固体電子工学

第11回 電子の運動と輸送現象

11-1

名古屋大学工学部電気電子・情報工学科 中里 和郎、新津 葵一

固体の中の電子の運動

E k 電子の速度 1 k

vk

運動方程式 dkF

dt

0 k

E

エネルギー

バンド

禁制帯

● k 空間で逆格子ベクトルの周期性を持つ

● ブリルアン・ゾーンの境界でエネルギーの縮退がとける

逆格子ベクトル

エネルギー・バンド、禁制帯（エネルギー・ギャップ）の形成

第1ブリルアン・ゾーン

11-2

電場の中での電子の運動

dkqE

dt

素電荷 : q

電場 ： E

0 k

0 k

自由な電子であれば電子はどこまでも加速されていく

0 k

固体の中では電子はバンドの中を周期的に運動（ブロッホ振動）

11-3

ブロッホ振動

0 k

実際にはある領域の状態を占めた電子の集団がバンドの中を周期的に運動している

0 k

0 k

GaAs/AlGaAs超格子構造中のブロッホ振動により、外部に放射されたTHz電磁波放射の時間波形。印加電界とともに振動周期が短くなっていることがわかる

（東大平川教授による http://thz.iis.u-tokyo.ac.jp/)

11-4

電場の中での電子の運動（散乱のある場合）

現実には、固体の中で電子は散乱を受ける

不純物原子

格子振動（フォノン） 電子－電子相互作用

電子の分布関数

, ,f r k t

3

2, ,

2f r k t drdk

時刻 t において、

位置が と

波数が と

の範囲にある粒子の数

r r dr

k k dk

散乱は確率的であり、電子は多数存在するので、電子の分布関数

を扱うのが便利

熱平衡では

1, ,

exp 1

eq

F

B

f r k t f kk E

k T

11-5

ボルツマン方程式

電子の分布関数の時間変化

散乱が無い場合： 粒子の運動に伴う分布の変化

, , , , , , , ,d r k

f r k t f r k t f r k t f r k tdt t t tr k

1 1, , , , , ,

kf r k t f r k t F f r k t

t k r k

散乱が有る場合：散乱の効果を緩和時間で表わす

1

, , , , eq

df r k t f r k t f k

dt

1 1 eqk f ff f f

Ft k r k

緩和時間近似のボルツマン方程式

feq : 平衡状態の分布関数

11-6

電場の中での電子の分布（散乱のある場合）

*

eqf ff f q fk E

t m r k

ボルツマン方程式

定常状態、均一な物質： f は時間 t ，位置 に依らない

eqf fq fE

k

eq eq

q f qf k f k E f k E

k

r

kx

kx

kz

2 2 *2

1

1F

B

eq k m E

k T

f k

e

kx

kx

kz 電流密度

3 *

2

2

kj q f k dk

m

2

*

nqE

m

2

*

nq

m

電気伝導度

qE

kF

11-7

0 k

0 k

E = 0 E ≠ 0

金属

絶縁体

0 k

0 k

１つのバンドのすべての状態を電子が占めている

１つのバンドの状態を電子が部分的に占めている

qE

11-8

ボルツマン方程式と流体方程式

電子の分布関数 を直接求めるのは困難 , ,f r k t

ゆっくり変化している物理量の平均値を計算する

指針：保存則

電子数の保存 電子濃度 n

運動量の保存 電流密度 j

エネルギーの保存 温度 T

これらの物理量を支配している式 ＝ 流体方程式

連続の式 10

nj

t q

輸送方程式 j q nE qD n

熱伝導の式 2nT T j Et

11-9

1

1

F

B

eq k E

k T

f k

e

feq : 平衡状態の分布関数

局所平衡状態の分布関数

局所平衡状態

1

1

l Fl

B l

k k E

k T

f k

e

lk局所波数ベクトル

局所フェルミ準位 EFl

局所温度 Tl

電子密度

電流密度

温度

電子の分布は、その場所の電子密度、電流密度、温度を持つ平衡分布とする。ただし、電子密度、電流密度、温度は場所・時間の関数である。

ボルツマン方程式に局所平衡状態の分布関数を適用することにより、流体方程式を導出することができる。

11-10

ポアソン方程式

キャリヤ連続の式

1n n n

nj G R

t q

1p p p

pj G R

t q

輸送方程式

n : 伝導電子濃度

p : ホール濃度

G : 電子・ホール対形成率

R : 電子・ホール再結合率

Drift-Diffusion モデル

n n nj q nE qD n

p p pj q pE qD p

電子電流密度

ホール電流密度

: 静電ポテンシャル

: 誘電率

: 電荷密度

n : 電子移動度

p : ホール移動度

Dn : 電子拡散定数

Dp : ホール拡散定数

D Aq n p N N

Bn n

k TD

q

Bp p

k TD

qアインシュタインの関係

11-11

EC

EV

EF

伝導帯

価電子帯

エネルギー

E真空

電子の エネルギー分布

電子の状態密度 （量子準位の数）

f(E) D(E)

E E

0 1 0.5 0

伝導電子

正孔

バンド図

バンド図

EF は電子のエネルギー分布を

EC , EV は電子の状態密度を代表 バンド図を見たらこのような図がすぐ思い浮かぶようにしよう

11-12

金属

内部に電界が存在

静電ポテンシャル・エネルギーが空間的に変化

電界

電子が再編成して

金属内の電界が０となる

静電ポテンシャル・エネルギー

半導体内では

静電ポテンシャルが変化

半導体

電界

電子の再編成が弱く

金属内の電界が０とならない

金属内では

静電ポテンシャルは一定

11-13

電界がある場合のバンド図

伝導帯

価電子帯

結晶内電子状態

のエネルギー

+

q

静電エネルギー

=

位置

位置

トータル・エネルギー

伝導帯

価電子帯

伝導電子の

運動エネルギー

正孔の

運動エネルギー

11-14

伝導帯

価電子帯

位置

FiE

CE

VE

真空E

電界がある場合（静電ポテンシャルが変化している場合） のフェルミポテンシャル

qEE 0

真空真空

qEE CC 0

qEE VV 0

qEE FiFi 0

FFiF qEE 0

FFiF qEE

○ 上添え字0は = 0のときの値を表す

フェルミポテンシャル ○ 静電ポテンシャル には

直接依存しない

○ 平衡状態では場所に依らない一定値

F Fi

B

E E

k T

in n e

F Fi

B

E E

k T

ip n e

FB

q

k T

in n e

FB

q

k T

ip n e

FE

11-15

外部印可電圧は静電ポテンシャルでは無く、フェルミポテンシャルを与える

qM

q

-qV1 -qV2

真空レベル

p n電極 電極

孤立して置いた場合

接続した場合(V1 = V2)

電位差

電極での接触電位

-qV1-qV2

接続した場合(V1≠ V2)

11-16

CE

VE

CE

VE

CE

VE

非平衡状態への拡張

非平衡状態

電流 ≠ 0

熱平衡状態

電子の流れが無い状態

FB

q

k T

in n e

FB

q

k T

ip n e

FnB

q

k T

in n e

FpB

q

k T

ip n e

F : フェルミポテンシャル Fn : 電子擬フェルミポテンシャル

Fp : 正孔擬フェルミポテンシャル

電流密度 n nnj q nE qD n

p ppj q pE qD p

n Fnnj q n

p Fppj q p

平衡状態（電流 = 0）は擬フェルミポテンシャルが場所に依らず一定ということで表される

外部の電源（電圧 V ）とオーミック・コンタクトで接続している場合

接続点で外部電源と熱平衡にあるとして Fn = Fp = V

擬フェルミポテンシャルは imref とも呼ばれる。 imref は Fermi を逆に書いたもの

11-17