posadowienia fundamentu a stropem skał zwięzłych lub gruntem b.mało ściśliwym, B – szerokość fundamentu
a) H ≤ ~1,5⋅B ⇒ model Winklera
b) ~1,5⋅B < H < ~5,0⋅B ⇒ warstwa sprężysta.
c) H ≥ ~5,0⋅B ⇒ półprzestrzeń sprężysta.
2. Wartości parametrów modelu podłoża. Założenia
• Często parametry modelu wyraża się w projektowaniu za pomocą tradycyjnych parametrów sprężystych
Eo – moduł Younga (pierwotny), ν - współczynnik Poissona, por. PN-81/B-03020 (zwykle ν ≅ 0,3);
dla jednorodnej półprzestrzeni sprężystej te dwa parametry występują zawsze jako (1-ν2)/Eo ,
dlatego dla półprzestrzeni używany jest jeden moduł sztywności podłoża Es , gdzie Es = Eo/(1-ν2),
• zakłada się, że osiadania fundamentu są równe osiadaniom wo odpowiadającego ośrodka sprężystego
o parametrach Eo, ν (półprzestrzeń, warstwa) albo C (Winkler), analiza odwrotna daje równanie do wyznaczenia parametrów sztywności podłoża modelowego;
• można wykorzystać wzór 1) wo1 = średnie osiadanie obszaru BxL równomiernie obciążonego (q=const) na skutek ściśliwości półprzestrzeni sprę-
żystej w zakresie głębokości 0÷H ≤ +∞,
• jeśli w zakresie głębokości 0÷H pod fundamentem są np. dwie różne warstwy o grubościach H1, H2, tj. o spągu kolejno z1 = H1 oraz z2 = H1+H2 = H, to w przybliżeniu
... i analogicznie won dla n > 2 warstw. Uwaga: tak jak w normowym sposobie obliczania osiadań, wzory na wo1, wo2, …zakładają tę sama krzywą zanikania
naprężeń σz = q⋅η(z) pod obciążonym miejscem (całka Steinbrennera) co jest tylko przybliżeniem; strop nieodkształcalnej warstwy skalnej na małej głębokości, czy zróżnicowane parametry sprężyste w kolejnych warstwach wpływają na rozkład naprężeń pod obciążonym obszarem.
3. Wartości parametrów modelu podłoża. Obliczenia
a) Model Winklera: tutaj w = q/C oraz z założenia w = wo1, stąd q/C = q⋅B⋅ωśr(L/B,H/B)/Es, więc można wyznaczyć zastępcze C = ... Analogicznie należy brać won zamiast wo1, jeśli jest więcej warstw. Widać, że C jest funkcją H oraz B i L.
b) Półprzestrzeń sprężysta (przypadek ogólny n ≥ 1): odpowiednikiem uwarstwionej półprzestrzeni sprężystej
o modułach Esi jest jednorodna (zhomogenizowana) półprzestrzeń sprężysta o zastępczym module *
sE , który
znajduje się z równania wo1(*) = won, tj.
gdzie zo = 0 oraz zn = H = ∞ .
c) Warstwa sprężysta – można w zasadzie postępować jak w b), ale dla H < ∞ 1).
Uwaga końcowa: tylko w grubym przybliżeniu model Winklera oraz jednorodna półprzestrzeń sprężysta (o odpowiednio zwiększonej sztywności) mogą być „zamiennikiem” realnej warstwy sprężystej; osiadania średnie są wprawdzie takie same – co zakładano wszędzie powyżej – ale deformacja przyległego terenu i naprężenia kontaktowe pod fundamentem są trochę inne.
1) dla „małych” H to postępowanie jest niedokładne, bo istotne są warunki brzegowe na z = H ;
Z.Wiłun (Zarys Geotechniki, wyd.WKŁ) zaleca stosowanie w tym przypadku trochę innego współczynnika ωh
ωśr(L/B,H/B)
H/B L/B=1 L/B=10 L/B=20 L/B=∞
0 0 0 0 0
0,25 0,22 0,25 0,25 0,25
0,50 0,39 0,46 0,46 0,46
0,75 0,53 0,63 0,63 0,64
1,00 0,62 0,77 0,77 0,79
1,50 0,72 1,00 1,01 1,03
2,00 0,77 1,15 1,16 1,20
3,00 0,81 1,37 1,39 1,42
4,00 0,84 1,50 1,53 1,59
5,00 0,87 1,63 1,67 1,77
10,0 0,91 1,90 2,01 2,19
25,0 0,93 2,10 2,45 2,66
∞ 0,95 2,25 2,65 ∞
4. Przykłady
1)
Na warstwie sprężystej o grubości H = 8m i sztywności Es = 25MPa jest posadowiona ława 2x20m. Warstwę należy zastąpić półprzestrzenią sprężystą o zastępczym module sztywności Es
* korzystając z warunku równych osiadań średnich.
Jako osiadania fundamentu przyjmuje się wzór na w01 dla H = 8m oraz dla znanego Es = 25MPa, jako
osiadania odpowiadającej półprzestrzeni sprężystej przyjmuje się wzór na w01 dla H = +∞ oraz nieznanego Es
*, po czym przyrównuje się oba wyrażenia. Wynik:
sśr
śr
śr
śrs
*s E2537,5
1,502,2525
(10,4 )ω
)(10,ω25
)BHB,L(ω
)BB,L(ωEE =>=⋅=
∞⋅=
∞⋅= .
2)
Podłoże składa się z kilku warstw. Stosując metodę normową (obliczenia do głębokości zmax) wyznaczono osiadanie stopy 3mx3m obciążonej centralnie siłą pionową 1800 kN (q=0,200 MPa) i wynosi ono wo = 0,012m. Podłoże należy zastąpić półprzestrzenią sprężystą o zastępczym module sztywności Es
* korzystając z warunku równych osiadań średnich.
*s
*s
śr*s
śro1o E
0,9530,200E
)(1,ω30,200
E
)BHB,L(ωBqww0,012 ⋅⋅=
∞⋅⋅=⋅⋅===
Stąd Es* = 47,5 MPa.
Zastąpienie podłoża nie półprzestrzenią, ale warstwą sprężystą o grubości np. H=6m dałoby
*s
*s
śr*s
śro1o E
0,7730,200E
(1,2 )ω30,200
E
)BHB,L(ωBqww0,012 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅===
Stąd Es* = 38,5 MPa.
3)
Ponad stropem mało ściśliwego żwiru występują dwie warstwy bardzo ściśliwych gruntów o łącznej grubości H = 3m:
• głębokość poniżej fundamentu 0,0÷1,5m: FSa, Es1 = 40 MPa
• głębokość poniżej fundamentu 1,5÷3,0m: Cl, Es2 = 20 MPa
Dla stopy fundamentowej 2m x 4m należy dobrać współczynnik winklerowski C, pomijając obecność żwiru. z1 = H1 = 1,5m oraz z1/B = 1,5/2,0 = 0,75 z2 = H1 + H2 = H = 3,0m oraz z2/B = 3,0/2,0 = 1,50
Dla L/B = 2 należy interpolować (liniowo) współczynniki ωśr z tabeli:
- pomiędzy 0,53 oraz 0,63 …. wynik: 0,53 + (0,63-0,53)⋅(2-1)/(10-1) ≅ 0,54
- pomiędzy 0,72 oraz 1,00 …. wynik: 0,72 + (1,00-0,72)⋅(2-1)/(10-1) ≅ 0,75.
−+−⋅⋅===200,540,75
4000,542,0qww
Cq
o2
Stąd C = 20,8 MPa.
Dla odwróconej kolejności zalegania tych samych warstw byłoby to
−+−⋅⋅===400,540,75
2000,542,0qww
Cq
o2
Stąd C = 15,5 MPa.