電磁気学 - 東京理科大学電磁気学 静電場 電荷分布 クーロンの法則...
TRANSCRIPT
電磁気学
静電場 電荷分布 クーロンの法則 ガウスの法則静磁場 定常電流 ビオ・サバールの法則 アンペールの法則電磁誘導 交流 ローレンツ力 ファラデーの法則電磁波
マックスウェル方程式
光学 物質中の電磁波
特殊相対論
誘電体、磁性体、超伝導体
電磁気学
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
参考書
理論電磁気学 砂川重信演習 電磁気学 加藤正昭
ファインマン物理学ランダウ・リフシッツ 電磁気学
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
いろいろな電荷分布の電場と電位
30
00
00
02
0
4122
221
41
41
)()(
rrpVp
zVE
lnVE
rqV
rqEq
V
z
r
rrr
rrrr
⋅=
±=±=
−==
==
∇−=
πε
εσ
εσ
σ
ρπελ
ρλ
πελ
πεπε
ρ
双極子
面電荷密度
線電荷密度
点電荷
rrE
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
電束と Gauss の法則
[ ]/CmNcos 2⋅⋅===Φ ∫ ∫ ∫⊥ SErr
ddSEdSEE φ
00
encl
ερ
=⋅∇=⋅=Φ ∫ Eε
SErrrr QdE
[ ] [ ]
229
0
2
2
0
/CmN10094
1mN
CJ/CC/mF/m
⋅×=
⋅
=
==
.πε
ε
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました な www.nsd.co.jp/share/
電荷分布 ⇔電場
)(||)(Vd)( rr
rrrrE ′−
′−′
′= ∫rr
rr
rrr
304
1 ρπε
)( rrρ )( rE rr
dVq
dVd
qd
i
i
S
i
iS
∫∑
∫∫
∑∫
=
⋅∇=⋅
=⋅∇=⋅
00
00
)(
Gauss
ερ
ε
ερ
ε
r
ESE
ESE
r
rrrr
rrrrの法則
Electrostatics 静電気
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
点磁荷による磁場(クーロンの法則)
[ ]
BqFrqB
qEB
mm
r
m
′=
⋅=
⋅
mAN
4
mA)(
20
πµ
点磁荷
対応
[ ] [ ]N/WbA/m0 HHHB == µ
270 N/A104 −×= πµ
[ ] [ ] [ ]Wbm/ANm))(A(N/A)(
002
0 mmmm qqqq~EH
µµµ =⋅=⋅=点磁荷
対応
[ ] Hq~Frq~H m
mr ′== A/m
41
20µπ
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました 壢 www.nsd.co.jp/share/
電磁場中の点電荷の運動方程式
)(qm BvEaFrrrrr
×+==
[ ] [ ] [ ]gauss10000TmA
Nm/sCNB =≡
⋅=
⋅=
=
=
qvF
vE
BlF ×=rr
I BlFrrr
×= dId
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
定常電流(要素)がつくる静磁場
20
4 rˆq rvB ×
=rr
πµ
20
4 rˆdId rlB ×
=r
r
πµ
rIB
πµ
θ 20=
∫×
= 20
4 rˆdI rlB
rr
πµ
直線電流がつくる磁場
[ ] [ ] BqFrqBqq m
mrmm ′=
⋅=⋅=⋅
mAN
4m/sCmA 2
0
πµ
点磁荷
参照:
Biot-Savartの法則
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
直線電流がつくる磁場
( ) 22
02322
0 244 axx
aIyx
xdyIBa
a /+
=+
= ∫− πµ
πµ
αθ
θθ tan
costan 2 xaxddyxy ===
( ) ( )
[ ]
xaxxa
xxxd
x
dxxx
dxyx
xdy
a
/
/
a
a /
22
sin2sin1cos
coscos
sincos
costan
22
223
2
223
2
223222
2
2322
→+
=
===
+=
+=
+
∞→
−−
−
−−
∫
∫
∫∫
αθ
θθ
θθ
θθ
θ
θθ
θ
αα
α
α
α
α
α
α
∫×
= 20
4 rˆdI rlB
rr
πµ
ydd rr=l
φ
x
22 yxr +=
rx
=φsin
θ
a
a−
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました 耊 www.nsd.co.jp/share/
いろいろな電流分布の磁場
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] 202
20
0
0
2
0
0
20
20
20
4mA
41mC
)97(problem282
A/m21C/m
2A
21C/m
4mA
4mA
41C
rˆ
Iq
rˆ
Φ
IBIE
IBIE
rˆIddId
rqBq
rqEq
m
yxxyz
mrmr
rμASdμ
rpp
rlBl
×=⋅==
⋅=⋅
−±=±=
==
×=⋅
=⋅=
rrrrr
rr
rrr
πµ
πε
µσ
εσ
ρπµ
ρλ
πελ
πµ
πµ
πε
θρ
ルのベクトルポテンシャ磁気双極子
ンシャル) の電位(スカラーポテ 電気双極子
面電流 面電荷
直線電流 線電荷
電流要素
点磁荷 点電荷
ABrrr
×∇=
Φ∇−=rr
E
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました Ẁ www.nsd.co.jp/share/
磁束と Gauss の法則[ ]
[ ] [ ] [ ]m/ANmTWb
Wbcos2 ⋅=⋅=
⋅===Φ ∫ ∫ ∫⊥ SBrr
ddSBdSBB φ
270 N/A104 −×= πµ
00 00 ==⋅∇==⋅=Φ ∫ mmB BQd ρµµrrrr
SB
実験事実:点磁荷(磁気単極子)は存在しない
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
電流分布 ⇔磁場 )( rB rr)( rj rr
定常電流
[ ] ljvjrr
rrrjrBrrrr
rr
rrrrrr
IdV||
Vd)( ==′−
′−×′′= ∫∫ 2
30 A/m)()(
4ρ
πµ
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
電流分布 ⇔磁場 )( rB rr)( rj rr
定常電流
[ ] ljvjrr
rrrjrBrrrr
rr
rrrrrr
IdV||
Vd)( ==′−
′−×′′= ∫∫ 2
30 A/m)()(
4ρ
πµ
∫∑∫∫
∫ ∑
⋅=
⋅×∇=⋅
=×∇=⋅
Sj
SBlB
jBlB
rr
rrrrr
rrrrr
dI
dd
Id
ii
ii
00
00
)(Stokes)(
Ampere
µµ
µµ
の定理
の法則
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
Faraday の電磁誘導の法則
[ ]Vdt
d Bε Φ−=
vBLε =
lBvrrr dε ⋅×= ∫ )(
dtdd BΦ
−=⋅∫ lErr
誘導起電力
磁場が一定、回路が動く
ε回路を貫く磁束が時間変化
磁場が時間変化し、回路は固定
[ ] [ ]s/CJm/AN ⋅Φ=⋅Φ BB
t∂∂
−=×∇BEr
rr
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました 澨 www.nsd.co.jp/share/
電荷保存則と変位電流
変位電流dt
dIt
ED
Φ=
∂∂
= 0D0 εεEjr
r
jjEEj
BEj
EjB
jBj
jB
rjr
rnSSrjr
rrrrrrr
rr
rrrr
rr
rrrr
rrrrrrr
rrr
rrrr
rrrrrrr
⋅∇−=∂∂
⋅∇−=⋅∇∂∂
=∂∂
+⋅∇
=×∇⋅∇=∂∂
+⋅∇
∂∂
+=×∇
=⋅∇=×∇⋅∇=⋅∇
=×∇
⋅∇−=∂
∂
=⋅−= ∫∫
ttt
t
t
t,t
t,
dSddt,dVt,dtd
SV
ρεεµ
εµµ
εµµ
µ
µ
ρ
ρ
)(0)(
0)()(
Maxwell-Ampere
00)()(
Ampere
)()(
)()()(
000
000
000
0
0
の法則
の法則
電荷保存則
電荷保存則
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
マックスウェル方程式
00
enclforlawsGauss'ερ
ε=⋅∇=⋅∫ ESEE
rrrrr QdS
00forlawsGauss' =⋅∇=⋅∫ BSBBrrrrr
Sd
tdtdId
∂∂
+=×∇
Φ
+=⋅∫EjBεlBr
rrrrr000
encl
E00lawsAmpere' εµµµ
tdtdd B
∂∂
−=×∇Φ
−=⋅∫BElEr
rrrrlawsFaraday'
)(qm BvEaFrrrrr
×+==Equation of motion
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
マックスウェル方程式(点磁荷が存在)
00
enclforlawsGauss'ερ
ε=⋅∇=⋅∫ ESEE
rrrrr QdS
mmSQd ρµµ 00forlawsGauss' =⋅∇=⋅∫ BSBB
rrrrr
tdtdId
∂∂
+=×∇
Φ
+=⋅∫EjBεlBr
rrrrr000
encl
E00lawsAmpere' εµµµ
tdtdId m
Bm ∂
∂−−=×∇−−=⋅∫
BjElEr
rrrrr00lawsFaraday' µ
Φµ
)(qm BvEaFrrrrr
×+==Equation of motion
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
電磁波(真空中)[ ]N/CcBE = [ ]m)N/(A00 ⋅= cEB µε
[ ]m/s1
00µε=c
)cos(ˆ),( max ωtkxEtx −= jEr )cos(ˆ),( max ωtkxBtx −= kBr
[ ]s)J/(m1 2
0
⋅×= BESrrr
μ[ ]s)J/(m
21
21
2222
max02
max0
0
0
2max
0
maxmaxav ⋅===== cEE
cEBESI εε
µµµ
cEB
cS
dtdp
A 0
1µ
==
[ ]2N/mcI
cSp av
rad == 光の輻射圧(吸収の場合)
光速
ポインティングベクトル(エネルギー流束密度)
光の強度
光の運動量流束密度
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす
レーザー
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました 睆 www.nsd.co.jp/share/
水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました Ẁ www.nsd.co.jp/share/
光の輻射圧による微小球のトラップと推進
a
b
Fa
Fb
X
Intensity
nsphere(1.5) > nwater(1.33)
mm/s1
law) s(Stokes’6
mW60s/mN10:m10:
22
2
23-
終端速度
レーザーパワー水の粘性
集光径ポリマー球の半径
vrFcPr
crPr
cIFFF
:Pr
radrad ηπππ
π
η
µ
ηη ==×=×≈=
⋅
≈
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
光ピンセット(optical tweezers)
F
赤外光(1.06µm)を対物レン
ズで集光し顕微鏡下で微生
物や細胞内器官を非接触で
動かす
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
(22.5)(general definition of electric flux)
AErr
∫ ∫ ∫ ⋅===Φ ⊥ ddAEdAEE φcos
(Gauss’s law) (22.8)
∫ =⋅=Φ0
encl
εAE QdE
rr
∫ ∫ ∫ =⋅===Φ ⊥0
enclcosε
AE QddAEdAEE
rrφ
rqqU 0
041
πε=
∑=
⋅⋅⋅+++=
i i
i
rqq
rq
rq
rqqU
0
0
3
3
2
2
1
1
0
0
44 πεπε
rq
qUV
00 41
πε== ∑==
i i
i
rq
qUV
00 41
πε
∫=r
dqV04
1πε ∫∫ =⋅=−
b
a
b
aba dlEdVV φcoslEr
221
041
rqq
πF
ε=
0
0
qFEr
r= rE ˆ
41
20 r
qπε
=r
φsinpEτ = Epτrrr
×= Eprr
⋅−=U
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
xVEx ∂
∂−=
yVE y ∂
∂−= z
VE z ∂∂
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=zV
yV
xV kjiE ˆˆˆr
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
BvFrrr
×= q (27.6)(magnetic flux through a surface)
∫ ∫ ∫ ⋅===Φ ⊥ ABrr
ddABdABB φcos
∫ =⋅ 0ABrr
d
(radius of a circular orbit in a magnetic field)Bq
mvR =
BlF ×=rr
I(magnetic force on a straight wire segment)
(magnetic force on an infinitesimal wire section)BlFrrr
×= dId
(magnitude of torque on a current loop)φsinτ IBA=
(vector torque on a current loop)Bμτrrr
×=
(potential energy for a magnetic dipole)φµ cosBU −=⋅−= Bμrr
(Hall effect)z
yx
EBJ
nq−
=
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
(magnetic field of a point charge with constant velocity)20 ˆ
4 rq rvB ×
=rr
πµ
(magnetic field of a current element)20 ˆ
4 rdId rlB ×
=
rr
πµ
(a long, straight, current-carrying conductor)rI
Bπ
µ2
0=
(two long, parallel, current-carrying conductors)rII
LF
πµ2
0 ′=
(on the axis of a circular loop )
( ) 2322
20
2 axIaBx
+=
µ
(at the center of circular loops)
aNI
Bx 20µ
=N
(Ampere’s law)∫ =⋅ encl0Id µlB
rr
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
(Faraday’s law of induction)dt
d Bε Φ−=
(motional emf; length and velocity perpendicular to uniform)vBLε = Br
(motional emf: closed conducting loop)lBvrrr dε ⋅×= ∫ )(
(stationary integration path)dt
dd BΦ
−=⋅∫ lErr
(displacement current)dt
di EΦ= εD
(Gauss’s law for )∫ =⋅0
encl
εQdAE
rrEr
(Gauss’s law for )∫ =⋅ 0AB
rrd
Br
(Ampere’s law)∫
Φ
+=⋅encl
E0C0 dt
did εlB µrr
(Faraday’s law)dt
dd BΦ
−=⋅∫ lErr
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/
(electromagnetic wave in vacuum)cBE =
(electromagnetic wave in vacuum)cEεB 00 µ=
(speed of electromagnetic waves in vacuum)00
1µε
c =
)cos(ˆ),( max ωtkxEtx −= jEr
)cos(ˆ),( max ωtkxBtx −= kBr
(electromagnetic wave in vacuum)maxmax cBE =
(speed of electromagnetic waves in a dielectric)m00m
111KKc
μεKKεμv ===
(Poynting vector in a vacuum)BESrrr
×=0
1μ
(intensity of a sinusoidal wave in a vacuum)2
max02
max0
0
0
2max
0
maxmaxav 2
121
22cEεEε
cEBESI =====
µµµ
(flow rate of electromagnetic momentum)cEB
cS
dtdp
A 0
1µ
==
このPDFは pdfFactory Pro 試用版で作成されました www.nsd.co.jp/share/