geometrija i smer - deo 4: krive u...
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/1.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
UNIVERZITET U BEOGRADU
MATEMATIQKI FAKULTET
Geometrija I{smerdeo 4: Krive u ravni
Tijana Xukilovi�
3. decembar 2017
![Page 2: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/2.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
KonusNeka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T .Kru�ni konus sa temenom T je povrx koja se dobijarotacijom prave i oko ose s.Rotirana prava i (u raznim polo�ajima) naziva seizvodnica konusa, a prava s se naziva osa konusa.
T s
i
Slika 1: Kru�ni konus
![Page 3: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/3.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Konusni presek
Definicija 1.1
Konusni presek je presek konusa sa proizvonom ravni α.
Konusni preseci:
krug;
elipsa;
hiperbola;
parabola.
![Page 4: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/4.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Konike
Definicija 1.2
Konika je presek konusa sa ravni α koja NE sadr�i temekonusa.
Teorema 1.1
U ravni α konike postoje prava d i taqka F takve da jeodnos rastoja�a
MF
d(M,d) = e = const
proizvone taqke M konike od taqke F i prave dkonstantan.
![Page 5: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/5.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Ekscentricitet konike
Definicija 1.3
Broj e ≥ 0 naziva se ekscentricitet konike,
taqka F �i�a,a prava d direktrisa konike.
Ekscentricitet odre�uje tip konike:
za e = 0 { krug;
za 0 < e < 1 { elipsa;
za e = 1 { parabola;
za e > 1 { hiperbola.
![Page 6: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/6.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Ekscentricitet konike
Definicija 1.3
Broj e ≥ 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F �i�a,
a prava d direktrisa konike.
Ekscentricitet odre�uje tip konike:
za e = 0 { krug;
za 0 < e < 1 { elipsa;
za e = 1 { parabola;
za e > 1 { hiperbola.
![Page 7: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/7.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Ekscentricitet konike
Definicija 1.3
Broj e ≥ 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F �i�a,a prava d direktrisa konike.
Ekscentricitet odre�uje tip konike:
za e = 0 { krug;
za 0 < e < 1 { elipsa;
za e = 1 { parabola;
za e > 1 { hiperbola.
![Page 8: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/8.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Ekscentricitet konike
Definicija 1.3
Broj e ≥ 0 naziva se ekscentricitet konike, taqka F �i�a,a prava d direktrisa konike.
Ekscentricitet odre�uje tip konike:
za e = 0 { krug;
za 0 < e < 1 { elipsa;
za e = 1 { parabola;
za e > 1 { hiperbola.
![Page 9: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/9.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
1. Keplerov zakon:Tela Sunqevog sistema se kre�u oko Sunca po konici, aSunce se nalazi u �i�i te konike.
![Page 10: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/10.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?
Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemuimaju skoro paraboliqne puta�e?
![Page 11: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/11.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?
Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemuimaju skoro paraboliqne puta�e?
![Page 12: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/12.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)? YouTube
Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemuimaju skoro paraboliqne puta�e?
![Page 13: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/13.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?
Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemuimaju skoro paraboliqne puta�e?
![Page 14: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/14.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Slika: Orbite planeta Sunqevog sistema
Da li Sunce miruje? Xta utiqe na orbitu planete?
Xta je to retrogradni Merkur (u fizici)?
Koji astronomski objekti u naxem Sunqevom sistemuimaju skoro paraboliqne puta�e?Odgovor: na primer, Halejeva komenta (e ≈ 0.995)
![Page 15: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/15.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Puta�a kosog hica je parabola.
Senka kru�nog predmeta na ravan zid je konika.
Sunqeva senka vrha xtapa u toku dana je konika.
Slika: Most ”Sunqani sat", Kalifornija
![Page 16: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/16.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Puta�a kosog hica je parabola.
Senka kru�nog predmeta na ravan zid je konika.
Sunqeva senka vrha xtapa u toku dana je konika.
Slika: Most ”Sunqani sat", Kalifornija
![Page 17: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/17.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri konika u prirodi
Puta�a kosog hica je parabola.
Senka kru�nog predmeta na ravan zid je konika.
Sunqeva senka vrha xtapa u toku dana je konika.
Slika: Most ”Sunqani sat", Kalifornija
![Page 18: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/18.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Krug
x
y
C(x0, y0)
M(x, y)
φ
Slika 4: Krug sa centrom u taqki C(x0, y0)i polupreqnikom r
![Page 19: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/19.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Jednaqine kruga u ravni i prostoru
O x
y
x2 + y2 = 1
Slika 5: Krug
x
y
z
x2 + y2 = 1
Slika 6: Cilindar
![Page 20: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/20.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Jednaqine kruga u ravni i prostoru
O x
y
x2 + y2 = 1
Slika 5: Krug
x
y
z
z = 0
x2 + y2 = 1
Slika 6: Cilindar −→ krug
![Page 21: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/21.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Implicitna i parametarska jednaqina kruga
Implicitna jednaqina kruga:
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Parametarska jednaqina kruga:
x = x0 + r cos θ, y = y0 + r sin θ, θ ∈ [0, 2π),
θ je ugao izme�u vektora polo�aja taqke i pozitivnogdela x-ose.
![Page 22: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/22.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Implicitna i parametarska jednaqina kruga
Implicitna jednaqina kruga:
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Parametarska jednaqina kruga:
x = x0 + r cos θ, y = y0 + r sin θ, θ ∈ [0, 2π),
θ je ugao izme�u vektora polo�aja taqke i pozitivnogdela x-ose.
![Page 23: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/23.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Brzina i ubrza�e
x
y
r
α(t)
α′′(t) = #«a (t)
α′(t) = #«v (t)
Slika 7: Brzina i ubrza�e
α(t) = (r cos t, r sin t) , t ∈ [0, 2π).
Kru�no kreta�ekonstantnom ugaonombrzinom:
t { vreme;#«v = α′(t) { brzina;#«a = α′′(t) { ubrza�e;#«
F = m #«a {centripetalna sila.
Predava�a profesora Voltera Levina sa MIT-a (YouTube)
![Page 24: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/24.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elipsa
x
y
F1F2
a
b
Slika 8: Elipsa
Kanonska jednaqina elipse:
x2
a2 + y2
b2 = 1, a > b > 0.
![Page 25: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/25.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi elipse
a > b > 0 { poluose elipse;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 − b2 { �i�e elipse;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise elipse;
e = c
a{ ekscentricitet elipse.
za a = b elipsa je krug!
![Page 26: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/26.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi elipse
a > b > 0 { poluose elipse;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 − b2 { �i�e elipse;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise elipse;
e = c
a{ ekscentricitet elipse.
za a = b elipsa je krug!
![Page 27: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/27.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi elipse
a > b > 0 { poluose elipse;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 − b2 { �i�e elipse;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise elipse;
e = c
a{ ekscentricitet elipse.
za a = b elipsa je krug!
![Page 28: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/28.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi elipse
a > b > 0 { poluose elipse;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 − b2 { �i�e elipse;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise elipse;
e = c
a{ ekscentricitet elipse.
za a = b elipsa je krug!
![Page 29: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/29.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi elipse
a > b > 0 { poluose elipse;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 − b2 { �i�e elipse;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise elipse;
e = c
a{ ekscentricitet elipse.
za a = b elipsa je krug!
![Page 30: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/30.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Fokusne osobine elipse
Teorema 1.2
Zbir rastoja�a proizvone taqke elipse od �enih �i�a jekonstantan:
MF1 +MF2 = 2a.
O F1(c)F2 T1(a)
T2(b)
MA1A2
d1d2
Slika 9: Zbir rastoja�a taqke elipse od �enih �i�a
Fokusne osobine elipse
![Page 31: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/31.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri
Primer 1
Ako je ekscentricitet Marsa e = 0.0934 i rastoja�e izme�u�i�a 2c ≈ 0.2847AJ (1AJ = 1.5× 108km), odrediti najma�e(perihel) i najve�e (afel) rastoja�e Marsa od Sunca.
Kolike su ove vrednosti za Zemu?
Za koju planetu Sunqevog sistema je razlika ove dvevrednosti maksimalna?
![Page 32: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/32.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Parametarska jednaqina elipse
Parametarska jednaqina elipse:
x = a cos θ, y = b sin θ, θ ∈ [0, 2π),
a, b su poluose elipse, ali θ NIJE ugao izme�u vektorapolo�aja taqke i pozitivnog dela x-ose.
![Page 33: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/33.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Hiperbola
x
y
d1d2
ab
F1F2
Slika 10: Hiperbola
Kanonska jednaqina hiperbole:
x2
a2 −y2
b2 = 1.
![Page 34: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/34.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi hiperbole
a, b > 0 { poluose hiperbole;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 + b2 { �i�e hiperbole;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise hiperbole;
e = c
a{ ekscentricitet hiperbole;
a1 : y = b
ax, a2 : y = − b
ax { asimptote hiperbole.
![Page 35: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/35.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi hiperbole
a, b > 0 { poluose hiperbole;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 + b2 { �i�e hiperbole;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise hiperbole;
e = c
a{ ekscentricitet hiperbole;
a1 : y = b
ax, a2 : y = − b
ax { asimptote hiperbole.
![Page 36: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/36.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi hiperbole
a, b > 0 { poluose hiperbole;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 + b2 { �i�e hiperbole;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise hiperbole;
e = c
a{ ekscentricitet hiperbole;
a1 : y = b
ax, a2 : y = − b
ax { asimptote hiperbole.
![Page 37: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/37.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi hiperbole
a, b > 0 { poluose hiperbole;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 + b2 { �i�e hiperbole;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise hiperbole;
e = c
a{ ekscentricitet hiperbole;
a1 : y = b
ax, a2 : y = − b
ax { asimptote hiperbole.
![Page 38: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/38.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi hiperbole
a, b > 0 { poluose hiperbole;
F1(c, 0), F2(−c, 0), c =√a2 + b2 { �i�e hiperbole;
d1 : x = a
e, d2 : x = −a
e{ direktrise hiperbole;
e = c
a{ ekscentricitet hiperbole;
a1 : y = b
ax, a2 : y = − b
ax { asimptote hiperbole.
![Page 39: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/39.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Fokusne osobine hiperbole
Teorema 1.3
Apsolutna vrednost razlike rastoja�a proizvone taqkehiperbole od �enih �i�a je konstantan:
|MF1 −MF2| = 2a.
Fokusne osobine hiperbole
![Page 40: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/40.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Parametrizacija hiperbole
x
y
Slika 11: Parametrizacija hiperbole
x = +a coshφ, y = b sinhφ, φ ∈ Rx = −a coshφ, y = b sinhφ, φ ∈ R
![Page 41: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/41.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Parabola
Posledica 1.1
Svaka taqka M parabole je jednako udaena od �i�e i oddirektrise parabole.
x
y
F
d
p
2p
2
Slika 12: Parabola y2 = 2px, p > 0
Definicija parabole
![Page 42: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/42.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Elementi parabole y2 = 2px, p > 0
p { parametar parabole;
F
(p
2 , 0){ �i�a parabole;
d : x = −p2 { direktrisa parabole;
o { osa parabole (ovde: x-osa);
T { teme parabole (ovde: O).
![Page 43: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/43.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Parametrizacija parabole
Standardna parametrizacija:
x = t2
2p, y = t, t ∈ R,
Jednaqina kosog hica
Primer 2
Pokazati da su svake dve parabole me�usobno sliqne.
![Page 44: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/44.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Jednaqina kosog hica
x
y
A
α′(0)
h
φ0 α(t)
α′(t)α′′(t)
#«g
Slika 13: Kosi hitac
x(t) = (v0 cosφ0)t, t ≥ 0
y(t) = −g2 t2 + (v0 sinφ0)t+ h, t ≥ 0,
v0 { poqetna brzina;
h { visina;
φ0 { ugao (u odnosu na tlo);
g { gravitaciono ubrza�e.
![Page 45: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/45.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Kosi hitac
Za koji ugao φ0 se dosti�e najve�a daina/visina?
Xta se dexava kada je v0 = 0?
x
y
φ0 = π
12 , ymax = 0.33m
5.00m
φ0 = π
6 , ymax = 1.25m
8.66m
φ0 = π
4 , ymax = 2.50m
10.0m
φ0 = π
3 , ymax = 3.75m
φ0 = 5π12 , ymax = 4.67m
Slika 14: Kosi hici sa poqetnom brzinom v0 = 10ms,
za uglove φ0 = kπ
12 , k = 1, . . . , 5
![Page 46: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/46.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri kosog hica
Sport: Projectile motion in sport
MIT eksperiment: Monkey and a gun
Fontane: The Mathematical Tourist
![Page 47: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/47.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri
Primer 3
Koxarkax visine 1.85m treba da ubaci loptu u kox sa salinije slobodnog baca�a (4.5m). Obruq je na visini 3.05m.
Pod kojim poqetnim uglom treba izbaciti loptu da bi sepostigao pogodak? Za poqetnu brzinu izbaqaja lopte uzeti7m/s.
Koliko se me�a potrebna poqetna brzina izbaqaja ako seizvodi skok-xut sa iste udaenosti pod tim uglom?Pretpostavimo da je odraz 1m.
Uzeti da je gravitaciono ubrza�e g ∼ 10m/s2.
![Page 48: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/48.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Zakon odbija�a svetlosti
Svetlost se odbija od glatke povrxine tako da je upadniugao zraka svetlosti jednak odbojnom uglu.
φφ
ogledalo zrak svetlosti
Slika 15: Zakon odbija�a svetlosti
![Page 49: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/49.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Optiqka osobina elipse
Teorema 1.4
Svetlosni zrak koji izvire iz �i�e elipse i odbija se odelipse, prolazi kroz drugu �i�u elipse.
F2F1
t
F2F1
MF ′2
t
T
N
Slika 16: Optiqka osobina elipse
Eliptiqki bilijar
![Page 50: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/50.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Optiqka osobina hiperbole
Teorema 1.5
Svetlosni zrak koji izvire iz �i�e hiperbole i odbija seod hiperbole, kolinearan je sa drugom �i�om hiperbole.
x
y
F1F2
T
Slika 17: Optiqka osobina hiperbole
![Page 51: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/51.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Optiqka osobina parabole
Teorema 1.6
Svetlosni zrak koji izvire iz �i�e parabole odbija se odparabole paralelno �enoj osi.
O
x
y
M
F
R
d
Q
t
Slika 18: Optiqka osobina parabole
![Page 52: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/52.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Krive drugog reda
Definicija 1.4
Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate(x, y) zadovoavaju jednaqinu drugog stepena:
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0.
Koliko god prethodna jednaqina izgledala komplikovano,mo�e se pokazati da ona geometrijski opisuje elipsu,hiperbolu, parabolu ili neku jednostavnu ”degenerisanu"krivu.
![Page 53: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/53.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Krive drugog reda
Definicija 1.4
Kriva drugog reda je skup taqaka ravni qije koordinate(x, y) zadovoavaju jednaqinu drugog stepena:
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0.
Koliko god prethodna jednaqina izgledala komplikovano,mo�e se pokazati da ona geometrijski opisuje elipsu,hiperbolu, parabolu ili neku jednostavnu ”degenerisanu"krivu.
![Page 54: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/54.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Svo�e�e krive na kanonski oblik
Teorema 1.7
Za svaku krivu drugog reda, datu u ortonormiranom reperuOe, postoji novi ortonormirani reper Qf, isteorijentacije, u kom ona ima taqno jednu od slede�ihjednaqina:
(E) x′′2
a2 + y′′2
b2 = 1, (elipsa)
(H) x′′2
a2 −y′′2
b2 = 1, (hiperbola)
(P ) y′′2 = 2px′′, (parabola)
![Page 55: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/55.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Svo�e�e krive na kanonski oblik
Teorema 1.7
(D1) x′′2
a2 + y′′2
b2 = −1, (prazan skup ili imaginarna elipsa)
(D2) x′′2
a2 + y′′2
b2 = 0, (taqka)
(D3) x′′2
a2 −y′′2
b2 = 0, (dve prave koje se seku)
(D4) x′′2 = a2, (dve paralelne prave)(D5) x′′2 = 0, (”dvostruka" prava)(D6) x′′2 = −a2 (prazan skup).
gde je p > 0, a, b > 0 i a ≥ b za (E), (D1), (D2) i (D3).
![Page 56: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/56.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Svo�e�e krive na kanonski oblik
x
y
O
x′
y′
φ
Q
x′′y′′
Slika 19: Svo�e�e elipse na kanonski oblik
translacija
rotacija
![Page 57: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/57.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Svo�e�e krive na kanonski oblik translacijom
x
y
0
F (0, p)
d : y = −p
(x0, y0)
F (x0, y0 + p)
d : y′ = y0 − p
y′
x′
Slika 20: Translacija parabole
x′ = x+ x0, y′ = y + y0
![Page 58: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/58.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Svo�e�e krive na kanonski oblik rotacijom
x = cosφx′ − sinφ y′, y = sinφx′ + cosφ y′
cot 2φ = cos 2φsin 2φ = a11 − a22
2a12, φ ∈
[0, π2
)cos 2φ = cot 2φ
+√
1 + cot2 2φ
cosφ = +
√1 + cos 2φ
2 , sinφ = +
√1− cos 2φ
2
![Page 59: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/59.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primer: Rotacija hiperbole
O x
y
φ
x′
y′
Slika 21: Hiperbola xy = 1
![Page 60: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/60.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Krive drugog reda u projektivnoj ravni
Jednaqina krive drugog reda u homogenimkoordinatama:
Γ : a11x21 + a22x
22 + a33x
23 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 = 0.
Vektorski zapis:
XtGX = 0,
gde je X =
x1x2x3
, G =
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
= Gt.
![Page 61: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/61.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravniOvalne krive x2
1 + x22 − x2
3 = 0.
Γ
u∞
Slika 22: Elipsa Γ ∩ u∞ = {∅}
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 62: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/62.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravniOvalne krive x2
1 + x22 − x2
3 = 0.
Γ u∞
P∞
Q∞
Slika 22: Hiperbola Γ ∩ u∞ = {P∞, Q∞}
P∞, Q∞ { pravci asimptota hiperbole
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 63: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/63.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravniOvalne krive x2
1 + x22 − x2
3 = 0.
Γu∞
S∞
Slika 22: Parabola Γ ∩ u∞ = {S∞}
S∞ { pravac ose parabole
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 64: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/64.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravniOvalne krive x2
1 + x22 − x2
3 = 0.Prazan skup (nula kriva) x2
1 + x22 + x2
3 = 0.
Γ
u∞
Slika 22: Nula kriva Γ ∩ u∞ = {∅}
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 65: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/65.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni
Ovalne krive x21 + x2
2 − x23 = 0.
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.
Dve prave x21 − x2
2 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 66: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/66.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni
Ovalne krive x21 + x2
2 − x23 = 0.
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 67: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/67.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Klasifikacija krivih u projektivnoj ravni
Ovalne krive x21 + x2
2 − x23 = 0.
Prazan skup (nula kriva) x21 + x2
2 + x23 = 0.
Taqka x21 + x2
2 = 0.Dve prave x2
1 − x22 = 0.
”Dvostruka" prava x21 = 0.
![Page 68: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/68.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Bezijerove krive
Definicija 2.1
Neka su P0, P1 . . . Pn, n ≥ 2 taqke ravni. Bezijerova krivastepena n je:
αn(t) =n∑
i=0
(n
i
)ti(1− t)n−iPi =
n∑i=0
Bni (t)Pi, t ∈ [0, 1].
Taqke Pi nazivaju se kontrolne taqke, a polinomi Bi(t)Bernxtajnovi polinomi ili bazne funkcije.Poligonska linija P0P1 . . . Pn se zove kontrolna poligonskalinija.
![Page 69: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/69.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Bezijerove krive na prozivonom intervalu
t ∈ [0, 1]:
αn(t) =n∑
i=0
(n
i
)ti(1− t)n−iPi =
n∑i=0
Bni (t)Pi.
u ∈ [a, b]:
αn(u) =n∑
i=0
(n
i
)(u− ab− a
)i (b− ub− a
)n−i
Pi.
![Page 70: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/70.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Bezijerove krive na prozivonom intervalu
t ∈ [0, 1]:
αn(t) =n∑
i=0
(n
i
)ti(1− t)n−iPi =
n∑i=0
Bni (t)Pi.
u ∈ [a, b]:
αn(u) =n∑
i=0
(n
i
)(u− ab− a
)i (b− ub− a
)n−i
Pi.
![Page 71: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/71.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Bezijerove krive 2. i 3. stepena
P0
P1
P2
P0
P1
P2
P3
Slika 22: Bezijerove krive stepena 2 i 3
Kriva 2. stepena odre�ena je sa tri kontrolne taqke:
α2(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2, t ∈ [0, 1];
Kriva 3. stepena odre�ena je sa qetiri kontrolne taqke:
α3(t) = (1− t)3P0 + 3t(1− t)2P1 + 3t2(1− t)P2 + t3P3, t ∈ [0, 1].
![Page 72: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/72.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Bezijerove krive 2. i 3. stepena
P0
P1
P2
P0
P1
P2
P3
Slika 22: Bezijerove krive stepena 2 i 3
Kriva 2. stepena odre�ena je sa tri kontrolne taqke:
α2(t) = (1− t)2P0 + 2t(1− t)P1 + t2P2, t ∈ [0, 1];
Kriva 3. stepena odre�ena je sa qetiri kontrolne taqke:
α3(t) = (1− t)3P0 + 3t(1− t)2P1 + 3t2(1− t)P2 + t3P3, t ∈ [0, 1].
![Page 73: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/73.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Matriqna reprezentacija Bezijerove krive
α2(t) =(1, t, t2
) 1 0 0−2 2 01 −2 1
P0P1P2
.
Primer 4
Izvesti formule matriqne reprezentacije kubne Bezijerovekrive.
![Page 74: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/74.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 75: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/75.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 76: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/76.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 77: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/77.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 78: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/78.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 79: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/79.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 80: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/80.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 81: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/81.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 82: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/82.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Osobine
degαn = n.
αn(0) = P0, αn(1) = Pn.
Tangentni vektor u P0 je# «
P0P1, a u Pn je# «
Pn−1Pn.
Pk → Pk + #«v : αn(t) = αn(t) +Bn,k(t) #«v .
Osobina nenegativnosti.
Osobina konveksnog omotaqa.
Osobina ma�e varijacije.
Afina invarijantnost.
Teorema 2.1
Bezijerova kriva stepena dva je deo parabole.
![Page 83: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/83.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 84: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/84.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1
...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 85: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/85.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 86: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/86.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k
4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 87: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/87.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 88: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/88.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Odre�iva�e taqke na krivoj αn(t) za neko t ∈ [0, 1]:1 P00 = P0, P01 = P1, . . . , P0n−1 = Pn−1, P0n = Pn
2 P1i = (1− t)P0i + tP0i+1, i = 0, . . . , n− 1...
3 Pki = (1− t)Pk−1i + tPk−1i+1, i = 0, . . . , n− k4 Pn0 = (1− t)Pn−1 0 + tPn−1 1
Pn−1 0Pn−1 1 { tangenta na krivu u taqki t
![Page 89: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/89.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
De-Kasteau algoritam
Primer 5
Pokazati da je de-Kasteau algoritam korektan.
P00
P01
P02
P03
P04
P05
P10
P11
P12
P13
P14
P20
P21
P22
P23
P30
P31
P32
P40P41
P50
Slika 23: De-Kasteau algoritam za krivu 5. stepena i t = 0.4
Crta�e krive 5. stepena
![Page 90: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/90.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Podela krive na dva dela
Krivu α delimo na dve krive α1 i α2:
α1 : P0 = P00, P10, P20, . . . Pn0 = α(t),α2 : α(t) = Pn0, Pn−11, Pn−22, . . . , P0n = Pn.
α1(t) α2(t)
P00
P10
P20
P30
P40
P14
P23
P32
P41
P05
P50
Slika 24: Podela krive na dva dela
![Page 91: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/91.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Glatko spaja�e krivih
P 1n−1
P 1n ≡ P 2
0
P 21
Slika 25: Glatko spaja�e krivih
![Page 92: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/92.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 93: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/93.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 94: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/94.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 95: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/95.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 96: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/96.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 97: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/97.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Pove�a�e stepena krive
αn(t) : P0, . . . , Pn, αn+1(t):
Q0 = P0, Qi = i
n+ 1Pi−1 +(
1− i
n+ 1
)Pi, 1 ≤ i ≤ n, Qn+1 = Pn.
Slika 26: Pove�a�e stepena Bezijerove krive
![Page 98: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/98.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primeri
Primer 6
a) Odrediti Bezijerovu krivu α2(t) qije su kontrolnetaqke P0(1, 1), P1(−1, 0), P2(1,−1).
b) Odrediti jednaqinu tangente na krivu α2(t) u taqkit0 = 0.5 i pokazati da je tangenta paralelna sa pravomP0P2.
v) Pove�ati stepen krive za 1.g) Odrediti jednaqinu tangente na krivu α3(t) u taqki
t0 = 0.5. Da li je tangenta paralelna sa pravom P0P3?
![Page 99: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/99.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Racionalne Bezijerove (RB) krive
Racionalna Bezijerova kriva stepena n sa kontrolnimtaqkama P0, . . . , Pn i te�inama ω0, . . . , ωn > 0 je dataparametrizacijom:
rn(t) =∑n
i=0 ωiBi,n(t)Pi∑ni=0 ωiBi,n(t) , t ∈ [0, 1],
gde su Bi,n(t) Bernxtajnovi polinomi.
![Page 100: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/100.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Deo kruga kao RB-kriva
Primer 7
x
y
O P0(1, 0)
P2(0, 1) P1(1, 1)ω0 = ω1 = 1, ω2 = 2
Slika 27: Qetvrtina kruga: x = cos θ, y = sin θ, θ ∈[0, π2
]kao RB-kriva: x = 1− t2
1 + t2, y = 2t
1 + t2, t ∈ [0, 1].
![Page 101: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/101.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Fraktali
Fraktal = geometrijski lik koji se mo�e razlo�iti nama�e delove tako da je svaki od �ih, makar pribli�no,uma�ena kopija celine.
geometrijski;
algebarski;
stohastiqki.
![Page 102: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/102.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Fraktali
Fraktal = geometrijski lik koji se mo�e razlo�iti nama�e delove tako da je svaki od �ih, makar pribli�no,uma�ena kopija celine.
Podela fraktala:
geometrijski;
algebarski;
stohastiqki.
![Page 103: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/103.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Geometrijski fraktali
Geometrijski fraktal = samosliqna figura qiji seopxti oblik zadaje generatorom.
Slika 28: Prve qetiri iteracije Kohove krive
![Page 104: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/104.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Peanova kriva
0 1
1
13
13
23
23
1
2
3 4
5
6 7
8
9
Slika 29: Prve tri iteracije Peanove krive
![Page 105: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/105.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Hilbertova kriva
(0, 0)
(1, 1)
1
2 3
4
(0, 0)
(1, 1)
1 2
34
16
Slika 30: Prve tri iteracije Hilbertove krive
![Page 106: Geometrija I smer - deo 4: Krive u ravnipoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2017/krive.pdf · Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive Konus Neka su](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013102/5e0a0f0192cfed256f3ab9cd/html5/thumbnails/106.jpg)
Krive drugog reda Bezijerove krive Beskonaqno guste krive
Primena geometrisjkih fraktalaPrimena: kada je potrebno linearizovati vixedimenzionepodatke jer predstavaju optimalan naqin da sevixedimenzioni skupovi preslikaju na jednodimenzionenizove.
Slika 31: Prve dve iteracije trodimenzione Hilbertove krive