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摘要

本作品以探討魔術 99、1089 之成因，以遊戲方式引進探求其中道理。利用電腦資訊軟體，作

為分析思考之工具並解決問題。延伸找出其多位數是否有有同樣的一定值，進而尋求規律性。

壹、研究動機

在偶然的機會中，進入一個叫魔術教學的網站，看到一個預言數字，先請對方從 0~9選三個

數字，但數字要呈遞減方式排列成三位數。再預言最後是 1089。引起我們的好奇，為什麼一定是

1089？於是從網路搜尋到昌爸的數學網站，裡面有魔術 99、1089。發現這兩個數都是 99的倍數，

那四位數也可以找出來嗎？是否同樣地可以被 99整除呢？我們決定要探討一下其中的奧秘。

貳、研究目的

一、推論魔術二位數、三位數的定值 99、1089。

二、找出四位數、五位數的定值。

三、探討這些定值與 99的關係。

四、利用軟體驗證二、三、四、五位數的結果。

五、尋求多位數的定值個數的模式。

參、研究設備

電腦 、Excel軟體、紙、筆。

肆、研究過程與討論

一、魔術 99

(一)、魔術遊戲

1、先從 0~9 選出二個數字排成二位數，其中十位數字大於個位數字，例

如： 63。

2、再將二位數的十位數字與個位數字互調，得一個新二位數，例如：

63-->36。

3、把兩個二位數相減，得差。例如： 63-36=27。

4、將其差的十位數字與個位數字互調得一新二位數，再與差加起來。如

果差是一位數，則視其十位數字是 0。

例如： 27+72=99。

(二)、提出質疑

1、從 0~9 選出二個數字排成二位數，其中十位數字若小於個位數字，例

如： 36。結果： 36-63=-27， -27+72=45，無法得到 99。

2、從 0~9 選出二個數字排成二位數，其中十位數字若等於個位數字，例

如： 66。結果： 66-66=0， 00+00=0，屬於無意義。這將是往後推最高

位數字必定要大於個位數字為基礎。

(三)、以未知數推論奇妙的 99是如何產生的？

1、假設二位數的十位數字是 a，個位數字是 b，且 a>b。

2

2、起初所選定的二位數是 10a+b。

3、(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=10(a-b)+(b-a)。個位 b- a 不夠減

向十位借 1 個 10，得 10(a-b-1)+(10+b-a)。

4、[10(a-b-1)+(10+b-a)]+ [10(10+b-a)+(a-b-1)]

=10a-10b-10+10+b-a+100+10b-10a+a-b-1

=100-1=99。

5、所有 a、 b 經過相加減都消除了，只剩下數字 100-1=99。

二、魔術 1089

(一)、魔術遊戲

1、先從 0~9 選出三個數字按其大小順序排成三位數，其中百位數字大於

個位數字，例如： 643。

2、再將三個數字先後對調，三位數的百位數字與個位數字互調，得一個

新三位數，例如： 643-->346。

3、把兩個三位數相減，得差。例如： 643-346=297。

4、將其差的百位數字與個位數字互調得一新三位數，再與差加起來。如

果差是一或二位數，則視其百或十位數字是 0。例如：297+792=1089。

(二)、提出質疑

1、從 0~9 選出三個數字排成三位數，若不可重複，但不按照順序排列，

只依百位數字大於個位數字，例如： 603。結果： 603-306=297，

297+792=1089，如法得到 1089。

2、從 0~9 選出三個數字排成三位數，若可重複，其中十位數字與個位數

字相等，例如： 722。結果： 722-227=495， 495+594=1089，如法得到

1089。

(三)、以未知數推論奇妙的 1089是如何產生的？

1、假設三位數的百位數字是 a，十位數字是 b，個位數字是 c，且 a>c。

2、起初所選定的三位數是 100a+10b+c。

3、(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+10(b-b)+(c-a)。個位 b-a 不

夠減向十位借 1 得 10，十位不夠再向百位借 1 個 10 個 10。

100(a-c-1)+10(b-b+10-1)+(10+c-a)

4、[100(a-c-1)+10(b-b+10-1)+(10+c-a)]+[100(10+c-a)+10(b-b+10

-1)+(a-c-1)]

=100a-100c-100+100-10+10+c-a+1000+100c-100a+100-10+a-c-1

=1000+100-10-1=1089。

5、所有 a、b、c 經過相加減都消除了，只剩下數字 1000+100-10-1=1089。

6、1000+100-10-1=(1000-10)+(100-1)=(100-1)(10+1)=99×(10+1)

(四)、發現新知

1、三位數中，不管中間十位數字是多少？所得到的結果都是 1089。

2、三位數中，只依百位數字大於個位數的排序，不須按大小順序排列，

都會得到 1089。

3、1089÷99=11，是 99 的 11 倍，可以被 99 整除。

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三、分析四位數的定值

(一)、由三位數的運算中推理。

1、在三位數運算中，得知百位數字與個位數字互換，十位數字不變。換成四位數，則

千位數字與個位數字互換，百位數字與十位數字互換。所以考量千位數字與個位數

字之間的關係，和百位數字與十位數字的關係。

2、假設四位數的千位數字是 a，百位數字是 b，十位數字是 c，個位數字 d，且 a>d。

(二)、討論千位數字 a與個位字 d，和百位數字 b與十位數字 c的關係影響定值。

1、a>d假設必定成立，求 b與 c的關係。

2、b>c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

(1). (1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)=1000(a-d)+100(b-c)

+10(c-b)+(d-a)。其中，十位(c-b)和個位(d-a)不夠減，分別向百位及

十位借 1當作該位數的 10。得

1000(a-d)+100(b-c-1)+10(10+c-b-1)+(10+d-a)。

(2). [1000(a-d)+100(b-c-1)+10(10+c-b-1)+(10+d-a)]+[1000(10+d-a)

+100(10+c-b-1)+10(b-c-1)+(a-d)]

=1000a-1000d+100b-100c-100+100+10c-10b-10+10+d-a+10000+1000d

-1000a+1000+100c-100b-100+10b-10c-10+a-d=10000+1000-100-10

=10890

(3). 10000+1000-100-10=(10000-100)+(1000+10)

=(100-1)×100+(100-1)×10

=(100-1)(100+10)=99×(100+10)

3、b=c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

(1). (1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)=1000(a-d)+100(b-c)+1

0(c-b)+(d-a)。其中，百位(b-c)和十位(c-b)分別為 0，個位(d-a)不夠

減，向十位借 1當作 10，十位不夠向百位借 1當作該位數的 10，百位不

夠向千位借 1當作該位數的 10。得

1000(a-d-1)+100(10-1)+10(10-1)+(10+d-a)。

(2). [1000(a-d-1)+100(10-1)+10(10-1)+(10+d-a)]+[1000(10+d-a)

+100(10-1)+10(10-1)+(a-d-1)]

=1000a-1000d-1000+900+90+10+d-a+10000+1000d-1000a+900+90+a-d-1

=10000-1000+1800+180+10-1=10989

(3). 10000+1000-10-1=(10000-1)+(1000-10)

=(100-1)(100+1)+(100-1)×10

=(100-1)(100+10+1)=99×(100+10+1)

4、b<c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

(1). (1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)

=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+(d-a)。

其中，百位(b-c)和個位(d-a)不夠減，分別向千位及十位借 1當作該位數

的 10。得 1000(a-d-1)+100(10+b-c)+10(c-b-1)+(10+d-a)。

4

(2). [1000(a-d-1)+100(10+b-c)+10(c-b-1)+(10+d-a)]+[1000(10+d-a)

+100(c-b-1)+10(10+b-c)+(a-d-1)]

=1000a-1000d-1000+1000+100b-100c+10c-10b-10+10+d-a+10000+1000d-

1000a+100c-100b-100+100+10b-10c+a-d-1

=10000-1=9999

(3). 10000-1=(100-1)(100+1)=99×(100+1)

(三)、以位數表格把各位數數字分離觀察。

1、b>c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

千位 百位 十位 個位

a b c d

－ d c b a

a-d b-c c-b d-a

借位 -1 10-1 10

結果 a-d b-c-1 10+c-b-1 10+d-a

＋ 10+d-a 10+c-b-1 b-c-1 a-d

10 8 8 10

合計 10890

(表一)

2、b=c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

千位 百位 十位 個位

a b c d

－ d c b a

a-d b-c c-b d-a

借位 -1 10-1 10-1 10

結果 a-d-1 9 9 10+d-a

＋ 10+d-a 9 9 a-d-1

9 18 18 9

合計 10989

(表二)

3、b<c，起初所選定的四位數是 1000a+100b+10c+d。

千位 百位 十位 個位

a b c d

－ d c b a

a-d b-c c-b d-a

借位 -1 10 -1 10

結果 a-d-1 10+b-c c-b-1 10+d-a

＋ 10+d-a c-b-1 10+b-c a-d-1

9 9 9 9

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(表三)

(四)、發現新知

1、起初設定首位數字大於末位數字，所以個位數字一定不夠減，必向十位借 1。

2、四位數的定值是 10890、9999、10989 三種，分別除以 99，10890÷99=110，

9999÷99=101，10989÷99=111，都是 99 的倍數，可以被 99整除。

(五)、利用以 Excel 計算結果驗證四位數的其他可能結果。

A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99

a>b>c>d 9753 3579 6174 4716 10890 110

a>b>d>c 9735 5379 4356 6534 10890 110

a>d>b>c 9537 7359 2178 8712 10890 110

a>d>c>b 9357 7539 1818 8181 9999 101

a>c>d>b 9375 5739 3636 6363 9999 101

a>c>b>d 9573 3759 5814 4185 9999 101

c>a>b>d 7593 3957 3636 6363 9999 101

c>a>d>b 7395 5937 1458 8541 9999 101

c>b>a>d 5793 3975 1818 8181 9999 101

b>c>a>d 5973 3795 2178 8712 10890 110

b>a>c>d 7953 3597 4356 6534 10890 110

b>a>d>c 7935 5397 2538 8352 10890 110

a>b>c=d 9755 5579 4176 6714 10890 110

a>b=c>d 9775 5779 3996 6993 10989 111

a=b>c>d 9975 5799 4176 6714 10890 110

a>b=c=d 9555 5559 3996 6993 10989 111

a=b=c>d 9993 3999 5994 4995 10989 111

a=b>c=d 9977 7799 2178 8712 10890 110

a>b=d>c 9757 7579 2178 8712 10890 110

a=b>d>c 9957 7599 2358 8532 10890 110

a>d>b=c 9557 7559 1998 8991 10989 111

a>d=c>b 9577 7759 1818 8181 9999 101

a>c>d=b 9575 5759 3816 6183 9999 101

a=c>d>b 9795 5979 3816 6183 9999 101

a=c>d=b 8686 6868 1818 8181 9999 101

a=c>b>d 8583 3858 4725 5274 9999 101

a=c>b=d 7474 4747 2727 7272 9999 101

合計 9999

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c>a>b=d 7585 5857 1728 8271 9999 101

c>a=b>d 5573 3755 1818 8181 9999 101

c=b>a>d 5883 3885 1998 8991 10989 111

b>c=a>d 6963 3696 3267 7623 10890 110

b>a>c=d 8433 3348 5085 5805 10890 110

(表四)

四、分析五位數的定值

(一)、由三位數、四位數的運算中推理。

1、在三位數運算中，得知百位數字與個位數字互換，十位數字不變。

2、在四位數運算中，千位數字與個位數字互換，百位數字與十位數字互換。可知五位

數以中間位數以基準，前後互相對調。

3、推理出五位數是萬位數字與個位數字互換，千位數字與十位數字互換，而百位數字

不變。

4、假設五位數的萬位數字是 a，千位數字是 b，百位數字是 c，十位數字是 d，個位數

字 e，且 a>e。

(二)、討論萬位數字 a與個位字 e，和千位數字 b與十位數字 d的關係影響定值。

1、a>e假設必定成立，中間數字 c互換相減為 0，求 b與 d的關係。

2、b>d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

(1). (10000a+1000b+100c+10d+e)-(10000e+1000d+100c+10b+a)

=10000(a-e)+1000(b-d)+100(c-c)+10(d-b)+(e-a)。

其中，百位相減為 0，十位(d-b)和個位(d-a)不夠減，分別向百位及十位

借 1 當作該位數的 10，百位不夠向千位借 1當作該位數的 10。得

10000(a-e)+1000(b-d-1)+100(10-1)+10(10+d-b-1)+(10+e-a)。

(2). [10000(a-e)+1000(b-d-1)+100(10-1)+10(10+d-b-1)+(10+e-a)]

+[10000(10+e-a)+1000(10+d-b-1)+100(10-1)+10(b-d-1)+(a-e)]

=10000a-10000e+1000b-1000d-1000+1000-100+100+10d-10b-10+10+e-a

+100000+10000e-10000a+10000+1000d-1000b-1000+1000-100+10b-10d

-10+a-e

=100000+10000-100-10=109890

(3). 100000+10000-100-10=(100000-10)+(10000-100)

=(100-1)(100+1)×10+(100-1)×100=(100-1)[(100+1)×10+100]

= (100-1)[(100+1)×10+100]

=99×[(100+1)×10+100]

3、b=d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

(1). (10000a+1000b+100c+10d+e)-(10000e+1000d+100c+10b+a)

=10000(a-e)+1000(b-d)+100(c-c)+10(d-b)+(e-a)。百位相減為 0，千位

數和十位數(b-d)都為 0和個位(e-a)不夠減，向十位借 1，十位不夠向百

位借 1，百位不夠向千位借 1，千位不向萬位借 1各分別當作該位數的 10。

得 10000(a-e-1)+1000(10-1)+100(10-1)+10(10-1)+(10+e-a)。

7

(2). [10000(a-e-1)+1000(10-1)+100(10-1)+10(10-1)+(10+e-a)]

+[10000(10+e-a)+1000(10-1)+100(10-1)+10(10-1)+(a-e-1)]

=10000a-10000e-10000+9000+900+90+10+e-a

+100000+10000e-10000a+9000+900+90+a-e-1

=100000-10000+18000+1800+180+10-1=109989

(3). 100000-10000+10000-1000+10000-1000+1000-100+1000-100+100-10+100

-10+10-1＝100000+10000-10-1＝(100000-10)+(10000-1)

＝(10000-1)+(1000-10)=(100-1)(100+1)×10+(100-1)(100+1)

＝(100-1)[(100+1)×10+(100+1)]=99×[(100+1)×10+(100+1)]

4、b<d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

(1). (10000a+1000b+100c+10d+e)-(10000e+1000d+100c+10b+a)

=10000(a-e)+1000(b-d)+100(c-c)+10(d-b)+(e-a)。其中，百位相減為

0，千位(b-d)和個位(d-a)不夠減，分別向萬位及十位借 1當作該位數的

10，與百位無關。得

10000(a-e-1)+1000(10+b-d)+0+10(d-b-1)+(10+e-a)。。

(2). [10000(a-e-1)+1000(10+b-d)+0+10(d-b-1)+(10+e-a)]

+[10000(10+e-a)+1000(d-b-1)+0+10(10+b-d)+(a-e-1)]

=10000a-10000e-10000+10000+1000b-1000d+10d-10b-10+10+e-a

+100000+10000e-10000a+1000d-1000b-1000+100+10b-10d+a-e-1

=100000-1000+100-1=99099

(3). 100000-1000+100-1=(100-1)×1000+(100-1)

=(100-1)(1000+1)＝99×(1000+1)

(三)、以位數表格把各位數數字分離觀察。

1、b>d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

萬位 千位 百位 十位 個位

a b c d e

－ e d c b a

a-e b-d c-c d-b e-a

借位 -1 10-1 10-1 10

結果 a-e b-d-1 9 10+d-b-1 10+e-a

＋ 10+e-a 10+d-b-1 9 b-d-1 a-e

10 8 18 8 10

合計 109890

(表五)

2、b=d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

萬位 千位 百位 十位 個位

a b c d e

－ e d c b a

a-e b-d c-c d-b e-a

8

借位 -1 10-1 10-1 10-1 10

結果 a-e-1 9 9 9 10+e-a

＋ 10+e-a 9 9 9 a-e-1

9 18 18 18 9

合計 109989

(表六)

3、b<d，起初所選定的五位數是 10000a+1000b+100c+10d+e。

(表七)

(四)、發現新知

1、奇數位數的中間位數數字不變，經過互換後都抵消掉，所以不管其數數字是多少，

不影響結果。如三位數中間數字 b、五位數中間數字 c。

2、五位數的定值數和四位數的定值數一樣，分別是 109890、99099、109989三種，亦

分別除以 99，109890÷99=1110， 109989÷99=1111，99099÷99=1001，都是 99的倍

數，可以被 99 整除。

(五)、利用以 Excel 計算結果驗證五位數的變化。

A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99

b>d 95826 62859 32967 76923 109890 1110

59261 16295 42966 66924 109890 1110

22011 11022 10989 98901 109890 1110

22000 22 21978 87912 109890 1110

b=d 95852 25859 69993 39996 109989 1111

63030 3036 59994 49995 109989 1111

22221 12222 9999 99990 109989 1111

20001 10002 9999 99990 109989 1111

58683 38685 19998 89991 109989 1111

b<d 92856 65829 27027 72072 99099 1001

56281 18265 38016 61083 99099 1001

21021 12012 9009 90090 99099 1001

20020 2002 18018 81081 99099 1001

萬位 千位 百位 十位 個位

a b c d e

－ e d c b a

a-e b-d c-c d-b e-a

借位 -1 10 -1 10

結果 a-e-1 10+b-d 0 d-b-1 10+e-a

＋ 10+e-a d-b-1 0 10+b-d a-e-1

9 9 9 9

合計 99099

9

(表八)

五、尋求多位數特定的模式。

(一)、六位數

1、分析六位數

(1). 假設六位數字，十萬位 a、萬位 b、千位 c、百位 d、十位 e、個位 f，且

a>f。

(2). 六位數是偶數位數的值，十萬位 a與個位 f、萬位 b與十位 e、千位 c與

百位 d分別互換數字，有三組互換。

(3). 產生定值分別在：(b>e,c>d)、(b>e,c=d)、(b>e,c<d)、(b=e,c>d)、

(b=e,c=d)、(b=e,c<d)、(b<e,c>d)、(b<e,c=d)、(b<e,c<d)，共有九種

定值。

2、以 Excel計算結果

A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99

b>e,c>d 576544 445675 130869 968031 1098900 11100

b>e,c=d 586603 306685 279918 819972 1099890 11110

b>e,c<d 543623 326345 217278 872712 1089990 11010

b=e,c>d 546343 343645 202698 896202 1098900 11100

b=e,c=d 586683 386685 199998 899991 1099989 11111

b=e,c<d 583683 386385 197298 892791 1090089 11011

b<e,c>d 546574 475645 70929 929070 999999 10101

b<e,c=d 500053 350005 150048 840051 990099 10001

b<e,c<d 543683 386345 157338 833751 991089 10011

(表九)

3、探究 b=e,c>d 的值為什麼會和 b>e,c>d 的值相同？

(1). b>e,c>d，起初所選定的六位數是 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f。

十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位

a b c d e f

－ f e d c b a

a-f b-e c-d d-c e-b f-a

借位 -1 10-1 10-1 10

結果 a-f b-e c-d-1 10+d-c-1 10+e-b-1 10+f-a

＋ 10+f-a 10+e-b-1 10+d-c-1 c-d-1 b-e a-f

10 9 8 8 9 10

合計 1098900

(表十)

(2). b=e,c>d，起初所選定的六位數是 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f。

十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位

a b c d e f

－ f e d c b a

10

a-f b-e c-d d-c e-b f-a

借位 -1 10-1 10-1 10

結果 a-f b-e c-d-1 10+d-c-1 10+e-b-1 10+f-a

＋ 10+f-a 10+e-b-1 10+d-c-1 c-d-1 b-e a-f

10 9 8 8 9 10

合計 1098900

(表十一)

4、發現新知

(1). b>e,c>d 和 b=e,c>d借位相同，所得的數相同。

(2). 六位數的定值，由小到大是 990099、991089、999999、1089990、1090089、

1098900、1099890、1099989 八種。分別除以 99，990099÷99=10001，

991089÷99=10011，999999÷99=10101，1089990÷99=11010，

1090089÷99=11011，1098900÷99=11100，1099890÷99=11110，

1099989÷99=11111，都是 99 的倍數，可以被 99整除。

(3). 原本應是有九個定值，但其中有 2個定值相同，全部折算成 8個定值。

(二)、七位數

1、分析七位數

(1). 假設七位數字，百萬位 a、十萬位 b、萬位 c、千位 d、百位 e、十位 f、

個位 g，a>g。

(2). 七位數是奇數位數的值，中間位千位數字 d不變，其餘百萬位 a與個位 g、

十萬位 b與十位 f、萬位 c與百位 e分別互換數字，與六位數相同共有三

組互換。

(3). 產生定值分別在：(b>f,c>e)、(b>f,c=e)、(b>f,c<e)、(b=f,c>e)、

(b=f,c=e)、(b=f,c<e)、(b<f,c>e)、(b<f,c=e)、(b<f,c<e)，共有九種

定值。

2、以 Excel計算結果

A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99

b>f,c>e 5768544 4458675 1309869 9689031 10998900 111100

b>f,c=e 5869603 3069685 2799918 8199972 10999890 111110

b>f,c<e 5437623 3267345 2170278 8720712 10890990 110010

b=f,c>e 5469343 3439645 2029698 8969202 10998900 111100

b=f,c=e 5868683 3868685 1999998 8999991 10999989 111111

b=f,c<e 5838683 3868385 1970298 8920791 10891089 110011

b<f,c>e 5468574 4758645 709929 9299070 10008999 101101

b<f,c=e 5001053 3501005 1500048 8400051 9900099 100001

b<f,c<e 5436683 3866345 1570338 8330751 9901089 100011

(表十二)

(三)、尋求特定的模式

1、從一位數到七位數排列關係表

11

二位

數 三位數 四位數 五位數 六位數 七位數

定值

數 1 1 3 3 8 8

種類 99 1089

9999

10890

10989

99099

109890

109989

990099、991089

999999、1089990

1090089、1098900

1099890、1099989

10998900、10999890

10890990、10999989

10891089、10008999

9900099、9901089

除 99 1 11

101

110

111

1001

1110

1111

10001、10011

11010、10101

11010、11100

11110、11111

111100、111110

110010、111111

110011、101101

100001、100011

(表十三)

a b c d e f g h A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99 二轉

十

b>g c>f d>e 9 8 7 6 5 6 5 6 98765656 65656789 33108867 76880133 109989000 1111000 120

d=e 9 8 7 5 5 6 5 6 98755656 65655789 33099867 76899033 109998900 1111100 124

d<e 9 8 7 4 5 6 5 6 98745656 65654789 33090867 76809033 109899900 1110100 116

b>g c=f d>e 9 8 7 6 5 7 5 6 98765756 65756789 33008967 76980033 109989000 1111000 120

d=e 9 8 7 5 5 7 5 6 98755756 65755789 32999967 76999923 109999890 1111110 126

d<e 9 8 7 4 5 7 5 6 98745756 65754789 32990967 76909923 109900890 1110110 118

b>g c<f d>e 9 8 6 6 5 7 5 6 98665756 65756689 32909067 76090923 108999990 1101010 106

d=e 9 8 6 5 5 7 5 6 98655756 65755689 32900067 76000923 108900990 1100010 98

d<e 9 8 6 4 5 7 5 6 98645756 65754689 32891067 76019823 108910890 1100110 102

b=g c>f d>e 9 8 8 6 5 7 8 6 98865786 68756889 30108897 79880103 109989000 1111000 120

d=e 9 8 8 5 5 7 8 6 98855786 68755889 30099897 79899003 109998900 1111100 124

d<e 9 8 8 4 5 7 8 6 98845786 68754889 30090897 79809003 109899900 1110100 116

b=g c=f d>e 9 8 7 6 5 7 8 6 98765786 68756789 30008997 79980003 109989000 1111000 120

d=e 9 8 7 5 5 7 8 6 98755786 68755789 29999997 79999992 109999989 1111111 127

d<e 9 8 7 4 5 7 8 6 98745786 68754789 29990997 79909992 109900989 1110111 119

b=g c<f d>e 9 8 6 6 5 7 8 6 98665786 68756689 29909097 79090992 109000089 1101011 107

d=e 9 8 6 5 5 7 8 6 98655786 68755689 29900097 79000992 108901089 1100011 99

d<e 9 8 6 4 5 7 8 6 98645786 68754689 29891097 79019892 108910989 1100111 103

b<g c>f d>e 9 6 8 6 5 7 8 6 96865786 68756869 28108917 71980182 100089099 1011001 89

d=e 9 6 8 5 5 7 8 6 96855786 68755869 28099917 71999082 100098999 1011101 93

d<e 9 6 8 4 5 7 8 6 96845786 68754869 28090917 71909082 99999999 1010101 85

b<g c=f d>e 9 6 7 6 5 7 8 6 96765786 68756769 28009017 71090082 99099099 1001001 73

d=e 9 6 7 5 5 7 8 6 96755786 68755769 28000017 71000082 99000099 1000001 65

12

(表十四)

九位數 a b c d e f g h i A(原數) B(與 A 互換) C=A-B D(與 C 互換) C+D 除以 99 二轉

十

b>h c>g d>f 9 8 7 6 5 4 5 6 7 987654567 765456789 222197778 877791222 1099989000 11111000 248

d=f 9 8 7 5 5 5 5 6 7 987555567 765555789 221999778 877999122 1099998900 11111100 252

d<f 9 8 7 6 5 8 5 6 7 987658567 765856789 221801778 877108122 1098909900 11100100 228

b>h c=g d>f 9 8 5 6 5 4 5 6 7 985654567 765456589 220197978 879791022 1099989000 11111000 248

d=f 9 8 5 5 5 5 5 6 7 985555567 765555589 219999978 879999912 1099999890 11111110 254

d<f 9 8 5 6 5 8 5 6 7 985658567 765856589 219801978 879108912 1098910890 11100110 230

b>h c<g d>f 9 8 4 6 5 4 5 6 7 984654567 765456489 219198078 870891912 1090089990 11011010 218

d=f 9 8 4 5 5 5 5 6 7 984555567 765555489 219000078 870000912 1089000990 11000010 194

d<f 9 8 4 6 5 8 5 6 7 984658567 765856489 218802078 870208812 1089010890 11000110 198

b=h c>g d>f 9 6 7 6 5 4 5 6 7 967654567 765456769 202197798 897791202 1099989000 11111000 248

d=f 9 6 7 5 5 5 5 6 7 967555567 765555769 201999798 897999102 1099998900 11111100 252

d<f 9 6 7 6 5 8 5 6 7 967658567 765856769 201801798 897108102 1098909900 11100100 228

b=h c=g d>f 9 6 5 6 5 4 5 6 7 965654567 765456569 200197998 899791002 1099989000 11111000 248

d=f 9 6 5 5 5 5 5 6 7 965555567 765555569 199999998 899999991 1099999989 11111111 255

d<f 9 6 5 6 5 8 5 6 7 965658567 765856569 199801998 899108991 1098910989 11100111 231

b=h c<g d>f 9 6 4 6 5 4 5 6 7 964654567 765456469 199198098 890891991 1090090089 11011011 219

d=f 9 6 4 5 5 5 5 6 7 964555567 765555469 199000098 890000991 1089001089 11000011 195

d<f 9 6 4 6 5 8 5 6 7 964658567 765856469 198802098 890208891 1089010989 11000111 199

b<h c>g d>f 9 5 7 6 5 4 5 6 7 957654567 765456759 192197808 808791291 1000989099 10111001 185

d=f 9 5 7 5 5 5 5 6 7 957555567 765555759 191999808 808999191 1000998999 10111101 189

d<f 9 5 7 6 5 8 5 6 7 957658567 765856759 191801808 808108191 999909999 10100101 165

b<h c=g d>f 9 5 5 6 5 4 5 6 7 955654567 765456559 190198008 800891091 991089099 10011001 153

d=f 9 5 5 5 5 5 5 6 7 955555567 765555559 190000008 800000091 990000099 10000001 129

d<f 9 5 5 6 5 8 5 6 7 955658567 765856559 189802008 800208981 990010989 10000111 135

b<h c<g d>f 9 5 4 6 5 4 5 6 7 954654567 765456459 189198108 801891981 991090089 10011011 155

d=f 9 5 4 5 5 5 5 6 7 954555567 765555459 189000108 801000981 990001089 10000011 131

d<f 9 5 4 6 5 8 5 6 7 954658567 765856459 188802108 801208881 990010989 10000111 135

(表十五)

(四)、發現分析數據

1、由(表十五)可知，多位數定值龐大，除以 99 後，全都留下 1、0兩個數字所組成的

數。位數變多，定值就變成多，難以分析。所以觀察 1、0所組成的數與二位進數

同，決定用二進位轉換成十進位，以利分析統計。

d<e 9 6 7 4 5 7 8 6 96745786 68754769 27991017 71019972 99010989 1000111 71

b<g c<f d>e 9 6 6 6 5 7 8 6 96665786 68756669 27909117 71190972 99100089 1001011 75

d=e 9 6 6 5 5 7 8 6 96655786 68755669 27900117 71100972 99001089 1000011 67

d<e 9 6 6 4 5 7 8 6 96645786 68754669 27891117 71119872 99010989 1000111 71

13

2、利用電腦軟體計算出七位數的定值與六位數的定值相同，所以從四位數與五位數得

知，定值增加變數在於偶位數。

3、八位數、九位數的定值各有 27個，扣除相同者，有 21個相異的數。

4、經過分析推理，得知先設最高位數字必大於個位數字，比較第二高位數字與十位數

字自成一組，有大於、等於、小於 3種可能。所以八位數有百萬位對十位、十萬位

對百位、萬位對千位共 3組，得 3×3×3＝27，有 27個定值。十位數有 4組，3×3×3

×3＝81，有 81 個定值。以此類推十二位數有 5組，3×3×3×3×3＝243，有 243個定

值。

伍、結論

一、二位數中，必定只有一個數 99。三位數中，不管中間十位數字是多少？所

得到的結果都是 1089。

二、四位數定值分別可以推理出：99×[(100+1)×10+100]、99×[(100+1)×10+(100+1)]、

99×(1000+1)。都有 99的因數，都可以被 99 整除。

五位數定值利用 Excel 分別可以求出：109890、99099、109989 三種，109890÷99=1110，

109989÷99=1111，99099÷99=1001，都是 99 的倍數，可以被 99整除。

三、從四位數以後，各有些相同的定值。從這些數據簡化推理出，一套式子求出定值的個數。

四位數有可求出 9個定值，1個重複，共 8 個不同。六位數有可求出 27個定值，6個重

複，共 21個不同。十位數有可求出 81個定值，26個重複，共 55 個不同。十二位數有可

求出 243個定值，99 個重複，共 144個不同。

四、二進位轉換十進位列表

個數

二位數 1 1

三位數 1 3

四位數 3 5,6,7

五位數 3 9,14,15

六位數 8 17,19,21,26,27,28,30,31

七位數 8 33,35,45,50,51,60,62,63

八位數 21

65,67,71,73,75,85,89,93,98,99,102,103,106,107,116,118,

119,120,124,126,127

九位數 21

129,131,135,153,155,165,185,189,194,195,198,199,218,

219,228,230,231,248,252,254,255

十位數

55

257,259,263,271,273,275,279,297,299,305,307,313,315,325,333,

341,361,365,369,377,381,386,387,390,391,398,399,402,403,406,

407,426,427,434,435,442,443,452,454,455,460,462,463,468,470,

471,488,492,494,495,496,504,508,510,511

十一位數

55

513,515,519,527,561,563,567,585,587,625,627,633,635,645,653,

693,713,717,753,761,765,770,771,774,775,782,783,818,819,822,

823,842,843,882,883,890,891,900,902,903,908,910,911,948,950,

951,968,972,974,975,1008,1016,1020,1022,1023

14

十二位數

144

1025,1027,1031,1039,1055,1057,1059,1063,1071,1105,1107,1111,

1121,1123,1127,1137,1139,1143,1161,1163,1177,1179,1193,1195,

1233,1235,1241,1243,1249,1251,1265,1267,1273,1275,1285,1293,

1309,1317,1325,1365,1381,1397,1417,1421,1433,1437,1449,1453,

1489,1497,1501,1505,1521,1529,1533,1538,1539,1542,1543,1550,

1551,1566,1567,1570,1571,1574,1575,1582,1583,1618,1619,1622,

1623,1634,1635,1638,1639,1650,1651,1654,1655,1674,1675,1690,

1691,1706,1707,1746,1747,1754,1755,1762,1763,1778,1779,1786,

1787,1796,1798,1799,1804,1806,1807,1820,1822,1823,1824,1828,

1830,1831,1836,1838,1839,1876,1878,1879,1892,1894,1895,1908,

1910,1911,1928,1932,1934,1935,1944,1948,1950,1951,1960,1964

1966,1967,2000,2008,2012,2014,2015,2016,2032,2040,2046,2047

(表十六)

五、從(下表十七)可得定值個數 1,3,8,55,144，利用歸納推理，找出規律性，尋求多位數定

值個數的方法。

1、四位數是 1+1+1=3。

2、六位數是 2+3+3=8。

3、八位數是 5+8+8=21。

4、十位數是 13+21+21=55。

5、十二位數是 34+55+55=144。

二 1

三 1 1+1 1+2

四 1 2 3

五 1 2 3 2+3 2+3+3

六 1 2 3 5 8

七 1 2 3 5 8 5+8 5+8+8

八 1 2 3 5 8 13 21

九 1 2 3 5 8 13 21 13+21 21+34

十 1 2 3 5 8 13 21 34 55

十一 1 2 3 5 8 13 21 34 55 34+55 55+89

十二 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

十三 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 89+144 144+233

十四 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

十五 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

(表十七)

陸、研究心得

一、在實驗的過程當中，我們遇到許多的困難，在這段艱辛的過程中，有人因為承受不起這個

重責大任，而退出。

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二、一開始的二位數、三位數都很簡單，但是到了四位、五位數時就越來越難了，可是在老師

的指導下我們都慢慢的進入狀況。在實驗結束後我學到了的二進位與十進位的關係，使用

電腦 Excel計算這些公式。

三、在把十二位數算完後，我們暫時鬆了一口氣，努力很久終於做完了。之後要繼續打文字陳

列和報告，我們在其中學到了算好的數值中隱藏的規律性，也在文字陳列中發現了固定公

式。而電腦方面也學會如何在Ｅｘｃｅｌ打公式出來與計算這些公式。

四、在這個數學科展中，讓我學習到如何找出數學的規律性、公式，和如何運用電腦程式來計

算數學公式。同心協力一起完成這次的探究活動，探討數字的奧妙，我們發現：只要有條

理，有系統，按部就班的推理，就是解決問題的最佳方法。

柒、參考資料

一、波沙曼提爾/著(民 94)。神奇數學 117。天下文化。

二、南一出版社(民 100)。六下數學課本。第三單元：怎樣解題(1)。

三、試算探險隊 Excel。無限可能創意。(民 94)

四、魔術 99、1089昌爸工作坊(民 97)

http://www.mathland.idv.tw/fun/magic99.htm

http://www.mathland.idv.tw/fun/mag1089.html