dr inż. przemysław berowski
TRANSCRIPT
Joseph FourierFourier – na podstawie badań rozpływu ciepła w niejednorodnie ogrzewanych ciałach – zasugerował, że każda funkcja matematyczna, obojętnie jak skomplikowana, może być przedstawiona jako suma pewnych prostych funkcji podstawowych, a mianowicie takich jak te, które opisują czysty ton w muzyce lub czystą barwę światła.
LA Steen, Matematyka współczesna. 12 esejów. WNT, Warszawa 1983
Jean Baptiste Joseph Fourier1768 Auxerre – 1830 Paris
Skąd wzięły się falki?
W XIX w. w standardową technikąrozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych było stosowanie do tego celu szeregu Fouriera, jednak Cauchy, Abel i Dirichlet wskazywali na problemy, związane z rozbieżnością szeregu Fouriera dowolnej funkcji.
Paul David Gustavdu Bois-Reymond
1831 Berlin – 1889 Freiburg
W 1873 r. Paul Du Bois-Reymond jako pierwszy podał przykład ciągłej funkcji okresowej o okresie 2π, której rozwinięcie w szereg Fouriera jest rozbieżne w punkcie.
Skąd wzięły się falki?
Rozwinięcie w szereg Fouriera nie daje informacji o zachowaniu się takiej funkcji, a także nie daje dobrej aproksymacji w otoczeniu punktu x=0.
W 1910 r. Haar podaje nowy system ortogonalny, oparty na funkcji
zdefiniowanej w przedziale [0,1].Alfréd Haar
1885 Budapeszt – 1933 Szeged
Historia falek
1938, Paley-Littlewood, diadyczne grupowanie częstotliwości,1948, Shannon, podstawy teorii informacji,1977, Calderon, dekompozycja atomowa dystrybucji w przestrzeniach parabolicznych Hp,1981, Stromberg, usprawnienie systemu Haara,1984, Grossman i Morlet, analiza sygnałów sejsmicznych za pomocą dekompozycji funkcji Hardyego na całkowalne z kwadratem falki,1986, Meyer, konstrukcja bazy ortogonalnej w L2,z przesuwaniem i rozszerzaniem funkcji gładkiej,1987, Daubechies, ortogonalny system falek oparty na nośniku zwartym (compactly supported),1988, Mallat, analiza wielorozdzielcza i unifikacja konstrukcji falek Stromberga, Battle-Lemarie’a i Meyera.
GW Pan, Wavelets in Electromagnetics and Device Modeling, Wiley 2003
Fala i falka
Fala sinusoidalnastała amplituda,nieskończona energia,analiza Fouriera.
Falkaskończona energia skupiona wokół punktu,analiza falkowa.
Falka
zerowa wartość średnia
normalizacja
skupiona wokół t=0
skończone pasmo przenoszenia
Rodzina falek
przesunięcie ui skalowanie sfalki bazowej (ang. mother wavelet)
normalizacja
Transformata falkowa
Ciągła TF (ang. Continuous (Integral) Wavelet Transform, CWT (IWT))
Jest miarą zmienności funkcji f(t) w otoczeniu u o rozmiarze proporcjonalnym do s
Calderon, Grossmann, Morlet
gdzie:
Odwrotna transformata falkowa
warunek dopuszczalności
ang. admissibility condition
– falka nie może mieć składowej stałej– musi być różniczkowalna w sposób ciągły
zmiana współczynników u i s w sposób ciągły,nieskończona ilośćgenerowanych współczynników,oczywiście w praktyce obliczeniowej przyjmuje się skończony krok –próbkowanie płaszczyzny czasowo-częstotliwościowej
Wady CWT
Funkcja i jej CWT z użyciem maksykańskiego kapelusza (Mexicanhat wavelet)
S Mallat, A wavelet tour of signal processing
Funkcja skalująca φ (t)przyjęcie granicznej wartości współczynnika skali s=s0 ,jeśli Wf(u,s) jest znane tylko dla wartości s<s0 to do odtworzenia oryginalnej funkcji f(t) konieczna jest informacja o Wf(u,s) dla s>s0 ,w tym celu wprowadza się funkcję skalującą (ang. scaling function) i tworzy rodzinę funkcji skalujących (funkcja bazowa funkcji skalującej bywa nazywana po angielsku father wavelet),funkcja skalująca jest „połączeniem” wszystkich falek o współczynniku skali s>s0
Funkcja skalująca φ (t)
Falka Funkcja skalująca
Wartość średnia różna od zera!!!
Falka Haara
Falka Haara nie jest ciągła i w konsekwencji jest trudno lokalizowalna w przedziale częstotliwości
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskalowej
i ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Shanonna
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskaloweji ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Franklina
Iwona Piotrowska, Falki otrzymywane metodą analizy wieloskaloweji ich zastosowania,Praca magisterska, UAM Poznań 2004
Falka Meyera
Modyfikacja odwrotnej transformaty falkowej
Funkcję skalującą można traktować jak odpowiedźimpulsową filtru dolnoprzepustowego, natomiast falkę – filtru pasmowego
Kostka Heisenberga
jej powierzchnia jest niezależna od współczynnika skalirozdzielczośćwzględem czasu i częstotliwości zależy od współczynnika skali
Zazwyczaj przyjmuje się oraz , co daje diadyczne próbkowanie i obliczenia prowadzi się oktawę po oktawieZatem rodzinę falek otrzymujemy przez skalowanie j i przesunięcie k
Falki dyskretne
Jeśli ciągłe skalowanie s i przesunięcie u zastąpi się dyskretnym otrzyma się dyskretną rodzinę falek (j,k – liczby całkowite)
Analiza falkowa
Sygnał może zostać przedstawiony jako suma funkcji skalujących i falek, tworzących rodzinę funkcji ortogonalnych.
Piramida MallataMallat podał zależności między kolejnymi współczynnikami rozkładu.
h – współczynniki filtru dolnoprzepustowego skalującego H,g – współczynniki filtru górnoprzepustowegofalkowego G.
Piramida Mallata
na wyjściu filtru H otrzymujemy uśrednioną, wygładzoną informację o sygnale wejściowym,na wyjściu filtru G – szczegóły sygnału.
Piramida Mallata
3-poziomowa analiza
Zakresy częstotliwości
Ograniczenia
Rozmiar analizowanego sygnału czy funkcji musi mieć rozmiar 2n, n ∈ N. Powstały metody dopasowujące rozmiar sygnału, przez dodanie dodatkowych informacji na jego krańcach.
Ograniczenia
Zero-padding:poza swoim oryginałem sygnał równy 0,nieciągłości na granicy.
Symetryzacja:
symetryczne powielanie sygnału,nieciągłość pierwszej pochodnej na granicy,dobrze nadaje się do obrazów.
Smooth-padding 0:ekstrapolacja stała,dodanie pierwszej wartości sygnału po lewej i ostatniej po prawej jego stronie.
OgraniczeniaSmooth-padding 1:
ekstrapolacja pierwszą pochodną,rozszerzenie sygnału musi pokrywać się z pierwszymi dwoma i ostatnimi dwoma wartościami sygnału,do funkcji gładkich.
Periodic-padding 1:dla parzystej liczby próbekrozszerzenie okresowe,nieciągłości na granicy.
Periodic-padding 2:dla nieparzystej liczby próbek,dodaje się dodatkową wartość po prawej stronie równą ostatniej wartości sygnału,potem (jw.).
Dekompozycja sygnału
filtr górnoprzepustowy
filtr dolnoprzepustowy
Przykładowa analiza sygnału
Analiza obrazu
Obraz przed i po DWT
Analiza obrazu
Kompresja obrazu
Po DWT część współczynników stanie się bardzo mała – można je pominąć (tu: 88,15%)
Kompresja obrazu
W 1986 roku została powołana grupa Joint Photographic ExpertGroup mająca zająć sięstandaryzacją algorytmów do przetwarzania obrazów monochronatycznychi kolorowych. W 1991 w normie ISO zawarto standard JPEG. Standard ten odnosi się do obrazów statycznych, a zatem polega na usunięciu nadmiarowej informacji drogą kodowania wewnątrzobrazowego, tj. dokonanego w obrębie jednego obrazu.
JPEG, bez kompresji, 438 874 B
Kompresja bezstratnaKompresja stratna
Kompresja obrazu
Oko ludzkie, w przypadku kolorowych detali, nie wymaga tak dużej rozdzielczości, jak w przypadku obrazów czarno-białych. Dlatego teżna początku w stratnej kompresji obrazu - w przypadku obrazu kolorowego - wyjściowy obraz przenosimy z przestrzeni RGB do przestrzeni kolorów YUV. Ludzkie zmysły są bardziej wyczulone na składowe Y (luminancję) niż na składowe U (chrominancję, zmiany odcienia szarości w kierunku niebieskim). czy też V (chrominancję, zmiany odcienia szarości w kierunku czerwonym). Obraz jest tablicą pikseli i z powodu ogromnej liczby pikseli w jednym obrazie nie wszystkie piksele są jednocześnie poddawane przetworzeniu. Najpierw dzielimy nasz obraz (macierz) na bloki pikseli rozmiaru 8x8 (zaczynając od lewego górnego rogu), i dopiero te bloki podlegaj¡ kompresji jeden po drugim za pomoc¡ systemu JPEG.
Kompresja obrazu
W roku 2001 grupa Joint Photographic Expert Group okeśliła nowy standard JPEG2000. Standard ten należy traktować jako rozszerzenie poprzedniego, gdyż jego ogólna struktura jest anologiczna, czyli:
przeniesienie obrazu do przestrzeni Y UV ,transformacja wartości,kwantyzacja,kodowanie.
Uwzględnia on jednak użycie nowych narzędzi jakimi są falki.
Kompresja obrazu
JPEG
kompresja 90%
16 116 B
JPEG2000
kompresja 90%
19 469 B
Kompresja obrazu
JPEG
kompresja 95%
8 012 B
JPEG2000
kompresja 95%
9 985 B
Kompresja obrazu
JPEG
kompresja 99%
4 429 B
JPEG2000
kompresja 99%
2 395 B
Kompresja macierzy współczynników
Jeśli potraktuje się macierz współczynników jak obraz cyfrowy i zastosuje się do niej dwuwymiarową transformatę falkową to znaczna część współczynników stanie się bardzo mała i będzie mogła zostać pominięta (jak przy kompresji obrazu).
Macierz DWT
Macierz przekształcenia falkowego W:filtr Hfiltr G
Macierz DWTMacierz ortogonalna, macierz odwrotna do niej jest równa jej macierzy transponowanej.
Spełnione są zależności:
h02+ h1
2+ h22+ h3
2 = 1,h2h0 + h3h1 = 0,h3 - h2 + h1 + h0 = 0,0h3 - 1h2 + 2h1 - 3h0 = 0.
W macierzy można zaniedbać wszystkie współczynniki o wartości bezwzględnej mniejszej od przyjętego progu .
Kompresja macierzy współczynników
Pozostanie nam wtedy około
współczynników o wartościach różnych od zera.
Kompresja macierzy współczynników
Macierz pełna po DWT i zaniedbaniu współczynników
Wpływ na prędkość obliczeńCzasy rozwiązywania układów równań po DWT macierzy współczynników
552,6
5477,5
Dla 8192 równań przyspieszenie do 31,4 razy przy błędzie względnym ok. 1%.
Uzupełnianie układu równań
Jeśli rozmiar macierzy nie jest całkowitą potęgą 2uzupełniamy macierz do takiego rozmiaru zerami poza i jedynkami na głównej przekątnej,uzupełniamy jedynkami wektor prawych stron.
Uzupełnianie układu równań
DWT z permutacjami (DWTPer)macierz przekształcenia
- macierz zerowa,- macierz jednostkowa
o wymiarach 2L-1 – 1, gdzie L – poziom DWTPer
DWT z permutacjami (DWTPer)
DWT z permutacjami (DWTPer)
skrócenie obliczeń już dla 4096 elementów, jednak większe błędy rozwiązania
Zastosowania falekpróby detekcji fal grawitacyjnych (CWT),badanie aktywności Słońca i plam na Słońcu (CWT),JPEG2000,cyfrowe znaki wodne,automatyczne monitorowanie ruchu statków na podstawie obrazów satelitarnych,charakterystyka obrazów (van Gogh, Picasso, Monet, Klee i in.),analiza danych sejsmicznych (CWT i DWT),rozwiązywanie równań różniczkowych i całkowych,filtracja obrazów radarowych (SAR, SyntheticAperture Radar),
Zastosowania falek
rozpoznawanie i identyfikacja twarzy (falka Gabora),rozpoznawanie pisma (OCR) drukowanego i ręcznego,analiza dokumentów,projektowanie czcionek,
eliminacja szumów z obrazów i sygnałów,analiza i klasyfikacja faktury (tekstury),falkowe deskryptory kształtu
32
64
Zastosowania falek
Rozpoznawanie głosu,Detektory wykrywające zdalnie moment pęknięcia tafli szklanej drogą analizy odebranego sygnału dźwiękowego,Identyfikacja stanu funkcjonalnego mózgu,Redukcja zakłóceń mięśniowych w sygnale elektrokardiograficznym,Detekcja zwarć w systemach elektroenergetycznych,Identyfikacja nasycenia rdzeni transformatorów energetycznych,Klasyfikacja dźwięków instrumentów muzycznych,Klasyfikacja sygnałów
Zastosowania falek w ekonomiiBadanie własności procesów ekonomicznych oraz zależności między procesami w różnych skalach czasu (w długim i krótkim okresie),Badanie lokalnych i globalnych własności procesów w różnych rozdzielczościach (z większąbądź mniejszą dokładnością),Wykrywanie załamań strukturalnych, obserwacji nietypowych, punktów zwrotnych, nieciągłości czy skupiania się wariancji,Badanie sezonowości i dostosowywania sezonowego szeregów,Wygładzanie szeregów i wyznaczanie trendów,Modelowanie dynamiki procesów nieliniowych za pomocą sieci
falkowych,Badanie procesów z długą pamięcią,Odkrywanie fraktalnej natury procesów ekonomicznych.
J. Bruzda, Teoria ekonometrii – wykłady, Katedra Ekonometrii i Statystyki WNEiZ UMK
Zastosowania falek
Monitorowanie tętna i oddychania
P Addison, The little wave with the big future,Physics World, March2004
Zastosowania falek
wydech (biały)
wdech (czarny)
ZastosowaniaWizualnie wyraźnie widoczna korelacja między sygnałem a jego CWT – informacje te mogą zostaćzanalizowane przez komputer metodami statystycznymi.Konwencjonalna transformata Fouriera nie dostarcza użytecznych informacji o cechach sygnału!
Astronomia
Odkrycie okresowości oscylacji pola magnetycznego SłońcaOscylacje o okresach:
1,50 ± 0,04 roku,1,79 ± 0,06 roku oraz3,6 ± 0,3 roku .
U góry: analiza falkowa badanych danych, u dołu: analiza Fouriera.
R Knaack, JO Stenflo, SV Berdyugina, Periodic oscillations in the north–southasymmetry of the solar magnetic field, A&A 418, L17–L20 (2004)
Dziękuję za uwagę