第 3 章 wigner 分布

第 3 章 Wigner 分布第 3 章 Wigner 分布

3.1 Wigner分布的定义3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD

3.4 Wigner分布的实现3.5 Wigner 分布中交叉项的行为3.6 平滑Wigner分布

第 3 章 Wigner 分布3.1 Wigner 分布的定义

时－频分布分类线性形式的时－频分布：

　　　 STFT 、 Gabor 变换及小波变换。双线性形式时－频分布 :

是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。又称非线性时－频分布。 Wigner 分布及 Cohen 类分布。

第 3 章 Wigner 分布联合 Wigner 分布定义　　令信号　，的傅立叶变换分别是　　，　　，那么　，　的联合 Wigner分布定义为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.1.1 ）

信号的自 Wigner 分布定义为：（ 3.1.2 ）Wigner 分布又称 Wigner－ Ville 分布，简称为WVD。若令，则，代入（ 3.1.1）有（ 3.1.3 ）

tx ty jX jY tx ty

, , 2 2 jx yW t x t y t e d

＊

tx , 2 2 j

xW t x t x t e d

＊

2 dd 2

detytxtW jyx

2, 2,

第 3 章 Wigner 分布令，则式

（ 3.1.1 ）可变为：

令，则上式变为

（ 3.1.4 ）对自 WVD ，有

（ 3.1.5 ）显然， WVD 在时域和频域有非常明显得对称形式。

1 2x x t 1 2y y t

deYX

YXdeyxtW

tj

jyx

24

1111,

22224

,

　　　　　

2 2

,1, 2 2

2j t

x yW t X Y e d

,1, 2 2

2j t

x yW t X X e d

第 3 章 Wigner 分布

若令则

（ 3.1.6 ）显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间 t。但此处的并不是我们以前定义过的相关函数。在时－频分析中，我们称为瞬时自相关。

, , 2 2x yr t x t y t

detrtW jyxyx ,, ,,

,, tr yx

,, tr yx

第 3 章 Wigner 分布3 ． 2　 WVD 的性质的奇、偶、虚、实性

不论是实信号还是复值信号，其自 WVD 都是 t和的实函数，即

（ 3.2.1 ）若为实信号，则不但是 t、

的实函数，还是的偶函数，即（ 3.2.2 ）对，的互 WVD ，不

一定是实函数，但具有如下性质： (3.2.3)

,tW

tx

RtWx ),( ,t

,, tWtW xx

tx ,tWx

tx ty ,, tW yx

,, ,, tWtW xyyx

第 3 章 Wigner 分布 WVD 的能量分布性质

时间边缘（ time 　 marginal ）性质令（ 3 ． 1 ．1 ）式两边对积分，有

(3.2.4)

该式表明，信号 x(t) 的 WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻的瞬时能量。由此可看出 WVD 具有能量分布性质。

1 1, 2 22 2

12 22

2 2

jx

j

W t d x t x t e d d

x t x t d e d

x t x t d

　　　　　　　　

　　　　　　　　

2tx

第 3 章 Wigner 分布频率边缘性质　　　　同理，令（ 3.1.5 ）式两边同时对积分，有

(3.2.5)

即 WVD 沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。

2

1, 2 22

2 2

j txW t dt X X e d dt

X X d

X

　　　　　　

　　　　　　


(3.2.6) (3.2.7)

(3.2.8)即，在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而在整个平面上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知，在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为有可能取负值。

b

a

b

a

t

t

t

t x dttxdtdtW 2,21

b

a

b

a

t

tx dXddttW 2,21

)(),(,21 2 txtxdttxdtdtWx

　

,tWx

,tWx

－t

,tWx

,tWx

第 3 章 Wigner 分布由 WVD 重建信号

由（ 3.1.1 ）式，我们有

令这一特定时刻，有

于是（ 3.2.9 ）若含有常数的相位因子，如，由于

因此由 WVD 恢复出的将不会有此相位因子。

)(tx

12 2 ,2

jxx t x t W t e d

2t

10 2,21 2,

2

jx

j tx

x t x W e d

W e d

　　　　　

1 2,2 0

j txx t W t e d

x

tx jetAtx

, 2 2 2 2xr t x t x t A t A t

tx

第 3 章 Wigner 分布 WVD 的运算性质移位—— WVD的移不变性令　　则　　　　　　　　　　

（ 3.2.10 ）调制——频率调制不变性　令　　则　　　　　　　　　

（ 3.2.11 ）移位加调制　令　　则　　　　　　　

（ 3.2.12 ）

tx

tytytxtx ,

,, ,, tWtW yxyx

tjtj etytyetxtx 00 ,

0,, ,, tWtW yxyx

tjtj etytyetxtx 00 ,

0,, ,, tWtW yxyx

第 3 章 Wigner 分布时间尺度令（为大于零的常数）则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（ 3.2.13 ）信号的相乘令　　　则

(2.3.14)

txtx

1, ,x xW t W t

thtxty

, 2 2 2 2

, ,

1 , ,21 , ,

2

jy

jx h

x h

x h

W t x t h t x t h t e d

r t r t e d

W t W t

W t W t d

　　　　

　　　　

　　　　


即两个信号积的自 WVD 等于这两个信号各自 WVD 在频率轴上的卷积。这是 WVD 的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。信号的滤波　令　　　　则　　　　　　　　　　　　　

（ 3.2.15 ）

thtxty

tdttWtW

tWtWtW

hx

hxy

,,

],,,

　　　　

第 3 章 Wigner 分布信号的相加　　令　　　，则

（ 3.2.16 ）

即两个信号和的 WVD 并不等于它们各自 WVD 的和式中是和的互 W

VD ，称之为“交叉项”，它是引进的干扰。交叉项的存在是 WVD 的一个严重缺点。进一步，若令，

txtxtx 21

1 2 1 2

1 2 1 2

,

, 2 2 2 2

, , 2 Re ,

jx

x x x x

W t x t x t x t x t e d

W t W t W t

　　　　

,Re221 , tW xx

tx1 tx2

txtxtx 21 tytyty 21

第 3 章 Wigner 分布则

后两项也是交叉项干扰。一般，若会有 N个分量，那么这些分量之间共产生个互项的干扰。

,,,,,12212211 ,,,,, tWtWtWtWtW yxyxyxyxyx

2)1( NN

第 3 章 Wigner 分布 WVD 的时限与带限性质若在和时，，即

是时限的，则对一切，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.2.18 ）由上述结论，若，均是因果信号，及当时

，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.2.19 ）若当和时，

，即是带限的，则对一切的 t ，有　　　　　　　　　　　　　　　　　

（ 3.2.20 ）

att btt 0 tytx tytx ,

bayx tttttW 　　和　　0,,

tx ty 0t 0 tytx

00,, ttW yx 　　a

b 0 YX YX 、

bayx tW 　　和　　0,,

第 3 章 Wigner 分布解析信号的自 WVD　令是的Hilbert变换，则

　　　　　　　　　　　是的解析信号。由Hilbert变换的性质可知：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.2.21）由WVD的带限性质可知，当时，，并有　　　

　　　　　　　　

（ 3.2.22）将式（ 3.2.21）代入得：　　　　　　　　　　　　　（ 3.2.2

3）

tx̂ tx txjtxtz ˆ

tx

0002

　　　　　　　　　　x

Z

0 0, tWz

1, 2 22

j tzW t Z Z e d

deXXtW tjx )2()2(),( *2

2


上式积分号中相当于乘了一个从至的矩形窗。由

运算性质 5 ，可得信号 x(t) 和其解析信号 z(t) 的 WVD 之间的

关系，即

（ 3.2.24 ）

00

02sin,4,

　　　　　　　　　　　　　　　　　

tW

tW xz

2 2


设信号可写成解析形式，即，其 WVD

为，则的瞬时频率和 WVD 有如下关系：　　　　　　　　　　

（ 3.2.25 ）

群延迟和 WVD 的关系：

（ 3.2.26 ）

tx tjetAtx

,tWx tx

t

tA

dtW

dtW

dtWt

x

x

x

i

2

,21

,21

,21

)(

dttW

dtttW

x

x

g,

,

瞬时频率与群延迟

第 3 章 Wigner 分布 WVD 的 Parseval 关系令和的 WVD 分别是和

，则

该式又称为 Moyal’s 公式。

)(tx )(ty ),( tWx ),( tWy

dtdtWtWdttytx yx ),(),()()(2


两个信号和的 WVD 有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和；

由于 WVD 是信号能量随时间－频率的分布，因此，理论上讲，应始终为正值，但实际上并非如此。

因为是的傅立叶变

换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证非负。

WVD 的缺点

,tWx

,tWx

,tWx , 2 2xr t x t x t

第 3 章 Wigner 分布３ .３常用信号的 WVD几种典型信号的WVD例 3.3.1、令　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.3.1）求。解：确定对的积分限，由得

或

所以

（ 3.3.2 ）

Tt

Tttx 　　　　

　　　　0

1

,tWx

2

2

t T

t T

tTtT 2222 tTtT 2222

, 2 2 jxW t x t x t e d

＊　

Tt

TttT

detT

tT

j

　　　　　　　　　　　　

0

2sin222

22

第 3 章 Wigner 分布在时间轴上只在的范围内有值，在频率轴上是的函数。最大值出现在处，最大值

,tWx

sin

TT ~

TtWx 40, 0,, tt

图 3.3.1 　例 3.3.1 的 WVD 　　

第 3 章 Wigner 分布例 3.3.2 　令，求。解：由定义　　　　　

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.3.

3 ）　本例的为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看作一个平稳的随机信号，因此，其 WVD与时间无关。对任意的时间，都是位于处的函数。如图 3.3.2 所

示。

tjAetx 0 ,tWx

0 0

0

2 2

2

, j t j t jx

j

W t Ae A e e d

A e d

　　　　

022, AtWx

)(tx

tt ,tWx 0


　图 3.3.2 　例 3.3.2 的 WVD

第 3 章 Wigner 分布　例 3.3.3 　令是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连

而形成的，即　　　　　　　　

式中，，。为某一基本频率。图 3.3.3

是该信号的 WVD 。由该图可清楚地看出 WVD 的时－频定位功能。注意，三段信号时频分布之间有交叉项存在。

)(tx

1

2

3

exp 2 0 4

exp 2 4 2

exp 2 2

j f t t T

x t j f t T t T

j f t T t T

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

01 4 ff 02 2 ff 03 ff

0f

图 3.3.3 　例 3.3.3 的 WVD

第 3 章 Wigner 分布例 3.3.4 、　令，求。　　解：　因为，由上例结果及 WVD 的

运算性质 6 ，有　　　

（ 3.3.4 ）　的谱线包含两个分量，它们分别位于处，因此可看作两个复指数的和。但是的 WVD除了在

处各有一个不随时间变化的谱线外，在处还引入了随时间作余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如图 3.3.4 所示。图中点处在频率轴的中点。

,tWx

t0cos

tAtx 0cos

tjtj eeAtx 00

2

tA

tWx 000

2

2cos22

,

t0cos

t0cos 0

tje 00

0

0


图 3.3.4 　例 3.3.4 的 WVD

第 3 章 Wigner 分布例 3.3.5 令　　　　　　　　　　

（ 3.3.5 ）可求出其 WVD 为　　　　　　　　　　　

（ 3.3.6 ）这是一个二维的高斯函数，且是恒正的，如图 3.3.5 所示。

2

14 2tx t e

2 2, 2exp[ ]xW t t

,tWx

图 3.3.5 　例 3.3.5 的 WVD, （ a ）高斯信号，（ b ）高斯信号的 WVD

第 3 章 Wigner 分布如果令，

则 x(t) 的谱图

它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到时，椭圆面积。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时－频分辨率。

2

14 2th t e

2

14 2tx t e

222 1exp

2,

ttSTFTx

1e2A

第 3 章 Wigner 分布例 3.3.6 令　　　　　　　　　　　　　　　　（ 3.

3.10 ）的 WVD 是

2 20

14 2 2 j tt j tz t e e e

tz

2 20, 2exp[ ( ) / ]zW t t t

图 3.3.6 　例 3.3.6 的 WVD ，（ a ） Chirp 信号，（ b ） Chirp 信号的 WVD

第 3 章 Wigner 分布例 3.3.7 令为一多普勒信号，图 3.3.7给出了该

信号的时域波形、频谱及时－频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。

图 3.3.6 　例 3.3.6 的 WVD

( )x t

-0.2

0

0.2

Rea

l par

t Signal in time

067135

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

WV, lin. scale, contour, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

第 3 章 Wigner 分布3.4 Wigner 分布的实现若令对信号的抽样间隔为，即，并令

，则，这样，中对的积分变成对 k 的求

和，即

（ 3.4.1 ）

若将归一化为 1 ，并考虑到相对离散信号的频率，则

上式变为：

（ 3.4.2 ）

txsT snTt skT

2

skT2 ,tWx

k

Tkjsssssx

sekTnTxkTnTxTtW 22,

sT sT

k

kjx eknxknxtW 22,

第 3 章 Wigner 分布将变成，则的频谱将变成周期为

的频谱，且对应的抽样频率为。同样，的 WVD

也变成周期的，且周期为，即：

（ 3.4.3 ）

若的最高频率为，那么，抽样频率至少满足如若按对抽样，那么用抽样后的做WV

D ，由于其周期变为，因此在 WVD 中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求至少要满足

tx nx tx jX 22

jeX

sf tx ,nWx ,tWx

k

kjx eknxknxnW 22,

tx maxf max2 ff s

max2 ff s tx nx

sf

max4 ff s

第 3 章 Wigner 分布解决混迭问题的较为简便的方法有两个：采用解析信号由解析信号的性质可知，将作Hilbert 变换得到，按构

成解析信号。只包含的正频率部分。

这样，既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率的情况下，避免了频域的混迭；对作插值具体办法是：若想将抽样频率提高一倍，则可将每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。

tx

tx̂ txjtxtz ˆ tz

tx

max2 ff s

sf nx


令（ 3.4.5 ）

k 是信号 x 的时间序号， n 代表时移，并假定的长度为 N ，即，现分析一

下的取值情况。

knxknxknrx ,

1,,1,0 Nk knrx ,

k

)(kx

0 1 2 3 4 5

k

)2( kx

0 1 2 32 1

k

)2( kx

0 1 2123

kxa )(

kxb 2 )(

kxc 2 )(

图 3.4.1 　　的解释 knrx ,

离散WVD

第 3 章 Wigner 分布当时 N=6 时，不难写出：

假定将都扩充成 N 点序列，即在其后补零，那么，

（ 3.4.2 ）式可写成

（ 3.4.7 ）

０　　　　　　　　　　　　　　　　时，

　　　　　　　　　　，，时，

　　　　　，，，，３时，

　　　　　，，，，时，

　　　　　　　　　　　，，时，

　　　　　　　　　　　　　　　　时，

１５２４３３４２５１

kxxkrn

kxxxxxxkrn

kxxxxxxxxxxkrn

kxxxxxxxxxxkrn

kxxxxxxkrn

kxxkrn

x

x

x

x

x

x

55

354453

0413223140

021120

00

,55

1~1,44

2~2,3

2~2,22

1~1,11

0,00

knrx ,

k

klN

j

xx eknrlnW4

,2,

第 3 章 Wigner 分布以上方法有明显的缺点，即在不同的 n 下，计算时所利用的

的点数有着明显的不同。此外，由于 WVD 是二次函数

的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了“加窗 WVD” ，即“伪WVD （ Pseudo WVD ， PWVD ）”。

knrx ,

　　　　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　

nxnxeknxknxkw

nxnxeknxknxkw

eknxknxkw

eknxknxkwknPW

L

k

kj

L

k

kj

Lk

kj

L

Lk

kjx

22Re4

22

2

2,

12

0

2

12

0

2

0

12

2

12

12

2

第 3 章 Wigner 分布现将离散化，可将分成等份，即，则

上式变为：

（ 3.4.10 ）式中，即

（ 3.4.11 ）即以 L为周期。这样，若按（ 3.4.10 ）式计算 2L 点FFT ，则求出的将有一半的冗余。通常，我们假定：

（ 3.4.12 ）是（ 3.4.10 ）可变成

lLl 2

2 l22

　　nxnxeknxknxkwlnPWL

k

Lkl

j

x

2Re4,12

0

24

12~0 Ll

　　　iLlnPwlnPW xx ,, lnPWx ,

lnPWx ,

　　　　　，当 Lkknxknx 0

　　nxnxeknxknxkwlnPWL

k

klL

j

x

2Re4,1

0

2

第 3 章 Wigner 分布3.5 　 Wigner 分布中交叉项的的行为

交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影

响了对信号时－频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有双线性形式的时－频分布，它们被统称为“ Cohen 类”。这些

分布提出的一个重要目的是削弱Wigner 分布中的交叉项，并改进自项的分辨率。

第 3 章 Wigner 分布例 3.5.1 设信号由两个“原子”信号复合而成。所谓“原子信号”，是指：这一类信号，

其中为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。设、是两个“原子”，信号

。下面分两种情况来考虑它们的 WVD ：设和具有相同的频率，但具有不同的时间中心

即

tjetth 00

th

tx1 tx2 txtxtx 21

tx1 tx2

25.028 01110 ，　　　　　　 tetthtx tj

25.0100 02220 ，　　　　　　 tetthtx tj

第 3 章 Wigner 分布-0.5

0

0.51

Rea

l par

t

Signal in time

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4


Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

显然，在及处是两个“原子”的自 WVD ，而二者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与自项相同，其位置大致是

02 ，t 01 ，t

25.0642 0

21 ，，

tt

图 3.5.1a 两个时－频“原子”的 WVD 中交叉项的行为， ( 具有相同的频率 )

第 3 章 Wigner 分布和具有相同的时间中心，但有不同的频率令　　　　　　　　　

其时－频分布如图 3.5.1b 所示。显然，两个自项均位于同一时刻处，频率分别是0.1 和 0.4 ；两个自项中间的是交叉项，其位置大致是在

tx2 tx1

1.064 10011 ，　　　　 tetthtx tj

4.064 20022 ，　　　 tetthtx tj

)64( 0 t

25.0642

210 ，，

t

图 3.5.1b 两个时－频“原子”的 WVD中交叉项的行为， ( 具有相同的时间中心 )

-1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4


Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

第 3 章 Wigner 分布　例 3.5.2 设也是由两个原子复和而成。它们的位置分

别位于，处，其时－频分

布如图 3.5.2a 所示。显然，两个自项的位置也分别在，处。交叉项在两个自项的中心连线上，位值大致在

处。

tx 15.03211 ，， t 35.09622 ，， t

11 ，t 22 ，t

25.06422

2121 ，，

tt

-0.5

0

0.5

Rea

l par

t

Signal in time

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4


Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

图 3.5.2 （ a ）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的 WVD( 两个时－频“原子”都为复信号时 )

第 3 章 Wigner 分布如果对该信号的实部求WVD ，其 WVD 如图 3.5.2b

所示。由于有两个原子复合而成的是解析信号，故无负频率存在，交叉项只有一项（见图 3.5.2a ）。仅取它的实部，这时就有两个负频率分量存在。该信号的 WVD 共有四个自项，分别位于，处。 15.032 ， 5.096 ３，

-0.5

0

0.5

Rea

l par

t

Signal in time

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4


Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

图 3.5.2 （ b ）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的 WVD—— 其实部的 WVD

第 3 章 Wigner 分布例 3.5.2 令由四个“原子”复合而成，即，这四个“原子” 的位值分别是，

，，。该信号

的 WVD 如图 3.5.3a 所示。如果我们在对该信号求WVD 时用伪WVD ，即对作加窗处理，那么，

所得 WVD 如图 3.5.3b

所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由六个变成了两个。

tx txtxtxtxtx 4321

1.02811 ，， t 4.02822 ，， t

1.010033 ，， t 4.010044 ，， t

2 2xr t x t x t ，


图 3.5.3 　四个“原子”迭加后的 WVD （ a ）没加窗的 WVD ，


图 3.5.3 　四个“原子”迭加后的 WVD （ b ）加窗后的伪 WVD

第 3 章 Wigner 分布例 3.5.4 　　令　　　　　

（ 3.5.1 ）显然，由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在和处。可求出

（ 3.5.2 ）

上式包含两项，第一项是的 WVD 的自项，中心也分别位于和处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。

1

2 4 2

1

exp ( ) 2i ii

x t t t j t

　　　　　　

11 ，t

tx 11 ，t 22 ，t

22 2

1

2 2

12 exp

14exp cos

i ii

u u u d u d d u

W t t t

t t t t t t

，

　　　

22 ，t

1 2 1 2( ) ( ) 2u ut t t 2 　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　　　， 2121 dd ttt


图 3.5.4 　　两个高斯调制信号的 WVD

第 3 章 Wigner 分布结论：由本节例 3.5.1～ 3.5.4 可以看出，两两自项之间将产生一个交叉项，

即交叉项的数目为，每一个交叉项都位于产生它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和频率距离。进一步有

（ 3.5.4 ）

式中 (3.5.5)

反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则越大，这样衰减越快，这样， WVD 的互项中的能量越小。这说明，只有距离较近的自项所产生的交叉项才会产生大的影响

2dtA

2)1( NN

　ttttAtttx dudi

i cosexpexp 22

2

1

22

　　　　　　4exp2 22dd ttA

dt

2dtA

第 3 章 Wigner 分布3.6 平滑 Wigner 分布

对信号，其 WVD 和谱图有如下关系：　　

(3.6.1)

式中是对信号作短时傅立叶变换时所用窗函数的WVD 。因此，谱图也是一种时－频分布，且是信号能量的分布。（ 3.6.1 ）式是一个典型的 2 － D 卷积，如果是一

个低通函数，卷积的结果将是对平滑。对谱图来说，如果做 STFT 时用的是高斯窗，高斯窗的 WVD仍是平面的高斯函数。因此，是低通的。这样，谱图是对 WVD

的平滑，其结果是减少了交叉项的干扰，但同时降低了时－频的分辨率。

tx 　　，， dudvvutWvuWtSTFT hxx ,

212

，tWh th

，tWh

，tWh

，t ，tWh

第 3 章 Wigner 分布将（ 3.6.1 ）右边展开，有

(3.6.2)

令则

exp2 2 2 2

2 exp2 2 2 2

22 2 2 2

x u x u h t u h t u j v j d d dudv

x u x u h t u h t u j d d du

x u x u h t u h t u

exp j d du

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2

ua2

ub

2bau

ba

第 3 章 Wigner 分布Jacobian 行列式

又因为则式 (3.6.2) 变为

证毕。

1115.05.0

ba

bu

au

J

dadbJdud

22

2

exp2

，tSTFT

dbebthbxdaeathax

dadbbajathbthbxax

x

bjaj

第 3 章 Wigner 分布一般，设是某一窗函数的时－频分布，

令和在和两个方向上的卷积称为平滑 W

VD ，记为，即：　　

（ 3.6.3 ）对作用的效果，取决于

的形状。

，tG ，tG

，tWx t ，tSWx

　　，，

dudutGuWtSW xx ,21

，tG ，tG ，tWx

第 3 章 Wigner 分布给定一个基本函数，令：　　　　　　　　

(3.6.4)

为的移位与伸缩，定义　　　　　　　

(3.6.5)

为的小波变换（ Wavelet 　 Transform ， WT ），并记为的尺度图（ Scalogram ），它也是时－频分布的一种形式。可以证明，该尺度图也和 WVD 有关系：

（ 3.6.6)

式中是基本函数的 WVD 。

t

　　　　　，

abt

atba 1

t

　　　　，

dta

ttxa

baWTx1

tx baWTx ， tx

　　　，，

dtdaabtWtWbaWT xx ,2

，tW t

第 3 章 wigner 分布

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