2005.12.15電気学会セミナー

電磁界解析のため電磁気学

Electromagnetism for Field Analysis

五十嵐一北海道大学大学院 情報科学研究科

マクスウェルの方程式１

アンペアの法則

)(rot

dmc00

all0

JJJJJB

+++==µµ

強制電流 (電流源による電流)

伝導電流

磁化電流

変位電流 =真空の変位電流＋分極電流

EJ σ=c

MJ rotm =

ttt ∂∂

+∂∂

=∂∂

=PEDJ 0d ε

0J

MBH

JJJH

−=

++=

0

dc0rot

µ

磁性体の効果を左辺に押し込めると

(a)

マクスウェルの方程式２

磁性体の磁気特性に以下の形を仮定する M

HH

MHB

µχµ

µ

=+=+=

)1()(

m0

0

HM mχ=

HB µ=

このとき

H

が定数の場合

がHの関数の場合

mχ

mχ

O

読み替えてもよい．

にをに，を上図で BMm µχしたがって

(b)

(b)式では H=0 のとき B=0 だからヒステリシスがある場合には使用できず，(a)を用いる必要がある．

マクスウェルの方程式３

ガウスの法則 誘電体の効果を左辺に押し込めると

)(1

div

pt0

0

all

ρρε

ερ

+=

=E tdiv ρ=D

EE

PED

εχε

ε

=+=+=

)1( e0

0

真電荷：外部に取り出せる電荷 ex.自由電子，電子ビーム

(7)

ここで

(6)

(8)

tρ

Pdivp −=ρ 分極電荷：外部に取り出せない．誘電分極すなわち束縛された電子，原子核の変位や極性分子の回転による見かけの電荷．

OH

H

－ －

＋＋

E原子核

電子

マクスウェルの方程式４

磁束密度は無発散 (ソレノイダル，管状)

0div =B (9)

構成関係式マクスウェルの方程式

0divdiv

rot

rot

t

c0

==

∂∂

−=

∂∂

++=

BD

BE

DJJH

ρt

t

EJHMHB

EPED

σµµ

εε

=≅+=

=+=

c

0

0

)((11a)(10a)

(11b)

(10b) (11c)

(10c)

(10d)

マクスウェル方程式の解釈 1アンペアの法則(静磁界)

面 S で積分

I

dSdlSC

=

⋅=⋅ ∫∫ nJτH0rot JH =

1h

2h3h閉曲線C をたとえば３つに分割すると

Ihhh =++ 321CJ

∫ ⋅≡

1

1l

dlh τH他も同様ただし

I

C1C2

C3

H は電流からの距離 r に逆比例し，積分路の長さは r に比例する.

τ Irr

IdlIrr

IdlCC

=′′

=⋅==⋅ ∫∫ ππ

ππ

22

,22

21

τHτH

IdlC∫ =⋅3

τHさらに一般の積分路でも

マクスウェル方程式の解釈 2

ファラデーの法則Φ&

1V

2V

3VS

面 S で積分

tVVV

dd

321Φ

−=++t∂∂

−=BErot

磁束の変化を妨げる起電力が発生する

ガウスの法則

tdiv ρ=D体積 vで積分

D は電荷からの距離の2乗 r2に逆比例し，

積分面の面積は r2に比例する.

QSS

=⋅∫ dnDQ

S1S2

S3

n

Qrr

QSQrr

QSSS

=′′

=⋅==⋅ ∫∫ 22

22 4

4d,4

4d

21

ππ

ππ

nDnD

QSS

=⋅∫3

dnDさらに一般の積分面でも

準定常電磁界quasi-static electromagnetic field

静的(static)：時間変化が無い

定常(steady state)： 時間変化が一定もしくは周期的

時間変化が正弦的な場合

EH ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

σωεσ j1rot HE ωµjrot −=

準定常近似では変位電流を無視する伝導電流 変位電流

]MHz[12/ == πωf とすると

rε σωε /]m/S[σ1 10－10～10－11106～107金属

10 1～10－910－4～105半導体 (Si)

1018～102010～103誘電体(絶縁体) 10－10

特性時間：拡散時間と緩和時間 1簡単のためσとμが一定だとする

(1)磁界の拡散時間

tDx

x tDB

B 40

2

e2

−=

πBB 2∇=

∂∂ D

tEH σ=rot

t∂∂

−=BErot⎩

⎨⎧

σµ1

≡D

22

41

4d

Dd

m µστ == d は特徴的な距離拡散時間

(2)電荷の緩和時間電荷保存則

tεσ

ρρ−

= e00=+∂∂ ρ

εσρ

t0div =+∂∂ J

tρ

σετ =relax緩和時間

拡散時間と緩和時間２**簡単のためソース電流を略す

mττ <<relax(1) の場合

t∂∂

−=BErotEH σ=rot準定常電磁界

(2) mττ ≈relax の場合

t∂∂

+=EEH εσrot

t∂∂

−=BErotフルセットの方程式

(3) mττ >>relax の場合

t∂∂

+=EEH εσrot 0rot =E準定常電界

d = 1 [cm] d = 1 [μm]

mτrelaxτ金属(非磁性)

半導体(Si)

誘電体

mτ10－28 10－4 10－12

10－6～ 10－16 10－1～108 10－9 ～1

10 10－8 10－16

単位は秒

表皮厚

磁界の拡散方程式

tzH ωj

0 e−µσ ,

z

xzH2

2

x

Ht

H zz

∂

∂=

∂∂

σµBB 2∇=∂∂

tσµ

txzz HH ωγ j

0 e −= と仮定すると

2j)1(j 4/j ωµσωµσωµσγ π +===∴ eωµσγ j2 =

磁界は以下の特徴距離すなわち表皮厚で 1/e に減衰するzH

ωσµγ2

)Re(1

==dx

要素長は表皮厚よりも十分小さくなければならない

]m/S[105],m/H[104 770 ×≈×== − σπµµ

f [Hz] 50 1010

銅の場合：

d [m] 10-2 0.7×10-6

ポテンシャルとトポロジー

≈≈

単連結領域 多重連結領域

Ωφgrad−=HΩ= in0rot H

Ωφgrad−=HΩ= in0rot H

I φgrad−=H とすると

Ω

0grad =−=⋅−=⋅ ∫∫∫CCC

ddldl φφ ττH

矛盾

IdlC

=⋅∫ τHアンペアの法則

ベクトルポテンシャル

自明

AB rot=0div =Bポアンカレの補題

AA rot)grad(rot =+ ϕ

ストークスの定理より

よりベクトルポテンシャル A には の任意性がある．ϕgradn

a1

a2

a3

321 aaadsdSCS

++=⋅=⋅ ∫∫ τAnB

和は一意に決まる磁束：測定できる量

ベクトルポテンシャルの任意性を反映してa1, a2, a3は従属となる

たとえば a2=a3=0 としてもよい 木・補木ゲージただし行列の条件が悪化するのであまり使用されない

準定常電磁界：A-V法マクスウェル方程式(準定常)

AB rot=

0divrot

rot

0div

c

c0=

+=∂∂

−=

=

JJJH

BE

B

tV

tgrad−

∂∂

−=AE

( ) 0gradrotrot JAA =+∂∂

+ Vt

σσν

( ) 0divgraddiv =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+t

V Aσσ

EJBHσν==

c

構成関係式

⎩⎨⎧

従属な方程式

div

準定常電磁界：A-V法とA法

)j/( ω→∂∂ tA-V法の有限要素法による離散形

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +0

][][v]][[][j][][j

]][[j][j]][[][ t

tt

t tCa

GGGGCCσωσω

σωσων

rot div =0 に対応する関係 [G]t[C]t=0 が離散形式でも成立する ．したがって，上式の第1式の左から [G]tを作用させると第2式が得られる．

従属変数を含む冗長な方程式

辺有限要素法を用いた場合gradVで表現される関数は辺要素の基底Neで張られる空間の部分集合となる．

aaGV eett v][grad NN ≈⊂≈

したがって grad Vを式から消去することができる．

A 法( ) 0rotrot JAA =

∂∂

+t

σν

準定常電磁界：T-Ω法マクスウェル方程式(準定常)

0div

rot

rot0div

c0

c

=∂∂

−=

+=

=

B

BE

JJHJ

t

cJEHB

ρµ

==

構成関係式

⎩⎨⎧

( ) ( ) 0gradrotrot 0 =Ω−+∂∂

+ TTTt

µρ

従属な方程式

Ω−+= grad0TTH

TJ rotc = ただし

00 rot TJ =で既知量

( ) 0graddiv 0 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ω−+

∂∂ TTt

µ

div

準定常電界

マクスウェル方程式(準定常電界)

t∂∂

+=EEH εσrot

0rot =E ϕgrad−=E

div

( ) 0graddivgraddiv =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+tϕεϕσ

移動物体の電磁誘導

全微分(Lagrange微分，対流微分，物質微分)

ftf

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tf

tttztytxf

grad

d)),(),(),((d

⋅+∂∂

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

v

f の時間変化 移動による変化

Stt

S

dgraddd nBvB

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+∂∂

=Φ ∫

vBvBBvB graddivdiv

磁束の変化

ベクトル公式

( ) Bvv gradrot ⋅−⋅−−=0 0 0

×よって

Cv

dlτS

dlτv×B

「切る」磁束∫∫

∫∫

⋅×+⋅∂∂

=

⋅×−⋅∂∂

=Φ

CS

CS

dlSt

dlStt

BτvnB

τBvnB

d

ddd

異方性

線形性を仮定する

xy

zx方向に単位の電界を印加したとき，x, y, z方向に生じる電束密度を

312111 ,, εεε === zyx DDD

と書く．(足文字 ijは原因 jにより生じた結果 i という意味)電界 Exを印加すると，線形性より

xzxyxx EDEDED 312111 ,, εεε ===

さらに，y 方向の電界と z 方向の電界の印加も考慮すると，線形性より

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

z

y

x

EEE

DDD

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

線形と非線形

)(xfy = で記述される系を考える f yx)(),( 2211 xfyxfy == のとき y

x1 x2 x1+x2

)( 2121 xxfyy +≠+

線形系においては

)( 22112211 xaxafyaya +=+x

たとえば f (x) = x2 なら上式は成立しないの例

)(),( uft

txu=

∂∂ ∑=

n

tnn xutxu ωje)(),(の解として を仮定する

f (x) が線形なら tnωje の独立性

0e)(j j =−∑n

tnnn ufun ωω )(j nn ufun =ω

f (x) が非線形の場合，高調波が生じてしまう 通常は時間差分を用いる

減磁と永久磁石の動作点１B

磁界の接線成分の連続性より磁性体内部で磁界は

M

dHHH −= 0

MHHHHN−=

−=

0

d0(X)

dH 減磁力 (自己磁界)000 HB µ= 磁界の接線成分の

連続性N 減磁率 (磁性体の形状で決まる) 一様な外部磁界

0B1≈N0≈N 3/1=N

ヒステリシス性が無視できる場合，磁性体内の磁界は

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

110

0

µµN

HH

透磁率が高い

N が大きい ⎭⎬⎫HM mχ=

⎩⎨⎧ H は小

(X)式

減磁と永久磁石の動作点2

ヒステリシスがある場合の磁性体内部の磁束密度

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+=

00

0

111

)(

HH

MHB

NNµ

µ

H

HN

B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

110µ

動作点

B

外部磁界が消えると，反対方向の自己磁界のみが残る

電磁界のエネルギー 1

JE ⋅単位体積において単位時間に電磁界によってなされる仕事はアンペアの法則によりつぎのように表現できる．

t∂∂⋅−⋅=⋅

DEHEJE rotポインティングベクトル

ベクトル公式とファラデーの法則より

v

n

S

HE×

( )

HEBH

HEEHHE

rot

rotrotdiv

⋅−∂∂⋅−=

⋅−⋅=×

t J両式より，体積 v について

∫∫∫ ⋅−⋅×−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅

vv

vv ddSdtt

S

JEnHEBHDE

消費されるエネルギー

外部から与えられるエネルギー

体積Vのエネルギーの増加

電磁界のエネルギー 2

体積Vのエネルギーの増加を書き換える

vdd

vv

v00

v0

v

dt

ddt

dtt

t

∫ ∫∫

∫ ∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅

∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂⋅

BDBEDE

BHDEBHDE τττ

ただし

∫ ⋅B

BH0

d

∫ ⋅H

HB0

d

∫∫ ∂∂⋅≡⋅

td

00d τ

τDEDE

D

∫∫ ∂∂⋅≡⋅

td

00d τ

τBHBH

B

磁気エネルギー電気エネルギー密度 B

双対磁気エネルギー

磁気エネルギー密度

Hこれらは電気と磁気エネルギー密度を表す(非線形材料はこれを用いる)

O∫∫ ⋅−=⋅

HBHBHBBH

00dd

(ルジャンドル変換)

電磁界のエネルギー 3

材料が線形であるとき

ED ε=µε , は定数

HB µ=

このとき電気エネルギー密度は

( )

DE

DDDDDEDD

⋅=

⋅=⋅=⋅ ∫∫

21

2d

21d

00 εεBH ⋅

21

磁気エネルギー

B

BH ⋅21同様に

BHBHD

⋅=⋅∫ 21d

0 HO

電磁界のエネルギー 4

∫∫ −== 2

1

1122

2

1dd ),(

),(H

H

HBHB

B

BHBHBBHw

ヒステリシス曲線上の状態変化にともなう仕事

H

B

H1

B1

B2

H2ヒステリシス曲線を１周すると

∫−= HBw dヒステリシス損失 = ヒステリシス曲線が囲む面積

周波数 f で磁界が周期的に変化すると，単位時間にヒステリシス曲線を f 回まわるので

2Bfw∝一方，周期的に変化する電磁界のジュール損は

σJ

=joulew BJ ωσjrot c −=および

22Joule Bfw σ∝より

電磁力 1体積 v 中の電荷にはたらく力

( ) vv

d∫ ×+= BJEF ρ

t∂∂

−==DHJD rot,divρ を用いると

vrotdivv

dt∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

×+×−=DBHBDEF

さらに

( ) ( ) EDBDBDDBDB rot×−×∂∂

−=∂∂

×+×∂∂

=∂∂

×tttt

BH div0 =および

を用いると

( ) vrotdivrotdivv

dt∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×

∂∂

−×−+×−= BDHBBHEDDEF

電磁力 2

( ) ∑ ∂

∂=×−+×−

β β

αβα x

THBBHEDDE rotdivrotdiv

ただし は下記で定義されるマクスウェルの応力テンソルαβT

( ) αββαβααβ δBHDE ⋅+⋅−+≡21BHDET

結局，電磁力の成分は

( )

( )∫∑∫

∫∑∫

×∂∂

−=

×∂∂

−∂∂

=

v

vv

dvd

dvdv

αβ

βαβ

ααββ β

α

BD

BD

tSnT

tT

xF

S

材料

S

nT ⋅

n電磁運動量応力テンソル

電磁界の特異性

x

y

θβ

導体電位 V

r P

点 P における電位はラプラス方程式

0112

2

2 =∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

θϕϕ

rrr

rr

を満足する．境界条件を満足する解は

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+≈

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ∑∞

=

θβπ

θβπθϕ

βπ

βπ

sin

msin),(

/1

1m

/mm

raV

raVr

よって電界は

r が小さいとき

1/1 −≈ βπβ

πr

aE

πβ > 0as, →∞→ rEすわなち導体が鋭角を持つ場合，

誘電体や磁性体の角でも同様 (線形性を仮定した場合)

参考文献 ***研究者，**大学上級，*学部レベル

*** J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons物理学のための電磁気学の集大成．変数分離やグリーン関数，特殊関数を縦横に使い明快に議論されている．電磁流体プラズマや相対論，輻射の理論も含む．

** J. D. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill

工学のための電磁気学の古典的名著．非線形物質の取り扱いや電磁ポテンシャル，積分方程式などの広範な議論を含む．

** 砂川重信，理論電磁気学, 丸善

物理学のための電磁気学の名著．図が豊富．電磁エネルギーや多重極展開の議論などが参考になる．

* 中山正敏，物質の電磁気学, 岩波

物質の議論に特化．電磁流体の電磁運動量など他に見られない議論を含む．

*C.T.A. Johnk, Engineering Electromagnetic Fields and Waves

わかりやすい図を豊富に含む．初等的．

* 本間，五十嵐，川口，数値電磁力学，森北

電磁気学から解析力学，辺有限要素法，境界要素法などを広く解説している．

** 五十嵐，亀有，加川，西口，ボサビ，新しい計算電磁気学，培風館

辺有限要素法の基礎的・理論的側面を中心に議論している．