drgania układu o wielu stopniu swobody - wbia.pollub.pl · drgania własne układ o wielu...
TRANSCRIPT
Zasada d’Alamberta
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosowaćzasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły bezwładności.
m mm
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
2
Drgania w łasne uk ład o wielu stopniach swobody
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności:
m mm
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
∑=
=−n
jjiji By
1
δ j j jB m y= ɺɺgdzie:
a dla belki powyżej
1 11 1 12 2 13 3y B B Bδ δ δ− = + +
2 21 1 22 2 23 3y B B Bδ δ δ− = + +
3 31 1 32 2 33 3y B B Bδ δ δ− = + +
1 11 1 1 12 2 2 13 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ
lub 2 21 1 1 22 2 2 23 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ
3 31 1 1 32 2 2 33 3 3y m y m y m yδ δ δ= + +ɺɺ ɺɺ ɺɺ
Brak siły wymuszającej drgania
3
Drgania w łasne uk ład o wielu stopniach swobody
Rozwiązanie równania różniczkowego ma formę:
( )sini iy A tω= czyli ( )2 sini iy A tω ω=−ɺɺ
( ) ( ) ( ) ( )tAmtAmtAmtA ωωδωωδωωδω sinsinsinsin 23313
22212
211111 ++=
1 11 1 1 12 2 2 13 3 3
2 21 1 1 22 2 2 23 3 3
3 31 1 1 32 2 2 33 3 3
y m y m y m y
y m y m y m y
y m y m y m y
δ δ δδ δ δδ δ δ
= + +
= + +
= + +
ɺɺ ɺɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ ɺɺ
( ) ( ) ( ) ( )tAmtAmtAmtA ωωδωωδωωδω sinsinsinsin 23323
22222
211212 ++=
( ) ( ) ( ) ( )tAmtAmtAmtA ωωδωωδωωδω sinsinsinsin 23333
22232
211313 ++=
m mm
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
gdzie ω – częstość drgań własnych
4
Równanie ruchu uk ładu o kilku stopniach swobody
Po przekształceniach układ równań przybiera formę:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 21 11 1 1 12 2 2 13 3 3
2 2 22 21 1 1 22 2 2 23 3 3
2 2 23 31 1 1 32 2 2 33 3 3
sin sin sin sin
sin sin sin sin
sin sin sin sin
A t m A t m A t m A t
A t m A t m A t m A t
A t m A t m A t m A t
ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω
ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω
ω δ ω ω δ ω ω δ ω ω
= + +
= + +
= + +
m mm
B
y
B
y
B
y
1
1
1
2
2
2
3
3
3
11 1 1 12 2 2 13 3 32
21 1 1 22 2 2 23 3 32
31 1 1 32 2 2 33 3 32
10
10
10
m A m A m A
m A m A m A
m A m A m A
δ δ δω
δ δ δω
δ δ δω
= − + +
= + − +
= + + −
Brak siły wymuszającej drgania własne
5
Wyznaczanie cz ęstości drga ńwłasnych
Układ równań opisujący ruch:
3313221212111
10 AmAmAm δδ
ωδ ++
−=
3323222221121
10 AmAmAm δ
ωδδ +
−+=
3233322321131
10 AmAmAm
−++=ω
δδδ
lub
0
1
1
1
3
2
1
2333232131
3312222121
3132122111
=
−
−
−
A
A
A
mmm
mmm
mmm
ωδδδ
δω
δδ
δδω
δ
6
Wyznaczanie cz ęstości drga ńwłasnych
Układ równań opisujący ruch:
gdzie:
niewiadomymi są ω – częstość drgań własnych [rad/s], Ai –amplitudy drgań mas na i –tym stopniu swobodya znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j
0
1
1
1
3
2
1
2333232131
3312222121
3132122111
=
−
−
−
A
A
A
mmm
mmm
mmm
ωδδδ
δω
δδ
δδω
δ
7
Wyznaczanie cz ęstości drga ńwłasnych
Rozwiązanie układu równań :
0
1
1
1
2333232131
3312222121
3132122111
=
ω−δδδ
δω
−δδ
δδω
−δ
mmm
mmm
mmm
0
3
2
1
=AAA
lub
To jest nie prawdą
czyli to musi być równe zero
8
Wyznaczanie cz ęstości drga ńwłasnych
Częstości są rozwiązaniem równania jakie powstanie po policzeniu wyznacznika:
0
1
1
1
2333232131
3312222121
3132122111
=
ω−δδδ
δω
−δδ
δδω
−δ
mmm
mmm
mmm
0
1
1
1
32333231
312
22221
13121
211
=
−
−
−
m
m
m
ωδδδ
δω
δδ
δδω
δ
Po podzieleniu kolumn przez mi ten wyznacznik wygląda tak:
9
Wyznaczanie amplitud drga ń własnych
Amplitud drgań własnych nie można policzyć, natomiast można policzyć stosunek amplitud. Układ równań:
3313221212111
10 AmAmAm δδ
ωδ ++
−=
3323222221121
10 AmAmAm δ
ωδδ +
−+=
3233322321131
10 AmAmAm
−++=ω
δδδ
1
3313
1
22122111
10
A
Am
A
Amm δ+δ+
ω−δ=
1
3323
1
22222121
10
A
Am
A
Amm δ+
ω−δ+δ=
1
32333
1
2232131
10
A
Am
A
Amm
ω−δ+δ+δ=
Dzielimy przez A1 czyli otrzymujemy:
10
Wyznaczanie amplitud drga ń własnych
Z powyższego układu równań wybieramy dwa równania i wyznaczamy:
1
3313
1
22122111
10
A
Am
A
Amm δ+δ+
ω−δ=
1
3323
1
22222121
10
A
Am
A
Amm δ+
ω−δ+δ=
1
32333
1
2232131
10
A
Am
A
Amm
ω−δ+δ+δ=
1
3
1
2 ,A
A
A
A
Układ równań, opisujący amplitudy drgań własnych
11
Formy drga ń własnych
Na podstawie amplitud rysujemy formy drgań własnych:
11
3131
11
2121
11
1111 ,,
a
aA
a
aA
a
aA ===1ω
2ω
3ω
12
3232
12
2222
12
1212 ,,
a
aA
a
aA
a
aA ===
13
3333
13
2323
13
1313 ,,
a
aA
a
aA
a
aA ===
12
Ortogonalno ść drgań własnych
Amplitudy drgań własnych spełniają warunek ortogonalności czyli:
01
=∑=
n
iikiji AAm
gdzie mi – masy skupione, Aij – amplituda drgań masy mi przy częstości ωj, Aik – amplituda drgań masy mi przy częstości ωk.
Aij – pierwszy indeks oznacza kierunek drgania, a drugi częstość drgań własnych, dla której amplituda (stosunek do amplitudy A1j) została wyznaczona.
Ortogonalność sprawdzamy dla dwóch form drgań własnych.13
Ortogonalno ść drgań własnych
Amplitudy drgań własnych powinny spełniać warunki ortogonalności czyli:dla ω1 i ω2
dla ω2 i ω3
dla ω1 i ω3
0323132221212111 =++ AAmAAmAAm
1ω
2ω 0333232322213121 =++ AAmAAmAAm
0333132321213111 =++ AAmAAmAAm
14
Metody szacowania pierwszej częstości drga ń własnych
Metoda Dunkerley’a (lub Geigera):
∑=
= n
iiii
D
m1
1
δω
333222111
1δδδ
ωmmmD ++
=lub
Metoda Rayleigh’a
233
222
211
332211
δδδδδδω
mmm
mmmR ++
++=
∑
∑
=
== n
iii
n
iii
R
m
m
1
2
1
δ
δω
Zależność pomiędzy obliczonymi wartościami
1331221111 δδδδ mmm ++=
2332222112 δδδδ mmm ++=
3333223113 δδδδ mmm ++=
lub
RD ω<ω<ω 1
gdzie:
15
Zasada d’Alamberta
Zasada d’Alemberta: w odniesieniu do konstrukcji, znajdującej się pod wpływem sił zmiennych w czasie, można stosowaćzasady statyki pod warunkiem, że uwzględni się siły bezwładności. Dotyczy to zarówno obliczania przemieszczeńjak i sił wewnętrznych. Do wyznaczenia ekstremalnych siłwewnętrznych potrzebne są amplitudy sił bezwładności.
16
m mm
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
Drgania wymuszone uk ładu o wielu stopniach swobody
Przemieszczenia poszczególnych mas równają się sumie przemieszczeń od poszczególnych sił bezwładności i siły wymuszającej :
j j jB m y= ɺɺ
gdzie: k – kierunek przyłożenia siły wymuszającej
m mm
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
17
∑=
+=−n
jjijiki BSy
1
δδ
Drgania wymuszone uk ładu o wielu stopniach swobody
Dla belki powyżej
m mm
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
18
∑=
+=−n
jjijiki BSy
1
δδ
31321211111 BBBSy k δδδδ +++=−
32322212122 BBBSy k δδδδ +++=−
33323213133 BBBSy k δδδδ +++=−( )ptAy ii sin=Rozwiązanie ma formę
czyli ( )2 sini iy A p pt=−ɺɺ ( )2 sini i iB m A p pt=−
Drgania wymuszone uk ładu o wielu stopniach swobody
m mm
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
19
∑=
+=−n
jjijiki BSy
1
δδ
Układ równań, opisujący amplitudy drgań wymuszonych, ma formę: ( ) 01 13
23132
22121
2111 =δ+δ+δ+−δ ok SApmApmApm
( ) 01 232
32322
22212
121 =δ+δ+−δ+δ ok SApmApmApm
( ) 01 332
33322
23212
131 =δ+−δ+δ+δ ok SApmApmApm
gdzie niewiadomymi są amplitudy drgań wymuszonych Ai,znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia [rad/s]
Drgania wymuszone uk ładu o wielu stopniach swobody
20
Układ równań, opisujący amplitudy sił bezwładności:
gdzie niewiadomymi są amplitudy sił bezwładności Bi,znane są mi – masy na i –tym stopniu swobody, δij –przemieszczenia na kierunku i wywołane siłą jednostkowych, działającą na kierunku j, p – częstotliwość wymuszenia [rad/s]
01
1313212121
11 =+++
− ok SBBB
pmδδδδ
01
2323222
22121 =++
−+ ok SBB
pmB δδδδ
01
3323
33232131 =+
−++ ok SB
pmBB δδδδ
Ekstremalne siły wewn ętrzne, wywo łane drganiami wymuszonymi
21
m mm
B
y
B
y
B
S=S sin(pt)
y
1
1
1
2
2
2
3
3
o
3
Do wyznaczenia sił wewnętrznych wykorzystujemy wykresy od sił jednostkowych i korzystamy z zasady superpozycji czyli:
gdzie: Bj - amplitudy sił bezwładności, So - amplituda siły wymuszającej, Nj , Tj , Mj - siły wewnętrzne od obciążeńjednostkowych.
∑±=±±±=j
jjkoko NBNSNBNBNBNSN 222211
∑±=±±±=j
jjkoko TBNSTBTBTBTST 222211
∑±=±±±=j
jjkoko MBMSMBMBMBMSM 222211