4 the z-transform การแปลงแซด

4 The z-transform

การแปลงแซดผศ.ดร . พรีะพล ยุวภษิูตานนท์

ภาควชิา วศิวกรรมอิเล็กทรอนิกส์

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-1

เป้าหมาย

• นศ รูจ้กัความหมายของการแปลง แซด• นศ เขา้ใจประโยชน์และการนำาการแปลงแซด ไปใชง้าน



CESdSP DSP4-2

ทำาไมต้องแปลงแซด ?

• เราใชก้ารแปลง DTFT เพื่อชว่ยในการวเิคราะห์สญัญาณไมต่่อเนื่องทางเวลาโดยใช ้

• และยิง่มปีระโยชน์ ในการวเิคราะหใ์นเชงิความถี่ • แต่ DTFT เป็นการแปลงที่ใชกั้บสญัญาณ steady–

state (เชน่ cos และ sin ) แต่ใชกั้บสญัญาณที่สำาคัญบางอยา่งไมไ่ด้ เชน่ u(n) หรอื nu(n)

• การแปลงแซด (Z-transform) ใหค้ำาตอบได้

{ }je

( )jH e



CESdSP DSP4-3

การแปลงแซด (z-Transform)

• สำาหรบั สญัญาณ x(n) จะมกีารแปลงแซดเป็น

• z หมายถึง ตัวแปรเชงิซอ้น ซึ่งเราจะใหเ้ป็น “ ”

• ซึ่งมคีวามหมายถึง ขนาด และ เฟส“ ” “ ”•

( ) [ ( )] ( ) n

nX z Z x n x n z

jz z e

z

Re

Im



CESdSP DSP4-4

การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ)

หาก ขนาด มค่ีา เท่า หนึ่ง “ ” ( ) จะได้ 1z jz e

เราจะได้ วา่ การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรยีร์

การแปลงฟูรเิยรเ์ป็นกรณีพเิศษ ของการแปลงแซด

( ) ( ) ( )jj j n

z en

X z X e x n e



CESdSP DSP4-5

ตัวอยา่ง

วธิทีำา

108.07

06n-1 0 21

( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n

1 2( ) 0.8 0.7 0.6H z z z z

h(n)



CESdSP DSP4-6

คณูสมบติัการแปลงแซดท่ีสำาคัญ

• การเล่ือน

• การประสาน

• การคณู x(n) ด้วย n

[ ( )] ( )mZ x n m z X z

( )[ ( )] dX zZ nx n zdz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h k x n k Y z H z X z



CESdSP DSP4-7

บรเิวณการลู่เขา้ (Region Of Convergence ) ( ) ( )nx n u n•พจิารณา ได้การแปลง z

0

11

0

( ) ( )

11

n n n

n n

n

n

X z x n z z

zz

( ) ( )nx n u n

0

1 1z z หรอื



CESdSP DSP4-8

บรเิวณการลู่เขา้ (ต่อ)

ลองด ู ( ) ( 1)nx n u n

1 11

1 11

1 0

1

( )

11 11

11

nn n

n n

n n

n n

X z z z

z zz

z

ต่าง x(n) คำาตอบเหมอืนกัน อะไรคือความแตกต่าง?

1 1,z z หรอื

( ) ( 1)nx n u n

0



CESdSP DSP4-9

บรเิวณการลู่เขา้ ROC คือ บรเิวณสเีทา เป็นบรเิวณท่ีทำาใหส้มการเป็นจรงิ

Im

Re

Im( ) ( )nx n u n ( ) ( 1)nx n u n

1

1( )1

X zz

Re

ROC

ROC

ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี

โพล



CESdSP DSP4-10



จงหาผลการแปลง Z และ บรเิวณการลู่เขา้ของ( ) ( ) ( 1)n nx n u n u n

1 1

0 0

1 1

( ) ( )

1 11 1

n n n

n nX z z z

z z

เทอม แรก ROC คือ บรเิวณ z

เทอม สอง ROC คือ บรเิวณ z



CESdSP DSP4-11

บรเิวณการลู่เขา้ ROCเป็นบรเิวณท่ีเกิดจากการ interceptionของROC ทัง้สอง

Im

Re

Im

Re

ROC

ROC ไมม่ค่ีา , ดังนัน้ไมม่ ีX(z)ROC อยูร่ะหวา่งวงกลม

( ) ( ) ( 1)n nx n u n u n



CESdSP DSP4-12

ความเป็นคอซลั (Causality)สญัญาณท่ีเป็นคอซลั(causal) คือสญัญาณท่ีมค่ีาในชว่ง

หรอืดจูาก ROC ก็ได้

0n

( ) ( )nx n u n

0

( ) ( 1)nx n u n

0คอซลั

สญัญาณท่ีเป็น คอซลัตรงกันขา้ม (anti-causal) มค่ีาในชว่ง0n

คอซลัตรงกันขา้ม



CESdSP DSP4-13

ROC อยูน่อกวงกลม=คอซลั ROC อยูใ่นวงกลม=คอซลัตรงกันขา้ม

• คอซลั • คอซลัตรงกันขา้มIm

Re

Im

Re

ROC

ROC

ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี

โพล

( ) ( )nx n u n ( ) ( 1)nx n u n



CESdSP DSP4-14

การแปลง z ผกผัน (Inversion of the z-Transform)

• เพื่อแปลงกลับจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา

• พจิารณา

• จดัอยูใ่นรูป

1( ) [ ( )]x n Z X z

20 1 2

20 1 2

...( )...

NNM

M

a a z a z a zX zb b z b z b z

20 1 2

1 2

...( )( )( )...( )

NN

M

a a z a z a zX zz p z p z p



CESdSP DSP4-15

โพลสามกรณี

• โพลเป็นจำานวนจรงิไมซ่ำ้าค่า• โพลเป็นจำานวนเชงิซอ้นไมซ่ำ้าค่า• โพลเป็นจำานวนซำ้าค่า

• ใชว้ธิ ีPartial Fraction Expansion (PFE)



CESdSP DSP4-16

1.โพลเป็นจำานวนจรงิไมซ่ำ/าค่า



2 2

2

4 4( )0.25 ( 0.5)( 0.5)z zY z

z z z

21 24( )

( 0.5)( 0.5) 0.5 0.5z C z C zY z

z z z z

1 2( ) 4( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

Y z z C Cz z z z z



CESdSP DSP4-17

หา C1 และ C2

• หา C1

• หา C2

10.5

4 4(0.5) 20.5 1z

zCz

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C zz z z z

20.5

4 4( 0.5) 20.5 1z

zCz

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C zz z z z



CESdSP DSP4-18

( ) 2 20.5 0.5

Y zz z z

2 2( )0.5 0.5z zY z

z z

( ) 2(0.5) ( ) 2( 0.5) ( )n ny n u n u n

ได้ผลการแปลงผกผันแซดเป็น



CESdSP DSP4-19

1

1( )1

z transformna u n

az

Table of Z-transform pairs



CESdSP DSP4-20

2 .โพลเป็นจำานวนเชงิซอ้นไมซ่ำ/าค่า

2( )1

zY zz


วธิทีำา1 2

2( )1

C z C zzY zz z j z j

1 2

2 2

( )1 1

j j

C z C zY zz e z e

Y(z) แสดงโดย

2

0

cos sin2 2

j

j j

j

e



CESdSP DSP4-21

หา C12 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )1 1 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z ez z e z e

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

=0

2

21

2 2 2

1 1 1 0.52

( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



CESdSP DSP4-22

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z e

หา C22 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )1 1 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z ez z e z e

2

22

2 2 2

1 1 1 0.52

( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e e



CESdSP DSP4-23

แทนค่า C1 และ C21 2

2 2

( )1 1

j j

C z C zY zz e z e

2 2

2 2

0.5 0.5( )1 1

j j

j j

e z e zY zz e z e

จาก ตารางที่ 41. ขอ้ 14 หน้า 46*2 cos( )*

n Cz C zC p n p Cz p z p



CESdSP DSP4-24

2 2

2 2

0.5 0.5( )1 1

j j

j j

e z e zY zz e z e

0.52

12

2 2

2 2

0.5 0.5( ) 2 0.5 1 cos( )2 2

1 1

cos( )2 2

j jn

j j

e z e zy n nz e z e

n



CESdSP DSP4-25

3 .โพลเป็นจำานวนซำ/าค่า2

2( )( 0.5)( 1)

zY zz z


วธิทีำา 21 2 3

2 2( )( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z C z C z C zY zz z z z z

หา C1 2 ( 0.5)z z ( 0.5)z

12

0.5

( 0.5)( 1)

z

C z zz

( 0.5)z 2 ( 0.5)C z z

32

( 0.5)( 1)

C z zz

1z

1 2 20.5

0.5 2( 1) (0.5 1)z

zCz



CESdSP DSP4-26

2 2( 1)z z 2( 0.5) ( 1)z z

21

1

( 1)

z

C z z

22 ( 1)

( 0.5)C z z

z

2( 1)z

23 ( 1)C z z

21

1

1 2( 0.5) (1 0.5)z

z

zCz

หา C2

หา C3 2 ( 1)z z 21

1

( 1)( 1)( 0.5)( 1) ( 0.5)

z

C z zC z zz z z

3 ( 1)

1C z z

z

( 1)z

แทน z=1 ตรงๆเลย ไมไ่ด้ (เพราะอะไร?) และ สงัเกต การติดค่า C1 ไว้ต้องแทน C2=2 ลงไปก่อน



CESdSP DSP4-27

21

31

21

1

( 1) 2( 0.5)( 0.5)( 1)

2( 0.5) ( 1)( 0.5)( 1)

( 1)

z

z

z C z zCz z

z z C zz z

z

1( 1)

( 0.5) ( 1)C z

z z

1

1 0 2(1 0.5)

z

21

31

( 1) (2)( 0.5)( 1) ( 0.5) 1z

C z zz z C zz z z z

13

11 1

( 1) (2)( 0.5)( 1) ( 0.5) 1 zz z

C zzCz z z z

จดัสมการใหมเ่พื่อหา C3

สลับเทอม 2 กับ 3

ใช ้การหา

แทนค่า z=1ในขัน้ตอนนี้ เทอม C1 จะหายไปเองเมื่อ z=1



CESdSP DSP4-28

2

2 2

2 2 2( )( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z z z zY zz z z z z

แทนค่าลงไป

( ) 2(0.5) 2 2ny n n



CESdSP DSP4-29

ประโยชน์ของ z-Transform

• ชว่ยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบตัวอยา่ง

1 0( ) ( ) ( )

N M

l ml m

y n a y n l b x n m

วธิทีำา( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

1( ) 0.9 ( ) ( )Y z z Y z X z

1

( ) 1 ( )( ) 1 0.9

Y z H zX z z

( ) (0.9) ( )nh n u nEEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-30

2. ชว่ยหาผลการประสาน



( ) (0.5) ( )nh n u n1( ) ( )3

n

x n u n

( ) ( ) ( )y n h n x n

( ) ( ) ( )Y z H z X zเราทราบวา่( ) , 0.5

0.5zH z z

z

0

1

10

1( ) ( )3

1 1 1,1 13 313 3

nn n

n n

n

n

X z x n z z

zz zz z



CESdSP DSP4-31

( ) 10.53

z zY zz z

หา inverse z-transform2

1 2( ) 1 1( 0.5)( 0.5)( ) ( )3 3

z C z C zY zzz z z

1 23, 2C C 3 2( ) 1( 0.5) ( )

3

z zY zz z

1( ) 3(0.5) ( ) 2 ( )3

nny n u n u n

แปลงกลับ



CESdSP DSP4-32

3.ชว่ยหาเอาท์พุทของ difference equation

ตัวอยา่งการหมุนของดาวเทียมแสดงได้ด้วย ( ) ( 1) 0.5 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n y n y n x n x n

( )y n= ตำาแหน่งมุม(angular position) ( )x n= ทอรก์ (Torque) จากตัวขบั

ใหห้า y(n) ท่ี x(n) เป็น ( )n

วธิทีำา แปลง z1 2 1( ) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )Y z z Y z z Y z X z z X z



CESdSP DSP4-33

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Asst. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP4-34

1

1 2

0.5 0.5( ) ( )1 0.5

zY z X zz z

ได้ Transfer function 1

1 2

0.5 0.5( )1 0.5

zH zz z

ขยายออกเป็น/ 4 / 4

1.25 1.25

/ 4 / 4

( ) 0.5( 1)( 0.707 )( 0.707 )0.79 0.790.707 0.707

j j

j j

j j

Y z zz z e z e

e ez e z e

1.25 1.25

/ 4 / 4

0.79 0.79( )0.707 0.707

j j

j j

e z e zY zz e z e

เมื่อ คณูกลับด้วย z

( ) 1.58(0.707) cos( / 4 1.25), 0ny n n n ตำาแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน

Transfer function



ขอ้กำาหนด 1

เราเรยีก H(z) วา่เป็น ฟงัก์ชนัถ่ายโอน (Transfer function) โดยท่ี

y h x( ) ( ) ( ) : ROC =ROC ROCY z H z X z

( ) ( ) ,nn

H z h n z¥

-

=- ¥= å

y(n) เอาท์พุทของระบบ มกีารแปลง z หรอืROC ของ h(n) จะต้อง overlap กับ ROC ของ x(n) จงึจะม ีY(z)

1 1( ) ( ) ( )

N M

k lk l

y n a y n k b y n l

จากระบบ LTI ท่ีมสีมการความแตกต่างเป็น



1 1( ) ( ) ( )

N Mk l

k lk l

Y z a z Y z b z X z

หรอืเขยีนเป็น H(z)1

1

( ) ( )( )( ) ( )1

Ml

llN

kk

k

b zY z B zH zX z A za z

( 1)0 1

0( 1)

1

M M M M

N N NN

bb z z b zb

z z a z a

1 20

1 2

( )( ) ( )( )( ) ( )

N M M

N

z z z z z zb zz p z p z p

เราได้ zk= ซโีร ่ pk =โพล

1

0

1

( )

M

lN M

N

k

z zH z b z

z p

ถ้า ROC ครอบคลมุ unit circle จะหาผลตอบสนองความถ่ีของระบบได้

( ) 10

1

( )

j

Mj

lj j N M

Nj

kz e

e zH e b e

e p

10

1

( )j j

Mjj j

N

e z e zH e b

e p e p

Magnitude response

Transfer function

1 1

( ) 0M N

j j jk k

constant linearnonlinear

H e or N M e z e p

Phase response

หาผลตอบสนองความถ่ีจากการแปลง z



CESdSP DSP4-37

แสดงเวคเตอรจ์ากโพลและซโีรไ่ปยงั unit circle

เวคเตอรจ์ากซโีร่ไป unit circle:

Re(z)

Im(z)

Unit circle

pk

zlj

le z

jke p

เวคเตอรจ์ากโพลไป unit circle:



CESdSP DSP4-38


วธิทีำา( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n

สำาหรบัสญัญาณ y(n)

1

1( )1 0.9

H zz

0.9z

ผลตอบสนองความถ่ีโพลซโีร ่พล๊อต



CESdSP DSP4-39

สรุป

• หาผลลัพท์การแปลงแซดได้ในบางกรณีที่ใชก้ารแปลง DTFT ไมไ่ด้

• สมการการแปลงแซดใหค้วามหมายมากกวา่หนึ่งสญัญาณโดเมนเวลา โดยแตกต่างกันตาม ROC

• การแปลงแซดชว่ยหาผลลัพธส์มการผลต่างได้ • การแปลงแซดชว่ยหาผลตอบสนองความถ่ีได้



CESdSP DSP4-40

4 the z-transform การแปลงแซด

Documents