drepte plane

8/20/2019 Drepte Plane

1/12

5. Dreapta şi planul în spaţiu

5.1. Dreapta determinat¼a de un punct şi de un vectordirector

Fie M 0 (x0; y0; z 0)un punct din E3 şi d = li +mj +nk 2 V3. Not¼am cu D dreaptacare trece prin M 0 şi are direcţia vectorului liber d. Se mai spune c¼a d este vectoruldirector al dreptei D. Un punct M (x ;y;z ) din spaţiu aparţine dreptei D dac¼a şinumai dac¼a vectorii liberi M 0M şi d sunt coliniari. Cum coliniaritatea a doi vectoriliberi este echivalent¼a cu liniar dependenţa lor, înseamn¼a c¼a M 2 D dac¼a şi numaidac¼a exist¼a t 2 R astfel încât M 0M = td. Cum M 0M = (xx0)i+(yy0) j+(z z 0)k,egalitatea M 0M = td este echivalent¼a cu egalit¼a̧tile x x0 = tl; y y0 = tm;z z 0 = tn.

În concluzie, punctul M (x ;y;z ) aparţine dreptei D dac¼a şi numai dac¼a exist¼at 2 R astfel încât coordonatele sale s¼a …e de forma x = x0 + tl; y = y0 + tm;z = z 0 + tn. Ob̧tinem astfel ceea ce se numesc ecuaţiile parametrice ale dreptei Dcare trece prin punctul M 0 (x0; y0; z 0) şi are direcţia vectorului liber d = li +mj+nk :

x = x0 + tl; y = y0 + tm; z = z 0 + tn; t 2 R: ()

t se numeşte parametru. Interpretarea ecuaţiilor () este urm¼atoarea: un punctM (x ;y;z ) din spaţiu se a‡¼a pe dreapta D dac¼a şi numai dac¼a exist¼a t din R astfelîncât s¼a aib¼a loc egalit¼aţile de la (). Când t parcurge pe R obţinem toate puncteledreptei D:

Coliniaritatea vectorilor liberi M 0M şi d se poate exprima scriind proporţiona-litatea coordonatelor lor, adic¼a

x x0l

= y y0

m =

z z 0n

: ()

Am obţinut astfel ecua̧tiile dreptei care trece prin punctul M 0 (x0; y0; z 0) şi aredirecţia vectorului liber d = li + mj + nk:

Ecuaţiile () sunt valabile şi dac¼a unul sau dou¼a dintre numerele l; m; n suntnule (dar nu toate trei). Proporţionalitatea coordonatelor vectorilor liberi M 0M şi dimpune ca atunci când un numitor din ecuaţia () este 0, s¼a lu¼am 0 şi num¼ar¼atorul

corespunz¼ator. Astfel ecuaţiilex x0

0 =

y y0m

= z z 0

n (m 6= 0; n 6= 0)

sunt echivalente cu ecuaţiile

x = x0 şi y y0

m =

z z 0n

;

iar ecuaţiilex x0

0 =

y y00

= z z 0

n (n 6= 0)

1


2/12

sunt echivalente cu ecuaţiilex = x0; y = y0:

Exemple. a) Fie punctul M 0(1; 1; 0) şi vectorul liber d = 2i+3 j+k: Ecuaţiiledreptei care trece prin M 0 şi are direcţia vectorului d sunt

x 12 = y + 13 = z 1 :

Putem ob̧tine ecua̧tiile parametrice ale acestei drepte egalând cele trei rapoarte de

mai sus cu t şi scoţând de aici pe x; y; z : x 1

2 = y + 1

3 =

z

1 = t; de unde x = 12t;

y = 1 + 3t; z = t; t 2 R:b) Ecua̧tiile dreptei care trece prin punctul M (1; 2; 2) şi are direcţia vectorului

d = 2i + k suntx 12 =

y 20

= z + 2

1

sau, echivalent,

x + 2z + 3 = 0 şi y = 2:c) Ecua̧tiile dreptei care trece prin punctul M (3; 1; 2) şi are direcţia vectorului

d = j suntx 3

0 =

y 11

= z 2

0sau, echivalent,

x = 3 şi z = 2:

5.2. Dreapta determinat¼a de dou¼a puncte

Fie M 1 (x1; y1; z 1) şi M 2 (x2; y2; z 2) dou¼a puncte distincte din spaţiu şi D dreaptadeterminat¼a de cele dou¼a puncte. Putem considera c¼a D este dreapta determinat¼ade punctul M 1 şi de vectorul director M 1M 2 = (x2 x1)i + (y2 y1) j + (z 2 z 1)k.Folosind ecuaţiile (), g¼asim ecuaţiile acestei drepte

x x1x2 x1 =

y y1y2 y1 =

z z 1z 2 z 1

sau, folosind ecuaţiile (), g¼asim ecua̧tiile parametrice ale acestei dreptex = x1 + t(x2 x1); y = y1 + t(y2 y1); z = z 1 + t(z 2 z 1); t 2 R:

Dac¼a în ecua̧tiile de mai sus t apaŗtine unei submulţimi a lui R, atunci ecuaţi-ile descriu numai o parte din dreapta D: De exemplu, pentru t 2 [0; 1] obţinemsegmentul de dreapt¼a M 1M 2.

Exemplu. Ecuaţiile dreptei determinat¼a de punctele M 1(1; 1; 2) şi M 2(1; 1; 1)sunt

x 12 =

y 10

= z 2

1sau

x 2z + 3 = 0; y = 1:

2


3/12

5.3. Planul determinat de un punct şi de un vector normal

Fie M 0 (x0; y0; z 0) un punct din spaţiul E3 şi n = ai + bj + ck un vector libernenul. Not¼am cu planul care trece prin M 0 şi este perpendicular pe vectorul libern. Se mai spune c¼a n este un vector normal la planul .

Un punct M (x ;y;z ) din spaţiu aparţine planului dac¼a şi numai dac¼a vectorulliber M 0M este perpendicular pe n; adic¼a dac¼a şi numai dac¼a M 0M n = 0: CumM 0M = (xx0)i+(yy0) j+(z z 0)k; avem M 0M n = a(xx0)+b(yy0)+c(z z 0)şi obţinem ecuaţia planului care trece prin M 0(x0; y0; z 0) şi are ca vector normal pen = ai + bj + ck :

a(x x0) + b(y y0) + c(z z 0) = 0: ()Exemplu. Ecua̧tia planului care trece prin punctul M 0(1; 0; 3) şi are ca vector

normal pe n = 2i j + k este2(x + 1) + (1)(y 0) + 1(z 3) = 0

sau2x y + z 1 = 0:

5.4. Ecua̧tia cartezian¼a general¼a a planului

Ecuaţia () este echivalent¼a cuax + by + cz + d = 0; ()

unde d = ax0 by0 cz 0.Ecuaţia (

) se numeşte ecuaţia cartezian ¼ a general ¼ a a planului. Aceast¼a denu-

mire este justi…cat¼a de faptul c¼a, pe de o parte, ecua̧tia oric¼arui plan poate … pus¼asub forma (), iar pe de alt¼a parte, orice ecuaţie de forma () reprezint¼a ecuaţiaunui plan.

Într-adev¼ar, …e un plan oarecare. Alegem un punct M 0(x0; y0; z 0) din acestplan şi …e n = ai + bj + ck un vector liber perpendicular pe planul : Atuci areecuaţia de forma ().

Reciproc, …e mulţimea punctelor din spaţiu M (x ;y;z ) care satisfac ecuaţia ().S¼a …x¼am unul din aceste puncte, M 0(x0; y0; z 0): Atunci are loc relaţia ax0 + by0 +cz 0 + d = 0 din care rezult¼a d = ax0 by0 cz 0: Ecuaţia () se poate scrieax + by + cz ax0 by0 cz 0 = 0 sau a(x x0) + b(y y0) + c(z z 0) = 0:

Ultima egalitate echivaleaz¼a cu faptul c¼a vectorii liberi n

= ai

+ bj

+ ck

şi M 0M

=(x x0)i + (y y0) j + (z z 0)k sunt ortogonali, adic¼a punctul M se a‡¼a în planulcare trece prin M 0 şi este perpendicular pe n. Deci muļtimea punctelor din spaţiuM (x ;y;z ) care satisfac ecuaţia () este un plan.

Observaţie. Din cele spuse mai sus se vede c¼a planul de ecuaţie ax + by +cz + d = 0 este perpendicular pe vectorul n = ai + bj + ck: n se numeşte vectorul normal la planul .

Exemplu. Vectorul normal al planului de ecuaţie 2x y + 3z + 7 = 0 esten = 2i j + 3k.

3


4/12

5.5. Planul determinat de trei puncte necoliniare

Fie M 1 (x1; y1; z 1) ; M 2 (x2; y2; z 2) şi M 3 (x3; y3; z 3) trei puncte necoliniare.

Observ¼am c¼a punctele M 1; M 2 şi M 3 sunt coliniare dac¼a şi numai dac¼a M 3aparţine dreptei determinat¼a de M 1 şi M 2; adic¼a dac¼a şi numai dac¼a au loc egalit¼a̧tile

x3 x1x2 x1 =

y3 y1y2 y1 =

z 3 z 1z 2 z 1 :

Evident, ele sunt necoliniare dac¼a şi numai dac¼a cel puţin dou¼a din rapoartele demai sus sunt diferite.

Ecua̧tia planului determinat de cele trei puncte se poate scrie sub forma

x y z 1

x1 y1 z 1 1

x2 y2 z 2 1

x3 y3 z 3 1

= 0: (&)

Într-adev¼ar, dac¼a dezvolt¼am determinantul din ecuaţia (&) dup¼a prima linie, g¼asim

y1 z 1 1

y2 z 2 1

y3 z 3 1

x

x1 z 1 1

x2 z 2 1

x3 z 3 1

y +

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

z

x1 y1 z 1

x2 y2 z 2

x3 y3 z 3

= 0;adic¼a o ecuaţie de forma (). Aceasta arat¼a c¼a (&) este ecua̧tia unui plan. Acestplan trece prin punctele M 1; M 2; M 3 pentru c¼a …ecare din aceste puncte satis-face ecuaţia (&) (se obţine un determinant cu dou¼a linii egale). Deci ecuaţia (&)este chiar ecuaţia planului determinat de punctele M 1 (x1; y1; z 1) ; M 2 (x2; y2; z 2) şiM 3 (x3; y3; z 3).

Exemplu. Ecua̧tia planului care trece prin punctele M 1(1; 6; 1); M 2(1; 0; 5);

M 3(2; 1; 2) este

x y z 1

1 6 1 1

1 0 5 1

2 1 2 1

= 0.

Dezvoltând determinantul dup¼a prima linie, g¼asim

4


5/12

6 1 1

0 5 1

1 2 1

x

1 1 1

1 5 1

2 2 1

y +

1 6 1

1 0 1

2 1 1

z

1 6 1

1 0 5

2 1 2

= 0sau 2x y + z + 3 = 0.

5.6. Condi̧tia de coplanaritate a patru puncte din spa̧tiu

Având în vedere cele spuse mai sus, este clar c¼a punctele M 0(x0; y0; z 0);M 1 (x1; y1; z 1) ; M 2 (x2; y2; z 2) şi M 3 (x3; y3; z 3) sunt coplanare dac¼a şi numai dac¼a

x0 y0 z 0 1

x1 y1 z 1 1

x2 y2 z 2 1

x3 y3 z 3 1

= 0:

Exemplu. Pentru a veri…ca dac¼a punctele M 0(1; 1; 0); M 1(1; 6; 1); M 2(1; 0; 5);

M 3(2; 1; 2) sunt coplanare, calcul¼am determinantul =

1 1 0 1

1 6 1 1

1 0 5 1

2 1 2 1

:

Constatând c¼a = 0; tragem concluzia c¼a cele patru puncte sunt coplanare.

5.7. Ecua̧tia planului prin t¼aieturi

S¼a presupunem c¼a planul se intersecteaz¼a cu axele Ox; Oy; Oz respectiv înpunctele A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C (0; 0; c) (a

6= 0; b

6= 0; c

6= 0). Punctele A; B; C se

numesc t ¼ aieturile planului .Atunci putem scrie ecuaţia planului utilizând (&) :

x y z 1

a 0 0 1

0 b 0 1

0 0 c 1

= 0:

5


6/12

Dezvoltând determinantul dup¼a prima linie şi împ¼arţind cu produsul abc; g¼asimecuaţia planului ale c¼arui t¼aieturi sunt A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C (0; 0; c) :

x

a +

y

b +

z

c = 1:

Exemplu. Planul care trece prin punctele A(2; 0; 0); B(0; 3; 0); C (0; 0; 1) areecuaţia

x

2 +

y

3 z = 1.

5.8. Planul determinat de un punct şi de doi vectorinecoliniari

Fie M 0 (x0; y0; z 0) un punct din spaţiu şi u = l1i + m1 j + n1k; v = l2i + m2 j + n2kdoi vectori liberi necoliniari. Fie planul determinat de punctul M 0 şi de vectoriiliberi u şi v. Un punct M (x ;y;z ) din spaţiu aparţine planului dac¼a şi numaidac¼a vectorii liberi M 0M; u ; v sunt coplanari, adic¼a dac¼a şi numai dac¼a cei treivectori liberi sunt liniar dependenţi. Dar liniar dependenţa lor este echivalent¼a cufaptul c¼a exist¼a scalarii s şi t astfel încât M 0M = su + tv: Înlocuind aici M 0M =(x x0)i + (y y0) j + (z z 0)k şi u; v cu expresiile lor în coordonate, g¼asim c¼aM (x ;y;z ) aparţine planului dac¼a şi numai dac¼a exist¼a s; t 2 R astfel încât

8>>>><>>>>:

x = x0 + sl1 + tl2

y = y0 + sm1 + tm2

z = z 0 + sn1 + tn2

:

Aceste ecuaţii se numesc ecuaţiile parametrice ale planului determinat de punctul M 0 (x0; y0; z 0) şi vectorii liberi u = l1i + m1 j + n1k; v = l2i + m2 j + n2k.

Un alt mod de a exprima coplanaritatea vectorilor liberi M 0M; u; v este de aspune c¼a produsul lor mixt

M 0M ; u ; v

este nul. Ţinând cont de expresiile vectorilor

M 0M ; u; v în baza ortonormal¼a fi ; j ; kg şi de expresia produsului mixt, g¼asim ecuaţiaplanului determinat de punctul M 0 (x0; y0; z 0) şi de vectorii liberi u; v :

x x0 y y0 z z 0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

= 0:

Exemplu. Consider¼am punctul M 0(2; 1; 5) şi vectorii liberi u = i + j + 2k;v = 3i + 2 j k: Ecuaţiile parametrice ale planului determinat de M 0 şi de cei doivectori sunt 8>>>><

>>>>:

x = 2 s + 3t

y = 1 + s + 2t

z = 5 + 2s

t

; s; t 2 R:

6


7/12

Ecuaţia planului este

x 2 y 1 z 5

1 1 2

3 2 1

= 0:

Dezvoltând dup¼a prima linie

1 2

2 1

(x 2)

1 2

3 1

(y 1) +

1 1

3 2

(z 5) = 0

şi efectuând calculele, g¼asim

x y + z 6 = 0:

5.9. Dreapta ca interseçtie de plane

Consider¼am planele 1 de ecuaţie a1x + b1y + c1z + d1 = 0 şi 2 de ecuaţiea2x + b2y + c2z + d2 = 0: Condiţia ca aceste plane s¼a nu …e paralele sau confundate

este ca rang

0@

a1 b1 c1

a2 b2 c2

1A = 2: Într-adev¼ar, condi̧tia ca planele 1 şi 2 s¼a

nu …e paralele sau confundate este ca vectorii lor normali n1 = a1i + b1 j + c1k şin2 = a2i + b2 j + c2k s¼a …e necoliniari (neparaleli), ceea ce este echivalent cu faptul

c¼a n1 n2 6= 0: Cum n1 n2 =

i j k

a1 b1 c1

a2 b2 c2

=

b1 c1

b2 c2

i

a1 c1

a2 c2

j +

a1 b1

a2 b2

k; n1 n2 este nenul dac¼a şi numai dac¼a cel puţin unul dintre determi-

nanţii

b1 c1

b2 c2

;

a1 c1

a2 c2

;

a1 b1

a2 b2

este nenul, adic¼a dac¼a şi numai dac¼a

rang

0@

a1 b1 c1

a2 b2 c2

1A = 2:

Presupunând c¼a planele 1şi 2 nu sunt paralele sau confundate, interseçtia lor1 \ 2 este o dreapt¼a D:

Ecuaţiile dreptei D sunt8<

:

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

a2x + b2y + c2z + d2 = 0

7


8/12

deoarece muļtimea punctelor M (x ;y;z ) care satisfac cele dou¼a ecuaţii este tocmaimulţimea punctelor intersecţiei planelor 1şi 2:

Este clar c¼a dreapta D apaŗtinînd atât planului 1 cât şi planului 2 este per-pendicular¼a şi pe n1 = a1i + b1 j + c1k şi pe n2 = a2i + b2 j + c2k (vectorii normali aiplanelor 1şi 2): Din acest motiv dreapta D este paralel¼a cu n1

n2: Deci vectorul

liber n1 n2 poate … considerat ca …ind vectorul director al dreptei D:Exemple. a) Fie punctele A(1; 2; 1) şi B(0; 3; 1): Vrem s¼a scriem ecuaţiile dreptei

AB ca intersecţie de plane.

Ecuaţiile dreptei AB sunt x 10 1 =

y 23 2 =

z 11 1 sau

x 11 =

y 21

= z 1

0 .

Egalitatea primelor dou¼a rapoarte ne d¼a x + y 3 = 0: Deoarece ultimul raport arenumitorul egal cu 0, avem ecuaţia z 1 = 0: Deci ecuaţiile dreptei AB ca intersecţiede plane sunt x + y 3 = 0 şi z 1 = 0:

b) Se consider¼a dreapta D de ecuaţii 3x + 6y 2z + 1 = 0 şi 2x + y + z 3 = 0.Vrem s¼a g¼asim vectorul director al dreptei D: Vectorii normali ai celor dou¼a plane

sunt n1

= 3i + 6 j 2k şi n2

= 2i + j + k, iar vectorul director al dreptei D este

d = n1 n2 =

i j k

3 6 2

2 1 1

= 8i 7 j 9k.

5.10. Distaņta de la un punct la o dreapt¼a

Fie D dreapta determinat¼a de punctul A şi de vectorul director d şi M 0 un punctexterior dreptei. Distanţa de la M 0 la D, notat¼a d(M 0; D); este lungimea segmentuluiM 0M

0

0; unde M 0

0 este proiecţia lui M 0 pe dreapta D: Aria paralelogramului construit

pe reprezentaņtii vectorilor liberi AM 0 şi d este egal¼a cu d AM 0

: Pe de alt¼aparte, aria aceluiaşi paralelogram este egal¼a cu baza

d înmuļtit¼a cu în¼aļtimeajM 0M 00j = d(M 0; D): Din egalitatea

d AM 0 = d d(M 0; D); obţinem

d(M 0; D) =

d AM 0

d :

Exemplu. Vrem s¼a calcul¼am distanţa de la punctul M 0(3; 2; 1) la dreapta D deecuaţii

x 23

= y 1

2 =

z 34

:

Dreapta D este determinat¼a de punctul A(2; 1; 3) şi de vectorul director d = 3i +2 j +4k: Avem AM 0 = (32)i+(21) j +(13)k = i+ j2k;

d = p 32 + 22 + 42 =p 29 şi

d AM 02 = d2 AM 0

2 (d AM 0)2 = 29 6 (3)2 = 165 şi atuncid(M 0; D) =

p 165p 29

.

8


9/12

5.11. Distaņta de la un punct la un plan

Fie planul şi punctul M 0 exterior lui : S¼a consider¼am mai întâi cazul în careplanul este determinat de punctul A şi de vectorul normal n. Distanţa de la M 0 laplanul ; d(M 0; ); este lungimea segmentului M 0M 00; unde M

0

0 este proiecţia lui M 0

pe planul : Dac¼a este unghiul f ¼acut de AM 0 cu n; atunciAM 0jcos j coincide cu

jM 0M 00j ; adic¼a cu d(M 0; ): Pe de alt¼a parte, avemn AM 0

= knkAM 0jcos j ;

de unde

d(M 0; ) =

n AM 0

knk :

Exemplu. S¼a se calculeze distaņta de la punctul M 0(2; 1; 3) la planul determinat de punctul A(1; 2; 0) şi vectorul normal n = 5i 3 j + 2k . Avemknk =

p 52 + (3)2 + 22 = p 38 şi n AM 0 = (5i 3 j + 2k) (3i j + 3k) =

5 (3) + (3) (1) + 2 3 = 6: d(M 0; ) = 6p 38

.

S¼a presupunem acum c¼a planul este dat prin ecua̧tia sa cartezian¼a ax + by +cz + d = 0 şi c¼a punctul M 0 are coordonatele x0; y0; z 0: Fie A(xA; yA; z A) un punctoarecare din plan. Atunci n = ai + bj + ck şi AM 0 = (x0 xA)i + (y0 yA) j +(z 0z A)k: Avem d(M 0; ) =

n AM 0

knk = ja(x0 xA) + b(y0 yA) + c(z 0 z A)jp

a2 + b2 + c2=

jax0 + by0 + cz 0 + djp a2 + b2 + c2

; deoarece axA byA cz A = d (A …ind din planul ).Am obţinut astfel formula distanţei de la punctul M 0 (x0; y0; z 0) la planul de

ecuaţie ax + by + cz + d = 0 :

d(M 0; ) = jax0 + by0 + cz 0 + djp a2 + b2 + c2

:

Exemplu. S¼a se calculeze distaņta de la punctul M 0(2; 1; 3) la planul deecuaţie 5x 3y + 2z + 1 = 0: Avem d(M 0; ) = j5 (2) 3 1 + 2 3 + 1jp

52 + (3)2 + 22 = 6p

38.

5.12. Unghiul a dou¼a drepte, unghiul a dou¼a plane şiunghiul dintre o dreapt¼a şi un plan

Unghiul a dou¼a drepte orientate. Fie dreptele oarecare D1 şi D2 care auvectorii directori d1 = l1i + m1 j + n1k şi d2 = l2i + m2 j + n2k . Deoarece vectoriidirectori ai dreptelor D1 şi D2 au fost …xaţi, se spune c¼a dreptele au fost orientate.

De…niţia 1. Unghiul dreptelor orientate D1 şi D2 se consider¼a a … unghiulvectorilor lor directori d1 şi d2.

S¼a not¼am cu unghiul dreptelor orientate D1 şi D2. Avem

cos = d1 d2

d1 d2

= l1l1 + m1m2 + n1n2

p l2

1 + m2

1 + n2

1

p l22 + m2

2 + n2

2

:

9


10/12

Exemplu. Dreptele D1 şi D2 au respectiv ecua̧tiile x 1

2 =

y + 1

3 =

z

1şi

x + 2

3 = y 1

1 =

z + 5

0 . Consider¼am c¼a ele sunt orientate respectiv de vec-

torii d1 = 2i + 3 j k şi d2 = 3i j . Dac¼a este unghiul lor, atunci cos =2

3 + 3

(

1) + (

1)

0p 22 + 32 + (1)2

p 32 + (1)2 + 02 =

3p 14 p 10 =

3

2p 35 .

Unghiul a dou¼a plane orientate. Fie planele 1 şi 2 care au vectorii normalin1 = a1i + b1 j + c1k şi n2 = a2i + b2 j + c2k. Deoarece vectorii normali ai planelor1 şi 2 au fost …xaţi, se spune c¼a planele au fost orientate.

De…niţia 2. Unghiul planelor orientate 1 şi 2 se consider¼a a … unghiulvectorilor lor normali n1 şi n2.

S¼a not¼am cu unghiul planelor 1 şi 2. Avem

cos = n1

n2

kn1k kn2k = a1a1 + b1b2 + c1c2p a21 + b2

1 + c2

1 p

a22 + b2

2 + c2

2

:

Exemplu. Planele 1 şi 2 de ecuaţii 5x2y+3z +2 = 0; 3x+yz +3 = 0 se con-sider¼a a … orientate de vectorii normali n1 = 5i2 j +3k şi n2 = 3i+ jk: Dac¼a esteunghiul celor dou¼a plane, atunci cos =

5 3 + (2) 1 + 3 (1)p 52 + (2)2 + 32

p 32 + 12 + (1)2 =

10p 38 p 11 .

Unghiul dintre o dreapt¼a şi un plan. Fie dreapta D orientat¼a prin vectorul

director d şi planul orientat prin vectorul normal n.De…ni̧tia 3. Unghiul dintre dreapta D şi planul este = 90 '; unde ' este

unghiul dintre vectorii liberi d şi n.

Avem

sin = cos ' = d nd knk :

Exemplu. Fie dreapta D de ecuaţii x 3

5 =

y + 2

1 =

z 17

şi planul de ecuaţie

2x y + z + 3 = 0: Consider¼am c¼a dreapta D este orientat¼a prin vectorul directord = 5i + j + 7k; iar planul prin vectorul normal n = 2i

j + k: Dac¼a este unghiul

dintre dreapta d şi planul ; atunci sin = 5 2 + 1 (1) + 7 1p 52 + 12 + 72

p 22 + (1)2 + 12 =

16p 75 p 6 =

8p

2

15 .

10


11/12

5.13. Exerci̧tii

1. S¼a se scrie ecua̧tiile dreptei care trece prin punctul M (2; 2; 1) şi are direçtiavectorului : a) d = i 5 j + 2k; b) d = j + k; c) d = k.

2. Care este vectorul director al dreptei D de ecuaţii x 12

= y + 23

= z + 14

?

3. Se cer ecua̧tiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul M (0; 1; 1) şiare vectorul director d = 2i + j k.

4. S¼a se scrie ecuaţiile dreptei determinat¼a de punctele M 1(3; 2; 1) şi M 2(0; 1; 2).S¼a se dea şi forma parametric¼a.

5. S¼a se g¼aseasc¼a ecua̧tia planului care trece prin punctul M (2; 1; 4) şi arevectorul normal n = 7i + j k.

6. Care este vectorul normal al planului de ecuaţie 3x + y 2z + 1 = 0?7. S¼a se scrie ecua̧tia planului care trece prin punctele A(0; 2; 2); B(1; 3; 1);

C (4; 5; 0).

8. Sunt coplanare punctele M (1; 2; 1); N (1; 0; 2); P (1; 1; 0); Q(1; 6; 0)?9. Utilizând ecuaţia planului prin t¼aieturi, s¼a se scrie ecuaţia planului determinat

de punctele A(1; 0; 0); B(0; 2; 0); C (0; 0; 3).10. S¼a se scrie ecua̧tia cartezian¼a general¼a şi ecuaţiile parametrice ale planului

care conţine punctul M 0(1; 1; 2) şi vectorii liberi u = i + j k; v = 2i 2 j + k.

11. Fie punctele A(3; 0; 2) şi B(1; 1; 1): S¼a se scrie ecua̧tiile dreptei AB caintersecţie de plane.

12. Se d¼a dreapta D de ecuaţii x + y = 1; y z = 2: S¼a se g¼aseasc¼a vectoruldirector al dreptei D.

13. S¼a se scrie ecua̧tia planului care trece prin punctul A(3; 5; 2) şi este paralelcu planul de ecuaţie 6x y z = 1.

14. S¼a se scrie ecua̧tia planului care trece prin punctul M (1; 0; 2) şi conţinedreapta D de ecuaţii 4x y + 2z + 3 = 0; x + y 5z 1 = 0.

15. S¼a se calculeze distanţa de la punctul A(4; 2; 1) la dreapta D de ecuaţiix + 12

= y 2

3 = z

8.

16. S¼a se calculeze distaņta de la punctul A(2; 1; 0) la dreapta D de ecuaţiix + y = 1; z = 2.

17. S¼a se calculeze distanţa de la punctul M (1; 1; 1) la planul determinat de:a) punctul A(2; 0; 3) şi vectorul normal n = 2i + j 3k.b) ecuaţia sa x y + 2z + 3 = 0.c) punctul A(0; 0; 2) şi vectorii liberi u = 3i + 2 j k; v = 2i + j + 2k.

11


12/12

18. S¼a se orienteze dreptele D1 : x 1

2 =

y + 1

3 = z şi D2:

x 22

= y

2 = z + 1

şi s¼a se calculeze unghiul lor.

19. Se consider¼a planele 1: 2x+3z = 1 şi 2: x+y +z +3 = 0: S¼a se orientezeplanele şi s¼a se calculeze unghiul lor.

20. Se consider¼a dreapta D: x + 1

3 = y 2

2 =

z + 3

1 şi planul : 5x+y+7z +9 =0: S¼a se orienteze dreapta D şi planul şi s¼a se calculeze unghiul dintre ele.

21. S¼a se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin punctul A(3; 2; 5) şi este per-pendicular¼a pe planul de ecuaţie 4x + 3y z + 5 = 0.

22. S¼a se g¼aseasc¼a ecuaţia planului care trece prin A(1; 3; 4) şi este paralel cudreptele D1: x = z 1; y = 2z + 3 şi D2: x = 2z 1; y = 3z + 2.

23. Se dau punctul A(2; 1; 2) şi planul de ecuaţie x + 5y 2z + 3 = 0: S¼a se

g¼aseasc¼a:a) proiecţia lui A pe planul :b) simetricul lui A fa̧t¼a de planul :

24. S¼a se scrie ecua̧tiile simetricei dreptei D: x 2

3 =

y + 1

2 =

z 21 fa̧t¼a de

planul de la exerciţiul precedent.

25. Se d¼a punctul A(5; 7; 1) şi dreapta D de ecuaţii x 12

= y = z + 3

2 : Secer:a) proiecţia punctului A pe dreapta D:b) simetricul lui A fa̧t¼a de dreapta D:

26. S¼a se g¼asesc¼a simetricul punctului A(6; 3; 2) fa̧t¼a de punctul B(1; 1; 1):

27. S¼a se scrie ecua̧tiile simetricei dreptei D: x 6

2 =

y 31

= z + 2

5 fa̧t¼a de

punctul B (1; 1; 1):

28. Se cere simetricul planului de ecuaţie 2x 5y + z 6 = 0 fa̧t¼a de:a) punctul A(2; 0; 3):b) planul de ecuaţie 2x 5y + z + 1 = 0:29. S¼a se g¼asesc¼a proiecţia dreptei D de ecuaţii 2x + 2y + z = 1; y z = 3 pe

planul de ecuaţie x 3y z + 2 = 0:

drepte plane

Documents