dt dz dz v dz*akzh.gpi.ru/pdf/1989_3_477-481.pdf · акустическое управление...
TRANSCRIPT
А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л
Т о м X X X V 1 9 8 9 В ы » . 3
УДК 534.2:532
Р А С С Е Я Н И Е З В У К А В И Х Р Е В Ы М С О Л И ТО Н О М В О С Е С И М М Е Т Р И Ч Н О М П О Т О К Е СО С Д В И ГО М С К О РО С Т И
Лямгиов Л . М . , С кворцов А . Т .
Р а с с м а т р и в а е т с я з а д а ч а о р а ссе я н и и з в у к а л о к ал и зо ван н ы м и в и х р е вы м и в о зм у щ ен и я м и п о сеси м м етр и ч н о м п о то к е со сд ви го м скорости , ко то р ы е о п и с ы в а ю т с я и зв естн ы м у р ав н е н и е м К о р т о в е г а -д е Ф р и з а . П от о к п р е д п о л а га е т с я с у щ е с т в е н н о д о з в у к о в ы м , т . е. его х а р а к т е р н а я ско р о сть м н ого м е н ь ш е скор ости з в у к а . В р а м к а х б о р ц о вско го п р и б л и ж е н и я о п р ед ел ен ы а м п л и т у д а и сеч ен и е р а с с е я н и я ; а н а л и з и р у е т с я и х п о вед ени е в п р ед ел е н и зк и х и в ы с о к и х ч асто т . Н а о сн о ван и и п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в р а с сч и т ы в а ю т ся х а р а к т е р и с т и к и з в у к о в о г о н о л я , п о р о ж д аемого р а ссе я н и ем н а в и х р е в о м в о зм ущ ен и и в ви де одного соли топа.
Взаимодействие звуковых волн с вихрями определяет большое число практически важных эффектов (аэродинамическую генерацию звука, акустическое управление параметрами турбулентных течений, динамические шумы атмосферы и океана и т. д.) и широко исследуются и последнее время (см., например, [1—7]). Особый интерес при этом вызывают процессы рассеяния звука на вихрях, что связано, например, с разработкой средств дистанционной акустической диагностики вихрей и детектированием когерентных вихревых структур в турбулентных потоках [3—6].
И настоящей работе теоретически исследуется рассеяние звука локализованными вихревыми возмущениями (солитонами) в осесимметричном сдвиговом потоке с профилем скорости типа струи или следа (такие возмущения — солитопы могут служить достаточно адекватной моделью когерентных вихревых структур). Поток предполагается существенно дозвуковым, т. е. его характерная скорость много меньше скорости звука.
Рассмотрим стационарный осесиммстрический поток (струю) с распределением скоростей
vz=U0e x p [ - ( r J a ) 2), уг= фф=0, (1)где г l, z, ср — цилиндрическая система координат (см. рисунок); а= = со nst — ширина струи; t/o=const— скорость на ее оси (переход от (1) к потоку типа следа осуществляется очевидным галилеевским преобразованием координат [8] ) ; £/0< с (с —скорость звука), поэтому поток в первом приближении можно считать несжимаемым.
Можно показать (см. [8, 9 ]), что динамика крупномасштабных (с волновыми числами х <1 /а) осесимметричных возмущений потока (1) вида
vz= U (ez, et) exp (—г ) (2)описывается уравнением
д д д д*— v+U0— v+v — у+ р— - v=0. (3)dt dz dz v dz*
Здесь r = r j a , e ~ x a < l, v — возмущение скорости на оси струи: U= = U0+v; $=U0a2 In 2/2. Распределение радиальной скорости, отвечающее(2), (3), определяется на основании уравнения неразрывности и при г±<а дается выражением (см. [8]):
vr = — [ e x p ( - r* ) - l] , U' = ~ U . (4)r± f)z
477
Г е о м е т р и я зад ач и , а - п р о ф и л ь скор ости не в о зм у щ ен н о го п о то к а , б - к а р т и н а л и н и й т о к а д л я в о з м у щ е н и я в ви де со л и то п а [8 ] , в - с х е м а
рассеяния
В области г±>а возмущения радиальной и осевой скорости с увеличением г l экспоненциально затухают [8] и течение всегда сохраняет потенциальный характер.
Уравнение (3) —известное уравнение Кортевега —де Фриза, решения которого хорошо изучены [10]. Это позволяет аналитически описывать структуру вихревых возмущений (2), (3) и, как следствие, особенности рассеяния ими звука (но поводу излучения звука возмущениями (2),(3) см. [1]) .
Пусть на возмущенный поток (1), (2) падает плоская монохроматическая звуковая волна. Рассчитаем эффективность рассеяния в этом случае.
При определении параметров звукового поля будем исходить из известного выражения (см., например, [7])
о е*к°*— = /(п ,п 0)—— , (5)Ра Я
0) 2Нп,щ) = — ^т(пп<1) (nv(q)), q = k - k 0, (6)
2 л с2
которое в борцовском приближении описывает рассеянное поле вдали от произвольного гидродинамического потока. Здесь р0, р, — амплитуды гармонических возмущений плотности соответственно в падающей и рассеянной волне, / ( п, п0)—амплитуда рассеяния; i? = |R |; R — радиус-вектор точки наблюдения; n= R /Д; n0= k 0/fco; k0 — волновой вектор падающей звуковой волны; со0=ск0 — ее частота (предполагается, что выполнено условие квазистационарности: сo0>UJa)\ k=nfc0; v(q) — пространственная фурьо-компопента поля скорости вихревого потока v ( r , t), которую с учетом существенно дозвукового характера движения удобно выразить через соответствующую фурье-компоненту завихренности Й (г, /)= ro lv (r , /) [3-5]
v(q)= i[£i(q)X q]/g2, (7)где
Q (q )-JJ(q , 0 = J « ( r , 0 ei,rd3r. (8)
Таким образом, при рассеянии звука па вихревом потоке рассеяппос звуковое иоле (помимо характеристик падающей волны) полностью определяется фурье-компонентой завихренности (8) [3—5].
Здесь сразу необходимо оговорить следующее важное обстоятельство. Рассеяние звука в рассматриваемом случае будет, вообще говоря, происходить как на самом стационарном потоке (1), так и на его возмущениях(2). На практике, однако, звуковые сигналы, отвечающие каждому из этих процессов, могут быть легко выделены, поскольку они имеют относительную расстройку по частоте (эта расстройка есть непосредственное следствие эффекта Доплера, возникающего из-за распространения воз->178
мущеиий (2) относительно стационарного потока). Поэтому в дальнейшем вообще не будем рассматривать рассеяние звука стационарным потоком (1), полностью сосредоточившись на исследовании особенностей его рассеяния возмущениями (2).
Для осесимметричных вихревых течений Й(г)=ф12(г±, z), где r=rj_+ +zz, r±={xt У, 0}; <p=[z, r±l/r±, z — единичный вектор вдоль оси потока
см. рисунок). В результате выражения (6), (7) приводятся к виду 3, 4]
/ ( п, п„) = - Ф (п, п0, г) Q (</х, qc) , (9)
где •Ф(11, По, z) = (im0) (nz+n0z), (10)
30
= (?хГх)П (д„гх)</гА, (11)О
• -/,(£ ) — функция Бесселя первого порядка, qZ=qz, q j.= q -g ;z, g_L=|q_L|.
Входящее в (9), (11) распределение завихренности, отвечающее возмущениям (2), (3), находится при помощи (2), (4). Таким образом, получаем, что при гх<а
Q(r±, z) =v"az[cxtj(—r2) — i]/r+2vr exp [—r2]/a2. (12)Подставляя это выражение в (9) и учитывая экспоненциальный характер затухания Q( rL, z) при г \>а (это позволяет заменить верхний предел интегрирования в (И ) на величину ~ а ), находим Q(q±,qz) = = [qz2a2Ft(q±a)+2F2((j±a)]v(qz)alqZy где + СО
»(?«)“ »(?.,*) = I v(z , i )e il]‘‘dz, (12)— СО
v(z t) — любое решение уравнения (3),1 *
Л<*)= \ [1-ехр(-Г) У,(*М; Рг {х) = J £*ехр (-?)/. (13)
Далее, разлагая в ряд экспоненту в подынтегральных выражениях (13), имеем Fl(x)= F2(x)=^J2(x)/x. После этого формула (9) принимает окончательный вид:
ч ~ ш 0га2 J2(q±a)/ ( n ,n0)= q )(n ,n 0,z)
2с3 (q±a)[qzza2+2]v(q:). (14)
Подставляя в (14) известные решения уравнения Кортевсга — де Фриза(3) [10], отвечающие различным типам вихревых возмущений (2), (3) (совокупность солитоиов, линейный диспергирующий пакет, кноттдальная волна), можно теоретически проанализировать особенности рассеяния ими звука.
Отметим, что согласно (14) при п = —п0 (рассеяние назад) и при п-1-п0 (рассеяние в перпендикулярном направлении) рассеянный сигнал всегда
л
отсутствует (сомножитель Ф(п, n0,z) (10) равен нулю). Это есть следствие общих закономерностей, непосредственно вытекающих из исходной формулы (5) [3, 4, 7].
В качестве примера использования полученных результатов рассчитаем при помощи (5), (14) рассеяние звука локализованным вихревым возмущением в виде одного соли тона (см. рисунок). Соответствующее решение уравнения (3) имеет вид [10]
v(z, *)=3F/ch2 U z-F O /A ]; FA2= t / 0a22 In 2=const, (15)
4 7 9
где 3V — амплитуда солитона, Д — его характерная ширина. Входящий н (14) интеграл v(qz) (12) в этом случае легко вычисляется. В результате находим
/(и, п0) =3ш 1 п 2Ф (п, и0, z)o)0V£/r
с.3g«(gxV+2) ^ у,Ь{ЯлР)йй(лдгД/2) 6 (g j/02
Из формул (5), (16) заключаем, что рассеянная на солитоне звуковая•'Ч
волна имеет доплеровский сдвиг частоты A(i)0= qzF относительно звуковой волны, рассеянной на невозмущениом потоке (относительно же па-
✓ ч
дающей волны этот сдвиг частоты равен qz(C/0+ F ) ) . Поскольку V ~ h r2(15), то отсюда следует, что доплеровский сдвиг частоты Дсо0 обратно пропорционален квадрату характерного пространственного масштаба соли- тома. По этой же причине амплитуда сигнала, рассеянного вперед (этому отвечает случай qz=q±= 0 в (16)), пропорциональна квадратному корню из амплитуды солитона.
Указанные особенности рассеяния звука вихревым солитоиом могут оказаться полезными в задачах дистанционной акустической диагностики соли тоноподобных возмущений в турбулентных потоках.
Эффективность рассеяния в различных направлениях принято характеризовать дифференциальным сечением [7] d a= |/(n , n0) |2do, где d o — элемент телесного угла. Соответственно полное сечение о есть интеграл:
n ,n0) г-do.
В случае длинных волн ((о0а/с<1) можно положить в (16) qzA ~ q za~ ~q±a< 1. Подставляя затем полученное выражение в (17) и выполняя стандартным образом [11, с. 55] интегрирование, получаем
о= [ 1+7 (n0z)2]я In 2 / (о0а120 м •2 V
и,-а‘ О) о « < 1. (18)
где M =U jc — число Маха потока. Поскольку, согласно исходным предположениям U о « с (т. е. М <1), то для длинных волн сечения рассеяния много меньше геометрического сечения (последнее имеет порядок а2).
В случае коротких волн (о 0а/с>1) рассеяние направлено в основном вперед (см. рисунок) и сосредоточено в узком конусе с углом раствора Д0~с/юоа вокруг направления п0 (вне этого конуса компонента Фурье (8) мала) [3, 7]. Поэтому для сечения рассеяния (17) с учетом (10), (16) имеем здесь оценку
o « |/( iio ,n 0) | 2(ДО)2= (n0z)In 2 ~~8~ (т ) м : ш
и„СОпй
«• » 1-(19)
Если направление падающей волны перпендикулярно направлению по-/N
тока, то эту оценку необходимо уточнить (так как при n0J-z /(п0, п0)= 0 ). Полагая в этом случае характерное значение амплитуды рассеяния / (п0, но) равным ее значению на границах «конуса рассеяния», по аналогии с (19) приходим к выражению
о Д Л Я П о - L z ,
Зависящие от векторов n0, z сомножители в (18), (19) характеризуют анизотропию рассеяния. Их анализ показывает, что рассеяние максимально, когда направление падающей волны совпадает с направлением потока и минимально, когда эти направления ортогональпы.
Приведем простейшие численные оценки. Так, при рассеянии звуковой волны частоты со„=5 кГц на вихревом солитоне в струе воздуха с параметрами М=4,8-10~2, а=4-10_| м (радиус сопла), | F|/C/0~2 : 10~‘ (относительная амплитуда турбулентных пульсаций в струе) сечение рассеяния (19) а» а2(ю0а/с)2М2| F |/ t /o«9,3-10“3 м2.
В заключение кратко обсудим облает], применимости формул (19),(20). Естественно, что монотонное возрастание сечения рассеяния с увеличением частоты падающей волны, вытекающее из формулы (19) для предельно высоких частот перестает выполняться. Можно показать (аналогично тому, как это сделано в квантовой механике [12, § 45]), что применимость всего борцовского приближения (5), (6) и, следовательно, оценок (19), (20) ограничена в области высоких частот условием со0< <со.=с/яМ. Поэтому максимальное сечение рассеяния звука вихревым солитоном, определяемое на основе борцовского приближения, оказывается порядка его геометрического сечения. В реальных условиях частота со., как правило, достаточно велика (например, для струи с описанными параметрами она составляет 17 кГц). Поэтому неравенство о>0<оь не является на практике серьезным ограничением.
ЛИТЕРАТУРА1. Л ям шее Л. М., Скворцов А. Т. Получение звука локализованными вихрями в сла-
босжимаемой среде // А куст. жури. 1988. Т. 34. № 5. С. 769-790.2. Косове С. Г., Л ям ш св Л. М. Об одном механизме генерации звука в приповерх
ностных слоях атмосферы в океане//Тез. докл. II Всесогоз. съезда океанологов. Севастополь: МГЦ, АН УССР, 1982. Вып. 4. Ч. I. С. 17-18.
3. Громов 77. Р., Езерский А. Б ., К ияш ко С. В., Фабрикант А. Л. Рассеяние звука тороидальным вихрем: Препринт № 59. Горький: ИПФ АН СССР, 1982.
4. Howe М. S. On the scattering of sound by a vortex ring//.!. Sound Vibr. 1983. JSs 4. P. 567-571.
5. Климов В. В., Прозоровский В. Л. Рассеяние акустических волн на трехмерном вихре/ / Акуст. жури. 1987. Т. 33. № 1. С. 128-131.
6. Мансфельд А. Д., Рабинович М. И., Сущ ик М. М. Звук и крупномасштабные когерентные структуры в турбулентности // Тр. II Всесоюз. симпоз. по физике акустико-гидродинамических явлений и оптоакустике. М.: Наука, 1982. С. 12-23.
7. Монин А. С., Я г лом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. II. М.: Наука, 1967. 738 с.
8. Т р и гу б В. II. Об асимптотической структуре взаимодействия в ламинарном осесимметричном следе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 4. С. 35-42.
9. Leibovich S. Vortex Stability and Breakdown: Survey and Extension // AIA A J. 1984. V. 22. № 5. P. 1192-1206.
10. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 623 с.11. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972. 392 с.12. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
bastion Institute. Pittsburgh. USA. P. 929-938.
Акустический институт им. Н. Н. Андреева Поступила в редакциюАкадемии наук СССР 12.VII.1988
4 Акустический журнал, Л* 3 481