Zusammenfassung: Wigner-Eckart-Theorem
Clebsch-Gordan-
Reihe:
Def. vonTensor -
Algebraische Version,
(via infinitesimaler
Rotation):
Clebsch-Gordan-
Reihe für Tensoren:
Wigner-Eckart-
Theorem:Geometrie Dynamik
4. Symmetrien in der Quanten-Mechanik (Sakurai, Kap. 4)
4.1 Symmetrien, Erhaltungssätze, Entartungen
4.1.1 Symmetrien in klassischer Physik:
invariant unter
Euler-Lagrange-Gl:
kanonischer Impuls
erhalten:
Hamiltonsche
Formulierung:
Hamiltonsche
Bewegungsgleichung:
Falls
invariant unterFalls
4.1.2 Symmetrien in d. Quantenmechanik: sei unitärer Operator ("Symmetrie-Op.")
Schreibe infinite-
simale Version als:
Sei invariant
unter :
Heisenberg's
Bewegungsgleichung:
Beispiele: Invarianz unterTranslationen
G ist erhalten
-Eigenkets bleiben
unter Zeitentwick-
lung -Eigenkets:
Sei
dann
4.1.3 Entartungen: Sei und
ist auch
Energie-Eigenket mit
gleichem Eigenwert:
Falls sind und "entartet"
Beispiel: Rotationen
Eigenbasis v. sind alle entartet
Rotation mischt entar-
tete Basisvektoren:
zB: Zentralpotential:-fache
Entartung
zusätzliches bricht Entartung, verursacht (2j+1)-fache Energie-AufspaltungE-oder(Details: Kapitel 5)
4.2 Diskrete Symmetrien: Parität (=Rauminversion) (Sakurai, 4.2)
4.2.1 Definition v. unitärem Paritätsop. mit
gilt für alle
(x, anti-vertauschen)
Ortseigenket
beliebiger Phasefaktor
per Konvention
nochmalige
Anwendung:
ist hermitesch,
mit Eigenwerten
4.2.2 Impuls:
Translation+Parität =
Parität +(-Translation)Forderung:
Operator-Identität:
p, anti-
vertauschen:
4.2.3 Drehimpuls:
Check:
für infinitesimale
4.2.4 Rotationen
für 3D Rotationen gilt:
Fordere dasselbe
für infinitesimale
und vertauschen:
Definitionen: "Polarvektoren" sind ungerade unter Parität
"Axial-" (oder "Pseudo-)Vektoren sind gerade unter Parität
"Skalare" sind gerade unter Parität
"Pseudoskalare sind ungerade unter Parität
das gilt insbesondere
auch für Spin:
4.2.5 Wellenfunktionen: Betrachte spinloses Teilchen:
WF von paritäts-
invertiertem Ket:
sei Paritätseigenket:
entsprechende WF
ist gerade/ungerade
unter Pariträt:
Beispiel: Kugelflächen-
Funktionen:(folgt aus expliziter Form von Y )
alle Mitglieder des
Multiplets haben
dieselbe Parität:
4.2.5 Theorem Sei Dann sind die nicht-entarteten
Energie-Eigenkets auch Paritäts-Eigenkets.
Beweis: Gegeben: nicht entartet.
Betrachte Paritäts-
Eigenket,
mit Eigenwerten Check:
ist auch
Energie-Eigenket
Aber ist nicht-entartet:
ist Paritäts-Eigenket (siehe S8.3), mit Eigenwerten
mit demselben
Bemerkung: Für schwache Wechselwirkung gilt "Paritätsverletzung",
denn hängt zB ab von
Beispiel:
also nicht Eigenket
Konsistent mit Theorem, denn und sind entartet.
Eigenkets:
Check:
Wellenfunktionen:
Beispiel:
Unendlich tiefer Topf: ansonsten
Wellenfunktionen sind
Paritätseigenfktn:für n=ungerade
für n = gerade
aber
Beispiel: Doppemuldenpotential- selber lesen (Sakurai, Abschnitt 4.2)
4.2.6 Paritäts-auswahlregel:
Matrixelemente von Paritäts-ungeraden Operatoren
zwischen zwei Paritätseigenzuständen sind nur dann 0,
wenn diese unterschiedliche Parität haben.
Beweis:
seien zwei Paritätseigenkets, mit
Dann:
entweder oder
A sei Paritäts-ungerade,
und
Bereits bekannt aus
der Wellenmechanik:
falls und dieselbe Parität haben
4.3 Gittersymmetrie als diskrete Symmetrie: selber lesen (Sakurai, 4.3)
4.4 Zeitumkehrinvarianz: "Bewegungsumkehr" (Sakurai,
4.4.1 Klassisch: Wenn Lösung ist von
dann ist auch eine Lösung:Stop bei
und Umkehr
Newton 2:
Maxwell-Gl, und
Lorentz-Kraft:
sind invariant unter:
4.4.2 Schrödinger-Gl:
ist keine Lösung, wegen 1.ste Ordnung Zeitabltng:
ist eine Lösung von
also ist
eine Lösung von
zunächst:
Expliziter Check mittels
Energie-Eigenket:
4.4.3 Bemerkungen zuSymmetrie-Operatoren
Betrachte Symmetrie-
Operation:
Falls unitär ist:
Allgemein reicht es
allerdings, zu fordern:
was auch folgende
Möglichkeit zuläßt:
4.4.4 Definition einer "anti-unitären"
Transformation:mit
und
folgende "Zerlegung"
ist immer möglich: unitärer "komplex-
Konjugator"
Wirkung von K:
Entwicklung von
in einer Basis:
Für Basiskets gilt: denn keine
komplexen
Zahlen
vorhandenWirkung von K ist
basisabhängig:Basis-
transformation:
In -Basis:
In -Basis:
anti-unitärer
Operator
Check: erfüllt die Eigenschaften eines anti-unitären Operators?
Berechne Wirkung auf
Bra lieber via Wirkung
auf Ket:
( nicht definiert)
Skalarprodukt:
:
4.4.5 Zeitumkehr-Operator
Zeitumkehr- anti-unitärer
Zeitumgekehrter Zustand
(genauer: Bewegungsumgekehrter Zustand)
Wir erwarten: etc.
Zeitentwicklung von
Zeitentwicklung von
zeitumgekehrtem
Forderung, falls Bewegung
symmetrisch unter
Zeitumkehr verläuft:
gilt für
beliebige Kets:
kann nicht
unitär sein:Wäre dann folgte aus
Das ist unsinnig, denn Spektrum wäre nicht von unten begrenzt.
ist auch Eigenenergie!Für freies Teilchen
würde das bedeuten:
Für Energieeigenket:
würde liefern: anstatt erwartetem
Postulat:
ist anti-unitär.
Folgerung: falls
Bewegung symmetrisch
unter Zeitumkehr
abläuft, gilt:
dann:
Bemerkung:
und nicht denn ist nicht
Formale Eigenschaften
von Matrixelementen
linearer Operatoren: Sei
dann gilt:Identität:
Beweis: Sei
Für hermitesche
Beispiel: Impuls
A ist "gerade/ungerade"
unter Zeitumkehr, falls
entsprechende
und Erwartungswerte:
Forderung:
Folglich identifizieren wir:
Eigenwertgleichung:
Analoges Beispiel:
OrtsoperatorForderung:
Invarianz der
Vertauschungsrelation:
Analog: Invarianz der
Drehimpulsrelationen
erfordert
(S21.4) folgt auch aus
Zeitumkehrsymmetrie
von Rotationen: Forderung