dynamika bryły sztywnej
DESCRIPTION
Dynamika bryły sztywnej. Materiały uzupełniające. Dynamika ciała sztywnego. Ruch prostoliniowy. Ruch obrotowy. Przemieszczenie kątowe θ Prędkość kątowa Przyspieszenie kątowe Moment bezwładności I Moment siły Praca Energia kinetyczna. Przemieszczenie x Prędkość Przyspieszenie - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Dynamika bryły sztywnej
Materiały uzupełniające
Dynamika ciała sztywnegoRuch prostoliniowy• Przemieszczenie x• Prędkość • Przyspieszenie • Masa M• Siła • Praca • Energia kinetyczna
Ruch obrotowy• Przemieszczenie kątowe θ• Prędkość kątowa• Przyspieszenie kątowe • Moment bezwładności I• Moment siły • Praca • Energia kinetyczna
dt
dxv
dt
d
dt
dv
dt
d
MaF I dW FdxW
2
2
1Mv 2
2
1 I
Dynamika ciała sztywnego c.d.Ruch prostoliniowy
• Moc • Pęd
Ruch obrotowy
• Moc• Moment pędu
PI
FvP
Mv
Wielkości wymienione w poprzedniej tabeli: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, przemieszczenie kątowe, prędkość i przyspieszenie kątowe, moment siły, moment pędu są - wektorami. Masa, moment bezwładności, energia kinetyczna, praca – są skalarami.Dynamika ruchu obrotowego nie wprowadza nowych pojęć, jej parametry θ, ω, α odpowiadają parametrom x, v i a ruchu postępowego.
Odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment 𝛕 siły F, działającej na punkt materialny:
Fr
𝛕Fr
Odpowiednikiem pędu jest moment L pędu :
prL
Lp
rθ
Dynamika ciała sztywnego zajmuje się ruchem układu punktów materialnych tworzących ciało sztywne, które może się obracać wokół osi pod wpływem przyłożonej siły. Położenie punktu P względem osi obrotu, w którym przyłożona jest siła, definiuje wektor r.
F
r P
x
y Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z
Moment bezwładności IW dynamice ruchu obrotowego (obrót ciała sztywnego) masę ciała zastępujemy układem elementów masy mi rozłożonych w przestrzeni, odległych o ri od wybranej osi obrotu – zastępujemy sumą iloczynów pomnożonych przez kwadrat odległości. Moment bezwładności definiujemy następująco:
2iirmI
Przykład 1Mierząc energie poziomów rotacyjnych cząsteczki fluorowodoru HF stwierdzono, że jej moment bezwładności I względem środka masy 0 wynosi 1.37•10-47 kg•m2. Określić odległość r między dwoma atomami H i F, jeżeli odpowiednie masy wynoszą:mH
= 1.67 • 10-27 kgmF
= 3.17 • 10-27 kg
rF rHmH
mF
0
rrr
rr
rmrmx
rmrmI
FH
FH
FFHHśrm
FFHH
0
22Moment bezwładności
Położenie środka masy, korzystne jest umieszczenie w punkcie o współrzędnej równej zero.
Odległość atomów H i F
0
22
FFHH
FFHH
rmrm
rmrmI
Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi
Rozwiązując otrzymujemy:
mrrr FH10108.0
Przykład 2Obliczyć energię kinetyczną E ruchu obrotowego pokazanego na rysunku łożyska kulkowego, którego wewnętrzny wałek o promieniu r i długości h obraca się z prędkością kątową ω, a n kulek toczy się bez poślizgu. Wszystkie elementy łożyska wykonane są z materiału o gęstości ρ. Promień każdej kulki wynosi a.
a
r
Chwilowa oś obrotu kulki o promieniu a
Energia kinetyczna wewnętrznego wałka o momencie bezwładności I0
242220 4
1
4
1
2
1 hrmrIEw
Prędkość liniowa kulki i walca są równe w punkcie styku.
k
k rar
2
prędkość kątowa kulki
Energię kinetyczną kulki liczymy względem chwilowej osi obrotu, promień obrotu r + 2a
ar
rk 2
Moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu Ik i energia Ek
ar
raE
amamamaI
k
k
215
14
15
28
5
7
5
2
225
5222
Całkowita energia kinetyczna łożyska
ef
ef
kw
I
IE
ar
anhrrnEEE
2
22
522
2
1
215
14
Efektywny moment bezwładności łożyska
Przykład 3Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu siły ciężkości wewnątrz walca o promieniu R. znaleźć równanie ruchu walca wychylonego w chwili początkowej z położenia równowagi o kąt φ0. Kiedy to o trzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać?
a
R
φ
O
O’
Środek małego walca porusza się względem osi obrotu O, po torze będącym wycinkiem kołowym o promieniu R – a z chwilową prędkością kątową ω1 i z prędkością liniową v.
aRdt
daRv
dt
d
1
1
Mały walec względem osi O’ porusza się z prędkością kątową ω2 .
a
aR
dt
d
a
v
2
Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi O i względem osi O’.
22
22
0
21 I
II
IEk
I – moment bezwładności względem osi O, I0 – względem osi)’
aRmII 0
Całkowita energia kinetyczna wynosi:
22
2
3
1
4
3aaR
dt
dmEk
Energia potencjalna:
coscos1
cos
aRhaR
hR
ale
ahmgEp
ejmechanicznenergii
zachowaniazasadązzgodnieconstEE
aRmgE
kp
p
.
cos1
Na tej podstawie można napisać
dt
daRmg
dt
dE
aaRdt
d
dy
dm
dt
dE
EEdt
d
p
k
pk
sin
3
1
2
3
0
22
2
2
Otrzymujemy równanie ruchu, trudne do rozwiązania
sin
0sin3
1
3
12
222
to
małajestdrgańamplituda
aRgdt
daaR
jeżeli
Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego
22
22
2
31
3
20
aaR
aRg
dt
d