s

śro1

E

)BHB,L(ωBqw ⋅⋅=

−+⋅⋅=

2

12

1

1

s

śrśr

s

śro2

E

)Bz,BL(ω)Bz,BL(ω

E

)Bz,BL(ωBqw

on

n

i si

iśriśr

*s

śro1 w

E

)Bz,BL(ω)Bz,BL(ωBq

E

)B,BL(ωBq(*)w =

−⋅⋅=

∞⋅⋅= ∑

=

−

1

1

W.Brząkała: FUNDAMENTOWANIE II (St.magisterskie) – ćw. projektowe w czwartym tygodniu

1. Wybór sprężystego modelu podłoża

H – łączna grubość wszystkich warstw gruntowych pomiędzy poziomem posadowienia fundamentu a stropem skał zwięzłych lub gruntem b.mało ściśliwym, B – szerokość fundamentu

a) H ≤ ~1,5⋅B ⇒ model Winklera

b) ~1,5⋅B < H < ~5,0⋅B ⇒ warstwa sprężysta.

c) H ≥ ~5,0⋅B ⇒ półprzestrzeń sprężysta.

2. Wartości parametrów modelu podłoża. Założenia

• Często parametry modelu wyraża się w projektowaniu za pomocą tradycyjnych parametrów sprężystych

Eo – moduł Younga (pierwotny), ν - współczynnik Poissona, por. PN-81/B-03020 (zwykle ν ≅ 0,3);

dla jednorodnej półprzestrzeni sprężystej te dwa parametry występują zawsze jako (1-ν2)/Eo ,

dlatego dla półprzestrzeni używany jest jeden moduł sztywności podłoża Es , gdzie Es = Eo/(1-ν2),

• zakłada się, że osiadania fundamentu są równe osiadaniom wo odpowiadającego ośrodka sprężystego

o parametrach Eo, ν (półprzestrzeń, warstwa) albo C (Winkler), analiza odwrotna daje równanie do wyznaczenia parametrów sztywności podłoża modelowego;

• można wykorzystać wzór 1) wo1 = średnie osiadanie obszaru BxL równomiernie obciążonego (q=const) na skutek ściśliwości półprzestrzeni sprę-

żystej w zakresie głębokości 0÷H ≤ +∞,

• jeśli w zakresie głębokości 0÷H pod fundamentem są np. dwie różne warstwy o grubościach H1, H2, tj. o spągu kolejno z1 = H1 oraz z2 = H1+H2 = H, to w przybliżeniu

... i analogicznie won dla n > 2 warstw. Uwaga: tak jak w normowym sposobie obliczania osiadań, wzory na wo1, wo2, …zakładają tę sama krzywą zanikania

naprężeń σz = q⋅η(z) pod obciążonym miejscem (całka Steinbrennera) co jest tylko przybliżeniem; strop nieodkształcalnej warstwy skalnej na małej głębokości, czy zróżnicowane parametry sprężyste w kolejnych warstwach wpływają na rozkład naprężeń pod obciążonym obszarem.

3. Wartości parametrów modelu podłoża. Obliczenia

a) Model Winklera: tutaj w = q/C oraz z założenia w = wo1, stąd q/C = q⋅B⋅ωśr(L/B,H/B)/Es, więc można wyznaczyć zastępcze C = ... Analogicznie należy brać won zamiast wo1, jeśli jest więcej warstw. Widać, że C jest funkcją H oraz B i L.

b) Półprzestrzeń sprężysta (przypadek ogólny n ≥ 1): odpowiednikiem uwarstwionej półprzestrzeni sprężystej

o modułach Esi jest jednorodna (zhomogenizowana) półprzestrzeń sprężysta o zastępczym module *

sE , który

znajduje się z równania wo1(*) = won, tj.

gdzie zo = 0 oraz zn = H = ∞ .

c) Warstwa sprężysta – można w zasadzie postępować jak w b), ale dla H < ∞ 1).

Uwaga końcowa: tylko w grubym przybliżeniu model Winklera oraz jednorodna półprzestrzeń sprężysta (o odpowiednio zwiększonej sztywności) mogą być „zamiennikiem” realnej warstwy sprężystej; osiadania średnie są wprawdzie takie same – co zakładano wszędzie powyżej – ale deformacja przyległego terenu i naprężenia kontaktowe pod fundamentem są trochę inne.

1) dla „małych” H to postępowanie jest niedokładne, bo istotne są warunki brzegowe na z = H ;

Z.Wiłun (Zarys Geotechniki, wyd.WKŁ) zaleca stosowanie w tym przypadku trochę innego współczynnika ωh

ωśr(L/B,H/B)

H/B L/B=1 L/B=10 L/B=20 L/B=∞

0 0 0 0 0

0,25 0,22 0,25 0,25 0,25

0,50 0,39 0,46 0,46 0,46

0,75 0,53 0,63 0,63 0,64

1,00 0,62 0,77 0,77 0,79

1,50 0,72 1,00 1,01 1,03

2,00 0,77 1,15 1,16 1,20

3,00 0,81 1,37 1,39 1,42

4,00 0,84 1,50 1,53 1,59

5,00 0,87 1,63 1,67 1,77

10,0 0,91 1,90 2,01 2,19

25,0 0,93 2,10 2,45 2,66

∞ 0,95 2,25 2,65 ∞

4. Przykłady

1)

Na warstwie sprężystej o grubości H = 8m i sztywności Es = 25MPa jest posadowiona ława 2x20m. Warstwę należy zastąpić półprzestrzenią sprężystą o zastępczym module sztywności Es

* korzystając z warunku równych osiadań średnich.

Jako osiadania fundamentu przyjmuje się wzór na w01 dla H = 8m oraz dla znanego Es = 25MPa, jako

osiadania odpowiadającej półprzestrzeni sprężystej przyjmuje się wzór na w01 dla H = +∞ oraz nieznanego Es

*, po czym przyrównuje się oba wyrażenia. Wynik:

sśr

śr

śr

śrs

*s E2537,5

1,502,2525

(10,4 )ω

)(10,ω25

)BHB,L(ω

)BB,L(ωEE =>=⋅=

∞⋅=

∞⋅= .

2)

Podłoże składa się z kilku warstw. Stosując metodę normową (obliczenia do głębokości zmax) wyznaczono osiadanie stopy 3mx3m obciążonej centralnie siłą pionową 1800 kN (q=0,200 MPa) i wynosi ono wo = 0,012m. Podłoże należy zastąpić półprzestrzenią sprężystą o zastępczym module sztywności Es

* korzystając z warunku równych osiadań średnich.

*s

*s

śr*s

śro1o E

0,9530,200E

)(1,ω30,200

E

)BHB,L(ωBqww0,012 ⋅⋅=

∞⋅⋅=⋅⋅===

Stąd Es* = 47,5 MPa.

Zastąpienie podłoża nie półprzestrzenią, ale warstwą sprężystą o grubości np. H=6m dałoby

*s

*s

śr*s

śro1o E

0,7730,200E

(1,2 )ω30,200

E

)BHB,L(ωBqww0,012 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅===

Stąd Es* = 38,5 MPa.

3)

Ponad stropem mało ściśliwego żwiru występują dwie warstwy bardzo ściśliwych gruntów o łącznej grubości H = 3m:

• głębokość poniżej fundamentu 0,0÷1,5m: FSa, Es1 = 40 MPa

• głębokość poniżej fundamentu 1,5÷3,0m: Cl, Es2 = 20 MPa

Dla stopy fundamentowej 2m x 4m należy dobrać współczynnik winklerowski C, pomijając obecność żwiru. z1 = H1 = 1,5m oraz z1/B = 1,5/2,0 = 0,75 z2 = H1 + H2 = H = 3,0m oraz z2/B = 3,0/2,0 = 1,50

Dla L/B = 2 należy interpolować (liniowo) współczynniki ωśr z tabeli:

- pomiędzy 0,53 oraz 0,63 …. wynik: 0,53 + (0,63-0,53)⋅(2-1)/(10-1) ≅ 0,54

- pomiędzy 0,72 oraz 1,00 …. wynik: 0,72 + (1,00-0,72)⋅(2-1)/(10-1) ≅ 0,75.

−+−⋅⋅===200,540,75

4000,542,0qww

Cq

o2

Stąd C = 20,8 MPa.

Dla odwróconej kolejności zalegania tych samych warstw byłoby to

−+−⋅⋅===400,540,75

2000,542,0qww

Cq

o2

Stąd C = 15,5 MPa.