ec2-2_elementos laminares
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Dimensionamento de armadurasem elementos laminares
ENEN19921992--22::66..109109 -- ElementosElementos dede MembranaMembrana ((66 -- ELU)ELU)
AnexoAnexo FF -- ArmadurasArmaduras dede trac ãotrac ão parapara tensõestensões
1Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
nono própriopróprio planoplano (EN(EN19921992--11--11))
AnexoAnexo LLLL -- ElementosElementos dede CascaCasca
AnexoAnexo MMMM -- EsforçoEsforço transversotransverso ee flexãoflexão transversaltransversal
Paulo França
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A utilização generalizada do cálculo automático (análise linear pelo método dos
elementos finitos) de estruturas laminares de betão armado obriga à verificação dasegurança em estados planos de tensão.
σ Edy
τ Edxy
τ Edxy
σ Edx
σ Edx
τ
Secção 6.109: trata dos elementos de membrana
(placas) => elementos unicamente sujeitos a esforços
no próprio plano: σ σσ σ Edx , σ σσ σ Edy , ττττEdxy
2Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
τ Edxy
σ Edy
A verificação da segurança nos elementos de membrana é garantida se:
A) existirem armaduras suficientes para suportar as forças de tracção
B) as forças de compressão máximas no betão forem inferiores aos valores
máximos admissíveis para o estado biaxial de tensão em análise
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A) Tracções - Hipóteses a considerar:
1) elemento plano de betão armado de espessura constante t com uma malha dearmaduras ortogonais Asx /s e Asy /s segundo x e y solicitado com os esforços
de placa n xx , n yy , v
2) o equilíbrio do elemento é estabelecido com recurso aos esforços de placa e
ao modelo de escoras-tirantes admitindo um campo uniforme decompressões inclinadas θθθθ (arbitrário) em relação a x
v cos θ
n yy cos θ
3Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
n xx
n yy A sy /s
A sx /s
n yy
n xx
n xx sen θ
v sen θ
s e n θ
cos θ
F sx sen θ
F sy cos θ
θ
+=
+=
θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ
θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ
sen v n F
v sen n sen F
yy sy
xx sx
coscos
cos
+=
+=
θ θθ θ
θ θθ θ
tg v n F
g v n F
yy sy
xx sx cot
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As armaduras são obtidas através de:
O ângulo θθθθ que minimiza a quantidade total de armadura é obtido através de:
( )
yd
yy xx Tot s
yd
sy sy
yd
sx sx
f
tg g v n n
s
A
f
F
s
A
f
F
s
A
θ θθ θ θ θθ θ +++=⇒
=
= cot,
+=
+=⇒=⇒=⇒=
∂
∂
v n F
v n F sen
s A
yy sy
xx sx o
Tot s
450 θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ
cos
,
4Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
Estas equações surgem no anexo F sob a forma de tensões:
xx
yy sy xx
sx sx n v n F
v n g e AF Se
2
00 −=⇒−==⇒≤ θ θθ θ cot ( igual se F sy ≤ 0 )
( )tracção f
f
e f
f
Edy
Edx
Edxy
tdy
tdx
Edy Edxy tdy
Edx Edxy tdx ⇒<
−=
=
−=
−=0
0
2 σ σσ σ σ σσ σ
σ σσ σ
τ ττ τ σ σσ σ τ ττ τ
σ σσ σ τ ττ τ
'
'
'
'
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B) Força máxima de compressão F c nas bielas inclinadas :
F sy sen θ
F sx cos θ
v sen θ
n yy sen θ
θ
sin θ
c o s
θ
F c
θ
n xx cos θ
v cos θ0=−−+ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ coscoscos c xx sx F n sen v F
( )θ θθ θ θ θθ θ g tg v F c cot+=
( )xx sx c n F tg v F −+= θ θθ θ
5Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
v F Se c o 245 =⇒=θ θθ θ
+−=
−−=⇒
−=⇒≤
2
10xx
xx xx
xx
c xx
sx n
v n
v
n
n
v v F
v
n g F Se θ θθ θ cot ( igual se F sy ≤ 0 )
Estas equações surgem no anexo F sob a forma de tensões:
( )tracção e Edx
Edxy
Edx cd Edxy cd ⇒<
+== 012
2
σ σσ σ σ σσ σ
τ ττ τ σ σσ σ σ σσ σ τ ττ τ σ σσ σ
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Se as duas forças forem de compressão => estado de compressão biaxial:
Secção 6.109: Indica a compressão máxima no campo de tensões no betão:
( )2
2
42v
n n n n n F
yy xx yy xx
I c +−
++
==
( )2
2
42
v n n n n
n yy xx yy xx
II +−
−+
=
n yy 2θ
n xx
n I n I I
i) Se as tensões principais são ambas de compressão:
n yy
n yy
n xx n xx
n II n I
n I
n II
θ
6Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
( )1
1831850
2≤=
++=
I
II cd cd
n n com f α αα α
α αα α α αα α σ σσ σ ,,max
( )
−=
−−= 250160850850
ck
yd
s
cd cd
f
com f f ,,,max υ υυ υ υ υυ υ
σ σσ σ
σ σσ σ
( ) o el el cd cd com f 1503201 ≤−−−= θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ υ υυ υ σ σσ σ ,max
ii) Se pelo menos uma tensão principal é de tracção e nenhuma armadura atinge o seu
limite de cedência:
iii) Se qualquer armadura atingir o seu limite de cedência:
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Anexo LL: trata dos elementos de casca => elementos sujeitos, em geral, a
8 componentes de esforços:
- 3 componentes de esforços de placa (membrana): n Edx , n Edy , n Edxy = n Edyx
- 3 componentes de esforços de laje: m Edx , m Edy , m Edxy = m Edyx
- 2 esforços transversos: v Edx , v Edy
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A verificação da segurança nos elementos de casca pode ser efectuada recorrendo a
um modelo do tipo “sandwich” no qual são identificadas 3 camadas:
( )h
t t h z i s 80
2,≅
+−=
8Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
As duas camadas exteriores, de espessura ts e ti , resistem aos esforços de placa e de
flexão: n Edx , n Edy , n Edxy ; m Edx , m Edy , m Edxy
A camada interior, de espessura tc , resiste aos esforços transversos: v Edx , v Edy
Cada camada exterior é tratada como um elemento de membrana e a sua verificação da
segurança igual ao anteriormente descrito (anexo LL (112))
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Os esforços de membrana nas camadas exteriores são obtidos por equilíbrio.
Camada superior:
Camada inferior:
Esforços normais e momentos flectores nas camadas exteriores:
9Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
Esforços de corte de placa e momentos de torção nas camadasexteriores:
Camada superior:
Camada inferior:
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22
EdyEdxEdo v v v +=Edx
Edytan
v
v o =ϕ ϕϕ ϕ
O esforço transverso principal , vEdo, aplicado à camada interior e a sua direcção, ϕϕϕϕo,
deverão ser avaliados do seguinte modo:
Na direcção do esforço transverso principal, o elemento de casca comporta-se como
uma viga e deverão ser aplicadas as regras de cálculo apropriadas:
- 6.2.2: elementos que não necessitam de armaduras de esforço transverso
( ) z f k C V em sen ck l c Rd c Rd o y o x l
3122 100/
,,cos ρ ρρ ρ ϕ ϕϕ ϕ ρ ρρ ρ ϕ ϕϕ ϕ ρ ρρ ρ ρ ρρ ρ =+=
10Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)
- 6.2.3: elementos que necessitam de armaduras de esforço transverso.
Neste caso, o esforço longitudinal VEdocotθθθθ resultante do modelo de
treliça aumenta os esforços de placa nas direcções x e y
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Anexo MM: trata dos esforços que surgem tipicamente nas almas de vigas em caixão.
A interacção entre o esforço transverso longitudinal e a flexão transversal poderá ser
considerada por meio do modelo do tipo "sandwich” apresentado no anexo LL
Esforços num elemento de alma: Modelo do tipo "sandwich" modificado:
11Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)