dynamická metóda popisu častíc plynu
DESCRIPTION
Dynamická metóda popisu častíc plynu. Poloha a rýchlosť častíc v ľubovoľnom čase poskytujú najpodrobnejšiu informáciu o systéme častíc. V 1cm 3 vzduchu sa nachádza 2,7 x 10 19 molekúl ~ 6 x 10 10 miliard čísel Na Zemi žije 6 miliard ľudí 1miliarda molekúl molekúl ~ 1 človeku na Zemi - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/1.jpg)
Dynamická metóda popisu častíc plynu
• Poloha a rýchlosť častíc v ľubovoľnom čase poskytujú najpodrobnejšiu informáciu o systéme častíc
V 1cm3 vzduchu sa nachádza 2,7 x 1019 molekúl ~ 6 x 1010 miliard číselNa Zemi žije 6 miliard ľudí 1miliarda molekúl molekúl ~ 1 človeku na ZemiAk zmeníme smery rýchlosti u 1 miliardy molekúl nepodstatná zmena (1 človek) 1 molekula sa zrazí s 109 molekúl za sekundu Nepodstatná zmena v súborespôsobí závažnú zmenu v systéme. Zmena rýchlostí
Dynamický popis systému častíc nie je možný z technických dôvodov, ale nemá ani praktický význam
![Page 2: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/2.jpg)
Základné pojmy z teórie pravdepodobnosti
Náhodné premené
Spojité(rýchlosti molekúl)
Diskrétne(hod kockou)
![Page 3: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/3.jpg)
Základné pojmy z teórie pravdepodobnosti
ii
Nw
N
lim ii
N
Nw
N
Diskrétne náhodné premenné
1
( ) 1k
ii
w v
Normovacia podmienka:
Majme N náhodných pokusov. Ak i-ty náhodný jav nastane Ni krát, potom pod relatívnou početnosťou i-teho náhodného javu budeme rozumieť:
Pravdepodobnosť i-teho javu
![Page 4: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/4.jpg)
v
vvvwvρ
v Δ
)Δ,(lim)(Δ
0hustota pravdepodobnosti:
vvv Δ, vvρw Δ)(Δ pravdepodobnosť, že výsledok pokusuje z intervalu :
Normovacia podmienka: ( ) 1v dv
Spojité náhodné premenné
![Page 5: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/5.jpg)
Základné charakteristiky štatistických súborov
Stredná hodnota
Stredná kvadratická hodnota
Stredná hodnota funkcie
Rozptyl
i ii
x Px
2 2i i
i
x Px
( ) ( )i ii
f x P f x
22
i ii
P x x
( )x x x dx
2 2 ( )x x x dx
( ) ( ) ( )f x f x x dx
22 2x x
Diskrétne funkcie Spojité funkcie
![Page 6: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/6.jpg)
Maxwellove rozdelenie rýchlostí molekúl
PREDPOKLADY:• 1, pohyb molekúl je chaotický => vektory
rýchlosti jednotlivých molekúl (aj ich zložiek) sú nezávislé.
• 2, izotropnosť rýchlostného priestoru (nijaký smer nie je v rýchlostnom priestore uprednostnený)
( ) ( ) ( ) ( )x y zv v v v DOSLEDOK:
![Page 7: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/7.jpg)
Rozdeľovacia funkciaVÝSLEDOK:
21/ 2
2( )2
ym
vkT
y
mv e
kT
21/ 2
2( )2
xm
vkT
x
mv e
kT
21/ 2
2( )2
zm
vkT
z
mv e
kT
2 2 23/ 2
2( , , )2
x y zm
v v vkT
x y z
mv v v e
kT
( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y zv v v v v v
![Page 8: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/8.jpg)
Interpretáciapravdepodobnosť, že náhodne vybraná molekula bude mať rýchlosť, ktorej zložky sú z intervalu:
),(),,(),,( zzzyyyxxx dvvvdvvvdvvv
:
2 2 23/ 2
2( , , )2
x y zm
v v vkT
x y z x y z
mw v v v e dv dv dv
kT
2 2 23/ 222( ) 4
2
x y zm
v v vkTm
w v e v dvkT
pravdepodobnosť, že náhodne vybraná molekula bude mať veľkosť rýchlosti z intervalu ),( dvvv
:
( )v
![Page 9: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/9.jpg)
Tvary rozdeľovacích funkcií23/ 2
2( )2
xm
vkT
x
mv e
kT
23/ 2
2( )2
xm
vkT
x
mv e
kT
23/ 222( ) 4
2
mv
kTmv e v
kT
Symetrická funkcia
![Page 10: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/10.jpg)
Najpravdepodobnejšia rýchlosť
![Page 11: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/11.jpg)
Pomocné integrály
2 32
0
1
2xe x dx
2 45/ 2
0
3
8xe x dx
![Page 12: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/12.jpg)
Charakteristické rýchlosti
0)(vρdv
d
m
kTv p
2
0
dvvρvv )( 8 41.13p p
kTv v v
m
0
2 dvvρvvk )( 3 31.22
2k p p
kTv v v
m
najpravdepodobnejšia
stredná
kvadratická
![Page 13: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/13.jpg)
Zhrnutie
![Page 14: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/14.jpg)
Experimentálne overenie M. rozdelenia
• Lammert – rotujúce dosky
dtv
zväzok molekúl vymedzený štrbinou
dv
Na doske K2 sa vytvorí naparená vrstvička, ktorej hrúbka je úmerná počtu molekúl, pre ktoré je splnená podmienka
selektor rýchlosti
Čas letusúradnica doletu na doske K2
dt
v
dt
v
![Page 15: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/15.jpg)
Dôsledky MR
Energia protónov v strede Slnka – 1.3 keVBariera (elektrostatické sily) 400 keVIzbovej teplote prislúcha 0.03keV
Veľmi rýchle protóny z konca rozdelenia dosahujú požadovanú energiu
Svetlo Slnka – termojadrová fúzia
Dážď – vyparovanie(vačšina častíc nedostatočná energia)
![Page 16: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/16.jpg)
PríkladUvažujte 22 častíc. Ich rýchlosti sú dané
nasledovnou tabuľkou (Ni-označuje počet častíc, ktoré majú rýchlosti vi)
Vypočítajte strednú rýchlosť, strednú kvadratickú rýchlosť, najpravdepodobnejšiu rýchlosť
3.2 cm s-1, 3.4 cm s-1, 4 cm s-1
![Page 17: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/17.jpg)
Príklad
0.262 percent23 1
23 1
1,38 10
6,02 10A
k JK
N mol
![Page 18: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/18.jpg)
Príklad
• A, Určte hodnotu a, pomocou N a v0
• B, Koľko častíc má rýchlosť medzi
1.5v0 a 2.0v0
• C, Určte strednú rýchlost častíc
• D, Určte strednú kvadratickú rýchlosť
Na obrázku je graf rozdelenia pravdepodobnosti rýchlostí hypotetickej vzorky častíc plynu.
![Page 19: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/19.jpg)
Príklad
• Predpokladajme, že strieľame z dvoch miest vzdialených o L strely, z jedného konca rýchlosťou v, z druhého rýchlosťou 2v. Druhý strelec vystrelí náhodne (v ľubovoľnom čase) po prvom strelcovi. Určte strednú vzdialenosť stretnutia oboch striel
![Page 20: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/20.jpg)
Boltzmanove rozdelenie rýchlostí
Plyn v silovom poli, izotermická atmosféra
0p
kTE
kTE
p
dEe
eEρ
p
p
/
/
)(
![Page 21: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/21.jpg)
Ťažšie molekuly sa viac koncentrujú v nižších hĺbkach na rozdiel od ľahších
![Page 22: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/23.jpg)
Atmosféra planét
• rozptyl atmosféry planéty (konečný počet častíc)
• úniková rýchlosť (2. kozmická rýchlosť) pre ťažké planéty väčšia ako pre ľahké ľahké planéty strácajú atmosféru rýchlejšie ako ťažké
00
1( ) ( )exp( )
mMn r n r K
kT r
2II
Mv K
R
![Page 24: Dynamická metóda popisu častíc plynu](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062323/5681530b550346895dc12f88/html5/thumbnails/24.jpg)
Príklady
• Dusík sa nachádza v sude s veľkou výškou v homogénnom gravitačnom poli pri teplote T. Teplota sa zmenila krát. Najdite výšku na ktorej sa koncentrácia častíc nezmenila.
• Určte ako sa mení koncentrácia plynu v zrýchľujúcom sa aute