duzina luka krive
DESCRIPTION
Duzina Luka KriveTRANSCRIPT
-
XIII PREDAVANJE
PRIMENA ODREDJENOG INTEGRALA
Primene odredjenog integrala zasnivaju se na definiciji. Odredjeni integral koristise za izracunavanje povrsina figura u ravni, duzinu lukova ravnih krivih, zapreminei povrsine tela.
PRIMER.
2
0
1dx = x20= 2
2
0
xdx =x2
2
20
= 1
GEOMETRIJSKI SMISAO ODREDJENOG INTEGRALA
I) Neka je y = f(x) pozitivna funkcija na [a, b]. Tada je
ba
f(x)dx = P (G),
gde je G = {(x, y)|a x b, 0 y f(x)} .
II) Ukoliko je f(x) < 0, x [a, b], tada je
P (G) =
ba
|f(x)|dx = ba
f(x)dx.
III) Ako je f(x) > 0 za x (c, d) i f(x) < 0 za x [a, c) (d, b], tada je
P (G) =
ba
|f(x)|dx = ca
f(x)dx+
dc
f(x)dx bd
f(x)dx.
1. IZRACUNAVANJE POVRSINA RAVNIH LIKOVA
PRIMER. Izracunati povrsinu ogranicenu lukom krive y = 4 x2 i xosom.PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivom y = lnx i pravama
x = 1/e, x = e i y = 0.1
-
2U slucaju kada je oblast u ravni omedjena dvema krivama, tj.
D = {(x, y)| a x b, y1(x) y y2(x)}Povrsina ove oblasti se izracunava kao
P (D) =
ba
(y2(x) y1(x))dx
PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivama y = x2 i y = 6 x iyosom.
PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivama y = 1/(1 + x2) iy = x2/2.
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2. IZRACUNAVANJE ZAPREMINE OBRTNIH TELA
Neka je y = f(x) neprekidna kriva definisana na intervalu [a, b]. Njenim obr-tanjem nastaje telo. U proizvoljnoj tacki x [a, b] poprecni presek tela sa ravni,koja je normalna na xosu, predstavlja krug sa poluprecnikom R = f(x). Njegovapovrsina je
P (x) = piR2 = pif2(x).
-
3Odatle sledi da je zapremina tela
V =
ba
P (x)dx = pi
ba
f2(x)dx
PRIMER. Naci zapreminu tela dobijenog rotacijom krive y = x2 oko xosenad intervalom [0, 1].
PRIMER. Naci zapreminu tela dobijenog rotacijom krive y = ex oko xosenad intervalom [0, 1].
PRIMER. Oblast ogranicena krivama y = x i y = x2 rotira oko prave y = 3.Izracunati zapreminu tako nastalog tela.
3. DUZINA LUKA KRIVE
Neka funkcija y = f(x) ima neprekidan prvi izvod na [a, b]. Tada element duzineluka krive moze da se izrazi kao
L (x)2 + (y)2
1 + (f (x))2x.
Odatle je duzina luka krive
L =
ba
1 + (f (x))2dx
PRIMER. Naci duzinu luka krive y = x2 od x = 0 do x = 5.
Ako je funkcija f zadata parametarski
x = (t), y = (t), t [, ],tada se duzina luka krive izracunava formulom
L =
(xt)2 + (yt)
2dt =
((t))2 + ((t))2dt
PRIMER. Naci duzinu luka krive y = lnx od x =3 do x =
7.
PRIMER. Naci duzinu dela kruznice x2+y2 = r2, y 0 od A(r, 0) do B(r, 0).(Uvesti parametarske jednacine kruznice: x = r cos t, y = r sin t, t [0, pi].)
PRIMER. Naci duzinu luka krive zadate parametarskim jednacinama
x = cos t+ t sin t
y = sin t t cos tod t = 0 do t = 5.