dsp 4 the z-transform การแปลงแซด

DSP 4 The z-transform

การแปลงแซด

EEET0485 Digital Signal Processing

Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

DSP4-1

ผศ.ดร. พี�ระพีล ยุ�วภู�ษิ�ตานนท์�

ภูาคว�ชา ว�ศวกรรมอิ�เล�กท์รอิน�กส์�



DSP4-2

เป�าหมาย• นศ ร� �จั กความหมายุขอิงการแปลง แซด• นศ เข�าใจัประโยุชน�และการน)าการแปลงแซด ไปใช�

งาน



DSP4-3

ทำ�าไมต้�องแปลงแซด ?

• เราใช�การแปลง DTFT เพี+,อิช-วยุในการว�เคราะห�ส์ ญญาณไม-ต-อิเน+,อิงท์างเวลาโดยุใช� • และยุ�,งม�ประโยุชน� ในการว�เคราะห�ในเช�งความถี่�, • แต- DTFT เป1นการแปลงท์�,ใช�ก บส์ ญญาณ

steady–state (เช-น cos และ sin ) แต-ใช�ก บส์ ญญาณท์�,ส์)าค ญบางอิยุ-างไม-ได� เช-น u(n) หร+อิ nu(n)• การแปลงแซด (Z-transform) ให�ค)าตอิบได�

{ }je

( )jH e



DSP4-4

การแปลงแซด (z-Transform)

• ส์)าหร บ ส์ ญญาณ x(n) จัะม�การแปลงแซดเป1น

• z หมายุถี่3ง ต วแปรเช�งซ�อิน ซ3,งเราจัะให�เป1น “ ”

• ซ3,งม�ความหมายุถี่3ง ขนาด และ เฟส์“ ” “ ”•

( ) [ ( )] ( ) n

n

X z Z x n x n z

jz z e

z

Re

Im



DSP4-5

การแปลงแซด (z-transform) (ต้�อ)

หาก ขนาด ม�ค-า เท์-า หน3,ง “ ” ( ) จัะได� 1z jz e

เราจัะได� ว-า การแปลง z กลายุเป1นการแปลงฟ�เร�ยุร�

การแปลงฟู�ร�เยร�เป�นกรณี�พิ�เศษ ของการแปลงแซด

( ) ( ) ( )jj j n

z en

X z X e x n e



DSP4-6

ต วอิยุ-าง

ว�ธี�ท์)า

10.80.7

0.6n-1 0 21

( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n

1 2( ) 0.8 0.7 0.6H z z z z

h(n)



DSP4-7

คู�ณีสมบั&ต้�การแปลงแซดทำ�'ส�าคู&ญ• การเล+,อิน

• การประส์าน

• การค�ณ x(n) ด�วยุ n

[ ( )] ( )mZ x n m z X z

( )[ ( )]

dX zZ nx n z

dz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h k x n k Y z H z X z



DSP4-8

บัร�เวณีการล��เข�า (Region Of Convergence )

( ) ( )nx n u n•พี�จัารณา ได�การแปลง z

0

11

0

( ) ( )

1

1

n n n

n n

n

n

X z x n z z

zz

( ) ( )nx n u n

0

1 1z z หร+อิ



DSP4-9

บัร�เวณีการล��เข�า (ต้�อ)

ลอิงด� ( ) ( 1)nx n u n

1 11

1 11

1 0

1

( )

11 1

11

1

nn n

n n

n n

n n

X z z z

z zz

z

ต้�าง x(n) ค)าตอิบเหม*อนก&น อิะไรค+อิคูวามแต้กต้�าง?

1 1,z z หร+อิ

( ) ( 1)nx n u n

0



DSP4-10

บร�เวณการล�-เข�า ROC ค+อิ บร�เวณส์�เท์า เป1นบร�เวณท์�,ท์)าให�ส์มการเป�นจร�ง

Im

Re

Im

( ) ( )nx n u n ( ) ( 1)nx n u n

1

1( )

1X z

z

Re

ROC

ROC

ROC อิยุ�-นอกวงกลมร ศม� ROC อิยุ�-ในวงกลมร ศม�

โพีล



DSP4-11



จังหาผลการแปลง Z และ บร�เวณการล�-เข�าขอิง( ) ( ) ( 1)n nx n u n u n

1 1

0 0

1 1

( ) ( )

1 1

1 1

n n n

n n

X z z z

z z

เท์อิม แรก ROC ค+อิ บร�เวณ z

เท์อิม ส์อิง ROC ค+อิ บร�เวณ z



DSP4-12

บร�เวณการล�-เข�า ROCเป1นบร�เวณท์�,เก�ดจัากการ interceptionขอิงROC ท์ 6งส์อิง

Im

Re

Im

Re

ROC

ROC ไม-ม�ค-า, ด งน 6นไม�ม� X(z)ROC อิยุ�-ระหว-างวงกลม

( ) ( ) ( 1)n nx n u n u n



DSP4-13

คูวามเป�นคูอซ&ล (Causality)ส์ ญญาณท์�,เป1นคูอซ&ล(causal) ค+อิส์ ญญาณท์�,ม�ค-าในช-วง

หร+อิด�จัาก ROC ก�ได�

0n

( ) ( )nx n u n

0

( ) ( 1)nx n u n

0

คูอซ&ล

ส์ ญญาณท์�,เป1น คูอซ&ลต้รงก&นข�าม (anti-causal) ม�ค-าในช-วง0n

คูอซ&ลต้รงก&นข�าม



DSP4-14

ROC อย��นอกวงกลม=คูอซ&ล ROC อย��ในวงกลม=คูอซ&ลต้รงก&น

ข�าม• คอิซ ล • คอิซ ลตรงก นข�าม

Im

Re

Im

Re

ROC

ROC

ROC อิยุ�-นอกวงกลมร ศม� ROC อิยุ�-ในวงกลมร ศม�

โพีล

( ) ( )nx n u n( ) ( 1)nx n u n



DSP4-15

การแปลง z ผกผ&น (Inversion of the z-Transform)

• เพี+,อิแปลงกล บจัาก โดเมนแซดไปเป1นโดเมนเวลา

• พี�จัารณา

• จั ดอิยุ�-ในร�ป

1( ) [ ( )]x n Z X z

20 1 2

20 1 2

...( )

...

NNM

M

a a z a z a zX z

b b z b z b z

20 1 2

1 2

...( )

( )( )...( )

NN

M

a a z a z a zX z

z p z p z p



DSP4-16

โพิลสามกรณี�• โพีลเป1นจั)านวนจัร�งไม-ซ)6าค-า• โพีลเป1นจั)านวนเช�งซ�อินไม-ซ)6าค-า• โพีลเป1นจั)านวนซ)6าค-า

• ใช�ว�ธี� Partial Fraction Expansion (PFE)



DSP4-17

1.โพิลเป�นจ�านวนจร�งไม�ซ�/าคู�า



2 2

2

4 4( )

0.25 ( 0.5)( 0.5)

z zY z

z z z

21 24

( )( 0.5)( 0.5) 0.5 0.5

z C z C zY z

z z z z

1 2( ) 4

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

Y z z C C

z z z z z



DSP4-18

หา C1 และ C2

• หา C1

• หา C2

10.5

4 4(0.5)2

0.5 1z

zC

z

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z

20.5

4 4( 0.5)2

0.5 1z

zC

z

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z



DSP4-19

( ) 2 2

0.5 0.5

Y z

z z z

2 2( )

0.5 0.5

z zY z

z z

( ) 2(0.5) ( ) 2( 0.5) ( )n ny n u n u n

จัากหน งส์+อิ อิ พีรช ยุเป7ดตาราง 4.1 หน�า 46 ข�อิ 5 และตารางหน�าถี่ ดไป ได�ผลการแปลงผกผ นแซดเป1น



DSP4-20

Table of Z-transform pairs



DSP4-21

2.โพิลเป�นจ�านวนเชิ�งซ�อนไม�ซ�/าคู�า

2( )

1

zY z

z


ว�ธี�ท์)า1 2

2( )

1

C z C zzY z

z z j z j

1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z e

Y(z) แส์ดงโดยุ

2

0

cos sin2 2

j

j j

j

e



DSP4-22

หา C1

2 2 21 22

22 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

=0

2

21

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



DSP4-23

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

หา C22 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

2

22

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



DSP4-24

แทำนคู�า C1 และ C2

1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z e

2 2

2 2

0.5 0.5( )

1 1

j j

j j

e z e zY z

z e z e

จัาก ตารางท์�, 4.1 ข�อิ 14 หน�า 46*

2 cos( )*

n Cz C zC p n p C

z p z p



DSP4-25

2 2

2 2

0.5 0.5( )

1 1

j j

j j

e z e zY z

z e z e

0.52

12

2 2

2 2

0.5 0.5( ) 2 0.5 1 cos( )

2 21 1

cos( )2 2

j jn

j j

e z e zy n n

z e z e

n



DSP4-26

3.โพิลเป�นจ�านวนซ�/าคู�า2

2( )

( 0.5)( 1)

zY z

z z


ว�ธี�ท์)า 21 2 3

2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z C z C z C zY z

z z z z z

หา C1 2 ( 0.5)z z ( 0.5)z

1

2

0.5

( 0.5)

( 1)z

C z z

z

( 0.5)z 2 ( 0.5)C z z

3

2

( 0.5)

( 1)

C z z

z

1z

1 2 20.5

0.52

( 1) (0.5 1)z

zC

z



DSP4-27

2 2( 1)z z 2( 0.5) ( 1)z z

21

1

( 1)

z

C z z

22 ( 1)

( 0.5)

C z z

z

2( 1)z

23 ( 1)C z z

2

1

1

12

( 0.5) (1 0.5)z

z

zC

z

หา C2

หา C3 2 ( 1)z z 21

1

( 1)( 1)

( 0.5)( 1) ( 0.5)z

C z zC z z

z z z

3 ( 1)

1

C z z

z

( 1)z

แท์น z=1 ตรงๆเลยุ ไม-ได� (เพีราะอิะไร?) และ ส์ งเกต การต�ดค-า C1 ไว�ต้�องแทำน C2=2 ลงไปก�อน



DSP4-28

21

3

1

21

1

( 1) 2( 0.5)

( 0.5)( 1)

2( 0.5) ( 1)

( 0.5)( 1)

( 1)

z

z

z C z zC

z z

z z C z

z z

z

1( 1)

( 0.5) ( 1)

C z

z z

1

1 02

(1 0.5)

z

21

3

1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1z

C z zz zC z

z z z z

13

11 1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1 zz z

C zzC

z z z z

จั ดส์มการใหม-เพี+,อิหา C3

ส์ล บเท์อิม 2 ก บ3

ใช� การหา

แท์นค-า z=1ในข 6นตอินน�6 เท์อิม C1 จัะหายุไปเอิงเม+,อิ z=1



DSP4-29

2

2 2

2 2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z z z zY z

z z z z z

แท์นค-าลงไป

( ) 2(0.5) 2 2ny n n



DSP4-30

ประโยชิน�ของ z-Transform

• ช-วยุในการหาผลตอิบส์นอิงในโดเมนเวลาขอิงระบบต วอิยุ-าง

1 0

( ) ( ) ( )N M

l ml m

y n a y n l b x n m

ว�ธี�ท์)า( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

1( ) 0.9 ( ) ( )Y z z Y z X z

1

( ) 1( )

( ) 1 0.9

Y zH z

X z z

( ) (0.9) ( )nh n u n



DSP4-31

2. ชิ�วยหาผลการประสาน



( ) (0.5) ( )nh n u n1

( ) ( )3

n

x n u n

( ) ( ) ( )y n h n x n

( ) ( ) ( )Y z H z X zเราท์ราบว-า( ) , 0.5

0.5

zH z z

z

0

1

10

1( ) ( )

3

1 1 1,

1 13 313 3

nn n

n n

n

n

X z x n z z

zz z

z z



DSP4-32

( )10.53

z zY z

z z

หา inverse z-transform2

1 2( )1 1( 0.5)( 0.5)( ) ( )3 3

z C z C zY z

zz z z

1 23, 2C C 3 2

( )1( 0.5) ( )3

z zY z

z z

1( ) 3(0.5) ( ) 2 ( )

3

nny n u n u n

แปลงกล บ



DSP4-33

3.ชิ�วยหาเอาทำ�พิ2ทำของ difference equation

ต วอิยุ-างการหม�นขอิงดาวเท์�ยุมแส์ดงได�ด�วยุ ( ) ( 1) 0.5 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n y n y n x n x n

( )y n= ต)าแหน-งม�ม(angular position) ( )x n= ท์อิร�ก (Torque) จัากต วข บ

ให�หา y(n) ท์�, x(n) เป1น ( )n

ว�ธี�ท์)า แปลง z1 2 1( ) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )Y z z Y z z Y z X z z X z



DSP4-34

1

1 2

0.5 0.5( ) ( )

1 0.5

zY z X z

z z

ได� Transfer function 1

1 2

0.5 0.5( )

1 0.5

zH z

z z

ขยุายุอิอิกเป1น

/ 4 / 4

1.25 1.25

/ 4 / 4

( ) 0.5( 1)

( 0.707 )( 0.707 )

0.79 0.79

0.707 0.707

j j

j j

j j

Y z z

z z e z e

e e

z e z e

1.25 1.25

/ 4 / 4

0.79 0.79( )

0.707 0.707

j j

j j

e z e zY z

z e z e

เม+,อิ ค�ณกล บด�วยุ z

( ) 1.58(0.707) cos( / 4 1.25), 0ny n n n ต)าแหน-งม�ม y(n) หาได�จัากการแปลง z ผกผ น



DSP4-35

Transfer functionข�อิ

ก)าหนด 1 เราเร�ยุก H(z) ว-าเป1น ฟ9งก�ช นถี่-ายุโอิน (Transfer function) โดยุท์�,

y h x( ) ( ) ( ) : ROC =ROC ROCY z H z X z

( ) ( ) ,nn

H z h n z

y(n) เอิาท์�พี�ท์ขอิงระบบ ม�การแปลง z

หร+อิROC ขอิง h(n) จัะต�อิง overlap ก บ ROC ขอิง x(n) จั3งจัะม� Y(z)การแส์ดงระบบจัากส์มการความแตกต-าง

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

y n a y n k b y n l

จัากระบบ LTI ท์�,ม�ส์มการความแตกต-างเป1น



DSP4-36

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

k l

Y z a z Y z b z X z

หร+อิเข�ยุนเป1น H(z)1

1

( ) ( )( )

( ) ( )1

Ml

llN

kk

k

b zY z B z

H zX z A za z

( 1)0 1

0

( 1)1

M M M M

N N NN

bb z z b z

b

z z a z a

1 20

1 2

( )( ) ( )

( )( ) ( )N M M

N

z z z z z zb z

z p z p z p

เราได� zk= ซ�โร- pk

=โพีล

1

0

1

( )

M

lN M

N

k

z zH z b z

z p



DSP4-37

ถี่�า ROC ครอิบคล�ม unit circle จัะหาผลตอิบส์นอิงความถี่�,ขอิงระบบได�

( ) 10

1

( )

j

Mj

lj j N M

Nj

kz e

e zH e b e

e p

1

0

1

( )j j

Mj

j jN

e z e zH e b

e p e p

Magnitude response

Transfer function

1 1

( ) 0M N

j j jk k

constant linearnonlinear

H e or N M e z e p

Phase response

หาผลต้อบัสนองคูวามถี่�'จากการแปลง z



DSP4-38

แสดงเวคูเต้อร�จากโพิลและซ�โร�ไปย&ง unit circle

เวคเตอิร�จัากซ�โร-ไป unit circle:

Re(z)

Im(z)

Unit circle

pk

zlj

le z

jke p

เวคเตอิร�จัากโพีลไป unit circle:



DSP4-39


ว�ธี�ท์)า( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

ส์)าหร บส์ ญญาณ y(n)

1

1( )

1 0.9H z

z

0.9z

ผลตอิบส์นอิงความถี่�,โพีลซ�โร- พีล:อิต



DSP4-40

สร2ป• หาผลล พีท์�การแปลงแซดได�ในบางกรณ�ท์�,ใช�การ

แปลง DTFT ไม-ได�• ส์มการการแปลงแซดให�ความหมายุมากกว-าหน3,ง

ส์ ญญาณโดเมนเวลา โดยุแตกต-างก นตาม ROC• การแปลงแซดช-วยุหาผลล พีธี�ส์มการผลต-างได� • การแปลงแซดช-วยุหาผลตอิบส์นอิงความถี่�,ได�

dsp 4 the z-transform การแปลงแซด

Documents