dr. can Ülker deprem mühendisliği ve afet yönetimi enstitüsü

2011 – 2012 BAHAR YARIYILIMUSTAFA İNAN TATBİKİ MEKANİK

SEMİNERLERİ

Suya Tam ve Kısmen Doygun Poroz Ortamların Dinamik Davranışlarının Modellenmesi

Dr. Can ÜLKERDeprem Mühendisliği ve Afet Yönetimi Enstitüsü

İTÜ İnşaat Mekanik Semineri 2

SUNUM PLANI• Giriş• Poroz Ortamın Dinamiği

– Doygun Durum için Denklemler ve İlgili Formülasyonlar• Analitik Çözümler

– Genel ve Özel Çözümler– Formülasyonların Geçerli Olduğu Sınır Durumlar

• Nümerik Çözümler– Sonlu Elemanlar Formülasyonu– Analitik Sonuçlarla Karşılaştırma

• Dalga Yükü Altında Ani Sıvılaşma Potansiyeli• Zeminin Tekrarlı Elasto-Plastik Davranışının Modellenmesi

– Sınırlayan Yüzey Modeli – İlk Çalışmalar

• Suya Doygun Olmayan Poroz Ortamın Dinamiği• Kısa ve Uzun Dönem için Araştırma Planları

Giriş• Poroz Ortamın Dinamiği

– Geomekanikten (örn. zemin mekaniği, geoteknik müh., deprem müh.) Biomekaniğe kadar birçok problem

– 1-D Yarı-Statik problemden 3-D Tam Dinamik– İkili akım ve deformasyon problemi (coupled flow and deformation)

• PDE – Doygun Durumda (Biot 1941; Biot 1955, 1962)– Doygun Olmayan Durumda (Zienkiewicz ve diğ. 1990; Ravichandran 2009)

• Denklemlerin Modifiye Edilmesiyle Türetilen Farklı Formülasyonlar– Drenaj Durumuna Göre– Atalet Kuvvetlerine Göre (Inertia Effect)

3İTÜ İnşaat Mekanik Semineri

Boşluk Akışkanı Katı Faz


Yasalar

Poroz Ortamın Dinamiği

Bünye Denklemleri

Momentumun Korunumu

Kütlenin Korunumu

Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi

Denge Denklemleri

Süreklilik Denklemi


Suya Doygun Durumda Diferansiyel Denklemler (PDE)

1. Bünye Denklemleri

'ij ij ij p

, ,12ij i j j iu u

0' ( )ij ijkl kl klD

Çekme pozitif alınmıştır.



2. Momentumun Korunumu

, 0ij j i i f ig u w

, 0f i fi i f i i f i

i

gp w u w g

k n

2 Fazlı (Katı ve Sıvı) Ortamın Toplam Dengesi

Sıvı Fazın Dengesi


3. Kütlenin Korunumu

, , 0i i i if

nu w pK

0

1 1 1

f p

SK K p

Yaklaşık S=0.95’e kadar bu denklemler geçerli kabul edilebilir.



Farklı Formülasyonlar

1. Tam Dinamik Form (FD)

, ,i i i i iQ u w f fi i

f i ii

w gu w

n k

, , ,'ij j i i i i iQ u w i f iu w

, ,

, ,1

i i i i

i i i i

u w p Q u w

u U p Q u n nU

U u w n

fQ K n

Peki boşluk suyu basıncına ne oldu?

u-w Formu

u-U Formu

22, ,' 1 1 , 1

1 0

s f

s

ij j i ij i ij i i i ii

i

nn Qu n n QU n g g U ukn u

2

2,,1 0

ff f

ii ij i ij i i i i

i

n gn n Qu n QU n g U u n U

k



2. Kısmi Dinamik Form (PD) veya w U ihmal



i

gp w u w g

k n

, , 0i i i if

nu w pK



Tüm ivmeler ihmal



i

gp w u w g

k n

, , 0i i i if

nu w pK

3. Yarı-Statik Form (QS)

Analitik Çözümler



Sabit Adım Yükü Altında 1-D Poroz Ortamın Tepkisi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0pore pressure distribution

dept

h, z

pore pressure, p

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5Pore Pressure Time History

pore

pre

ssur

e, p

time, t

2

2 0u pDzz

f f

u k p n pt z z g z K t

2

2v f

k p pm g tz

Sıkışamaz Boşluk Akışkanı

1-D QS Form

1vm D

cv


Sabit Harmonik Yük Altında 1-D Poroz Ortamın Tepkisi

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0pore pressure distribution

Z

p/q0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0absolute value of pore pressure distribution

z/H

p/q0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0absolute value of pore pressure distribution

z/H

p/q0

QS PD FD


İlerleyen Dalga Yükü Altında 2-D Poroz Ortamın Tepkisi

– Harmonik yük altında tepki de harmonik

– Boyutsuz ama fiziksel anlam taşıyan parametreler tanıtılır,

P1, P2 , m vb.– Integral sabitlerini bulabilmek için

sınır koşulları uygulanır.

– Katı fazın deformasyonu lineer-elastik

( ), , ', ', , , , , , , i kx txx zz xz xx zz xzu w p U W S S T P e

f (x, z, t) f(z)

' 0zz xz p q

0x z zu u w


2-D Çözüm: Boyutsuzlaştırma

2 222

1

2 222

1

2 2 22 2 1 2 2

2 2 21 2 2 2 2

0

xx

z

z x

z

im im DD m im DDn U

i Uim DD DD im DD DDn W

m DD im DD m im DD W

im DD m DD im DD DD

PP P

P P P P P P P

f

f

KnK

K n

1fKKn

2f

GK

Kn

f

2

1 2x c

xk Vg h

P 2

1 2z c

zk Vg h

P 2 2

2 2c

hV

P

2f

c

KK nV

k 2 hm hL

6 4 21 2 3 4 0DD DD DD DD z


2-D Genel Çözüm

Kayma Gerilmesi

Boşluk Suyu Basıncı

z6

j hj j

j=1

j i kx-ωtzz

ηησ' ikλ + b K a e e

h=

z

hj6

jj j

j=1

i kx-ωtxz

ηη= G + ikb a e e

hτ

j

z6jf h

j j j jj=1

i kx-ωtηηKp = - ik 1 + c + b + d a e en h

Efektif Düşey Normal Gerilme

aj, bj, cj, dj are entries of the eigenvectors are the eigenvalues

jη


z/h

p/q

2 hmL

2

2

1 hgkVc

P 2

22

2cVh

P


Herhangi bir yükleme frekansı ve poroz ortamın doğal frekansı için! i.e. Geomechanics, Earthquake Engineering, Biomechanics etc.

PD-QS Farkı <3%PD-QS Farkı >3% FD-PD Farkı >3%FD-PD Farkı <3%

2-D Çözüm: Formülasyonların Geçerlilik Bölgeleri

Boyutsuz Büyüklükler Uzayı


PD-QS Farkı <3% PD-QS Farkı >3% FD-PD Farkı >3%FD-PD Farkı <3%

2-D Çözüm: Formülasyonların Geçerlilik Bölgeleri

Boyutsuz Büyüklükler Uzayı


Soru: Spesifik mühendislik problemleri nereye düşer?Cevap: Yük ve poroz ortamın parametrelerine bağlı

m=1S=1

0.05 T 2s100Here T=0.3s m=2π 1

2000x0.3

1 22 T kg T

P

22

2TT

P

h0.15 1.5L1 m 10

Here m=10

2 T 15 sHere T=5 s

m=10S=1


1 22 T kg T

P

22

2TT

P

h

0.005 T 0.02 s

Here T=0.08 s m=2π 1V.T

m=1S=1

tissueLm=2π 0.1L

0.3 T 1sHere T=1s

m=0.1S=1

Nümerik Çözümler



Sonlu Elemanlar Formülasyonu1. Değişkenler

FD için u-w veya u-U , QS ve PD için u-p2. Diskretizasyonla Yaklaşık Çözüm

3. Matrisler

U U UWW W

uu uw uu uw u

wu ww wu ww www

M M K K F0 0M M K K F0 C

u u u w w w p pu= N U, u= N U, u= N U; w= N W, w= N W, w= N W ; p N P, p N P

u

U

ff

uu uU uUuTT

tU UU uUuUt t

KC -C K0M U U U+ + =M UKC0 K-CU U

0 000 0

s sT

f fsf

M K -CC KM C

s

f

FU U UFPP P

0 00

sT

f f

K -CC KC

s

f

FU UFPP

QS

PD

FD

Sıkışamaz Akışkan, Kf 0

sT

K -C

Cs

f

FUFP

21T Tu u u uN n Q N d N D N d

uK

12Tu f UN gn k N d

uUC

TU f UN n N d

UM


1-D Zemin Kolonu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

z/h

p/q0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

p/q0

t (s)

q=q0 eit

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

z/h

p/q0

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

z/h

u(m)

Analytical - - - - - FEM

0 0.5 1 1.5

x 10-5

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0absolute value of displacement distribution

z/H

u/q0

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-5

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0absolute value of displacement distribution

z/H

u/q0


İlerleyen Harmonik Yük Altında 2-D ‘Plane Strain’ Çözüm

• QS ve PD’de, u ve p düğüm noktası DOFs, Gerilmeler integrasyon noktası değişkenleridir.• FD’de, u ve w (veya U) düğüm noktası DOFs, p ve Gerilmeler de integrasyon noktası değişkenleri.

• Q8 elemanı 2x2 Gauss Integrasyonu

• Implicit Newmark temporal integrasyonu

•Kenarlarda periyodik sınır koşulu

L

1 {𝑢𝑤𝑝 }2

1=

2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

zz /q0

z/h

FEM

Analytical

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

xz/q0

z/h

FEM

Analytical


2-D Çözüm için Sonuçların Karşılaştırılması

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p/q0

z/h

FEMAnalytical

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

zz/q0

z/h

FEMAnalytical

PD PD

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p/q0

z/h

FEM

Analytical

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

zz/q0

z/h

FEM

Analytical

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

xz/q0

z/h

FEM

Analytical

QSQS

QS

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

xz/q0

z/h

FEMAnalytical

FDFD

PD

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p/q0

z/h

FEM

Analytical

FD

Kayma GerilmesiBoşluk Suyu Basıncı Efektif Düşey Gerilme


Dalga Yükü Altında Ani Sıvılaşma Potansiyeli

01 1 2 1 03

' 'x z' z K

In-situ Ortalama Efektif Gerilme

Dalga Yükü Ortalama Efektif

Gerilme

Düzlem Şekil Değiştirme için Toplam Ortalama Efektif Gerilme

Primer Kons. Tekrarlı Dalga Yükü

HidroStatik HidroDinamik


Ani Sıvılaşma Potansiyeli

T=5s T=15s

QS

PD

FD

Lineer Dalga


Ani Sıvılaşma Potansiyeli

QS FD

T=15s

Lineer Dalga

Nonlineer Dalga


Granüler Zeminlerin Tekrarlı Yükler Altındaki Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi

• Model kaba daneli granüler zeminlerin tekrarlı yükler altındaki inelastik davranışını açıklayabilmelidir

• Özellikle tekrarlı boşluk suyu basıncı artışları ve plastik deformasyonları doğru hesaplamalıdır

• Poorooshasb ve Pietruszczak (1986)’ın tekrarlı plastisite modeli iyi bir örnektir (bounding surface plasticity)

• Birleşik izotropik-kinematik sertleşme/pekleşme modeli (w/ non-associated flow rule)

• Deprem yükleri altında gevşek kumlarda sıvılaşmaları doğru modellemiştir (Pietruszczak ve Stolle 1987)

1. Ön Değerlendirmeler


İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli

2. Tanımlar

0F g I

1 ,32

iiij ijS S I 3

ijij ij kkS

p

fppA

0

cos 3 6m

nn

g a n

Sınır Yüzeyi

1 33

1 3 3sin ; 6 63 2J

Akma Yüzeyi

0f g I

1 ,2

ij ij ij iiS S I ij ij ijS I

1 g dairesel kesit kabulü= constant <<

After Poorooshasb and Pietruszczak (1986)


İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli

0F g I 0f g I 3. Yükleme Durumu

Birincil (Bakir Yükleme)

•Başlangıçta gerilme vektörü F üzerinde

•Bu sırada f, F’e teğet•Boşaltma olmazsa F malzeme göçene kadar genleşiyor (izotrop pekleşme)

Bakir Olmayan (Yük Çevrimleri)

•İlk boşaltmadan sonraki yükleme- boşaltma çevrimlerinde F genleşir veya daralır (izotrop pekleşme) ve f , F içerisinde geometrik bir kuralla ötelenir (kinematik pekleşme).

•Eğer f, F’e teğet olur veya keserse

malzeme yük hafızası silinir ve tekrar

bakir duruma döner.

After Poorooshasb and Pietruszczak (1986)


İki Yüzeyli Sınırlayan Plastik Modeli4. Akma Kuralı

0

ln 0cIIgI

pij

ij ij ijd d d dev dev

Bakir Yükleme İkincil Yükleme

Global Plastik Potansiyel Fonksiyonu

Not: Zeminlerde ‘non-associated flow rule’ geçerli.

pij p ij ij ijd h n n d

Plastik Çarpan Plastik Çarpan

½' ' '

ijij ij ij

n

½

ijij ij ij

f f fn

01p Bh h

22 1 2

3

22 ln 0

II I

Lokal Plastik Potansiyel Fonksiyonu


5. Elasto-Plastik Malzeme Matrisi

Bakir Yükleme

6. Consistency Condition

e e

ij ijep e

ep

ij ij

FD DD D

F D H 1

e T eij ijep e

e Tij ij

p

D n n DD D

n D nh

0pij p

ij

F Fd d

0ijij

f fd d

Bakir Yükleme

İkincil Yükleme

İkincil Yükleme

01p Bh h


7. Kinematik Pekleşme Kuralı

•Boşaltmadan önce F’e teğet olan f ‘in yeri belirlenmelidir.

•Sadece f hareket eder, F sabittir! f in F içinde hareketi F üzerindeki

karşılıklı iki noktayla belirlenir, Conjugate ve Datum gerilme noktaları.

0

f=0

F=0

After Pietruszczak and Stolle (1987)

c cij ij kl ij ijd d

ijij

c cij kl ij ij

ij

f dd

f


Drenajsız Tekrarlı Üç Eksenli Kesme Deneyi1. Gerilme Kontrollü

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01-60

-40

-20

0

20

40

60

Vertical Strain

q

0 50 100-60

-40

-20

0

20

40

60

p

q

Poorooshasb ve Pietruszczak (1986)

Bu çalışma

G0=15000 kPaK0=30000 kPa (p0’=100 kPa)A=0.0035=2f=0.52 c=0.43'=0.02


2. Şekil Değiştirme Kontrollü

-3 -2 -1 0 1 2 3

x 10-3

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

Shear Strain

q

0 50 100 150 200 250-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

p

q

G0=20000 kPaK0=30000 kPa A=0.0025=2.0f=0.52c=0.43'=0.02

Tekrarlı Drenajsız Üç Eksenli Kesme Deneyi

Pietruszczak ve Poorooshasb (1985)


İlk Nonlineer Dinamik FE Analizleri

G0=20833 kPaK0=27777 kPaA=0.0042=6ff=440

fc=40.50

'=0.026A0=435t=1.54 t/m3

n=0.3Kf=105 kPa

0 0 1 2E E A I

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

p/q

z/h

Nonlinear

Linear

k=1E-5m/sk=1E-4m/s

k=1E-3m/s

k=1E-2m/s

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

zz/q

z/h

Nonlinear

Linear

k=1E-3m/s

k=1E-2m/s

k=1E-4m/s k=1E-5m/s

PD Formülasyonu

Step Load


G=20.8 MPaK0=27.7 MPa A=0.0042, =6ff=450, fc=40.50

'=0.026A0=435t=1.54 t/m3, n=0.3Kf=102 MPa

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

t (s)

p/q

Node 96

Node 91

Node 86

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

p/q

z/h

Harmonik Yük


Doygun Olmayan Poroz Ortamın Dinamik Davranışı


Denklemler gaz fazın (hava) etkisiyle değişir.Nonlineer karakterdedir.

ij ij a a wp p p

Net Gerilme Emme Gerilmesi (Matric Suction)

w w a ap S p S p

, 0ij j i w i i a ig w u v

0w ww i i i w i w i

w w

gp w w u g

k n

,

0a aa i i i a i a i

a a

gp v v u g

k n

,

, , , 0

w wi i w i i i i w w w w

ii w s

n n nw n u u p p nSK K

, , ,1 0w ai i a i i i i a a a a

ii a s

n n nv n u n u p p nSK K

Denge Denklemleri

Süreklilik Denklemleri

𝑛𝑤=nSwa


Boşluk Basınçları ve 3 Fazın Denklemleri 1 2 3wp Q Q Q u w v

4 5 6ap Q Q Q u w v

0Tw s s a a w w an n n σ g w u v

1 2 3 0

T w ww w

w w

gQ Q Q

k nu w v w w u g

4 5 6 0

T a aa a

a a

gQ Q Q

k nu w v v v u g

Burada Q’lar bünye ilişkileriyle belirlenmelidir ve çok önemlidir !!

ww

wkw

kp

gP

aa

aka

kp

gP �̇�𝑆𝑤𝑤❑

❑=[( 𝑛𝑤

𝐾𝑤−𝑛

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑆𝑚)�̇�𝑤 ]❑

❑

Sonuçlar ve Tartışma

University of Toledo 43

1. Analitik çözümler geomekanikte hangi mühendislik probleminde hangi denklemlerin kullanılması gerektiğini belirtir.

2. Boyutsuz büyüklük uzayı herhangi bir yükleme ve poroz ortam için geçerlidir. Davranışın tahmininde kullanılır.

3. QS ve PD formülasyonları çoğunlukla benzer sonuçlar verirken ortamın permeabilitesi ve yükün frekansı arttıkça FD formülasyonu ya da ivme terimlerinin önemi artar.

4. Granüler zeminlerde sıvılaşmanın doğru modellenebilmesi ancak bir tekrarlı plastisite modeli ile mümkündür.

5. Suya doygun olmayan zeminlerin modellenmesi klasik suya doygun zemin mekaniğine göre daha komplikedir. Malzeme nonlineeritesi olmaksızın sistem kendi içinde (matrik emmeden dolayı) nonlineerdir.


Kısa ve Uzun Vadede Araştırma Planı

Kısa Dönem Uzun Dönem

Hesaplamalı Geomekanik

Sistem Boyutu

Malzeme Boyutu (Elemental Behavior)

Comp. Geomech

BiomechanicsMulti-Scale Modeling

- Suya doygun olan ve olmayan poroz ortamın lineer ve nonlineer statik ve dinamik analizi

- Akışkan-Zemin-Yapı etkileşimi ve sistemin deprem etkisi altındaki davranışı

Teorik ve Deneysel Malzeme Modeli


10th International Conference of Numerical Analysis and Applied Math.

ICNAAM 2012 at Kos-Greece www.icnaam.org

Symposium: Analysis of Wave-Induced Seabed Response and Instability

http://www.icnaam.org/


Teşekkürler!

dr. can Ülker deprem mühendisliği ve afet yönetimi enstitüsü

Documents