도형(기하)

박성선

춘천교육대학교

ⓒ Chuncheon National University of Education

- 네델란드의 부부(Pierre van Hiele과 Dina van Hiele)

- 기하학적 사고를 5수준으로 구분

- 교사의 지도가 아동의 학습수준에 부합하지 못하면

부조화를 이룰 수 있음

• 각 수준별로 적용 가능한 활동 및 발문을 고려해야 한다.

• 교사는 학생의 수준을 파악하고 학생의 수준에서 지도해야 한다.

Van Hieles의 수학 학습이론

기하학적 사고의 수준 모델

*제 1수준(시각화, Visualization)

-주변대상을 형(모양)이란 인식수단에 의해 파악하는 단계

-전체적인 모양으로 도형 인식

-세모꼴, 네모꼴, 상자모양 등으로 도형의 이름을 말할 수 있으나,

그 성질을 명확히 말하지 못함

-추론에 의하여 도형을 판단하는 것이 아니라 지각에 의하여 판단

기하학적 사고의 수준 모델

*제 2수준(분석적 인식, Analysis)

-도형의 구성요소와 성질에 대한 분석을 통해 도형을 파악

-도형의 성질을 통하여 시각적 형태가 아닌 성질의 집합으로 인식

“마름모는 네 변의 길이가 같은 도형”

-도형들 간의 관계를 인식하지 못함

“정사각형도 마름모이다”(×)

기하학적 사고의 수준 모델

*제 3수준(추상적/관계적 인식, Abstraction/Relation)

-도형의 성질과 도형 사이의 관계를 인식

“정사각형은 마름모” (O)

-도형의 개념에 대한 추상적 정의

-도형들의 성질을 통하여 도형을 위계적으로 분류

-비형식적 논증(귀납적 논증)을 통하여 기하적 증명

“삼각형의 내각의 합은 180도”

-연역적 논증의 역할 및 중요성은 아직 이해되지 않음

기하학적 사고의 수준 모델

*제 4수준(연역적 수준, Deduction)

- 연역적 논증을 이해하고 형식적 증명이 가능

- 공리체계를 이해

“무정의 용어, 정의, 공리, 정리, 증명의 의미와 역할 이해”

*유클리드 기하학의 공리체계

1. 임의의 점으로부터 임의의 점에 대하여 하나의 직선을 긋는다.

2. 유한의 직선은 계속 직선으로 연장된다.

3. 임의 중심과 거리(반지름)를 갖는 원을 그린다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 하나의 직선이 두 개의 직선과 만날 때 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내각을 만든다면, 이들 두 직선을 한없이 연장하면 2직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 만난다.

기하학적 사고의 수준 모델

*제 5수준(엄밀한 수학적 수준, Rigor)

-여러 가지 공리체계를 이해하고 비교

*비유클리드 기하학

- Riemann: 타원기하학 “한 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행인 직선은 한 개도 없다”

“삼각형의 내각의 합은 2직각보다 크다”

- Lobachevski, Bolyai : 쌍곡선기하학

“한 직선 밖의 한 점을 지나서 그 직선에 평행인 직선은 무한 개다” “삼각형의 내각의 합은 2직각보다 작다”

입체도형

1. 대상의 묘사와 분류(반힐의 1수준과 2수준)

초급활동 -나는 누구인가?

-쌓을 수 있는 것은 무엇인가?

-두 도형이 어떻게 비슷한가? 또는 다른가?

-속하지 않은 도형은 어느 것인가?

-몇 개의 면이 있는가?

중급활동

-모서리, 꼭짓점, 면: 나는 누구인가? -입체 도형 분류하기 -입체 도형 찾기

고급활동

-평행인 면 -수직인 모서리 -각기둥

2. 탐구하고 발견하기 위해 구성하기 -면 모델 -모서리 모델

1. 종이 튜브 만들기

두꺼운 종이를 접거나 잘라서 밑면과 윗면이 없는 각기둥 또는 원기둥

*오일러(Euler)공식 V+F=2+E

2. 막대 모델

빨대, 이쑤시개 등의 막대로 모델 만들기

3. 전개도

어떤 입체가 전개도로부터 구성될 수 있는지 확인

입체도형(구성)

면의 자국을 입체와 짝짓기

입체도형의 수직단면 및 평행 단면을 알아볼 수 있는 활동

입체에 대한 여러 겨냥도를 찾기

다음 중 원기둥에 대한 겨냥도는?

→ 3차원 도형을 2차원 평면에 옮겨보는 활동

A D X

C

B

Q : X면이 밑면에 오면 제일 윗면에는 무슨 글자가 올 것인가

입체 단면의 시각화

다음 도형을 ‘ㄱ’방향으로 자른 단면은?

다음과 같이 원뿔을 자른 단면은?

평면도형

1. 도형의 성질

-기하판, 패턴 블록과 같은 구체물을 포함하는 활동을 통해 제시

-평면도형을 조사할 때 1차원적인 변이나 꼭지점에 주목하게 됨.

-도형 사이의 관계, 분류, 구조 등이 고려될 것

-예와 예가 아닌 것을 통해서 도형의 분류

2. 고려되어야 개념 변과 꼭짓점의 개수 대칭 (거울이나 Miras 활용) 변의 길이 각의 크기 평행인 변과 수직인 변 오목과 볼록 높이 도형의 분류: 삼각형, 사각형, 다각형

도형의 개념

• 아동은 정의를 통해서가 아니라, 예와 예가 아닌 것 을 통해 도형의 유형을 인식해야 한다.

개념학습을 통한 도형의 정의 과정을 학습하고 이를 적용할 수 있는 지도안을

구성할 수 있어야 한다. (이등변 삼각형, 각기둥, 등)

위치와 위치 나타내기(좌표기하학)

1. 좌표 체계의 이해 -특정한 지점이나 이동한 경로를 거리와 방향으로 나타내기 2. 로고(Logo) 프로그램 활용

*교과서에 LOGO 프로그램 활동이 제시되어 있으므로 반드시 공부해야 하며, Piaget와 Dienes의 활동주의 수학학습이론과 관련지을 수 있어야 한다

도형의 변환 1. 도형의 변환 -합동변환: 변환해도 합동인 변환(평행이동, 대칭이동, 회전이동)

비합동 변환: 변환해서 합동이 아닌 변환(닮음이동)

-초등에서는 밀기, 뒤집기, 돌리기

-Geometer’s Sketchpad 활용

2. 합동과 닮음 1 ) 합동

:두 도형이 같은 크기와 같은 모양을 가진 것.

합동 넓이가 같음

합동 넓이가 같음

2) 닮음

:두 도형의 대응하는 각의 크기가 같고, 대응하는 변의 길이의 비가 같음

많은 아동들이 어려움을 느낌.

합동이라는 단어를 먼저 가르치지 말고 두 도형을 먼저 맞추어 보도록 하고 점차 합동이라는 단어를 소개하고 사용해야 함.

기하판을 이용하여 모양을 작고 크게 그리거나 만드는 활동을 도입

변의 개수

1.변이 몇 개일까요?

꼭지점의 수

• 꼭지점의 수는 변의 수와 밀접하게 관련됨

변의 수 = 꼭지점의 수

• 변의 수를 세기 위한 활동이 꼭지점을 세기 위한 것으로 수정될 수 있다.

대칭

• 선대칭

- 중심에서 접는 법.

- 시각적 지각

- 대칭축으로 접어보기

- 주변 물건에서 대칭을 찾아보도록 하기.

4) 변의 길이

• 도형에 대한 분류 구조뿐만 아니라 도형의 정의 중 많은 부분이 변의 길이에 달려있음

5) 각의 크기

• 아동이 발견할 수 있는 성질

1. 삼각형 내각의 합은 180도

2. 사각형 내각의 합은 360도

3. 이등변삼각형의 밑각의 크기는 같다

4. 평행사변형의 대각의 크기는 같다

5. 변이 네 개 이상인 다각형은 각의 크기가 같지 않아도 변의 길이가 같을 수 있다

6. 삼각형의 가장 긴 변이 대각이 가장 크다

6)평행인 변과 수직인 변

• 평행 - 평면에서 두 직선이 서로 만나지 않으면 평행

- 두 직선의 수직 거리가 항상 같은 거리이면 평행

평행선

- 책의 대변

- 알파벳 E에서 가로선

- 칠판의 위와 아래

수직선

- 책의 인접한 변

- 알파벳 E에서 세로선과 가로선

7)볼록과 오목

• 볼록 도형(내각이 180도 미만인 다각형)

변이 네 개이고 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

변이 다섯 개이고 두 곳에서 오목인 도형을 그릴 수 있는가?

7) 볼록과 오목

8) 높이

• 밑변이 무엇인가에 따라 높이가 결정됨.

• 높이는 도형의 넓이를 구할 때 필수적.

4. 분류 구조

1 ) 삼각형

변 각

정삼각형: 세 개의 변이 합동 예각삼각형: 모든 각이 90˚보다 작다.

이등변삼각형: 적어도 두 개의 변이 합동 직각삼각형: 한 각이 90˚

부등변삼각형: 합동인 변이 없다. 둔각삼각형: 한 각이 90˚보다 크다.

2 ) 사각형

정사각형

도형의 예를 인식하는 수준을 넘어,

도형을 정의하는 성질에 대한 이해가 필요.

평행사변형

직사각형 마름모