dsgeの背景概要応用例dsgeモデルの背景・概要・応用例松前龍宜∗ 2012/06/25...

DSGEモデルの背景・概要・応用例

松前龍宜∗

2012/06/25

1 DSGEモデルの背景

1.1 Old Keynesian型マクロモデルに対する批判

1. Lucas批判 (Lucas 1976)

ミクロ的基礎付けの無いモデルは，誘導方程式のパラの変化が，どの構造パラの変化

なのか見分けがつかない．例えば，金融政策のインフレに対する政策態度の変化は，

あらゆる誘導パラに影響を及ぼすが，ミクロ的基礎付けの無いモデルを扱ってる限り，

本当に金融政策のインフレに対する態度が変化したのか，それとも金融政策は何の変

化もなく単にその他の構造パラが変化したのかを見分けることはできない．

2. Sims批判 (Sims 1980)

構造ショックを識別するのにあまりにも十分すぎるほど，誘導方程式の行列が sparse

過ぎ．旧来型のマクロモデルは構造パラに対する制約が信じられないくらいにきつ過

ぎる．

1.2 ミクロ的基礎付けのあるマクロモデルの構築

1. RBCモデル

Kydland and Prescott(1982)による生産性ショックという実物的ショックによる景気

循環理論の提案．カリブレーションによって生産性ショックから実際の景気循環を説

明できることを示した（Hayashi and Prescott, 2002は日本の例）．

2. New Keynesianモデル（名目硬直性の導入）

Taylor (1979), Rotemberg (1982), Calvo (1983)が名目硬直性の導入したモデルを構

築. 1 また，Roberts (1995)がいずれの設定でも同じ形のNKPCが導出されることを

∗内閣府経済社会総合研究所, [email protected] (1979)は，名目賃金の長期契約による硬直性をモデル化（staggered wage model）．家計は 2期間

の名目賃金固定契約を企業とかわし，偶数期と奇数期にプライシング出来る家計が存在するという設定．ただし

1

示す．だったらということで，Calvo (1983)を基に Yun (2000)がカリブレート可能

な離散モデルに書き直し．実証結果としても，短期的な名目価格の硬直性やマネー供

給に対する実物需要の反応といった結果が積みあがる.

名目硬直性の検証：Bils and Klenow (2004), Nakamura and Steinsson (2008). 2

NKPCの実証：Fuhrer (1997), Gali and Gertler (1999). 3

現時点の決定打と言うべきペーパー：

Christiano et al. (2005, 以下 CEE), Smets and Wouters (2003, 2007, 以下 SW).

1.3 発展

DSGEの分野は，現在日進月歩の勢いで新しいアイデアとペーパーが生産されている．

理由 1：CEE, SWによりベンチマークとなるミクロ的基礎付けのあるモデルが提示され

たことで，政策当局，主として各国の金融当局がこぞってDSGEモデルによる政策シミュ

レーションに参入したこと．

理由 2：加藤 (2007), McCandless (2008), Gali (2008), Walsh (2010)等，DSGEモデルの

良質のテキストが整ったこと.4

理由 3：これが一番の理由かもしれない．Matlab上で稼働するフリーウエア，Dynareの

開発によって，モデルを書き下しさえすれば，カリブレーションはおろか，モデルのベイ

ズ推定さえも可能となり，DSGEモデルの推定の参入障壁が異様に下がったこと．

1.4 DSGEモデルで何が出来るのか

ではミクロ的基礎付けのある DSGEモデルだと何が出来るのか？

利点 1：景気循環をもたらす構造ショックの識別が可能．構造ショックの解釈も可能．

期間も内生化するといずれの家計も同じ時点で契約を交わすのが最適となり，名目硬直性が消えるという反論も．Rotemberg (1982) は，2 次の価格改定コストを設定し，名目価格の硬直性を導入．Calvo (1983) は，価格改定確率が降ってくるという名目硬直性を導入．

2Bils and Klenow (2004) は，アメリカのマイクロデータで価格の改定頻度を調査．改定頻度は 4.3 か月に1 回程度とのこと．これからすると，だいたい 1.5 四半期に一度なので，Calvo 型の改定確率なら約 2/3．よって改定できない確率（Calvo パラ）は約 1/3. DSGE の推定結果からすると名目硬直性は低い．Nakamura and Steinsson (2008) は，やはりアメリカの CPIの価格改定頻度を推定し，5つの fact finding を報告．(i) バーゲン期は価格改定頻度が高い，(ii) 価格改定の 1/3は価格引き下げ，(iii) 価格つり上げの頻度はインフレと正の相関があるものの，引き下げの頻度はインフレと無相関，(iv) 価格改定頻度には季節性があり，第1 四半期が高い，(v) 価格改定後の 2, 3ヶ月は改定確率が下がる，ということだそうだ．残念ながら，最後の 2

つは Calvo 型の名目硬直性の設定と不整合．3Fuhrer (1997)は，ハイブリッド型 NKPC（forwardと backwardの両方の項が入った NKPC）を推定し，

backward 項の係数が相対的に非常に大きく，本当に動学的な最適化をしているのかとの疑問を呈した．これを受けて，Gali and Gertler (1999) はラグ付インフレ連動価格契約（lagged inflation indexation contract）により，NKPCの backward項を正当化．この NKPCを 1本釣りで GMMで推定．やはり backward項が重要との結果．

4また，藤原・渡部 (2011)は，理論面においても計量面においても，DSGE モデルの邦語の解説書として最適なペーパーである．

2

利点 2：どの構造ショックがどのように構造方程式に伝播するかを解釈可能．

利点 3：どのような増幅メカニズムでショックが伝播したかを説明可能．よって，モデルの

内生変数間の相関も説明可能．

例：福井総裁のお言葉 (2005年 7月 13日)：「今後は原油価格の要因，労働コストを通ず

る要因，両方が複雑に絡み合って出てくると思うので，良く噛み分けながら正確な判断が

必要だということである．」

無制約VARの場合：太字部分に書かれてることができない．VARだと残差がどのような

構造ショックの線形結合なのかわからないから．

部分均衡の場合：色んなタイプのショックを同時に分析することができない．

DSGEの場合：データとモデルがよくフィットしていれば，太字部分を達成可能．

DSGEの限界：でも限界はある．

DSGEの限界 1：DSGEモデルはたいてい定常状態周りで対数線形近似．でも現実の経済

が定常状態からかけ離れている場合，間違った予測を弾き出す．また，REEが非線形だと

当然近似精度が低下．

DSGEの限界 2：線形・ガウシアンの状態空間モデルを想定，かつ構造ショックが iidか

つ Normalと仮定．

DSGEの限界 4：indeterminancyの問題．

1.5 DSGEモデルの構築方法

DSGEモデルは Lucas批判, Sims批判に対するモデラーからのひとつの回答とも言え，個

別のプレイヤーの最適化行動からモデルを組み立てる．流れとしては，

Step1: 個別のプレイヤーの最適化問題を設定し，最適化条件を導出する．

Step2: その最適化条件および資源制約条件を経済全体で集計する．

Step3: モデルの内生変数の定常値をもとめる．

Step4: モデルの内生変数を定常値周りで対数近似して線形の状態方程式を得る．

Step5: 線形の状態方程式を解き，policy functionおよび state transition equationを導く

（固有値分解，QZ分解）．その際，解の一意性をチェック（Blanchard and Kahn条件）．

実際のところ，モデルの内生変数が 3変数程度ならば根性で紙とペンで解くことも出来る

が，内生変数が増えると，4以降の合理的期待均衡解の導出にはコンピュータに頼ることに

なる（場合によっては定常値の計算もコンピュータによる数値計算に頼ることになる）. 5

5ただ，3 変数程度のモデルで最後のステップまで自力で導出することを訓練しておくべきだとは思う．

3

2 概要 I：モデル

ここではシンプルな New Keynesian型の DSGEモデルを説明する．

2.1 最終財企業の最適化行動

最終財企業：差別化された中間財を購入して単一の最終財を生産し，それを家計に売る．

最終財企業の利得: 利潤．

最終財企業の戦略変数：各中間財の投入量，{Yt(i)}1i=0.

市場構造：中間財市場：完全競争の買い手．最終財市場：完全競争の売り手．

目的関数

最終財企業は，最終財価格 Pt, 中間財価格 Pt(i)，家計の最終財に対する総需要 Y dt , 中間

財バンドル技術を所与として，購入する {Yt(i)}1i=0をコントロールして利潤最大化を行う．

maxYt(i)

PtYdt −

∫ 1

0

Pt(i)Y dt (i)di (1)

s.t. Y dt =[∫ 1

0

Y dt (i)1

1+λ di

]1+λ, λ > 0 (2)

ここで, (2)は中間財をバンドルする技術であり最終財の生産関数．

FOC wrt Yt(i)

Y dt (i) =(

PtPt(i)

) 1+λλ

Y dt (3)

(3) は最終財企業による中間財 iに対する需要関数．中間財企業は右下がりの需要曲線に直

面し，価格支配力があることがわかる．また，−∂ lnYt(i)/∂ lnPt(i) = (1 + λ)/λであるか

ら，(1 +λ)/λは中間財需要の価格弾力性．(3)をバンドル技術 (2) に代入して整理すると，

Pt =[∫ 1

0

Pt(i)−1λ di

]−λ(4)

これはこの経済の一般物価水準．(3) と (4) を目的関数に代入すると，最終財企業の利潤

がゼロであることを確認できる．

∫ 1

0

Pt(i)Y dt (i)di =∫ 1

0

Pt(i)(

PtPt(i)

) 1+λλ

Y dt di

= P1+λ

λt Y dt

∫ 1

0

Pt(i)−1λ di

= P1+λ

λt Y dt P (t)−

1λ

= PtYdt (5)

4

2.2 中間財企業の最適化行動

中間財企業：無数に存在し continuumに差別化された財をそれぞれ独占的に生産．差別化

された財のインデックスを i ∈ [0, 1]とする．

タイミング：

Step1：プライシング出来るなら，最適なプライシングを行う．

Step2：その下で最適な労働量を決定 (コスト最小化)．

中間財企業の利得:

Step1：確率 ξ で価格改定ができないものと仮定 (Calvo型の名目硬直性)．その下で利潤

の割引現在価値を最大化．ただし，ξ の確率で価格を望ましい水準には改定できないけれ

ども，1期前のインフレに応じて価格をスライドさせることができる契約が最終財企業と

結ばれていると仮定 (lagged inflation indexation)．

Step2：価格と賃金を所与としてコスト最小化．

中間財企業の戦略変数：

Step1：Pt(i).

Step2：{Pt(i), wt(i)}∞t=0を所与として Lt(i)d を決定．

市場構造：中間財市場：独占的競争の売り手．労働市場：完全競争の買い手．

backwardで解く．Step2から．

中間財企業 iの目的関数 (Step2)

minLt(i)

wtLdt (i) (6)

s.t.　 Y dt (i) = ZtLdt (i) (7)

given　 Pt(i), wt (8)

FOC wrt Ldt (i)：ラグランジュ乗数を Ψt(i)とすると，

wt = Ψt(i)Zt　⇐⇒　Ψt(i) =wtZt

(9)

Ψt(i)は中間財企業 iの実質限界コスト. 限界コストは iに依存せず企業間で共通．

中間財企業 iの目的関数 (Step1)

続いて Step1.

ポイント 1：Calvo型の名目硬直性

企業は毎期，価格改定できない確率（ξ）に直面．将来の価格改定機会が訪れた際のプライ

シングも考慮に入れ期待利潤の割引現在価値の最大化問題を解いているが，将来のプライ

シングは現時点のプライシングに影響されないため，現時点の価格がずっと続いた場合の

利潤の割引現在価値を最大化するように，現在の価格を決める.

ポイント 2：lagged inflation indexation

5

価格変更ができない中間財企業の財価格は過去のインフレ率に応じてスライド. 6

Pt+s(i) = Pt+s−1(i)Πt+s−1

= Pt(i)s∏

k=1

Πt+k−1︸︷︷︸Xt,s

= Pt(i)Xt,s (10)

where Πt+s =Pt+sPt+s−1

よって中間財企業の目的関数は以下のようにセットアップできる.

maxPt(i)

Et∞∑s=0

ξs

(s−1∏τ=0

Πt+τ+1

Rt+τ

)[Pt+s(i)Pt+s

− Ψt+s

]Y dt+s(i) (11)

=⇒ maxPt(i)

Et∞∑s=0

ξs

(s−1∏τ=0

Πt+τ+1

Rt+τ

)[Pt(i)Xt,s

Pt+s− Ψt+s

](Pt+s

Pt(i)Xt,s

)θY dt+s　 (∵ (3))

(12)

ここで，Rtはグロスの名目金利，Πt = Pt

Pt−1はグロスのインフレ率，よって Et Rt

Πt+1はグ

ロスの実質金利．後ほど家計の消費と債券保有の最適化条件から導出されるけれども，消

費の限界効用を Ξt とすると，EtΠt+s+1Rt+s

= βEtΞt+s+1Ξt+s

となり，企業はこの確率的割引因子

で将来利潤を現時点まで割り戻す．

FOC wrt Pt(i)

Pt(i)� = (1 + λ)Et∑∞

s=0 ξs(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)Ψt+sY

dt+s(i)

�

Et∑∞

s=0 ξs(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)Xt,s

Pt+sY dt+s(i)�

(13)

伸縮価格の場合

ξ = 0だと，

Pt(i)�

Pt= (1 + λ)Ψt (14)

となり，標準的な独占企業の最適プライシングと同じ結果．λはマークアップ率．

2.3 家計の最適化行動

家計の利得：消費，マネー保有による効用と労働の不効用の割引現在価値．ただし消費の

習慣形成を仮定．

6Fuhrer (1997), Gali and Gertler (1999) の NKPC の推定結果においても，現在のインフレ率が過去のインフレ率に依存して決定していることが示されており，VAR の推定結果からも（cf. CEE 2005），構造ショックに対するインフレ率のインパルス応答も hump-shapedな形状となる．よって NKPC において backward項が入るカラクリとして，Gali and Gertler (1999) および CEE (2005) に則って，この契約自体は最適化の結果として得られる契約ではないが，1 期前のインフレに連動させる契約を交わしているものとする．

6

家計の戦略変数: 消費 Ct(j)・実質マネーmt(j)・実質債券 bt(j)・労働供給 Lt(j)の選択．

家計 j の目的関数

予算制約のもとで Ct(j),mt(j), bt(j), Lt(j)について最適化.

maxCt(j),mt(j),bt(j),Lt(j)

Et∞∑s=0

βsU(Ct+s(j),Mt+s(j), Lt+s(j))

where U(Ct(j),Mt(j), Lt(j))

≡[

11 − σ

(Ct(j) − hCt−1)1−σ +1

1 − σm

(Mt(j)Pt

)1−σm

− 11 + σL

Lt(j)1+σL

]

s.t. Ct(j) +mt(j) + bt(j) = wtLt(j) +mt−1(j)

Πt+Rt−1

bt−1(j)Πt

+ Tt + ψt

where mt(j) =Mt(j)Pt

, bt(j) =Bt(j)Pt

, Πt =PtPt−1

ただし Ct =∫ 1

0 Ct(j)dj,Ttは一括移転，ψtは企業からの利潤配当とする．家計は 1期前の

周りの平均消費から見てどれだけ自分が食べれたかで満足を得る（externalな消費の習慣

形成）．h ∈ [0, 1)は習慣形成の程度を表す．消費とマネー保有については CRRA型の選

好を仮定し，σ, σm はそれぞれ消費・マネー保有の異時点間代替のパラ，σLは労働の不効

用のパラ．

FOC wrt Ct(j)：ラグランジュ乗数を Ξt(j)とする．

(Ct(j) − hCt−1)−σ = Ξt(j) (15)

FOC wrt mt(j)

mt(j)−σm + βEtΞt+1(j)1

Πt+1= Ξt(j) (16)

FOC wrt bt(j)

βEtRt

Πt+1Ξt+1(j) = Ξt(j) (17)

FOC wrt Lt(j)；

wt =Lt(j)σL

Ξt(j)(18)

以上が家計の最適化行動の必要条件. 7

消費の Euler方程式

(15), (17)より，

(Ct(j) − hCt−1)−σ = βEtRt

Πt+1(Ct+1(j) − hCt)−σ (19)

7Unique かつ stable な REEであるためには TVC も必要：

lims→∞ βt+sΞt+s(j)Γt+s(j) = 0 　 where Γt(j) ∈ {Mt(j), Bt(j)}

後程，Blanchard and Kahn (1980) 条件で解の一意性をチェック．

7

(左辺)は t期に 1単位消費を増やしたときの限界効用，(右辺)は t期に 1単位の消費を我

慢して，それで債券を買って来期まで持ち越すと，Et Rt

Πt+1単位の追加消費が可能．それを

β で現時点に割り戻した限界効用であるため，家計は異時点間の消費の限界効用が均等化

するように現時点の消費を選択．

マネー需要関数

(15), (16)より，

mt(j)−σm + βEt(Ct+1(j) − hCt)−σ

Πt+1= (Ct(j) − hCt−1)−σ

(左辺)はマネー保有の限界効用，(右辺)はマネー保有の機会コストを表し，両者が均等化

するようにマネー保有量を決定．(19)を使うと，実質マネー需要が名目金利の減少関数で

あることがわかる．

mt(j)−σm =Rt − 1Rt

(Ct(j) − hCt−1)−σ (20)

労働供給関数

(15), (18)より，

wt =Lt(j)σL

(Ct(j) − hCt−1)−σ(21)

(左辺)は実質賃金，(右辺)は消費と労働供給のMRS．分母を払うと，1単位働いた場合の

労働の限界コストと働いて得た賃金を食べたときの限界効用が等しくなるように，家計は

労働供給を決定．

2.4 政策当局

ここでは政策当局の最適化行動は明示的に考えず，政策当局は，以下の Taylorルールに

則って産出ギャップやインフレギャップに応じて名目金利を操作するものとする. 8

RtRSS

=(

Πt

ΠSS

)ψ1 ( YtYSS

)ψ2

εRt (22)

ここで，RSS はグロスの名目金利の定常値，YSS は産出の定常値である．εRt は政策ルール

からの予期せぬ逸脱を表す金融政策ショックである．また，政策当局の予算制約は，∫ 1

0

mt(j)dj +∫ 1

0

bt(j)dj =∫ 1

0

mt−1(j)Πt

dj + Rt−1

∫ 1

0

bt−1(j)Πt

dj + Tt (23)

左辺は歳入，右辺は歳出．政策当局は民間のマネー需要，債券需要に応じたマネーと債券

を供給するものとし，Ttによってそれらを賄うものとする．8産出ギャップやインフレギャップに応じて名目金利を操作する Taylorルールは，Rotemberg and Woodford

(1997) において，厚生最大化の結果として導出されることが示されている．

8

2.5 集計

家計の集計 FOC

(19)によると各家計は共通の実質金利を見て消費経路を決めるため，全員共通の消費経路

を選択．(20)によると，共通の消費経路の下で，各家計は同じ名目金利を見てマネー保有

を決めるため，最適マネー保有量も共通．(21)によると，共通の消費経路の下で，各家計は

同じ実質賃金を見て労働供給を決めるため，最適労働供給量も共通．よって，家計の FOC

から添え字の j を取り除いて，

β(Ct − hCt−1)−σ = βEtRt

Πt+1(Ct+1 − hCt)−σ (24)

mt(j)−σm =Rt − 1Rt

(Ct − hCt−1)−σ (25)

wt =LσLt

(Ct − hCt−1)−σ(26)

中間財企業の集計 FOC

中間財企業も共通のインフレ率Πtと総需要 Y dt に直面するため，最適プライシングは企業

間で共通．よって，企業の FOCから添え字の iを取り除いて，

P �t = (1 + λ)Et∑∞

s=0 ξs(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)Ψt+sY

d�t+s

Et∑∞s=0 ξ

s(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)Xt,s

Pt+sY d�t+s

(27)

where Y d�t =(PtP �t

) 1+λλ

Y dt

物価水準

物価水準 (4)は，価格を改定できない企業は indexation契約で前期のインフレに連動した

価格を，価格を改定できる企業は先ほどの価格をつけるので，

P− 1

λt =

∫ 1

0

Pt(i)−1λ di

=∫ ξ

0

Pt(i)−1λ di︸︷︷︸

firms not optimizing prices

+∫ 1

ξ

Pt(i)−1λ di︸︷︷︸

firms optimizing prices

= Π− 1λ

t−1

∫ ξ

0

Pt−1(i)−1λ di+ P

�− 1λ

t

∫ 1

ξ

di

= ξ(Pt−1Πt−1)−1λ + (1 − ξ)P �−

1λ

t (28)

三番目の等式では，プライシング出来る企業の最適価格が共通であることを利用．最後の

等式では，価格改定できない企業が確率 ξでランダムに選ばれるという Calvoプライシン

グの特性を利用．

9

総供給

中間財に対する需要関数 (3)および労働市場のmarket clearing condition,∫ 1

0Ldt (i)di = Ldt

を利用して，中間財企業の財需要に応じた生産を iについて集計すると，∫ 1

0

Yt(i)ddi = Zt

∫ 1

0

Ldt (i)di

⇐⇒ Y dt

∫ 1

0

(PtPt(i)

) 1+λλ

di = ZtLdt

⇐⇒ Y dt =ZtL

dt

vt(29)

where vt ≡∫ 1

0

(PtPt(i)

) 1+λλ

di (30)

ここで vt は price dispersionと呼ばれる相対価格の歪みをあらわす指標．Calvo型の名目

硬直性とラグ付インフレ連動価格によって，価格を改定できる企業と価格を改定できない

企業が混在し，その結果として相対価格が歪み，これが各中間財企業に対する需要を歪ま

せ，資源配分を非効率にする．その結果として，Y dt の総需要を賄うためにはより多くの

労働投入が必要となることを示している．

総需要

中間財企業の利潤を集計すると，∫ 1

0

Pt(i)Y dt (i)di−Wt

∫ 1

0

Ldt (i)di = PtYdt −WtL

dt

=⇒∫ 1

0

ψt(i)di = Y dt − wtLt (31)

最初の等号では最終財企業のゼロ利潤条件 (5)と労働市場のmarket clearing conditionを

利用．なお，家計に渡される実質利潤の総額は，ψt =∫ 1

0ψt(i)di．家計の予算制約を集計

すると， ∫ 1

0

Ct(j)dj +∫ 1

0

mt(j)dj +∫ 1

0

bt(j)dj

= wt

∫ 1

0

Ldt (j)dj +∫ 1

0

mt−1(j)Πt

dj +Rt−1

∫ 1

0

bt−1(j)Πt

dj + Tt

∫ 1

0

dj + ψt

∫ 1

0

dj

⇐⇒∫ 1

0

Ct(j)dj = wt

∫ 1

0

Ldt (j)dj + ψt

⇐⇒ Ct = wtLdt + ψt

⇐⇒ Ct = Y dt (32)

(33)が財市場の総需要である．最初の同値では政策当局のの予算制約 (23)を代入．2番目

の同値では消費と労働が j に依らないことを利用．最後の同値では，中間財企業の実質利

潤の集計値 (31)を利用．

10

財市場のmarket clearing condition

(29), (32)より，財市場のmarket clearing conditionは，

Ct =ZtL

dt

vt(33)

2.6 構造ショック

DSGEモデルでは，外生的な構造ショックがモデルの内生変数の定常値からの乖離をもたら

し，景気循環を引き起こすとみなす．ここでのシンプルなモデルでは，2種類の構造ショッ

ク，生産性ショック Ztと金融政策ショック εRt を考える．この 2つの構造ショックは以下の

ような平均 1の AR(1)過程にしたがうものと仮定する．

lnZt = ρZ lnZt−1 + uZt (34)

ln εRt = ρR ln εRt−1 + uRt (35)

ρZ , ρR は IIDショックである uZt , uRt の慣性（persistency）を表し，どれほどそのショッ

クが長引くか（長期的に定常値からの乖離をもたらすか）の程度を表す．

11

2.7 定常値の計算

集計モデルまとめ

以上の結果から，

(Ct − hCt−1)−σ = βEtRt

Πt+1(Ct+1 − hCt)−σ (36)

m−σmt =

Rt − 1Rt

(Ct − hCt−1)−σ (37)

wt =LσLt

(Ct − hCt−1)−σ(38)

Yt = Ct (39)

Yt =ZtLtvt

(40)

vt =∫ 1

0

(PtPt(i)

) 1+λλ

di (41)

RtRSS

=(

Πt

ΠSS

)ψ1 ( YtYSS

)ψ2

εRt (42)

P �t = (1 + λ)Et∑∞s=0 ξ

s(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)wt+s

Zt+sY �t+s

Et∑∞s=0 ξ

s(∏s−1

τ=0Πt+τ+1Rt+τ

)Xt,s

Pt+sY �t+s

(43)

Y �t =(PtP �t

) 1+λλ

Yt (44)

P− 1

λt = ξ(Pt−1Πt−1)−

1λ + (1 − ξ)P �−

1λ

t (45)

定常値

ここでは，経済成長やマネー供給の成長を考えず，産出の定常値 YSS が存在し, グロスの

インフレ率は ΠSS = 1とし，物価水準の定常値 PSS が存在するとする．

RSS =1β

(46)

m−σm

SS =RSS − 1RSS

[CSS(1 − h)]−σ

wSS =LσL

SS

[CSS(1 − h)]−σ

YSS = CSS

YSS =LSSvSS

, (ZSS = 1)

vSS =(PSSP �SS

) 1+λλ

P �SS = (1 + λ)PSSwSS , (XSS = 1)

Y �SS =(PSSP �SS

) 1+λλ

YSS (47)

PSS = P �SS (48)

(46)より，実質金利の定常値（インフレの定常値を 1としているので，名目金利の定常値で

12

もある）は，割引因子の逆数．また，(48)から物価水準の定常値は企業にとっての最適価格

と一致する．これを (47)に代入すると，産出の定常値も最適な産出量と一致 (Y �SS = YSS)．

そして vSS = 1から，YSS = LSS. これらから実質賃金，産出，消費，労働，実質マネー

の定常値が得られる．さらに，初期値では名目マネーMt−1(= MSS)が所与であるため，

物価水準の定常値も得られる．

wSS =1

1 + λ(49)

YSS = CSS = LSS =[

1(1 + λ)(1 − h)σ

] 1σ+σL

(50)

m−σm

SS =1 − β

(1 − h)σ[(1 + λ)(1 − h)σ]

σσ+σL (51)

PSS =[

1 − β

(1 − h)σ[(1 + λ)(1 − h)σ]

σσ+σL

] 1σm

MSS (52)

2.8 モデルの対数線形化

2.8.1 線形近似のルール

ある変数 Θtの定常値を ΘSS とする．このとき定常値からの％乖離を Θtとすると，以下

の関係が成立．

Θt = ΘSSeΘt (53)

� ΘSS(1 + Θt) (54)

(54)は定常周りで線形近似した結果である．また，(53)は以下と同値である．

Θt = lnΘt

ΘSS(55)

よって Θtは，変数Θtが定常値ΘSS から何％乖離しているかを表す．ここでは (36)-(45)

の非線形モデルを定常周りで線形近似し，線形の連立差分方程式に帰着させる．その際，

以下の 3つのルールを知っておくと便利．

Rule1：(1 + Θt)a = 1 + aΘt.

Rule2：(1 + Θ1t)(1 + Θ2t) = 1 + Θ1t + Θ2t.

Rule3：ln(1 + Θt) � Θt.

13

2.8.2 New ISの導出

(36)を定常周りで線形近似．

(CSSe

Ct − hCSSeCt−1

)−σ= βEt

RSSeRt

ΠSSeΠt+1

(CSSe

Ct+1 − hCSSeCt

)−σ=⇒

(eCt − heCt−1

)−σ= EteRt−Πt+1

(eCt+1 − heCt

)−σ, (∵ (46))

=⇒[(1 − h) + Ct − hCt−1

]−σ= Et(1 + Rt − Πt+1)

[(1 − h) + Ct+1 − hCt

]−σ, (∵ (54))

=⇒[1 +

11 − h

(Ct − hCt−1

)]−σ= Et(1 + Rt − Πt+1)

[1 +

11 − h

(Ct+1 − hCt

)]−σ=⇒ 1 − σ

1 − h

(Ct − hCt−1

)= Et(1 + Rt − Πt+1)

[1 − σ

1 − h

(Ct+1 − hCt

)], (Rule1)

=⇒ 1 − σ

1 − h

(Ct − hCt−1

)= Et

[1 + Rt − Πt+1 − σ

1 − h

(Ct+1 − hCt

)], (Rule2)

⇐⇒ Ct =1

1 + hEtCt+1 +

h

1 + hCt−1 − 1 − h

(1 + h)σ

(Rt − EtΠt+1

)(56)

(39)を線形近似すると，Yt = Ct．(56)に代入すると New IS式を得る．

Yt =1

1 + hEtYt+1 +

h

1 + hYt−1 − 1 − h

(1 + h)σ

(Rt − EtΠt+1

)(57)

New IS式と呼ぶのは，GDPギャップ Ytが実質金利 (Rt −EtΠt+1)の減少関数だから．ま

た，GDPギャップに慣性が生じるのは選好に習慣形成を仮定したことによるものであり，

(57)で h = 0 (習慣効果ゼロ) とすると，GDPギャップの backward項が消え，GDPギャッ

プの forward項のみが残る．

2.8.3 NKPCの導出

(45)を線形近似．最適実質価格を Qt =(P�

t

Pt

)とおくと，(45)は，

1 = ξ

(Πt−1

Πt

)−1/λ

+ (1 − ξ)Q−1/λt

と書ける．定常では，ΠSS = 1, QSS = 1より，

1 = ξ exp(− 1λ

(Πt−1 − Πt

))+ (1 − ξ) exp

(− 1λQt

)

=⇒ 1 = ξ

[1 − 1

λ

(Πt−1 − Πt

)]+ (1 − ξ)

(1 − 1

λQt

)　 (∵ (54))

⇐⇒ Qt =ξ

1 − ξ(Πt − Πt−1) (58)

ここで，線形近似された最適実質価格 Qt において過去のインフレ率が残るのは，ラグ付

きインフレ連動価格の仮定による. 9 また，(43)は，両辺を Pt で割り，PtXt,s

Pt+s= Πt

Πt+sで

9次のような部分的なラグ付きインフレ連動価格（partial lagged inflation indexation）,Pt+s =

Pt+s−1 (Xt,s)χ を想定したとすると，線形近似した最適実質価格は Qt = ξ

1−ξ(Πt − χΠt−1). このときラ

14

あること, および家計による消費の Euler方程式 (36)から，

s−1∏τ=0

Πt+τ+1

Rt+τ= βs

Ξt+sΞt

(59)

where Ξt = (Ct − hCt−1)−σ (60)

による確率的割引因子を代入すると，以下のように書ける．

QtEt∞∑s=0

(ξβ)sΞt+sΞt

Πt

Πt+sY �t+s = (1 + λ)

[Et

∞∑s=0

(ξβ)sΞt+sΞt

wt+sZt+s

Y �t+s

]

定常では，QSS = 1，wSS(1 + λ) = 1より，

Et∞∑s=0

(ξβ)s exp[Qt + Πt − Πt+s + Y �t+s + Ξt+s − Ξt

]

= Et∞∑s=0

(ξβ)s exp[(wt+s − Zt+s) + Yt+s + Ξt+s − Ξt

]

を得る．これを線形近似して整理すると，

Qt + Πt = (1 − ξβ)[(Πt + (wt − Zt)) +

ξβ

1 − ξβEt[Qt+1 + Πt+1]

]⇐⇒ Qt − ξβEtQt+1 = ξβ(EtΠt+1 − Πt) + (1 − ξβ)(wt − Zt) (61)

ここで，(58)を (61)に代入して，Qt, EtQt+1を消去し，整理すると，

Πt =β

1 + βEtΠt+1 +

11 + β

Πt−1 +(1 − ξ)(1 − ξβ)

ξ(1 + β)(wt − Zt) (62)

これが NKPC (New Keynesian Phillips Curve) とか New AS とか呼ばれる式である．

(wt − Zt = Ψt)は限界コストの定常値からの％乖離である．(Ψt, Πt)平面で右上がりの

NKPCが得られるのは，名目硬直性の仮定による．伸縮価格では ξ = 0．このとき (58)か

ら Qt = 0であり，企業の最適価格から逸脱なし．よって Yt = 0で，(62)においても ξ → 0

で NKPCは垂直．また，NKPCでインフレ率の慣性が生まれたのは，ラグ付きインフレ

連動価格という仮定による．

グ付きのインフレと全く連動させず，前期の価格がそのまま残る（χ = 0）とすると，Qt = ξ1−ξ

Πt となり，backward 項が消える．この結果，NKPC から backward 項が消え，その重要性を実証した Furher (1997) および Gali and Gertler (1999) のハイブリッド型 NKPC と不整合となる．ここでは，完全ラグ付きインフレ連動価格（perfect lagged inflation indexation）と設定したので χ = 1．

15

2.8.4 対数線形化モデル

Price dispersion

(41)は，ラグ付インフレ連動価格と最適実質価格 Qtを使って以下のように書き直せる．

vt =∫ 1

0

(Pt(i)Pt

)− 1+λλ

di

=∫ ξ

0

(Pt(i)Pt

)− 1+λλ

di+∫ 1

ξ

(Pt(i)Pt

)− 1+λλ

di

=∫ ξ

0

(Pt−1(i)Πt−1

Pt

)− 1+λλ

di+(P �tPt

)�− 1+λλ∫ 1

ξ

di

=∫ ξ

0

(Pt−1(i)Πt−1

Pt−1Πt

)− 1+λλ

di+Q− 1+λ

λt

∫ 1

ξ

di

=(

Πt−1

Πt

)− 1+λλ∫ ξ

0

(Pt−1(i)Pt−1

)− 1+λλ

di+ (1 − ξ)Q− 1+λλ

t

= ξ

(Πt−1

Πt

)− 1+λλ

vt−1 + (1 − ξ)Q− 1+λλ

t (63)

これを線形近似すると，

vSSevt = vSSξe

− 1+λλ (Πt−1−Πt)+vt−1 +QSS(1 − ξ)e−

1+λλ Qt

=⇒ vt = ξvt−1 − ξ1 + λ

λ(Πt−1 − Πt) − (1 − ξ)

1 + λ

λQt

最適実質価格の対数線形化の結果 (58)を代入すると，

vt = ξvt−1 (64)

ここで，グロスのインフレ率の定常値 ΠSS = 1であり，初期値において物価が定常値 PSS

にいるとすると，vt = 0. 10 残りの式も同様に線形近似すると，

−σmmt =β

1 − βRt − σ

1 − h

(Yt − hYt−1

)(65)

wt = σLLt − σ

1 − h(Yt − hYt−1) (66)

Yt = Zt + Lt (vt = 0) (67)

Rt = ψ1Πt + ψ2Yt + ln εRt (68)

(65)は，対数線形化後のマネー需要関数．実質マネーは名目金利の減少関数．また，左辺

はマネー保有の限界効用，右辺第 2項は消費の限界効用なので，消費とマネー保有のMRS10グロスのインフレ率の定常値 ΠSS > 1 かつ partial inflation indexation を想定している場合，price

dispersion の動学は無視できなくなる．Ascari (2004) を参照．

16

が名目金利と等しくなるように家計は実質マネーを保有．(66)は対数線形化後の労働供給

関数．右辺第 1項が労働の限界不効用（余暇の限界効用），第 2項が消費の限界効用なの

で，余暇と消費のMRSと実質賃金を均等化するように家計は労働を供給．(67)は対数線

形化後の生産関数．(68)は対数線形化後の金融政策ルール（Taylorルール）．(55)に注意．

金融当局はインフレギャップとGDPギャップの双方に反応して名目金利を決定．なおルー

ルに応じた名目金利に設定するためにどれほどのマネーを供給するのかは，(65)からもと

められる．

まとめ

マネー需要関数はこの連立方程式体系では単なるぶら下がり. 11 実質賃金と労働を消去

すると，基本的に構造方程式は New IS，NKPC，Taylorルールの 3本．内生変数はGDP

ギャップ Yt，インフレギャップ Πt，名目金利 Rt．そして景気循環（定常値からの乖離）を

もたらす源泉である構造ショックは，Ztの生産性ショックと εRt の金融政策ショックの 2つ．

Yt =1

1 + hEtYt+1 +

h

1 + hYt−1 − 1 − h

(1 + h)σ

(Rt − EtΠt+1

)(69)

Πt =β

1 + βEtΠt+1 +

11 + β

Πt−1

+(1 − ξ)(1 − ξβ)

ξ(1 + β)

[σL(Yt − Zt) − σ

1 − h(Yt − hYt−1) − Zt

](70)

Rt = ψ1Πt + ψ2Yt + εRt (71)

Zt = ρZ Zt−1 + uZt (72)

εRt = ρRεRt−1 + uRt (73)

2.9 モデルの解法

ここまでで，FOCおよび資源制約条件を定常周りで対数線型化し，線型の差分方程式体系

で記述した．さらに (73)を (69)に代入すると，AD曲線と AS曲線（NKPC）の 2本に

縮約できる．ここで，kt+1 ≡ [Zt, εRt ]′, xt+1 ≡ [EtYt+1,EtΠt+1, Yt, Πt]′, et+1 ≡ [uZt , uRt ]′,

θ = [h, σ, β, ξ, σL, ψ1, ψ2, ρZ , ρR]とすると，モデルは以下のように構造型表現が可能．

A(θ)

⎡⎣ kt+1

xt+1

⎤⎦ = B(θ)

⎡⎣ kt

xt

⎤⎦+ C(θ)et+1 (74)

kt：先決変数ベクトル，xt：操作変数ベクトル，et：構造ショック (iidかつ Normal)．ここ

でのシンプルモデルだと，A(θ), B(θ)は 6 × 6，C(θ)は 6 × 2．

11この点を最初期に指摘したのは，Romer (2000).

17

来期のGDPギャップとインフレ率について，合理的な期待を形成

REEとは12：REEは，次の条件を満たす {kt}∞t=1, {xt}∞t=0

REEであるための条件 1：プレイヤーが目的関数を最大化していること．

REEであるための条件 2：制約条件を満たしてること．

REEであるための条件 3：TVCを満たすこと.13

ここまでの過程で，条件 3の TVCについては考慮されていない．でもREEであるために

は (74)に TVCを課して非合理的なパスを消す必要がある．数学的には「REE解をもと

める =(74)の鞍点経路をもとめる」．

解法14

固有値分解を使って対角化．⎡⎣ kt+1

xt+1

⎤⎦ = A−1B

⎡⎣ kt

xt

⎤⎦+A−1Cet+1 = Q−1ΛQ

⎡⎣ kt

xt

⎤⎦+A−1Cet+1

⇒ Q

⎡⎣ kt+1

xt+1

⎤⎦ = ΛQ

⎡⎣ kt

xt

⎤⎦+QA−1Cet+1

⇒⎡⎣ QA QB

QC QD

⎤⎦⎡⎣ kt+1

xt+1

⎤⎦ =

⎡⎣ Λs 0

0 Λx

⎤⎦⎡⎣ QA QB

QC QD

⎤⎦⎡⎣ kt

xt

⎤⎦+

⎡⎣ Ωs

Ωx

⎤⎦ et+1

(75)

Λ：固有値行列，Λs：固有値 < 1の固有値行列，Λx：固有値 > 1の固有値行列．

ポイント：Blanchard-Kahnの定理

rank(Λx) = rank(x)；システム安定かつ一意な鞍点経路が存在（一意な REE）．

rank(Λx) > rank(x)；システム不安定；REEなし．

rank(Λx) < rank(x)；システム安定．でも定常値に至るパスが山ほどある (indetermi-

nancy problem)．

TVC：ジャンプ変数の差分方程式に TVCを課す．

Policy functionの導出 (TVC)

QCkt +QDxt = 0 (76)

⇒ xt = −Q−1D QCkt = Φ(θ)kt (77)

(76)：このシステムでの TVC．固有値> 1の発散パスを切る．

xt = Φ(θ)kt：policy function；kt が所与のときの最適なコントロール xtが決定．12REE = Rational Expectation Equilibrium, 合理的期待均衡の略．13TVC = Transversality Condition, 横断性条件の略．14いろんな方法がある．Blanchard and Kahn (1980), Uhlig (1999), Sims (2002)など．ここでは Blanchard

and Kahn の方法で解く．

18

State transition equationの導出

Policy functionをもとのシステムに代入．

QAkt+1 +QBxt+1 = Λs[QAkt +QBxt] + Ωset+1

⇒ [QA +QBΦ]kt+1 = Λs[QA +QBΦ]kt + Ωset+1

⇒ kt+1 = [QA +QBΦ]−1Λs[QA +QBΦ]kt + [QA +QBΦ]−1Ωset+1

⇒ kt+1 = D(θ)kt + E(θ)et+1 (78)

(78)：State Transition Equation．

DSGEの解

kt = D(θ)kt−1 + E(θ)et (79)

xt = Φ(θ)kt (80)

このシステムは REEの 3つの条件を満たしている．

状態方程式

さらに st ≡ [k′t, x′t]′ とまとめて状態変数ベクトルとすると，DSGEの REEは，以下のよ

うな状態方程式として記述できる．

st = G(θ)st−1 +M(θ)et (81)

Lucas批判，Sims批判再考

ところで (81)は形としては VARと同じ．

Lucas批判：(81)の G(θ)は構造パラ θの高次の非線形関数．そこでは，金融政策ルール

の ψ1 や ψ2 といった構造パラの変化は，あらゆる誘導パラに影響し変化させる．同様に，

名目硬直性の構造パラ ξの変化も，あらゆる誘導パラに影響し変化させる．このいずれが

生じて VARの誘導パラが変化したのか見分けがつくだろうか？

Sims批判：(81)のM(θ)も同様に構造パラ θの高次の非線形関数．無制約 VARだと，残

差はM(θ)et をひとかたまりとして推定される．ここでのモデルの例だと，この残差は生

産性ショック Zt と金融政策ショック εRt の線形結合として推定されるはずである．しかし

無制約VARのひとかたまりの残差だけを見て，そのいずれの構造ショックによって景気循

環が生じたのかを見分けるのは困難．そこでM(θ)に該当する部分に（構造ショックの識

別に必要なだけの）制約を入れて構造ショックの識別を図るのが構造 VARである．Sims

が批判したのは，旧来型のマクロモデルでは，構造ショックの識別には不必要なほど制約

数が過剰だということである．

19

3 概要 II：推定方法

3.1 ベイズ推定とは

ベイズ推定は尤度ベースの推定方法.15 従来はモーメントベースの推定方法 (OLS, GLS,

GMMなど)．以下の 3つがベイズ推定の主な流れ．

1. 状態空間モデルを構築：定常周りで対数線型化された状態空間モデルを作成．

2. カルマンフィルタ：尤度を計算．線型・ガウシアンの状態空間モデルなら尤度の計算に

カルマンフィルタを利用．

3．MCMC：最終的に構造パラの事後分布を推定．

DSGEモデルをベイズ推定する理由

理由 1：構造パラが推定可能ならカリブレーションに頼らなくてもいいから．

理由 2：周辺尤度を計算できるので，どちらが現実とフィットしてるかでモデル選択が可能

（ベイズファクター）．非入れ子のモデル同士でも対決可能．

理由 3：構造パラの事後分布を推定するから，パラメータの不確実性も考慮．

理由 4：観測できる内生変数はもちろんのこと，観測できない内生変数もフィルタリング・

スムージングで推定可能．

ベイズ推定の限界

限界 1：非線型・非ガウスの状態空間モデルだと推定が大変 (cf. Rubio-Ramireze and

Fernandez-Villaverde, 2005)．

限界 2：構造パラが識別できないことがある (weak identification problem)．でもGMMも

この問題から逃げられない．

限界 3：連立方程式のシステム推定なので，1本の方程式の特定化のミスが，他のパラにも

波及．

限界 4：構造パラの事前分布が必要．

GMMで推定できないのか？：できる．でも以下の限界がある．

GMMの限界 1：たくさんの IVが必要．大規模なモデルになるほどたくさん必要．

GMMの限界 2：内生変数はぜんぶ観察可能じゃないとダメ or いい代理変数が必要．

GMMの限界 3：パラの識別問題．ベイズ推定でも同じ問題にぶち当たるけれども．

GMMの限界 4：モデル選択には入れ子型にしないとダメ．

15計量経済学へベイズ統計学を適用したテキストとしては，Koop (2003)．フィルタリング，スムージング等の状態空間モデルにおける時系列解析のテキストとしては，Kim and Nelson (1999), Durbin and Koopman

(2001)．

20

GMMの利点．

長所 1：DSGEモデルを「解く」必要なし．FOCや制約条件さえわかれば構造パラを推定

可能；解が一意かどうかも気にする必要なし．

長所 2：単一の方程式だけでロバストな構造パラを推定可能．いい IVがいるけど．

長所 3：非線型モーメント条件も簡単に扱え，線型化する必要無し．

Remark：ベイズ推定 or GMMは互いに長短あり．自分の研究目的と手元にあるデータ

と相談して，どちらを使うのがいいかを決める．

3.2 推定手順

3.2.1 モデルの状態空間表現

Step1：DSGEモデルを状態空間モデルへ変換．

観測方程式でどのモデル変数が観測可能かを指定．

st = G(θ)st−1 +M(θ)et (82)

yt = H(θ)st (+ut) (83)

(83)：観測方程式；yt：観測データ，ut：観測誤差 (ここでは無視)．

3.2.2 尤度の計算

Step2：尤度の計算．

MLE or ベイズ推定には，尤度 p(y1, y2, . . . , yT |θ) ≡ p(yT |θ)の評価が必要．ML推定の目的：尤度を最大化する θを見つけること．

ベイズ推定の目的：事後分布 p(θ|yT )を手に入れること．ベイズの定理によると，事後分

布は尤度 p(yT |θ)と事前分布 p(θ)によって決定．

p(θ|yT ) ∝ p(yT |θ) · p(θ) (84)

p(yT |θ) = p(y0|θ)T∏t=1

p(yt|yt−1, θ) (85)

線型・ガウスの場合の尤度

ln p(yT |θ) = −Tm2

ln(2π) − 12

T∑t=0

ln |Vt|t−1| − 12

T∑t=0

(yt − yt|t−1)′Vt|t−1(yt − yt|t−1) (86)

21

3.2.3 MCMCによる推定

Step3．MCMC．

対数線型化された DSGEモデルの推定は，2段階で推定 (Dynareもこの方法)．

第 1段階：MLE with prior；numerical maximizationで事後密度を最大化．

第 2段階：事後分布 p(θ|yT )をMCMCで (MHアルゴリズム)で推定．

MLE (with prior) が一段階目で必要な理由

理由 1：できるだけたくさんの情報を使って事後分布 p(θ|yt)の形状を特定化したいから．理由 2：MLで p(θ|yT )のモードを見つけて，MCMCのサンプリングの初期値として利用

したいから．

理由 3：MCMCで使うランダムウォーク過程においてMLEのヘシアンを使いたいから．

MLでモードを見つけるときの注意：尤度関数にはたくさんの local maximaがあるのが

普通．だからモードを見つけるときにはたくさんの初期値を試すべき．

MCMCアルゴリズムとは

その 1．Markov Chain Monte Carloの略．

その 2．未知 or 複雑な事後分布 p(θ|yT )から，直前に θj−1 をサンプリングしてきたとい

う条件下で，次の θj をサンプリングしてくるアルゴリズム．

その 3．サンプリングの回数 jを無限大まで高めると，真の事後分布 p(θ|yT )に分布収束．

MCMCで推定する理由

理由 1：p(θ|yT )のモードとヘシアンというモーメント情報だけが知りたいならMLだけで

OK. でももっと高次元のモーメント情報が欲しい場合はMCMCを使わないと．

理由 2：θ, g(θ), E[g(θ)]の非線型関数を計算するときに便利．

理由 3：周辺尤度を計算できるので，モデル選択が可能．

MHアルゴリズム (Metropolis-Hastings Algorithm)とは

前回 θj−1 が抽出されたという条件下で次の θj をサンプリングするアルゴリズム．この条

件付き密度が未知でも可．線型・ガウシアンの DSGEモデルで p(θ|yT )の推定するのに一

番利用されてる方法16．

p(θ|yT )の推定にMHを使う理由

ベイズの定理は以下の通り．

p(θ|yT ) ∝ p(yT |θ) · p(θ)

ここまでで事前分布 p(θ)を設定して尤度 p(yT |θ)が計算できたが，尤度は極めて複雑な形状 (Normalを何回も何回も掛け合わせた結果として得られる分布)．

16場合によっては Gibbs Sampler も可能．ただし条件付き密度が既知でないとダメ．

23

=⇒ たとえ尤度を数式で書けたとしても，もはや解析的に事後分布の形状を調べるのは困難．よって，事後分布 p(θ|yT )を推定するには，尤度と事前分布を使って実際に構造パラ

をサンプリングして経験分布を描いていくしかない．そのサンプリング方法がMHアルゴ

リズム．

Random Walk MHアルゴリズムによるサンプリング方法

Step1：j − 1回目のサンプリング結果 θj−1 が手元にあるとする．

Step2：N(θj−1, cΩ)（提案分布）から，候補 θ∗ をサンプリング．

Step3：αj を (96)のように計算し，それを基にして j回目のサンプリング結果 θj を，(97)

の採択・棄却プロセスで決定．

αj = min[1,

p(θ∗|yT )p(θj−1|yT )

](96)

θj =

⎧⎪⎨⎪⎩θ∗ with probablity αj

θj−1 with probablity 1 − αj

(97)

p(θ∗|yT ) > p(θj−1|yT )の場合：今サンプリングした θ∗ を 100%採択．

p(θ∗|yT ) < p(θj−1|yT )の場合：T 期までのデータ yT の下で θ∗を抽出する確率は，θj−1

を抽出する確率よりも低いが，むげに捨てるんじゃなくて確率 αj で残すということ．

なぜ？

尤度が極めて複雑な形状であり，たくさんの local optimaがある可能性があるから．Global

optimumに到達したいなら，ある程度バラエティ豊かな θを拾って分布の裾野の情報も必

要．

Step4：Step1に戻って繰り返し θをサンプリング．

⇒ MHでたくさんの θ をサンプリング ({θj , θj−1, θj−2, . . . }が手元にあるとする)．これ

を使って，事後分布 p(θ|yT )を描く．

MHアルゴリズムで推定された事後分布の特性

サンプリングの回数 j → ∞で，真の事後分布 p(θ|yT )に分布収束．

p(θ|yT ) → p(θ|yT )　 as j → ∞ (98)

実際は無限個のサンプリングは不可能なので，誤差（Monte Carlo error）が生じる．よっ

てサンプリングしたパラの収束判定が必要．

MH実装に際してのコツ

コツ 1：θ0(最初のサンプリング)はMLE (with prior)を利用．

コツ 2：提案パラを抽出するランダムウォークの分散共分散 Ωには Var(θMLE)（ヘシア

24

ン）を利用．

コツ 3：この分散共分散の係数 cは，θ∗ の採択率が 25%程度になるように調整．

コツ 4：初めのほうにサンプリングした θj を落として，θの値が収束した以降のパラをス

トック（burn-in）．

事前分布の設定方法

コツ 1：構造パラに何の制約も無ければ Normal．

コツ 2：分散や標準偏差のパラは Inverted Gamma.

コツ 3：(0, 1)のパラなら Beta．

コツ 4：(0,+∞)なら Gamma．

推定前のチェック項目

Stochastic Singularity：「ショックの数≥観測データの数」をチェック．これが満たされないと，たくさんのデータを同じ構造ショックで説明することになるため，フィルタリン

グの際に状態変数の分散共分散が singularとなって尤度の計算が不可能に．もしこの条件

が満たされ無い場合，以下のいずれかで対応．(i) 構造ショックの数を増やす, (ii) データ

を減らす，(iii) 観測誤差を入れる．

推定後のチェック項目

チェック 1：Robustness：ゆるい priorを使って事後分布を推定し，推定結果がロバスト

かどうかをチェック．

チェック 2：Identification：設定した priorと推定した posteriorの分布の形状を比較．両

者に違いが無ければ，残念ながらそのパラは識別できていない；つまりデータに追加的な

情報が無かったということ．また，priorで設定した標準偏差と posteriorの標準偏差を比

較して，posteriorの標準偏差が shrinkしているかどうかもチェック．

チェック 3：パラの収束判定：MHでサンプリングしたパラが収束しているかどうかをチェッ

ク．方法は 2つ．（i）マルチチェーンで burn-in後のサンプルパスを比較．(ii) Geweke (1992)

の Convergence Diagnostic統計量で判断．

4 政策現場での活用

実装可能な DSGEモデルが整備されるとともに，DSGEモデルは各国中銀を中心に政策

シミュレーションのモデルとして活用されている．各国政府機関, 中央銀行ならびに国際

機関等の DSGE型マクロモデルの開発状況は以下の通りである．

25

4.1 国内

日本銀行

JEM（DSGE-VECM折衷型, Fujiwara et al. 2005）, Q-JEM（ハイブリッド型, 一上ほか,

2009）, M-JEM（DSGE型, Fueki et al. 2010）.

4.2 国外

1.欧州委員会：QUEST III（Ratto et al. 2008）

欧州委員会の QUESTIIIは DG ECFIN（Directorate General for Economic and Fi-

nancial Affairs, 経済財務総局）のモデルであり, ECBを中央銀行と考えるとそれに対

応する政府側（特に経済・財務相理事会（ECOFIN））. Smets and Wouters (2003)

(以下, SWモデル) に流動性制約下の家計と財政政策を加えたモデルを推定. 財政支

出および所得移転による財政政策の効果を計測.

2.フランス経済財政雇用省 (DGTPE: French Directorate General for the Treasury and

Economic policy)：Omega3 (Carton and Guyon 2007)

流動性家計＋ 3か国の開放経済モデルでカリブレーション. 2か国はユーロ圏, 残り

は別の通貨国という設定で, 不完全な国際金融市場による実質為替レートの調整の下，

ユーロ圏の 1国の構造改革による生産性ショックの波及および財政支出ショックの波

及をシミュレーション．

3.スペイン大統領府経済局：MEDEA (Modelo de Equilibrio Dinamico de la Economia

Espanola, Burriel et al. 2010).

SWモデル＋小国開放＋資本所得税, 労働所得税, 消費税による財政政策を取り込んだ

DSGEモデルを推定し, 財政政策の効果をシミュレーション.

4.イタリア財務省（Ministry of Economy and Finance, Department of the Treasury）

ITEM (Italian Treasury Economic Model) と欧州委員会のQUEST IIIとの折衷モデ

ルを公表（Annicchiarco et al. 2011）.

5. OECD

企業の参入・退出過程とMortensen-Pissarides型の労働者の雇用・解雇過程を DSGE

に取り込んだ Cacciatore and Fiori (2010) を, 不完備国際金融市場を想定した小国開

放モデルに拡張した中規模DSGEモデルでカリブレーション. 企業の参入規制の緩和,

雇用保護, 労働市場の摩擦の低下, 失業給付の削減といった構造改革が及ぼす長短期

の効果をシミュレーション (Economic Policy Committee, 2011, Working Party No.1

on Macroeconomic and Structural Policy Analysis) .

6. IMF

GEM（Global Economy Model, Bayoumi et al. (2004)）, GFM（Global Fiscal Model,

26

Botman et al. 2006）, これらを統合した GIMF (Global Integrated Monetary and

Fiscal Model, Kincaid 2008, Kumuhof and Laxton 2007).

7. FRB

SIGMA（Erceg et al. 2005）, EDO（Estimated, Dynamic, Optimization-based

model, Edge et al. 2007）

8. ECB

NAWM（Christoffel et al. 2007）, NAWM Estimated Version（Christoffel et al.

2008）

9.スウェーデン中央銀行

RAMSES（Adolfson et al. 2009）. RAMSESの原型となった Adolfson et al. (2007)

のモデルは SWモデルを開放経済に拡張したもので, Christiano et al. (2009)により

フィナンシャル・アクセラレーター, サーチ・マッチング（失業）を加えた「大型」の

推計 DSGEモデルへと拡張がなされるに至っている.

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付録1：Dynareによるシミュレーション

先ほどのシンプルモデルでシミュレーション．

手置きの値

割引因子：β = 0.99（年率 4％）, 消費の習慣形成：h = 0.50, 消費の異時点間代替パラ：

σ = 1.50, 労働の不効用パラ：σL = 1.50, Calvoパラ：ξ = 0.50, Taylorパラ（インフレ）：

ψ1 = 1.50，Taylorパラ（GDP）：ψ2 = 0.20．

付録2：DynareによるSWモデルの推定

SWモデルをDynareで推定

AEAのサイトにて SWモデルのコードが公開されているので，30万回（burn-in = 6000

回）でベイズ推定．Dynareでは構造パラの事後分布の絵が出力される．

31

5 10-0.5

0

0.5

Y

5 10-0.5

0

0.5

C

5 10-1

-0.5

0

Pi

5 10-0.5

0

0.5

R

5 10-1

-0.5

0

0.5

w

5 10-0.5

0

0.5

L

5 100

0.5

1

1.5

eR

図 1: 金融政策ショックに対するインパルス応答

32

5 100

0.5

1

Y

5 100

0.5

1

C

5 10-2

-1

0

1

Pi

5 10-4

-2

0

2

R

5 10-4

-2

0

2

w

5 10-0.5

0

0.5

L

5 100

0.5

1

1.5

eZ

図 2: 生産性ショックに対するインパルス応答

33

0.5 10

2

4

6

8

chabb

0.5 10

2

4

cprobw

0 2 40

0.2

0.4

0.6

csigl

0.4 0.6 0.80

2

4

6

cprobp

0 0.5 10

1

2

3

cindw

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

2

4

cindp

0 0.5 10

2

4

czcap

1 1.5 20

2

4

cfc

1 2 30

1

2

crpi

図 3: 出力例：パラメータの事後分布 (cprobw, cprobpが Calvoパラ)

34

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